Cálculo Numérico (Resumo)

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0,1875(10) → 0,0011(2) 
O erro de operação, no qual, 
o erro de arredondamento 
𝑅𝐴 =
1
2
∙ 101−𝑡 é tal que, 
|𝐸𝑅𝑜𝑝| < 10
1−𝑡 no trunca-
mento e |𝐸𝑅𝑜𝑝| <
1
2
∙ 101−𝑡 
no arredondamento. Quando 
o número está bem 
representado, seu erro é zero. 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
1. Erros 
 Conversão de base (𝑥(10) → 𝑥(2)) 
Def.: 𝑎𝑚2
𝑚 + 𝑎𝑚−12
𝑚−1 + …+ 𝑎22
2 + 𝑎12
1 + 𝑎02
0 + 𝑎12
−1 + …+ 𝑎𝑛−12
𝑛−1 + 𝑎𝑛2
𝑛 = ∑ 𝑎𝑖 ∙ 2
𝑖𝑚
𝑖=𝑛 , no 
qual, 𝑎𝑖 = 0 ou 𝑎𝑖 = 1 com 𝑚 ∈ ℤ+ e 𝑚 ∈ ℤ−. 
 
Algoritmo
 𝑁 | 2 
 
 𝑟1 𝑞1 | 2 
 
 
 
 
 𝑟2
 
 
 𝑞2
 
 
 
 ⋱ 
 
 
 
 𝑞𝑛−1
 𝑟𝑛−1
 
 |2 
 1
 1
|2
0
 
 ⇒ 𝑁(10) = 1 ∙ 𝑟𝑛−1 ∙… ∙ 𝑟2 ∙ 𝑟1(2) 
Pelo algoritmo de Euclides: 
𝑁 = 2 𝑞1+ 𝑟1
 𝑞1 = 2 𝑞2+ 𝑟2 
𝑞2 = 2 𝑞2+ 𝑟2
⋮
𝑞𝑛−1 = 2 𝑞𝑛+ 𝑟𝑛
 
 
Obs.: 𝑁 ∈ ℤ
Para 𝑁 fracionário, multiplica por 2. A parte inteira deste produto, será o primeiro digito da base 
2. Repete o processo até que a parte fracionária do último produto seja zero. Ex.: 0,1875(10) → 𝑥(2) 
0,1875
 × 2__________
0,3750
↪ (0)
 
0,375
 × 2__________
0,750
↪ (0)
 
0,75
 × 2__________
1,50
↪ (1)
 
1,5
× 2__________
1,00
↪ (1)
 
∴ 
 
 Aritmética de ponto flutuante 
±(0, 𝑑1𝑑2𝑑3…𝑑𝑡)⏟ 
𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑠𝑎
∙ 𝛽⏟
𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑒
1→
0→ , 𝑑 ≠ 0 
𝑒 → expoente (𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑖𝑛𝑓. < 𝑒 < 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠𝑢𝑝.) 
𝑥 = ± [
𝑑1
𝛽
+
𝑑2
𝛽2
+⋯+
𝑑𝑡
𝛽𝑡
] ∙ 𝛽𝑒 
Obs.: O erro ocorre devido as aproximações ou 
truncamentos (cortes). 
 Erro absoluto (𝐸𝐴𝑥) e relativo (𝐸𝑅𝑥)
𝐸𝐴𝑥 = |𝑥 − �̅�| 
 
𝑥 → valor exato 
�̅� → valor aproximado 
𝐸𝑅𝑥 =
𝐸𝐴𝑥
𝑥
=
|𝑥−�̅�|
𝑥
 
Obs.: 𝐹(𝛽, 𝑡, 𝐿𝑖𝑛𝑓, 𝐿𝑠𝑢𝑝) 
Teorema: Em um sistema de aritmética de ponto flutuante de 𝑡 dígitos na base 10, se 𝑥 = 𝑓𝑥 ∙ 10
2⏟ 
�̅�
 + 𝑔𝑥 ∙
10𝑒−𝑡, em que, 0,1 < 𝑓𝑥 < 1 e 0 ≤ 𝑔𝑥 < 1, no truncamento, 𝑔𝑥 ∙ 10
𝑒−𝑡 é desprezado e portanto 
|𝐸𝐴𝑥| < 10
𝑒−𝑡 e |𝐸𝑅𝑥| < 10
−𝑡+1. 
 
