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Distância entre ponto e reta no espaço

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Distância entre ponto e reta no R3
Rafael do Lago S. Costa
dolago@discente.ufg.br
Universidade Federal de Goiás - Geometria Analítica
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 1 / 13
Antes de tudo, vamos precisar da seguinte identidade:
• ‖~u × ~v‖2 = (‖~u‖ · ‖~v‖)2 − (〈~u , ~v〉)2
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 2 / 13
Vamos agora construir um paralelogramo de lados formados por dois
vetores ~u e ~v :
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 3 / 13
sinα =
h
‖~u‖
⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A
‖~u‖ · ‖~v‖
cosα =
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
= ±
√
1− sin2α ⇒ 1− sin2α =
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ 1−
[
A
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
=
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ;
Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí:
A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo:
A = ‖~u × ~v‖
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13
sinα =
h
‖~u‖
⇒ h = ‖~u‖ sinα
⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A
‖~u‖ · ‖~v‖
cosα =
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
= ±
√
1− sin2α ⇒ 1− sin2α =
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ 1−
[
A
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
=
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ;
Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí:
A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo:
A = ‖~u × ~v‖
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13
sinα =
h
‖~u‖
⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα
⇒ sinα = A
‖~u‖ · ‖~v‖
cosα =
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
= ±
√
1− sin2α ⇒ 1− sin2α =
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ 1−
[
A
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
=
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ;
Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí:
A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo:
A = ‖~u × ~v‖
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13
sinα =
h
‖~u‖
⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A
‖~u‖ · ‖~v‖
cosα =
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
= ±
√
1− sin2α ⇒ 1− sin2α =
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ 1−
[
A
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
=
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ;
Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí:
A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo:
A = ‖~u × ~v‖
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13
sinα =
h
‖~u‖
⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A
‖~u‖ · ‖~v‖
cosα =
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
= ±
√
1− sin2α ⇒ 1− sin2α =
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ 1−
[
A
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
=
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ;
Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí:
A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo:
A = ‖~u × ~v‖
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13
sinα =
h
‖~u‖
⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A
‖~u‖ · ‖~v‖
cosα =
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
= ±
√
1− sin2α
⇒ 1− sin2α =
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ 1−
[
A
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
=
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ;
Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí:
A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo:
A = ‖~u × ~v‖
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13
sinα =
h
‖~u‖
⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A
‖~u‖ · ‖~v‖
cosα =
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
= ±
√
1− sin2α ⇒ 1− sin2α =
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ 1−
[
A
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
=
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ;
Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí:
A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo:
A = ‖~u × ~v‖
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13
sinα =
h
‖~u‖
⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A
‖~u‖ · ‖~v‖
cosα =
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
= ±
√
1− sin2α ⇒ 1− sin2α =
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ 1−
[
A
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
=
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ;
Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí:
A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo:
A = ‖~u × ~v‖
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13
sinα =
h
‖~u‖
⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A
‖~u‖ · ‖~v‖
cosα =
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
= ±
√
1− sin2α ⇒ 1− sin2α =
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ 1−
[
A
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
=
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ;
Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí:
A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo:
A = ‖~u × ~v‖
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13
sinα =
h
‖~u‖
⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A
‖~u‖ · ‖~v‖
cosα =
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
= ±
√
1− sin2α ⇒ 1− sin2α =
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ 1−
[
A
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
=
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2
;
Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí:
A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo:
A = ‖~u × ~v‖
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13
sinα =
h
‖~u‖
⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A
‖~u‖ · ‖~v‖
cosα =
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
= ±
√
1− sin2α ⇒ 1− sin2α =
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ 1−
[
A
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
=
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ;
Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2
daí:
A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo:
A = ‖~u × ~v‖
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13
sinα =
h
‖~u‖
⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A
‖~u‖ · ‖~v‖
cosα =
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
= ±
√
1− sin2α ⇒ 1− sin2α =
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ 1−
[
A
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
=
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ;
Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí:
A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo:
A = ‖~u × ~v‖
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13
sinα =
h
‖~u‖
⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A
‖~u‖ · ‖~v‖
cosα =
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
= ±
√
1− sin2α ⇒ 1− sin2α =
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ 1−
[
A
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
=
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ;
Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí:
A2 = ‖~u × ~v‖2
; Logo:
A = ‖~u × ~v‖
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13
sinα =
h
‖~u‖
⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A
‖~u‖ · ‖~v‖
cosα =
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
= ±
√
1− sin2α ⇒ 1− sin2α =
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ 1−
[
A
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
=
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ;
Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí:
A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo:
A = ‖~u × ~v‖
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13
sinα =
h
‖~u‖
⇒ h = ‖~u‖ sinα ⇒ A = ‖~u‖·‖~v‖ sinα⇒ sinα = A
‖~u‖ · ‖~v‖
cosα =
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
= ±
√
1− sin2α ⇒ 1− sin2α =
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ 1−
[
A
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
=
[
〈~u , ~v〉
‖~u‖ · ‖~v‖
]2
⇒ A2 = [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 ;
Mas nós sabemos que [‖~u‖ · ‖~v‖]2 − [〈~u , ~v〉]2 = ‖~u × ~v‖2 daí:
A2 = ‖~u × ~v‖2 ; Logo:
A = ‖~u × ~v‖
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 4 / 13
Fizemos isso porque agora, se tivermos um triângulo com dois lados
formados por vetores ~u e ~v , sua área será A4 = 12‖~u × ~v‖.
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 5 / 13
Motivação
Sejam o ponto P = (x0, y0, z0) e a reta
r : X = (x1, y1, z1) + (a, b, c)t sobre um mesmo Espaço:
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 6 / 13
Motivação
Sejam o ponto P = (x0, y0, z0) e a reta
r : X = (x1, y1, z1) + (a, b, c)t sobre um mesmo Espaço:
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 6 / 13
Motivação
Sejam o ponto P = (x0, y0, z0) e a reta
r : X = (x1, y1, z1) + (a, b, c)t sobre um mesmo Espaço:
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 6 / 13
→ Podemos formar um triângulo:
A altura do triângulo será a distância entre P e r :
Rafael do Lago (UFG) Distância entre ponto e reta no R3 7 / 13
→ Podemos formar um triângulo:
A altura do triângulo será a distância entre P e r :
Rafael do Lago (UFG)

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