03 Linhas de transmisão - 04 01 2022

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Linhas de 
Transmissão
Unidade 3
Linhas de transmissão
 O que foi visto anteriormente
◦ Propagação de ondas em meios ilimitados, meios de 
extensão infinita (ondas não guiadas)
 O que veremos agora?
◦ Estrutura guiadas 
 Linhas de transmissão 
 Transmitir potência (baixa frequência)
 Transmitir informação (telecomunicações)
 Guias de ondas
Linhas de transmissão
 São circuitos elétricos cujo comprimento físico
não pode ser desprezado em presença do
comprimento de onda da frequência de
excitação (10% )
◦ Linhas de 60 Hz
◦ Linhas telefônicas
◦ Cabos de TV
Linhas de transmissão
 Uma linhas de transmissão consiste basicamente
de dois ou mais condutores em paralelo usados
para conectar uma fonte a carga:
◦ Fonte
 Gerador hidrelétrico, transmissor, oscilador.
◦ Carga
 Fábrica/residência, osciloscópio, antena.
Exemplo 1
 Considere uma antena dipolo de um receptor
de rádio difusão em FM e a linha de
transmissão que liga a antena ao receptor:
f = 100 MHz; Va = Vosen(wt+);  = 0; w = 2f.
Exemplo 2
 Um tensão senoidal é aplicada sobre uma
resistência. A fonte e a resistência estão
conectadas por um condutor ideal
(comprimento desprezível) e isto mostra que as
tensões estão em fase .
 Um linha de transmissão de um quarto de
comprimento de onda é adicionada entre a
fonte e a resistência e a tensão no resistor está
defasada de 90º fora da fase com a tensão da
fonte
 A figura acima é uma visualização instantânea da onda de campo
elétrico existente entre dois fios paralelos, nos quais a fonte senoidal
gera uma perturbação também senoidal na distribuição de cargas.
 Aparece uma onda eletromagnética transversal (TEM) que se
propaga ao longo da linha, onde a energia é transportada.
Exemplo de linhas de transmissão junto 
com suas seções retas
Parâmetros das linhas de transmissão
 Representação através de parâmetros distribuídos:
◦ R : resistência por unidade de comprimento;
◦ L : indutância por unidade de comprimento;
◦ G : condutância por unidade de comprimento 
(G  1/R), os valores de R, L, C e G são tabelados;
◦ C : capacitância por unidade de comprimento;
◦ O valor de L é a indutância externa por unidade de 
comprimento.
Parâmetros das linhas de transmissão
Equações para determinação dos 
parâmetros distribuídos
Parâmetros das linhas de transmissão
 Os condutores são caracterizados por c, 
c, c = 0 e o dielétrico por ,  e ;
 L é a indutância externa (Lext) (em altas 
frequências Lint é desprezível, Lin = (R/w);
 Para cada linha: LC =  e G/C = /
Objetivo da Unidade 3
 Investigar o fenômeno de ondas em linhas de
transmissão
1. Aprender a tratar as linhas de transmissão como
elemento de circuito que possuem impedâncias
complexas, que são função do comprimento da linha
e da frequência;
2. Entender a propagação de ondas em linhas de
transmissão, incluindo os casos que podem haver
perdas;
3. Aprender métodos para combinar linhas de
transmissão diferentes para se alcançar o objetivo
desejado;
4. Entender o fenômeno de transiente em linhas de
transmissão.
Distribuição da onda eletromagnética
Seção reta de um Cabo coaxial Seção reta de uma linha paralela
Equações das linhas de transmissão
 Temos duas abordagem possível para análise de 
linhas de transmissão:
1. Podemos resolver as equações de Maxwell
sujeitas as configurações da linha para obter os
campos e com estes encontrar as expressões
genéricas para a potência, a velocidade e
outros parâmetros de interesse;
2. Encontrar as tensões e correntes utilizando um
modelo de circuito apropriado. A teoria de
campo é aplicada somente no calculo inicia.
Equações das linhas de transmissão
 Uma linha de transmissão a dois condutores
suporta uma onda TEM, E e H são transversais a
direção de propagação;
 E e H são univocamente relacionados com
V e I;
 O modelo de circuito é mais simples e mais
eficiente
𝑉 = −න𝐸 ∙ 𝑑𝑙 𝐼 = ර𝐻 ∙ 𝑑𝑙
Circuito equivalente
1. Vamos examinar uma porção incremental 
(Z) de uma linha de transmissão de dois 
condutores;
2. Vamos encontrar um circuito equivalente e 
obter a equação de linha.
Circuito equivalente tipo L
( ) ( )
( )
( )tzzV
t
tzI
zLtzzIRtzV ,
,
,, ++


