Uma (Breve) Introdução à Geometria Plana -- Primeira Edição

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UMA UMA (BREVE)(BREVE) 
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
À GEOMETRIAÀ GEOMETRIA
PLANAPLANA
Leonardo Santos
1ª Edição
Uma Introdução (Breve) à Geometria Plana
Leonardo Santos Barbosa
24 de janeiro de 2022
Introdução à Geometria 2
Prefácio
A ideia principal deste material é trazer uma introdução (breve, mas não de-
masiadamente. . . ) à geometria plana, mas não só comentar as ideias intuitivas,
os princípios, os postulados, teoremas, etc. como também trazer uma noção a
mais ampla possível do início do estudo da geometria. Assunto este que, por
muitas vezes, até por uma questão da logística dos livros didáticos, do tempo
disponível em sala de aula para ministrar o assunto e do valor comercial agre-
gado a uma coletânea de livros, torna-se inviável o aprofundar-se nele e discutir
mais sobre o tema.
Assim, eu quis falar não apenas do “plano” (já que a geometria é plana. . . !)
mas abordar alguns tópicos que envolvem relações com o espaço, justamente
para justificar o “breve” no título do material entre parenteses.
O fato é que há mais do que na maioria dos livros. Não porque este mate-
rial é melhor, mas justamente porque a ideia é dar uma introdução, mas já
preparar o terreno para o estudo de tópicos relacionados à geometria espacial,
por exemplo.
Daí, busquei várias referências de livros conhecidos de muitos alunos e pro-
fessores tais como o famoso “livro do Morgado” (que nem é só dele! Veja [3].) e
o tão difundido “Iezzi” (que ele nem escreveu, mas cuja coleção ficou conhecida
com o seu nome. . . ; veja [1] e [2].) entre outros, tentando sintetizar ao máximo
o conteúdo disponível nesses livros em uma espécie de compêndio, mas acres-
centando observações que considero relevantes para o aprendizado.
Portanto, não espere um livro com uma lógica matemática pesada e formal,
mas um material que procura ter uma linguagem leve e acessível, porém sem
perder a abordagem matemática que o assunto merece. Este é um assunto que,
na maioria dos livros, ou não aparece ou aparece dentro e/ou misturado com
outros não havendo, por consequência, exercćios específicos. Procurei então
preencher este espaço.
i
Introdução à Geometria ii
Não quis trazer um amontoado de postulados, por assim dizer; antes, trazer um
texto que dá autonomia ao aluno pra estudar o assunto e se aprofundar com
outros materiais se quiser e que, ao mesmo tempo, dê ao professor algo que
aborda os principais conceitos relevantes ao estudo inicial da geometria plana
com uma quantidade razoável de exemplos e exercćios simples.
Finalizando, espero que você consiga alcançar seus objetivos (seja você um
aluno ou um professor) e, caso tenha alguma sugestão (qualquer que seja) que
ache acrescentar conteúdo a este material, fique a vontade para enviar pra mim
pelo e-mail leonardosantos.inf@gmail.com.
Um grande abraço e bons estudos.
Leonardo Santos
Sobre o Autor
Leonardo Santos é engenheiro eletrônico e de computação formado pela Uni-
versidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), atuando como professor de mate-
mática e física em diversos cursos preparatórios, tanto pré-vestibulares quanto
pré-militares no Rio de Janeiro.
É também fundador e administrador do site de conteúdo de matemática e
física Curso Mentor (www.cursomentor.com), do canal Mentor no YouTube e
também do perfil do Instagram (@mentorblog_oficial).
Triatleta amador desde 2017.
iii
Introdução à Geometria iv
Como Usar Este Livro
O material está dividido de maneira que se tenha as noções intuitivas e alguns
postulados e, sempre que se faz necessário, um postulado ou conceito novo é
apresentado.
Depois que os principais elementos usados no material são explicitados, temos
as interações (posições relativas) entre esses elementos primitivos, trazendo
sempre que possível alguma observação.
Como se trata de um material envolvendo muitos conceitos iniciais há pou-
cos exemplos resolvidos, no entanto, ao final procurei deixar uma coletânea de
alguns exercícios reunidos de minhas notas de aula e outras fontes que envol-
vem esses conceitos, postulados, ideias primitivas, etc. para que se possa fazer
exercícios o suficiente para apreender, aprender e abordar todo o conteúdo.
Antes de partir para os exercícios, temos um resumo do que foi apresentado.
Após os exercícios, há o gabarito dos mesmos.