 Erro nas operações aritméticas 
Adição 𝐸𝐴(𝑥+𝑦) = 𝐸𝐴𝑥 + 𝐸𝐴𝑦 𝐸𝑅(𝑥+𝑦) = 𝐸𝑅𝑥 (
𝑥
𝑥 + 𝑦
) + 𝐸𝑅𝑦 (
𝑦
𝑥 + 𝑦
) 
Subtração 𝐸𝐴(𝑥−𝑦) = 𝐸𝐴𝑥 − 𝐸𝐴𝑦 𝐸𝑅(𝑥−𝑦) = 𝐸𝑅𝑥 (
𝑥
𝑥 − 𝑦
) − 𝐸𝑅𝑦 (
𝑦
𝑥 − 𝑦
) 
Multip. 𝐸𝐴(𝑥∙𝑦) ≅ �̅�𝐸𝐴𝑦 + �̅�𝐸𝐴𝑥 𝐸𝑅(𝑥∙𝑦) = 𝐸𝑅𝑥 + 𝐸𝑅𝑦 
Divisão 
𝐸𝐴
(
𝑥
𝑦
)
≅
�̅�𝐸𝐴𝑥 − �̅�𝐸𝐴𝑦
�̅�2
 
𝐸𝑅
(
𝑥
𝑦
)
= 𝐸𝑅𝑥 − 𝐸𝑅𝑦 
 
Ex.: 𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0 ⇒
𝑥 = 𝜑(𝑥) = 6 − 𝑥2 é 
uma função de iteração. 
 
A menos por erros de arredondamento 
(truncamento), fornecem a solução 
exata do sistema linear, caso exista. 
2. Cálculo aproximado dos zeros de funções reais 
Teorema: Para 𝑓(𝑥) contínua em [𝑎, 𝑏]; 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑏) < 0, existe ao menos um 𝑥 = 𝜉 ∈ [𝑎, 𝑏]; 𝑓(𝑥) = 0. 
 
 Método da bissecção 
Dada a raiz 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑏) temos as iterações: 
I. 𝑥0 =
𝑎+𝑏0
2
, com {
𝑓(𝑎) < 0
𝑓(𝑏) > 0
 
i. 𝑓(𝑥0) > 0 ⇒ 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑥0) 
ii. 𝑓(𝑥0) < 0 ⇒ 𝜉 ∈ (𝑥0, 𝑏) 
II. Repete a iteração até |𝑎 − 𝑏| < 𝜖. 
 Obs.: O número de interações é 𝑘 >
log(𝑏−𝑎)−log(𝜖)
log 2
 
 Método da falsa posição 
Dada a raiz 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑏) temos as iterações: 
I. 𝑥0 =
𝑎|𝑓(𝑏)|+𝑏|𝑓(𝑎)|
|𝑓(𝑏)|+|𝑓(𝑎)|
=
𝑎∙𝑓(𝑏)−𝑏𝑓(𝑎)
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
 
i. 𝑓(𝑥0) > 0 ⇒ 𝜉 ∈ (𝑎0, 𝑥0) 
ii. 𝑓(𝑥0) < 0 ⇒ 𝜉 ∈ (𝑥0, 𝑏0) 
II. Repete a iteração até |𝑎 − 𝑏| < 𝜖. 
Obs.: 𝜖 é o erro tolerável. 
 
 Método do ponto fixo 
Consiste em transformar uma função em uma função auxiliar equivalente 𝑥 = 𝜑(𝑥) e a partir 
de uma aproximação inicial 𝑥0 gerar a sequência {𝑥𝑘} de aproximações para a raiz aplicando a relação 
𝑥𝑘+1 = 𝜑(𝑥𝑘). 
→ Testa 𝑥𝑘 em 𝑓(𝑥) para verificar se está próxima de zero; 
→ |𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1| = |𝜑(𝑥𝑘−1) − 𝑥𝑘−1| < 𝜖 
 
 Método de Newton-Raphson 
Escolhida uma aproximação inicial 𝑥0, a sequência de {𝑥𝑘} é dada por 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
𝑓(𝑥𝑘)
𝑓′(𝑥𝑘)
. 
Obs.: Testa o resultado na função para verificar a aproximação de zero. 
 
 Método da secante 
 𝜑(𝑥𝑘) =
𝑥𝑘−2𝑓(𝑥𝑘−1)−𝑥𝑘−1𝑓(𝑥𝑘−2)
𝑓(𝑥𝑘−1)−𝑓(𝑥𝑘−2)
 no qual, 𝑥𝑘−1 e 𝑥𝑘−2 são duas aproximações iniciais. 
 
3. Resolução de sistemas lineares (Métodos diretos) 
 
 Eliminação de Gauss
{
 
 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + …+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
 𝑎22𝑥2 + …+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
 
 ⋱ ⋮ ⋮
 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
 
 
Atualização da linha: 
 𝐿𝑖 = 𝐿𝑖 −𝑚𝑖𝑘 ∙ 𝐿𝑝𝑖𝑣ô 
 
Escolha do pivô: 
i. Pivoteamento parcial: escolhe para pivô, o elemento de maior módulo entre os elementos da 
coluna a ser aplicada a eliminação. 
ii. Pivoteamento completo: escolhe para pivô, o elemento de maior módulo entre todos os elementos 
que ainda atuam no processo de eliminação. 
i. Multiplicadores do processo 
de eliminação de Gauss. 
ii. Matriz do final da fase de 
eliminação de Gauss. 
 