+=
( ) ( )
( )
( )
t
tzI
LtzRI
z
tzVtzzV


+=

−+
−
,
,
,,
( )
( )
( )
t
tzI
LtzRI
z
tzV


+=


−
,
,
,
• Aplicando a lei de Kirchhoff na malha externa:
No limite quando z → 0:
( ) ( ) ItzzItzI ++= ,,
( ) ( ) ( )
( )
t
tzzV
zCtzzzVGtzzItzI

+
++++=
,
,,,
( ) ( )
( )
( )
t
tzzV
CtzzGV
z
tzItzzI

+
++=

−+
−
,
,
,,
• Aplicando a lei de Kirchhoff no nó principal:
( )
( )
( )
t
tzV
CtzGV
z
tzI


+=


−
,
,
,
( ) ( ) tjs ezVtzV Re, w=
( ) ( ) tjs ezItzI Re, w=
( ) s
s ILjR
dz
dV
w+=−
( ) s
s VCjG
dz
dI
w+=−
No limite quando z → 0:
Considerando a dependência temporal harmônica
( )( ) s
s VCjGLjR
dz
Vd
ww ++=
2
2
02
2
2
=− s
s V
dz
Vd

( )( )CjGLjRj ww ++=+=
02
2
2
=− s
s I
dz
Id

w fu === 2
Separando as variáveis V e I:
( ) zzs eVeVzV
 −−+ += 00
( ) zzs eIeIzI
 −−+ += 00
( ) ( )  ( ) ( )zteVzteVezVtzV zztjs ww w ++−== −−+ coscosRe, 00 
As soluções são:
CjG
LjR
I
V
I
V
Z
w


w
+
=
+
=−==
−
−
+
+
0
0
0
0
0
0
000
1
Y
jXR
CjG
LjR
Z =+=
+
+
=
w
w
A impedância característica da linha (Z0) é dada por:
 j+=
R0 não deve ser confundido
com R, pois R0 () e R (/m)
O reciproco de Z0 é a
admitância característica Y0
000 jBGY +=
Linhas sem perdas (R = 0 = G)
0 ; =→ c
LCjj w === ;0


w
f
LC
u ===
1
C
L
RZX === 00 0
Linha sem distorções
 R/L = G/C
1. A velocidade de fase é independente da
frequência porque a constante de fase 
depende linearmente da frequência.
2. u e Z0 permanecem os mesmos das linhas sem
perdas.
3. Uma lina sem perdas é também uma linha
sem distorção, mas uma linha sem distorção
não é necessariamente sem perdas.
Linha sem distorções
𝑅
𝐿
=
𝐺
𝐶
𝛾 = 𝑅𝐺 1 +
𝑗𝜔𝐿
𝑅
1 +
𝑗𝜔𝐶
𝐺
𝛾 = 𝑅𝐺 1 +
𝑗𝜔𝐶
𝑔
= 𝛼 + 𝑗𝛽
𝛼 = 𝑅𝐺, 𝛽 = 𝜔 𝐿𝐶
𝑍0 =
𝑅 + 𝑗𝜔𝐿
𝐺 + 𝑗𝜔𝐶
=
𝑅
𝐺
=
𝐿
𝐶
= 𝑅0 + 𝑗𝑋0
𝑅0 =
𝑅
𝐺
=
𝐿
𝐶
e 𝑋0= 0
Exemplo 3
 Um fio de cobre de 1,0 mm de diâmetro é
envolvido por uma camada de Teflon de 1,0 mm
de espessura que, por sua vez, é envolvida por
cobre. Assumindo que este cabo coaxial seja sem
perdas, queremos encontrar a velocidade de
propagação up e a impedância característica Zo
(Teflon, εr =2,1).
Exemplo 4
 Que raio externo de Teflon é requerido no
Exemplo 3 para termos uma linha de 50 Ω de
impedância característica?
Exemplo 5
 Uma linha de transmissão operando na
frequência de 500 MHz, tem Z0 = 80,  = 0,04
Np/m,  = 1,5 rad/m. Encontre o parâmetros R,
L, G e C.
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
TERMINADAS
A maioria dos problemas práticos
envolvendo linhas de transmissão
relata o que acontece quando a
linha está terminada.
Exemplo 6
 Encontre a tensão na carga de 100 Ω para a 
linha de T da figura abaixo.
cc
( ) zzs eVeVzV
 −−+ += 00
( ) zzs e
Z
V
e
Z
V
zI 
0
0
0
0
−
−
+
−=
Impedância de entrada
g
gent
ent V
ZZ
Z
V
+
=0
gent
g
ZZ
V
I
+
=0
cc
Γ 𝑧 =
𝑉0
−𝑒𝛾𝑧
𝑉0
+𝑒−𝛾𝑧
=
𝑉0
−
𝑉0
+ 𝑒
2𝛾𝑧
Γ 0 =
𝑉0
−
𝑉0
+ = Γ𝐶
Em um ponto qualquer de linha:
Na carga, z = 0
Γ𝐶 =
𝑍𝐶 − 𝑍0
𝑍𝐶 + 𝑍0
( ) zzs eVeVzV
 −−+ += 00 ( )
zz
s e
Z
V
e
Z
V
zI 
0
0
0
0
−
−
+
−=
Γ 𝑧 = Γ𝐶𝑒
2𝛾𝑧
Na entrada da linha, z = -l
Γ −𝑙 = Γ𝐺 = Γ𝐶𝑒
−2𝛾𝑙
Coeficiente de reflexão
cc
C
C
I
I
V
V
s
−
+
===
1
1
min
max
min
max
Razão de onda estacionária (s) ou ROE