Como já dissemos anteriormente a ideia desse material é não só exercitar a
parte mais inicial e intuitiva da geometria plana, já que não há muito mate-
rial (eu, pelo menos, desconheço. . . ) que coloca este conteúdo disponível por
aí, mas também, é servir como uma espécie de apostila para complementar os
livros que não possuam muitos exercícios sobre esse assunto especificamente
e talvez principalmente, exercitar a análise criteriosa de um assunto que vai
formar a base para todo o estudo da geometria.
v
Introdução à Geometria vi
Sumário
1 Introdução à Geometria 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Noções Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Postulados ou Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Posições Relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Gabarito 29
vii
Introdução à Geometria viii
Capítulo 1
Introdução à Geometria
1.1 Introdução
Neste material abordaremos os principais tópicos necessários ao início do estudo
da geometria euclideana (ou euclidiana) básica no plano. Isto é, procuparemo-
nos com apenas figuras contidas em um único plano1.
1.2 Noções Primitivas
São noções adotadas previamente sem definição ou demonstração. Para nós,
três serão as noções primitivas: o ponto, a reta e o plano.
A partir destes “entes” primitivos poderemos definir outros elementos impor-
tantes no estudo da geometria.
Vemos que, mesmo que estes elementos não possuam uma definição eles po-
derão ser associados à figuras do cotidiano, de modo que possamos ter uma
visualização do que representam.
1.2.1 Representação de Ponto, Reta e Plano
Para entender a linguagem de forma clara e precisa, precisamos definir como
representaremos estes entes geométricos primitivos. Em geral, representamos
algebricamente como segue:
• Ponto: letras maiúsculas do nosso alfabeto: A, B, C, . . .
1Na realidade o próprio conceito de “plano” ainda nem foi definido, mas já temos uma
noção intuitiva!
1
Introdução à Geometria 2
• Reta: letras minúsculas do nosso alfabeto: a, b, c, . . .
• Plano: letras minúsculas do alfabeto grego: α, β, γ, . . .
Geometricamente (ou graficamente) representamos os três conceitos como mos-
tram as figuras 1.1, 1.2 e 1.3 a seguir.
A
B
C
Figura 1.1: Três pontos A, B e C representados geometricamente. Os pontos
não possuem dimensões.
Perceba que os pontos da geometria, na verdade, assemelham-se a pontos no
sentido cotidiano comum, como o próprio ponto final desta frase. Assim, é
usual, no início do estudo da geometria nas séries iniciais escolares fazermos
associações do tipo grãos de areia ou estrelas no céu.
Como os pontos não possuem dimensão a ssociação a ser feita dependerá do
contexto. Por exemplo, as estrelas no céu podem se assemelhar a pontos por
estarem distantes da Terra, mas uma observação mais próxima já não permiti-
ria isso.
Exemplo: grãos de arroz, “pontos” feitos com lápis no papel, pequenas pin-
tas na pele são alguns exemplos de representações de pontos.
r
Figura 1.2: Uma reta r representada geometricamente. A reta não possui
largura (nem espessura) e seu comprimento é infinito ao longo de sua direção.
Do mesmo modo que fizemos com os pontos, as retas também possuem repre-
sentação no “mundo real”. Podemos imaginar a reta como uma estrada longa
sem curvas ou mesmo uma linha de transmissão de alta tensão que se estende
por vários quilômetros.
Obviamente nenhum destes elementos é infinito, mas para efeitospráticos, vale
a pena para quem está iniciando o estudo da geometria.
3 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À GEOMETRIA
α
Figura 1.3: Um plano α representado geometricamente. O plano não possui
espessura; apenas largura e comprimento. Ele é infinito em todas as direções.
Mais uma vez, teremos algumas associações com figuras do dia-a-dia. Podemos
imaginar um plano como sendo uma parede bem extensa ou o tampo de uma
mesa grande. Perceba que a associação, novamente, dependerá do contexto.
A mesa, para um pequeno feijão (considerado como um ponto), por exemplo,
parece infinita. Já para uma bola de futebol, não. Todavia, se consideramos
toda a superfície de um campo de futebol, a bola poderá ser considerada um
ponto.
Exemplo: um quadro, um campo de futebol, a superfície de uma parede podem
ser considerados como exemplos de planos.
1.3 Postulados ou Axiomas
São afirmações (ou proposições) assumidas como verdadeiras a princípio e, a
partir das quais, faremos outras afirmações que serão comprovadas ou, como
costumamos dizer, demonstradas, usando estes axiomas iniciais. Podemos en-
tender os axiomas como sendo proposições primitivas. Veremos alguns destes
postulados (axiomas) a seguir.
1.3.1 Postulados de Existência
Os postulados de existência são os seguintes:
• Existem infinitos pontos, infinitas retas e infinitos planos.
• Em uma reta, bem como fora, dela há infinitos pontos;
• Em um plano, bem como fora dele, há infinitos pontos.