Fatores: 
i. 𝑔11 = √𝑎11 
ii. 𝑔𝑖1 =
𝑎𝑖1
𝑔11
 
iii. 𝑔𝑖𝑖 = √𝑎𝑖𝑖 − ∑ (𝑔𝑖𝑘)
2𝑖−1
𝑘=1 
iv. 𝑔𝑖𝑗 =
𝑎𝑖𝑗−∑ 𝑔𝑖𝑘∙𝑔𝑗𝑘
𝑗−1
𝑘=1
𝑔𝑗𝑗
 
𝑚á𝑥|𝑥𝑖
(𝑘+1)−𝑥𝑖
(𝑘)|
𝑚á𝑥|𝑥𝑖
(𝑘+1)|
< 𝜖 
 
Separação da 
diagonal principal. 
Esse método utiliza todos 
os valores 𝑥(𝑘+1) já 
calculados e os valores 
𝑥(𝑘). 
 Fatoração LU
Quando for possível realizar a fatoração 𝐴 = 𝐿𝑈, o sistema linear 𝐴𝑥 = 𝑏 pode ser resolvido fazendo-
se, 𝐶𝑦 = 𝑏 e, em seguida, 𝑈𝑥 = 𝑦. Obs.: Fatora apenas a matriz dos coeficientes pela eliminação de Gauss. 
 
Ex.:
𝐴 = (
1 0 0
𝑚21 1 0
𝑚31 𝑚32 1
)
⏟ 
𝑖
∙ (
𝑎11 𝑎12 𝑎13
0 𝑎22 𝑎23
0 0 𝑎33
)
⏟ 
𝑖𝑖
= 𝐿𝑈 
Teorema: 𝐴 = 𝐿𝑈 é única caso o determinante de todos os menores principais de 𝐴 forem não nulos. 
 
 Fatoração de Cholesky
Teorema: Se 𝐴𝑛𝑋𝑛 for simétrica (𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖), em relação a diagonal principal, e definida positiva 
(menores principais positivos), então existe uma única matriz triangular inferior 𝐺𝑛𝑋𝑛 com elementos 
diagonais positivos, tal que, 𝐴 = 𝐺 ∙ 𝐺𝑡. Obs.: 𝐺𝑦 = 𝑏 ⇒ 𝐺𝑡𝑥 = 𝑦. 
 
Ex.:
(
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
) = (
𝑔11 0 0
𝑔21 𝑔22 0
𝑔31 𝑔32 𝑔21
) ∙ (
𝑔11 𝑔21 𝑔31
0 𝑔22 𝑔32
0 0 𝑔33
) 
 
4. Métodos interativos (sistemas lineares) 
 
 Teste de parada
 
 Método de Gauss-Jacobi
{
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + …+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + …+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + …+ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
⇒
{
 
 
 
 𝑥1
(𝑘+1) =
1
𝑎11
∙ (𝑏1 − 𝑎12𝑥2
(𝑘) − 𝑎13𝑥3
(𝑘) − …− 𝑎1𝑛𝑥𝑛
(𝑘))
𝑥2
(𝑘+1) =
1
𝑎22
∙ (𝑏2 − 𝑎21𝑥1
(𝑘) − 𝑎23𝑥3
(𝑘) − …− 𝑎2𝑛𝑥𝑛
(𝑘))
 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
𝑥𝑛
(𝑘+1) =
1
𝑎𝑛𝑛
∙ (𝑏𝑛 − 𝑎𝑛1𝑥1
(𝑘) − 𝑎𝑛2𝑥2
(𝑘) − …− 𝑎𝑛,𝑛−1𝑥𝑛−1
(𝑘))
 
Onde [𝑥0]𝑡 = (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … , 𝑐𝑛) é uma aproximação inicial. 
 
Teorema: A sequência de iterações {𝑥(𝑘)} é convergente quando ∑
|𝑎𝑘𝑗|
|𝑎𝑘𝑘|
𝑛
𝑗=1 < 1 ou 𝑎𝑘𝑘 > ∑ 𝑎𝑘𝑗
𝑛
𝑗=1 . 
 Método de Gauss-Jacobi
Seja 𝑥(0) uma aproximação inicial, calcula-se 𝑥(1), 𝑥(2), …, 𝑥(𝑘) por: 
{
 
 
 
