Aprovação Virtual - Exercícios Conjuntos

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Lista 2 – Conjuntos Numéricos 
NÍVEL 1 
1) As marcas de cerveja mais consumidas em um bar, num certo dia, foram A, B e S. Os 
garçons constataram que o consumo se deu de acordo com a tabela a seguir: 
Marcas consumidas Número de consumidores 
A 150 
B 120 
S 81 
A e B 60 
B e S 40 
A e S 20 
A, B e S 15 
Outras 70 
 
a) Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia? 
b) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos beberam apenas duas dessas 
mrcas? 
c) Quantos não consumiram a cerveja S? 
d) Quantos não consumiram a cerveja B nem a marca S? 
 
2) Dos 30 candidatos ao preenchimento de 4 vagas em certa empresa, sabe-se que 18 
são do sexo masculino, 13 são fumantes e 7 são mulheres que não fumam. De quantos 
modos podem ser selecionados 2 homens e 2 mulheres entre os não fumantes? 
a) 140 b) 945 
c) 2.380 d) 3.780 e) 57.120 
 
3) Considere três conjuntos A, B e C, tais que: n(A) = 28, n(B) = 21, n(C) = 2-, n(AՈB) = 8, 
n(BՈC) = 9, n(AՈC) = 4 e n(AՈBՈC) = 3. Assim sendo, o valor de n((AՍB)ՈC) é: 
a) 3 b) 10 c) 20 d) 21 e) 24 
 
4) Uma empresa que fabrica o refrigerante Refri da galera fez uma pesquisa para saber a 
preferência dos consumidores em relação ao seu produto e àquele de um de seus 
concorrentes, Refri da moçada. 
 
 
2 
Foram ouvidas 1000 pessoas, das quais 600 consumiam o Refri da galera, 200 
consumiam os dois, 500 consumiam o Refri da moçada e 100, nenhum deles. Um dos 
entrevistados foi escolhido ao acaso. Calcule a probabilidade de que ele seja 
consumidor de 
a) Refri da galera e Refri da moçada 
b) Refri da galera ou Refri da moçada 
 
5) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus 
produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em 
mais de um catalogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para 
diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, 
respectivamente, 50, 45 e 40 paginas. Comparando os projetos de cada catalogo, ele 
verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum, C2 
e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1. 
Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem 
dos três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a: 
a) 135 b) 126 c) 118 d) 114 e) 110 
NÍVEL 2 
6) Numa turma de 31 alunos da EPCAR, foi aplicada uma Prova de Matemática valendo 
10 pontos no dia em que 2 alunos estavam ausentes, Na prova, constavam questões 
subjetivas: a primeira, sobre conjuntos; a segunda, sobre funções e a terceira, sobre 
geometria plana. Sabe-se que dos alunos presentes 
>> nenhum tirou zero; 
>> 11 acertaram a segunda e a terceira questões; 
>> 15 acertaram a questão sobre conjuntos; 
>> 1 aluno acertou somente a parte de geometria plana 
>> e 7 alunos acertaram apenas a questão sobre funções 
É correto afirmar que o número de alunos com grau máximo igual a 10 foi: 
a) 4 b) 5 c) 6 d)7 
 
7) Seja A o conjunto dos naturais menores eu 10 e seja B outro conjunto tal que AUB = 
A e AՈB é o conjunto dos pares menores que 10. Então o conjunto B é: 
 
 
3 
a) vazio 
b) AՈB 
c) {x E IN / x<10} 
d) x E IN / x é par} 
e) qualquer conjunto de números pares que contenha AՈB 
8) Sendo A = {2, 3, 5, 6, 9, 13} e B = {aᵇ/ a E A, b E A e a ≠ b}. O número de elementos de B 
que são números pares é: 
a) 5 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 13 
9) Um estudo de grupos sanguíneos humanos realizado com 1000 pessoas (sendo 600 
homens e 400 mulheres) constatou que 470 pessoas tinham o antígeno A, 230 pessoas 
tinham o antígeno B e 450 pessoas não tinham nenhum dos dois. Determine: 
a) o número de pessoas que tem os antígenos A e B simultaneamente; 
b) supondo independência entre sexo e grupo sanguíneo, a probabilidade de que uma 
pessoa do grupo, escolhida ao acaso, seja homem e tenha os antígenos A e B 
simultaneamente. 
10) Considere o conjunto A dos múltiplos inteiros de 5, entre 100 e 1000, formados de 
algarismos distintos. Seja B o subconjunto de A formado pelos números cuja soma dos 
valores de seus algarismos é 9. Então, a soma do menor número ímpar de B com o maior 
número par de B é: 
a) 835 
b) 855 
c) 915 
d) 925 
e) 945 
 
