Exercício de Multiplicação de Matrizes

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Exercício de Multiplicação de Matrizes 
Resolva a equação 
(
𝑥 −4
𝑥2 𝑦
) ⋅ (
𝑥 2
𝑦 1
) = (
13 2𝑥 − 4
𝑥3 + 𝑦2 8
). 
Solução: 
Inicialmente, precisamos resolver o produto entre as matrizes (
𝑥 −4
𝑥2 𝑦
) e (
𝑥 2
𝑦 1
). 
 
Tomando 𝐴 = (
𝑥 −4
𝑥2 𝑦
) e 𝐵 = (
𝑥 2
𝑦 1
), o produto 𝐴 ⋅ 𝐵 será a matriz 𝐶 = (
𝑐11 𝑐12
𝑐21 𝑐21
). 
 
Fazemos: 
 
𝐴 ⋅ 𝐵 = (
𝑥 −4
𝑥2 𝑦
) ⋅ (
𝑥 2
𝑦 1
) 
 
 
𝑐11 = (𝑥 ⋅ 𝑥) + [(−4) ⋅ 𝑦] = 𝑥
2 − 4𝑦 
𝑐12 = (𝑥 ⋅ 2) + [(−4) ⋅ 1] = 2𝑥 − 4 
𝑐21 = (𝑥
2 ⋅ 𝑥) + (𝑦 ⋅ 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦2 
𝑐22 = (𝑥
2 ⋅ 2) + (𝑦 ⋅ 1) = 2𝑥2 + 𝑦 
 
Logo: 
(
𝑥2 − 4𝑦 2𝑥 − 4
𝑥3 + 𝑦2 2𝑥2 + 𝑦
) = (
13 2𝑥 − 4
𝑥3 + 𝑦2 8
) 
Tomando, agora, 𝐶 = (
𝑥2 − 4𝑦 2𝑥 − 4
𝑥3 + 𝑦2 2𝑥2 + 𝑦
) e 𝐷 = (
13 2𝑥 − 4
𝑥3 + 𝑦2 8
), para resolver a 
equação precisamos determinar os números reais 𝑥 e 𝑦 sabendo que 𝐶 = 𝐷 pela igualdade de 
matrizes. 
Sendo 𝐶 = 𝐷, podemos formar o sistema de equações: {
𝑥2 − 4𝑦 = 13
2𝑥2 + 𝑦 = 8
 
Resolvendo o sistema, vamos, inicialmente, multiplicar todos os elementos da equação (𝟐) por 4. 
{
𝑥2 − 4𝑦 = 13
2𝑥2 ⋅ (4) + 𝑦 ⋅ (4) = 8 ⋅ (4) 
 
Observe, por exemplo, que para obter o 
elemento 𝑐12 da matriz 𝐶 multiplicamos o 
primeiro elemento da linha 1 de 𝐴 pelo primeiro 
elemento da coluna 2 de 𝐵, o segundo elemento 
da linha 1 de 𝐴 pelo segundo elemento da 
coluna 2 de 𝐵 e somamos esses produtos. Esse 
procedimento é utilizado até encontrarmos todos 
os elementos de 𝐶. 
(𝟏) 
(𝟐) 
Feito isso, o sistema ficará da seguinte forma: 
{
𝑥2 − 4𝑦 = 13
8𝑥2 + 4𝑦 = 32 
 
 
Agora, iremos somar os elementos da equação (𝟏) com os elementos da equação (𝟐), levando 
em consideração os termos semelhantes, como mostra o esquema abaixo. 
{
𝑥2 − 4𝑦 = 13
8𝑥2 + 4𝑦 = 32 
 
 
 
 
 
 
Com isso, temos uma nova equação composta apenas pela incógnita 𝑥, de onde podemos obter 
seu valor. 
9𝑥2 = 45 
𝑥2 =
45
9
 
𝑥2 = 5 
 
 
Substituindo o valor da incógnita 𝑥 na equação (𝟏) do sistema (por ser a equação mais simples), 
encontramos o valor de 𝑦. 
Com isso: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(𝟏) 
(𝟐) 
9𝑥2 
0 
45 
𝑥 = √5 
 
ou 𝑥 = −√5 
 
9𝑥2 = 45 
Para 𝑥 = √5, temos: 
𝑥2 − 4𝑦 = 13 
(√5)
2
− 4𝑦 = 13 
√25 − 4𝑦 = 13 
5 − 4𝑦 = 13 
4𝑦 = 5 − 13 
4𝑦 = −8 
𝑦 =
−8
4
⟹ 𝑦 = −2 
 
 
Para 𝑥 = −√5, temos: 
𝑥2 − 4𝑦 = 13 
(−√5)
2
− 4𝑦 = 13 
√25 − 4𝑦 = 13 
5 − 4𝑦 = 13 
4𝑦 = 5 − 13 
4𝑦 = −8 
𝑦 =
−8
4
⟹ 𝑦 = −2 
 
 
Sabendo que a solução de um sistema de equações é apresentado na forma de par ordenado, 
temos, então, duas possíveis soluções: 
 
(√5, −2) ou (−√5, −2)