 𝑥1
(𝑘+1) =
1
𝑎11
∙ (𝑏1 − 𝑎12𝑥2
(𝑘) − 𝑎13𝑥3
(𝑘) − …− 𝑎1𝑛𝑥𝑛
(𝑘)) 
𝑥2
(𝑘+1) =
1
𝑎22
∙ (𝑏2 − 𝑎21𝑥1
(𝑘+1) − 𝑎23𝑥3
(𝑘+1) − …− 𝑎2𝑛𝑥𝑛
(𝑘+1)) 
 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
𝑥𝑛
(𝑘+1) =
1
𝑎𝑛𝑛
∙ (𝑏𝑛 − 𝑎𝑛1𝑥1
(𝑘+1) − 𝑎𝑛2𝑥2
(𝑘+) − …− 𝑎𝑛,𝑛−1𝑥𝑛−1
(𝑘+1))
 
𝑓[𝑥0, 𝑥1] =
𝑓[𝑥1] − 𝑓[𝑥0]
𝑥1 − 𝑥0
 
𝑓[𝑥1, 𝑥2] =
𝑓[𝑥2] − 𝑓[𝑥1]
𝑥2 − 𝑥1
 
𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2] =
𝑓[𝑥0, 𝑥1] − 𝑓[𝑥1, 𝑥2]
𝑥2 − 𝑥0
 
5. Interpolação 
 
Teorema: Dado um conjunto de pontos (𝑥𝑖, 𝑦𝑖), com 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 + 1 distintos em [𝑎, 𝑏], existe um único 
polinômio de grau 𝑛, tal que, 𝑃𝑛(𝑥𝑖) = 𝑦𝑖. Obs.: 𝑃𝑛(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + …+ 𝑎𝑛𝑥
𝑛. 
 
 Método de Lagrange
𝑃𝑛(𝑥) = ∑𝑦𝑛 ∙ 𝐿𝑘(𝑥)
𝑛
𝑘=0
 𝐿𝑘(𝑥) =
∏ (𝑥 − 𝑥𝑗)
𝑛
𝑗=0,𝑗≠𝑘
∏ (𝑥𝑘 − 𝑥𝑗)
𝑛
𝑗=0,𝑗≠𝑘
 
Ex.: interpolação dos pontos 𝑃0(𝑥0, 𝑦0), 𝑃1(𝑥1, 𝑦1), 𝑃2(𝑥2, 𝑦2)
𝑥 𝑥0 𝑥1 𝑥2 
𝑦 𝑦0 𝑦1 𝑦2 
⇒ 𝑃0(𝑥) = 𝑦0𝐿0(𝑥) + 𝑦1𝐿1(𝑥) + 𝑦2𝐿2(𝑥) 
 
𝐿0(𝑥) =
(𝑥 − 𝑥1) ∙ (𝑥 − 𝑥2)
(𝑥0 − 𝑥1) ∙ (𝑥0 − 𝑥1)
 𝐿1(𝑥) =
(𝑥 − 𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥1)
(𝑥1 − 𝑥0) ∙ (𝑥1 − 𝑥2)
 𝐿2(𝑥) =
(𝑥 − 𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥1)
(𝑥2 − 𝑥0) ∙ (𝑥2 − 𝑥1)
 
 
 
 Método de Newton
𝑃0(𝑥) = 𝑑0 + 𝑑1 ∙ (𝑥 − 𝑥0) + 𝑑1 ∙ (𝑥 − 𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥1) + …+ 𝑑𝑛 ∙ (𝑥 − 𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥1) ∙ … ∙ (𝑥 − 𝑥𝑛−1) 
 
𝑑0 = 𝑓[𝑥0] = 𝑦0 
𝑑1 = 𝑓[𝑥0, 𝑥1] =
𝑓[𝑥1] − 𝑓[𝑥0]
𝑥1 − 𝑥0
 
𝑑2 = 𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2] =
𝑓[𝑥1, 𝑥2] − 𝑓[𝑥0, 𝑥1]
𝑥2 − 𝑥0
 
⋮ ⋮ ⋮ 
𝑑𝑛 = 𝑓[𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛] =
𝑓[𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛] − 𝑓[𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛−1]
𝑥𝑛 − 𝑥0
 
 
Ex.: interpolação dos pontos 𝑃0(𝑥0, 𝑦0), 𝑃1(𝑥1, 𝑦1), 𝑃2(𝑥2, 𝑦2)
𝑥 𝑥0 𝑥1 𝑥2 
𝑦 𝑦0 𝑦1 𝑦2 
⇒ 𝑃0(𝑥) = 𝑦0𝐿0(𝑥) + 𝑦1𝐿1(𝑥) + 𝑦2𝐿2(𝑥) 
 
𝑥 
 
 
𝑑0 𝑑1 𝑑2 
𝑥0 
 
 
𝑓[𝑥0] = 𝑦0 
𝑥1 
 
 
𝑓[𝑥1] = 𝑦1 
𝑥2 𝑓[𝑥2] = 𝑦2