A palavra “infinitos” quer dizer “tantos quanto quisermos”. Não há um número
exato, ou seja, não é um “número muito grande”.
Na figura 1.4, a seguir, vemos os pontos A, B, C e D e a reta r. Se um
ponto está na reta, dizemos que ele pertence (∈) à reta. Caso contrário, que
não pertence (/∈).
Introdução à Geometria 4
A
B
C
D
r
Figura 1.4: Os pontos A e B pertencem à r, logo A ∈ r e B ∈ r. Os pontos C
e D não pertencem à reta. Então C /∈ r e D /∈ r.
1.3.2 Postulados de Determinação
Os postulados de determinação são os seguintes:
• Dois pontos distintos determinam uma, e somente uma, única reta;
A
B
r
Figura 1.5: Os pontos A e B distintos (A 6= B) determinam a reta r.
Em notação algébrica temos:
A 6= B,A ∈ r,B ∈ r ⇒ r =
←→
AB
Observação: Quando dizemos que os dois pontos determinam a reta,
queremos dizer que é possível identificá-la unicamente (sem dúvida). A
afirmação “Só podemos construir uma (e somente uma) única reta que
passe por dois pontos distintos.” é equivalente a anterior. Em alguns ma-
teriais didáticos vemos também a afirmação: “Com dois pontos distintos
podemos construir uma única reta, passando por estes pontos”. Tenha
cuidado com este tipo de afirmação. Deve ficar claro se os pontos são
usados simultaneamente ou não.
• Três pontos distintos, que não estejam sobre a mesma reta, determinam
um único plano.
A
B
C
α
Figura 1.6: Os pontos A, B e C distintos e não alinhados determinam o plano
α.
Observação: Isso parece redundante, mas lembre-se que estamos tra-
tando da geometria plana, logo só temos um único plano à nossa dis-
posição. Mais adiante, no estudo de geometria espacial, veremos que é
5 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À GEOMETRIA
bastante necessária essa afirmação. Além disso, incluiremos estas ob-
servações aqui para que sejam vistas já agora e sejam de conhecimento
geral.
Aproveitando que estamos falando da determinação do plano, vamos adiantar
algumas outras situações que também determinam o plano unicamente.
• Duas retas r e s concorrentes definem um único plano α. Ainda não dis-
semos o que significam retas concorrentes, mas veremos isso nas posições
relativas a seguir;
• Duas retas paralelas r e s definem um único plano α que as contêm. Aná-
logo ao anterior, veremos a seguir o que são retas paralelas. Só quisemos
aproveitar a ocasião; e
• Uma reta r e um ponto A, com A /∈ r, definem um único plano α.
Perceba o seguinte: apenas a afirmação sobre os três pontos é um postulado.
As demais podem ser demonstradas usando este ou outros postulados. A figura
1.7 ilustra as afirmações sobre a determinação do plano.
A B C r s
r
s r A
Figura 1.7: Em todos os casos temos um único plano α que atende a todas
estas condições.
Exemplo: mostre que uma reta r e um ponto P que não pertence à r (P /∈ r)
definem (unicamente) um plano α.
Pelo postulado da existência, como existem infinitos pontos, podemos usar dois
pontos A e B distintos pertencentes à r. Como A, B e P são distintos, usamos
o postulado da determinação do plano e temos o plano α tal que {A,B, P} ⊂ α.
1.3.3 Postulado de Inclusão
Se dois pontos distintos de uma reta estão em um plano, então a reta está
inteiramente contida no plano.
Mais uma vez esta afirmação parece “solta”, mas quando tratarmos de ele-
mentos no espaço (geometria espacial) poderemos ter retas em planos distintos
e esta afirmação garante algumas propriedades importantes no futuro. Outra
observação é que usamos a palavra “contida” em lugar de “pertence”. Guarde
esta observação. Voltaremos à ela mais adiante.
Introdução à Geometria 6
1.4 Posições Relativas
1.4.1 Entre Pontos
Dois pontos quaisquer A e B ou são coincidentes (A = B) ou são distintos
(A 6= B), como vemos na figura 1.8.
A = B
A 6= B
Figura 1.8: Dois pontos só podem ser coincidentes ou distintos.
Observação: É comum usarmos, também, a notação A ≡ B (lê-se A é equi-
valente a B) para indicar dois pontos A e B coincidentes.
Veja que, como os pontos não possuem dimensão, eles não podem se intercep-
tar parcialmente. É claro também que podemos ter, por conta disso, infinitos
pontos sobrepostos, ou seja, todos coincidentes.
