Espalhamento de Rutherford

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1 Prof. Diogo Eduardo - Física 
ESPALHAMENTO DE RUTHERFORD 
EXPERIMENTO DE GEIGER-MORDSEN 
 
 As partículas 𝛼 incidem sobre uma folha de ouro, com espessura 𝜇𝑚, os elétrons tem 
efeito desprezível. 
*partículas 𝛼 - 𝑚𝛼 = 6,64 𝑥 10
−27𝑘𝑔 
Átomo de Ouro (Au) - 𝑚𝐴𝑢 = 3,27 𝑥 10
−25𝑘𝑔 
#2º Caso. 𝑚1 < 𝑚2 onde 𝑚𝐴𝑢 = 38𝑚𝛼 
A massa do elétron é 𝑚𝑒 = 9,11 𝑥 10
−31𝑘𝑔 
1.370 vezes menor que a 𝑚𝛼 – não provoca espalhamento. 
 
EQUAÇÃO DO MOVIMENTO DA PARTÍCULA 𝜶 (alfa) 
𝒎𝟐 ≫ 𝒎𝟏 – ou seja, se 𝛽 =
𝑚2
𝑚1
 – então 𝜷 > 𝟏 
 
Antes da colisão - 𝑚𝛼 está em movimento e 𝑚𝐴𝑢 está em repouso. 
 
 
 
 
 
 
2 Prof. Diogo Eduardo - Física 
- Espalhamento – as duas partículas são positivas – Força Repulsiva – Força Central 
- Sem ação da Força Externa 
- Duas partículas se interagindo entre sí. 
𝑝 − 𝑐𝑡𝑒 
𝑝 = (𝑚1 + 𝑚2)�̇� �̇� = 𝑐𝑡𝑒 − 𝑀𝑅𝑈 𝑜𝑢 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑢𝑠𝑜 
𝐹 = 𝜇. �̇� 𝝁 =
𝒎𝟏+𝒎𝟐
𝒎𝟏.𝒎𝟐
 𝝁 = 𝒎𝟏 = 𝒎 
Pela 2º Lei de Newton, 
1) 𝑚1. �̈�1 =
𝑧1.𝑧2.𝑒
2
|𝑟1−𝑟2 |
3
(𝑟1 − 𝑟2) 
2) 𝑚2. �̈�2 =
𝑧1.𝑧2.𝑒
2
|𝑟1−𝑟2 |
3
(𝑟2 − 𝑟1) 
Obs. 𝒌 = 𝒛𝟏. 𝒛𝟐. 𝒆
𝟐 
𝐹(𝑟) =
𝑘
𝑟2
𝑟 =
𝑘
𝑟2
𝑟
𝑟
=
𝑘
𝑟3
𝑟 
𝒎. �̈� =
𝒌
𝒓𝟑
�⃗⃗�; 𝒎 = 𝒎𝟏 
𝑟 ≈ 𝑟2 – Centro de massa coincide com o núcleo do átomo de Ouro. 
ANALISE DO MOVIMENTO 
𝑲 > 𝟎 – Força Repulsiva. 
𝒗𝒆𝒇 =
𝒌
𝒓
+
𝑳𝟐
𝟐𝒎𝒓𝟐
 𝑳 = 𝒑𝟏. 𝒃 = 𝒎. 𝒃. 𝒗𝟏 
𝒗𝒆𝒇 =
𝒎. 𝒃𝟐. 𝒗𝟏
𝟐
𝟐𝒓𝟐
+
𝒌
𝒓
 
 
 
 
3 Prof. Diogo Eduardo - Física 
𝑟𝑚 – Distância de maior aproximação – ponto de retorno - 𝑉 = 0 
𝐸0 =
1
2
𝑚. 𝑣1
2 + 𝑣𝑒𝑓 =
1
2
𝑚. 𝑣1
2 +
𝑚. 𝑏2. 𝑣1
2
2𝑟2
+
𝑘
𝑟
 
𝑟𝑚 − 𝐸0 = 𝑣𝑒𝑓 
1
𝑟2
+
2𝑘
𝑚.𝑏2.𝑣1
2.𝑟
−
2.𝐸0
𝑚.𝑏2.𝑣1
2 ; 𝐸0 – se conserva 
𝐸0 =
1
2
𝑚. 𝑣1
2 – Antes da colisão 
𝟏
𝒓𝒎
=
𝒌
𝒎. 𝒃𝟐. 𝒗𝟏
𝟐
[−𝟏 ± √𝟏 + (
𝒎. 𝒃𝟐. 𝒗𝟏
𝟐
𝒌
)] 
𝑟𝑚 ≥ 0 – só consideramos a raiz com sinal positivo. 
 
TRAJETÓRIA DA PARTÍCULA 𝜶 – SEÇÃO DE CONICAS 
𝟏
𝒓
= 𝑩 + 𝑨. 𝒄𝒐𝒔𝜽 
𝑲 > 𝟎; 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟏; 𝒓𝒎 − 𝜽 = 𝟎 
1 ponto de energia; 
−𝑨 < 𝑩 < 𝟎 
- Trajetória estará no ramo negativo da hipérbole. 
ÂNGULO DE ESPALHAMENTO 
 
 
 
 
4 Prof. Diogo Eduardo - Física 
HIPERBOLE – RAMO NEGATIVO 
cos 𝛼 =
1
𝜀
; 𝜀 =
𝐴
|𝐵|
; 
𝜃
2
+ 𝛼 =
𝜋
2
 
𝜃
2
=
𝜋
2
− 𝛼 
 
Triangulo retângulo – os valores encontrados – teorema de Pitágoras. 
𝑡𝑔
𝜃
2
=
1
(𝜀2−1)
1
2
 (𝜀2 − 1)
1
2 =
2.𝐸0.𝐿
2
𝑚.𝑘
 
Substituindo: 𝐸0 =
1
2
𝑚. 𝑣1
2 e 𝐿 = 𝑚. 𝑣1. 𝑏 
𝜀2 − 1 =
2.
1
2 . 𝑚. 𝑣1
2. 𝑚2. 𝑣1
2. 𝑏2
𝑚. 𝑘2
 
𝜀2 − 1 =
𝑚2.𝑣1
4.𝑏2
𝑘2
 (𝜀2 − 1)2 =
𝑚.𝑣1
2.𝑏
𝑘
 
Logo; 
𝒕𝒈
𝜽
𝟐
=
𝒌
𝒎. 𝒗𝟏
𝟐. 𝒃
 
Trabalhando a trigonometria; 
𝑡𝑔 (
𝜋
2
− 𝛼) =
𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2 − 𝛼)
cos (
𝜋
2 − 𝛼)
=
cos 𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝛼
= 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 
𝒕𝒈
𝜽
𝟐
= 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝜶 
 
 
Espero ter ajudado