 
 
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NÍVEL 3 
11) Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 17 nadam, 19 jogam basquetebol, 21 
jogam voleibol, 5 nadam e jogam basquetebol, 2 nadam e jogam voleibol, 5 jogam 
basquetebol e voleibol e 2 fazem os três esportes. Qual o valor de n, sabendo-se que 
todos os cadetes desse grupo praticam pelo menos um desses esportes? 
a) 31 
b) 37 
c) 47 
d) 51 
12) Sejam os reais Y1 = 0,333..., Y2 = 5,0131313... e Y3 = 0,202002000.... . Além disso, 
considerem-se as somas S1 = Y1+Y2, S2 = Y1+Y3 e S3 = Y1+Y2+Y3 . Então, podemos 
afirmar: 
a) Y1 é irracional 
b) Y2 é irracional 
c) S1 é irracional 
d) S2 é irracional 
e) S3 é irracional 
13) A vida na rua como ela é O Ministério do Desenvolvimento Social e Combate à Fome 
(MDS) realizou, em parceria com a ONU, uma pesquisa nacional sobre a população que 
vive na rua, tendo sido ouvidas 31.922 pessoas em 71 cidades brasileiras. Nesse 
levantamento, constatou-se que a maioria dessa população sabe ler e escrever (74%), 
que apenas 15,1% vivem de esmolas e que, entre os moradores de rua que ingressaram 
no ensino superior, 0,7% se diplomou. Outros dados da pesquisa são apresentados nos 
quadros abaixo 
 
 
 
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No universo pesquisado, considere que P seja o conjunto das pessoas que vivem na rua 
por motivos de alcoolismo/drogas e Q seja o conjunto daquele cujo motivo para viverem 
na rua é a decepção amorosa. Escolhendo-se ao acaso uma pessoa no grupo 
pesquisado e supondo-se que seja igual a 40% a probabilidade de que essa pessoa faça 
parte do conjunto P ou do conjunto Q, então a probabilidade de que ela faça parte do 
conjunto interseção de P e Q é igual a: 
a) 12%. 
b) 16%. 
c) 20%. 
d) 36%. 
e) 52%. 
 
14) Três candidatos A, B e C concorrem à presidência de um clube. Uma pesquisa 
apontou que, dos sócios entrevistados, 150 não pretendem votar. Dentre os 
entrevistados que estão dispostos a participar da eleição, 40 sócios votariam apenas no 
candidato A, 70 votariam apenas em B, e 100 votariam apenas no candidato C. Além 
disso, 190 disseram que não votariam em A, 110 disseram que não votariam em C, e 10 
sócios estão na dúvida e podem votar tanto em A como em C, mas não em B. 
Finalmente, a pesquisa revelou que 10 entrevistados votariam em qualquer candidato. 
Com base nesses dados, pergunta-se: 
a) Quantos sócios entrevistados estão em dúvida entre votar em B ou em C, mas não 
votariam em A? Dentre os sócios consultados que pretendem participar da eleição, 
quantos não votariam em B? 
b) Quantos sócios participaram da pesquisa? Suponha que a pesquisa represente 
fielmente as intenções de voto de todos os sócios do clube. Escolhendo um sócio ao 
acaso, qual a probabilidade de que ele vá participar da eleição mas ainda não tenha se 
decidido por um único candidato? 
 
15) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nosparênteses a soma dos itens corretos. 
1. Sendo 
m = x + 1, 
n = x£ - x, 
p = x£ - 1, 
pode-se afirmar: 
(01) m£ = n . p 
(02) m + n = p 
(04) Se x · 1 e x · -1, então n.m/p = x. 
(08) Se x = 1/2, então o valor numérico de m.n é 1/8. 
(16) O grau da expressão m.n.p é um número inteiro, 
pertencente ao intervalo [0,7]. 
 
 
 
6 
GABARITO COMENTADO 
1) Para resolver estas questões, precisamos trabalhar a teoria dos conjuntos. 
 
Na teoria dos conjuntos, as pessoas que consumiram as marcas A e B já estão 
contempladas no cálculo das pessoas que consumiram A e tambem no calculo das 
pessoas que consumiram B.O mesmo raciocínio é válido para a marca S e para os outros conjuntos (A e S; A, B e S; etc.) 
 
Agora vamos responder a cada questão. 
a) Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia? 
 
Baseado nos comentários acima, podemos contar o total de consumidores como: 
 
Portanto 420 pessoas beberam cerveja no bar nesse dia. 
b) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos beberam apenas duas dessas marcas? 
 
Utilizando o mesmo princípio, podemos dizer que: 
 
Isto porque os bebedores de A,B e S estão contemplados nos 3 grupos (A e B; B e S; A e 
S). Assim: 
 
Portanto 75 pessoas beberam apenas 2 marcas. 
c) Quantos não consumiram a cerveja S? 
 
Aqui basta tirar do total de pessoas os bebedores de S: 
 
 
Portanto 340 pessoas não beberam S. 
 
d) Quantos não consumiram a marca B nem a marca S? 
 
De forma semelhante à questão anterior: 
 
 
Ou seja, 220 pessoas não beberam B nem S. 
 
 
 
 
 
 
7 
2) 
30 = total 
18 = homens 
30-18 = 12 = mulheres 
12 - 7 = mulheres fumantes = 5 
13 - 5 = homens fumantes = 8 
os homens não fumantes: 
18 - 8 = 10 
as mulheres não fumantes: 
7 
 
Agora é só combinar: 
10! / 2! . (10-2)! = 
10! / 2! . 8! = 
10 . 9 / 2= 
45 
 
7! / 2! . (7-2)! = 
7! / 2! . 5! = 
7.6 / 2 = 
21 
agora é só multiplicar os resultados 
21 . 45 = 945 
3) Inicialmente, veja que o conjunto A interseção C possui 4 elementos, enquanto que o 
conjunto B interseção C possui 9 elementos. Ao unir os conjuntos A e B, vamos ter um total 
de 13 elementos que também estão presentes no conjunto C. 
Contudo, temos a informação que o conjunto A interseção B interseção C possui 3 
elementos. Desse modo, devemos descontar esse valor, que já está incluso nos elementos 
anteriores. Com isso, temos que o conjunto A união B, com interseção C possui 10 
elementos. 
 
 
 
8 
4) a) 200/1000 = 20%. 
 b) 900/1000 = 90%. 
5) 
•C1= 50 
•C2= 45 
•C3= 40 
•C1 e C2 10 páginas em comum 
•C1 e C3 6 páginas em comum 
•C2 e C3 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1 
Ele quer saber a diferença entre a quantidade de páginas dos três catálogos antes dele fazer 
essas alterações. 
Fazendo cada catálogo - as interações dos catálogos 
C1= 50 -(10+4)=38 
C2= 45 -(10+[5 -4])=34 
C3= 40 -( 6 +[5-4])= 33 
No meio das 3 = 10-6+(5+4) = 13 >>>> ( 38 + 34 + 33+ 13 ) = 118 
6) Sejam 3 figuras com a como interseção entre as 3 = CONJUNTO, FUNÇÃO, GEOMETRIA 
Vamos indicar b, c, d as outras 
Geometria e Funções .... (11 - a ) 
Só conjuntos ................. ( c ) 
a + b ...... conjuntos e funções 
a + d ...... conjuntos e geometria 
a + b + c + d = 15 
(a + b + c + d ) + ( 11 - a) + 1 + 7 = 31 -2 
substitua primeiro parênteses por 15 
15 + ( 11 -a) + 8 = 29 
-a = 29 - 15 - 11- 8 
-a = -5 
a = 5 
 
 
9 
7) A é o conjunto dos naturais menores que dez, até o primeiro momento ele seu elemento 
pode ir de 0 a 9, mas vamos continuar. 
A união com B é o próprio A, isso significa que todo é parte de A, sendo assim B é um 
subconjunto de A 
A interseção B é o conjunto dos pare menores que 10, sendo assim vamos as alternativas. 
 
