Tipos de Provas Matemáticas II

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Tipos de Provas Matemáticas II
Questionário
Sobre demonstrações matemáticas, podemos afirmar que:
1. As demonstrações por contradição e por contraposição são o mesmo método e não possuem qualquer distinção entre elas
2. Apesar de semelhantes, as demonstrações por contraposição e contradição se diferem no fato da segunda se basear na negação da hipótese, enquanto a primeira, a negação da tese
3. O método da demonstração por construção só pode ser utilizado no contexto da geometria, pois é pautada essencialmente nas técnicas de construções geométricas
4. Se quisermos demonstrar uma hipótese para um número infinito de possibilidades divididas em uma quantidade finita de casos, devemos usar obrigatoriamente o método da força-bruta
5. O método da demonstração por exaustão só pode usar utilizada se tivermos uma quantidade finita de casos, mesmo que a quantidade de possibilidades seja infinita
É comum que em demonstrações mais elaboradas um matemático utilize diversas técnicas ao longo da demonstração, dividindo-a em etapas. Para a demonstração do teorema de existência e unicidade de soluções das equações ordinárias lineares de primeira ordem, utiliza-se a seguinte estratégia:
i. A partir de uma função inicial, inicia-se um processo de iteração, a fim de construir uma função específica que satisfaz a hipótese e a tese do teorema, provando a sua existência;
ii. Para provar a unicidade, supõe-se que existem duas funções que satisfazem a hipótese e a tese do teorema, a fim de encontrar uma falha lógica nesta suposição.
Dentre as técnicas de demonstração estudadas, podemos afirmar que:
1. A primeira etapa (existência) utiliza a prova por construção, e a segunda etapa (unicidade), a prova por exaustão.
2. A primeira etapa (existência) utiliza a prova por contraposição, e a segunda etapa (unicidade), a prova indireta
3. A primeira etapa (existência) utiliza a prova direta, e a segunda etapa (unicidade), a prova por força bruta
4. A primeira etapa (existência) utiliza a prova por construção, e a segunda etapa (unicidade), a prova por absurdo
5. A primeira etapa (existência) utiliza a prova por contraposição, e a segunda etapa (unicidade), a prova por construção
Observe a seguinte proposição e a sua demonstração:
Proposição: Se n∈ N é tal que n!>(n+1), então n>2.
Prova: Provaremos que n ≤ 2 ⇒ n!≤ n + 1. De fato, se n=1 então 1! = 1 ≤ 1 + 1 = 2, e se n = 2 então 2! = 2 ≤ 2 + 1 = 3. Logo n! > (n + 1) implica em n > 2. ∎
Podemos afirmar que:
1. A demonstração utilizou o método da prova direta
2. A demonstração utilizou o método da contraposição e da força-bruta
3. A demonstração utilizou o método da contradição e da exaustão
4. A demonstração utilizou o método da indução e da força-bruta
5. A demonstração utilizou o método da contraposição e da indução
Para demonstrar uma proposição, um estudante de matemática fez a seguinte argumentação:
Proposição: Se x é um número inteiro e par, então x+5 é um número ímpar.
Prova: Suponha que (x+5) é um número par, isto é, (x+5)=2k para algum k∈ Z. Logo temos que:
x+5=2k ⇒ x = 2k-5x+5=2k⇒x=2k−5 ⇒ x = 2k-2 ⋅ 2-1x=2k−2⋅2−1 ⇒ x=2$(k-2)-1
Isto é, x é um número ímpar, e a proposição é válida.
C.Q.D. A demonstração feita pelo estudante pode ser classificada como:
1. Prova direta
2. Prova indireta
3. Prova por contraposição
4. Prova por construção
5. Prova por exaustão
Em um exercício sobre demonstrações matemáticas, um estudante deveria provar, via contraposição, a seguinte proposição: se x e y são dois inteiros cujo produto é par, então pelo menos um deles precisa ser um número par.
O estudante deu a seguinte argumentação: “Suponha que x e y são ambos números inteiros e ímpares, então temos que:
x ⋅ y = (2k + 1) ⋅ (2p + 1) = 4k ⋅ p +2k + 2p + 1 = 2 (2k ⋅ p +k + p) +1
Como por hipótese x⋅y é um número par, temos então um erro lógico, e sendo assim, a proposição não é válida, e existem inteiros pares tal que o produto entre eles é um número ímpar.”
Sobre a argumentação do estudante, podemos dizer que:
1. O estudante está correto, pois sua demonstração por contraposição foi feita corretamente
2. Apesar da demonstração por contraposição estar correta, o estudante estava equivocado em sua conclusão final, pois a proposição é de fato válida
3. O estudante não fez a demonstração utilizando o método de modo correto, pois ele partiu da negação da tese, mas supôs a hipótese, o que seria uma demonstração indireta. Além disto, a sua conclusão final estava equivocada, pois a proposição é de fato válida
4. O estudante não fez a demonstração utilizando o método solicitado, pois ele realizou uma demonstração indireta. Todavia, a sua conclusão final está correta, pois a proposição de fato possui exceções
5. Uma vez que a demonstração foi realizada com incógnitas x e y representando números, não podemos afirmar nada sobre a paridade dos mesmos ou do produto entre eles, e por conta exclusivamente deste fato, a demonstração para tal proposição não é válida
Em todo triângulo temos que a soma dos ângulos internos é igual a 180º. Observe a seguir a demonstração deste fato da geometria euclidiana:
“Seja ABC um triângulo qualquer. Prolongando os lados B e C pelo vértice A, e traçando uma reta r paralela ao lado BC passando por A. Pelo postulado das retas paralelas, temos que os ângulos transportados em B ̂ e C ̂ formam, junto de A ̂, um ângulo raso, logo a soma dos ângulos internos do triângulo é igual a 180º. C.Q.D.”
Temos que esta demonstração utiliza a técnica de:
1. Prova indireta
2. Prova por construção
3. Prova por contraposição
4. Prova por força-bruta
5. Prova por exaustão