+
+
=
ltghZZ
ltghZZ
ZZ
C
C
ent


0
0
0
00 e RZljtgltghjj ==→= 






+
+
=
ltgjZZ
ltgjZZ
ZZ
C
C
ent


0
0
0
(com perdas – geral em toda a linha)
Para a linha sem perdas:
l é o comprimento elétricoda linha (graus ou radianos)
𝑍𝑒𝑛𝑡 =
𝑉𝑠 𝑧
𝐼𝑠 𝑧
Obtendo a impedância de entrada:
( ) zzs eVeVzV
 −−+ += 00
( ) zzs e
Z
V
e
Z
V
zI 
0
0
0
0
−
−
+
−=
l
ee ll


cosh
2
=
+ −
lsenh
ee ll


=
− −
2
ll
ll
ee
ee
l
lsenh
ltgh





−
−
+
−
==
cosh
0
min
max
max
sZ
I
V
Zent ==
s
Z
I
V
Zent
0
max
min
min
==
Zent tem máximos e mínimos ao 
longo da linha
Consideremos uma LT sem perdas, 
com Z0 = 50 , ZC = 100  e VC = 100 V
0
min
min
0
max
max e 
Z
V
I
Z
V
I ==
( ) ( ) lIlVP ssmed = *Re
2
1
( ) ( ) =





−+=
−
+
−+ ljljljlj
med ee
Z
V
eeVP  *
0
*
0Re
2
1
( )








−+−=
−
+
ljlj ee
Z
V
 2*22
0
2
0
1Re
2
1
( )2
0
2
0
1
2
−=
+
Z
V
Pmed
Na linha sem perdas:
O primeiro termo é a potência 
incidente e o segundo a refletida
rit PPP −=
(potência transmitida)
ltgjZZZ
CZ
entcc
=
=
00
1−=C
=s
A. Linha em curto (ZC = 0)
lgjZ
ljtg
Z
ZZ ent
Z
ca
C
−=

==
→


cot0
0
lim
1=C
=s
2
0ZZZ cacc =
0ZZent =
0=C 1=s
B. Linha em aberto (ZC = )
Observe que
C. Linha casada (ZC = Z0)
Exemplo 7
Exemplo 8
 Os parâmetros de uma certa linha de
transmissão operando em 6x108 rad/s são
L = 0,4 H/m, C = 40 pF/m, G = 80 S/m e
R = 20 /m.
a) Calcule , , ,  e Z0
b) Se a onda de tensão viaja 20 m pela linha e, qual a
percentagem da amplitude da onda original
permanece e de quantos grau sua fase desloca.
Exemplo 9
 Uma linha de 60  no ar, operando em 20 MHz,
tem 10 m de comprimento. Se a impedância
de entrada é 90 + j 50 , calcule Zc, , s.