A primeira é falsa já que vazio é um subconjunto que não possui elementos e com certeza ele 
não é par 
A segunda é falsa pois, para B = A U B , A deve ser subconjunto de B, e eu ja expliquei acima 
que acontece o contrário 
A terceira é verdadeira pois A ՈB é o próprio B 
 
8) Qualquer número par, elevado a qualquer outro número, resulta em número par. 
Qualquer número impar, elevado a qualquer outro número, resulta em número impar. 
Para descobrirmos os pares, devemos ter bases pares: 
Bases pares disponíveis em A 
2. 
Como a ≠ b, podemos ter: 
2³, 2⁵, 2⁶, 2⁹, 2¹³ 
Portanto teremos 5 números pares. 
6. 
Como a ≠ b, podemos ter: 
6², 6³, 6⁵, 6⁹, 6¹³ 
Teremos mais 5 números pares, resultando num total de 10 números no conjunto B. 
 
 
 
 
 
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9) 
a) Considere que x é a quantidade de pessoas que têm os antígenos A e B 
simultaneamente. 
Como 470 pessoas tinham o antígeno A, então 470 - x tinham APENAS o A. 
Da mesma forma, como 230 pessoas tinham o antígeno B, então 230 - x tinham APENAS o B. 
No total existem 1000 pessoas 
Logo, 
470 - x + x + 230 - x + 450 = 1000 
1150 - x = 1000 
x = 150 
Portanto, 150 pessoas possuem os antígenos A e B simultaneamente. 
b) A probabilidade de um homem ser sorteado é de 0,6. 
Já a probabilidade de se ter os antígenos A e B simultaneamente é de 0,15. 
Portanto, a probabilidade de se escolhido um homem que tenha os antígenos A e B 
simultaneamente é de: 0,6.0,15 = 0,09 = 9% 
10) De acordo com o enunciado, 
 
Todavia, devemos nos atentar para o subconjunto B!! Ou seja, determinar o menor elemento 
ímpar do conjunto A, assim como o maior elemento par cuja soma dos algarismos seja 9. 
Certamente, o menor elemento nas condições referidas começa com UM e termina com 
CINCO. Ora, 1_5 => 135 
Então, temos boas razões para acreditar que o maior elemento par (nas condições descritas) é 
iniciado pelo NOVE e com final ZERO. Daí, 9_0... Bom! a única possibilidade seria o ZERO, 
todavia, não podemos repeti-lo, pois deverão ser distintos. Com efeito, teremos 8_0 810. Por 
fim, concluímos que: 
 
 
 
11 
11) Essa questão fica mais fácil com diagrama de venn. 
Fazendo de trás para frente fica mais fácil. 
Começando pelas interseções ∩ para o resto. 
Vamos chamar conjuntos de letras para ficar mais fácil. 
Nadam = A 
Basquetebol = B 
Voleibol = C 
A∩B∩C= 2 Fazem os 3 esportes 
B∩C = 5, mas desses 5, 2 nadam,fazem A, então temos que tirar eles para saber somente que 
joga basquete e volei = 5-2 = 3 
A∩C= 2, 2 também jogam basquete, então ninguem pratica somente Nado e volei = 0 
A∩B= 5, mas 2 praticam volei, então 5-2 = 3 
Ficou assim: 
A∩B∩C = 2 Nado, Basquete e Vólei 
A∩B = 3 Nado e Basquete 
A∩C = 0 Nado e Vólei 
B∩C = 3 Basquete e volei 
Agora que descobrimos as interseções. Podemos descobrir que praticam somente 1 
esporte. 
A = 19 Vamos subtrair pelas interseções de A 
A= 17-2-3= 12 
B= 19-2-3-3= 11 
C= 21-3-2=16 
Agora descobrimos quem pratica somente um esporte. 
Agora que temos todos os valores podemos descobrir ''N'' o tanto de cadetes, só precisamos 
somar todos os valores. 
12+11+16+2+3+3=47 Então o valor de N= 47 
12) y1 = 0,333... = 0,3 = 1/3 => y1 ∈ ℚ 
y2 = 5,0131313... = 50,13 / 10 = 5 + 13 / 990 = 4963 / 990 => y2 ∈ ℚ 
y3 = 0,20 200 2000 ... = não é dízima periódica y3 é irracional. 
S1 = y1 + y2 --> Racional S2 = y1 + y3 --> Irracional 
S3 --> y1 + y2 + y3 --> Irracional S2 = y1 + y3 --> Irracional (d) 
 
