lista 1 - Espaços e subespaços vetoriais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
DEP. DE ENGENHARIA METALÚRGICA E DE MATERIAIS
TJP7022 - MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ENGENHARIA E
CIÊNCIA DE MATERIAIS
Lista 1
1. Determine se cada um dos itens a seguir é ou não um subespaço de R2. Justifique sua
resposta.
a) X1 = {(x, y) ∈ R2|x + y = 0}.
b) X2 = {(x, y) ∈ R2|x− 1 = 0}.
c) X3 = {(x, y) ∈ R2|xy = 0}.
2. Sejam W1 e W2 subespaços de V , e seja W1 + W2 o conjunto de todos os vetores de
V da forma ~x1 + ~x2, onde ~x1 pertence a W1 e ~x2 a W2. Mostre que W1 + W2 é um
subespaço de V .
3. Determine se (x, y, z) ∈ R3, tal que z = 2x e y = 0 formam um subespaço de R3.
4. Mostre que (2, 1, 5) pode ser escrito como uma combinação linear de {(1, 2, 1), (1, 0, 2), (1, 1, 0)}
5. Determine quais dos seguintes vetores pertencem ao subespaço de R3 gerado por x3 +
2x2 + 1, x2 − 2, x3 + x.
a) x2 − x + 3.
b) 4x3 − 3x + 5.
6. Suponha que ~x1, ~x2 e ~x3 sejam vetores linearmente independentes de V . Demostre que
~x1 + ~x2, ~x1 + ~x3 e ~x2 + ~x3 são linearmente independentes.
7. Determine se o conjunto S = {(1, 2,−1, 0), (2, 1, 0,−1), (0,−3, 2,−1), (3, 3, 1, 1)} é line-
armente independente. Se não for linearmente independente, escreva um dos vetores
em S como uma combinação linear dos outros vetores em S.
8. Encontre todos os subconjuntos linearmente independentes dos seguintes conjuntos de
vetores de P4:
a) 1, x− 1, x2 + 2x + 1, x2.
b) x(x− 1), x3, 2x3 − x2, x.
9. Encontre uma base e a dimensão do subespaço definido pela seguinte condição: (x1, x2, x3, x4) ∈
R4, tal que
x1 + x4 = 0
3x1 + x2 + x4 = 0
10. Mostre que ex e e2x são funções linearmente independentes (no espaço vetorial de todas
as funções diferenciáveis em R). 1, x e x2 formam um conjunto linearmente indepen-
dente?
11. Encontre uma base para o conjunto S = {(1, 2, 1), (−1,−2,−1), (2, 6,−2), (1, 1, 3)}.
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