 
 
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13) 
a) Falsa. Nenhuma das informações contidas no texto ou nos gráficos nos leva a conclusão que a 
maioria dos moradores de rua que sobrevive de esmolas não possuem nenhum tipo de grau de 
instrução. A única informação a esse respeito nos diz que a a minoria dessa população sobrevive 
com a mendicância. 
b) Falsa. O universo de pessoas que sabem ler e escrever e possuem ensino fundamental 
completo ou incompleto não corresponde integralmente ao contingente de moradores de rua que 
tem acesso ao mundo da leitura e da escrita. 
d) Falsa. A afirmativa pode levar o candidato ao erro caso ele admita que os 0,7 % dos moradores 
que completaram o ensino superior correspondem à metade dos 1,4% que possuem curso 
superior completo ou incompleto. Entretanto, o enunciado da questão diz que de todo o universo 
de moradores de rua que ingressou no nível superior – ou seja, toda a população incluída naquele 
grupo de 1,4% – somente 0,7% destes terminou um curso superior. 
e) Falsa. Em nenhum ponto do enunciado da questão ou na informação dos gráficos é possível 
constatar que todos aqueles que moram na rua por motivo de desemprego necessariamente 
alegaram algum tipo de decepçãoamorosa. 
c) Verdadeira. Realizando a somatória do gráfico que aponta os motivos que levaram esses 
indivíduos a morarem nas ruas, observamos que a pesquisa trabalhou com um quadro de 
justificativas que, ao todo, atinge os 132%. Tal valor só poderia ser alcançado caso a pesquisa 
admitisse a escolha de justificativas múltiplas para os entrevistados. 
14) 
 
a) 20 b) 40 + 10 + 100 = 150 
c) 40 + 0 + 10 + 10 + 70 + 20 + 100 + 150 = 400 
d) Favoráveis/Possíveis = 40/400 =0,1 ou 10% 
 
 
13 
15) 
(01) (falso) 
m² = (x+1)² 
n.p = (x² - x)(x²-1) => n.p = x(x-1)(x-1)(x+1) => x(x-1)²(x+1) 
ou seja: m² ≠ n.p 
(02) (falso) 
m+n = x + 1 + x² - x => m+n = x² + 1 
p = x²-1 
ou seja: m+n≠p 
(04) (verdade) 
m.n = (x + 1)(x²-x) => (x+1).x.(x-1) = x(x+1)(x-1) 
m.n/p = x(x+1)(x-1)/x²-1 => m.n/p = x(x+1)(x-1)/(x+1)(x-1) = x 
ou seja: m.n/p = x, dentro das condições estabelecidas 
(08) (falso) 
m.n = (x + 1)(x²-x) => (x+1).x.(x-1) = x(x+1)(x-1) 
x = 1/2 => x(x+1)(x-1) = (1/2) (1/2 + 1) (1/2 - 1) = (1/2)(3/2)(-1/2) = (-3/8) 
(16) (verdade) 
m.n = x(x+1)(x-1) 
m.n.p = x(x+1)(x-1)(x²-1) => x(x+1)²(x-1)², observa-se que o grau será 5, que é um número 
inteiro pertencente ao intervalo citado. 
Itens corretos: 16 e 4 ==> 16+4 = 20