Observação 2: Muitas vezes, quando no enunciado do problema lemos “dois
pontos A e B” o mesmo quer dizer dois pontos distintos A e B. No entanto, se
lermos no enunciado dois pontos A e B quaisquer, devemos considerar também
a possibilidade de serem iguais (coincidentes).
1.4.2 Entre Ponto e Reta
Já vimos que ou o ponto pertence (∈) à reta ou não pertence (/∈) à ela. Veja a
figura 1.9.
P
Q
r
Figura 1.9: O ponto P ∈ r (pertence à r) e Q /∈ r (não pertence à r).
Podemos dizer também que a reta r passa por P e que a reta r não passa por
Q.
1.4.3 Entre Ponto e Plano
Embora estejamos tratando da geometria plana inicialmente, preferimos, desde
já mostrar estas possibilidades de interação entre os entes primitivos. Como
7 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À GEOMETRIA
vimos nos postulados de existência, dado um ponto P e um plano α ou ponto
está no plano (P ∈ α) ou fora dele (P /∈ α).
β
α
P
Q
Figura 1.10: O ponto P ∈ α e Q /∈ α. Por outro lado, temos Q ∈ β e P /∈ β.
Percebe-se pela própria figura 1.10 que α e β são planos distintos.
1.4.4 Entre Retas
Consideremos duas retas r e s; as retas podem ser:
• Concorrentes: se interceptam em apenas um único ponto; como na figura
1.11:
r
s
P
Figura 1.11: As retas r e s se interceptam no ponto P . Isto é, r ∩ s = {P}.
Observação: Perceba o uso da notação de conjuntos – e de operações
entre conjuntos – para denotar o ponto P .
É importante perceber que, pelo modo como definimos, retas concor-
rentes sempre serão distintas. Além disso, não se esqueça que já vimos
que estas retas definem um plano α.
• Paralelas: estão no mesmo plano (são coplanares) e não se interceptam;
Introdução à Geometria 8
r
s
α
Figura 1.12: As retas r e s não se interceptam e estão contidas no mesmo plano
α. Isto é, r ∩ s = ∅ e r ⊂ α e s ⊂ α.
Ou seja, duas retas paralelas sempre são coplanares. Uma observação
importante: muitas vezes classificamos as retas como paralelas apenas,
mas estamos falando de paralelas distintas.
• Coincidentes: se interceptam em todos os pontos.
r = s
P
Q
Figura 1.13: As retas r e s se interceptam em todos os pontos.
Veja que P ∈ r e Q ∈ r. Então
←→
PQ= r. Do mesmo modo P ∈ s e Q ∈ s.
Então
←→
PQ= s. Portanto, r = s.
Perceba que por conta disso, duas retas coincidentes sempre serão co-
planares.
Outro ponto a considerar aqui é que alguns autores consideram as re-
tas coincidentes também como paralelas; por possuírem exatamente a
mesma inclinação. Portanto, é precisocuidado ao ler o enunciado de um
problema em que temos apenas retas paralelas.
• Reversas: duas retas r e s são ditas reversas se não são coplanares, isto
é, não há um plano único que as contém.
9 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À GEOMETRIA
β
α
r
s
Figura 1.14: As retas r e s são reversas. Não existe α tal que r ⊂ α e s ⊂ α.
Observação: Não basta apenas a afirmação de que estejam em planos
distintos. Elas podem estar em planos distintos, mas não pode haver um
plano que as contém. Ou seja, não podem ser coplanares.
1.4.5 Entre Reta e Plano
Consideremos uma reta r e um plano α. Teremos as seguintes possibilidades:
• A reta r está contida no plano α, isto é, r ⊂ α;
α
r
Figura 1.15: Temos r ⊂ α, portanto há pelo menos dois pontos de r que
pertencem à α.
Como r é subconjunto de α, pois está contida nele, teremos r ∩ α = r.
E não se esqueça: se dois pontos da reta estão em um plano, a reta está
contida no plano.
• A reta r é secante ao plano α, isto é, r não está contida em α, mas há
um ponto P que pertence a r e à α simultaneamente.
Introdução à Geometria 10
α
r
P
Figura 1.16: Se a reta r é secante a α, então teremos r ∩ α = {P}.
Já vimos o postulado de inclusão da reta no plano. Assim, se uma reta r
é secante a um plano α, existe pelo menos um ponto Q de r (Q ∈ r) que
não pertence à α, ou seja Q /∈ α.
Para completar, se a reta r não está contida em α, não é subconjunto de
α, logo r 6⊂ α.
• A reta r e o plano α são paralelos, isto é, não há interseção entre r e α.
α
r
Figura 1.17: Se r e α são paralelos (r ‖ α), então são conjuntos disjuntos de
pontos, logo, r ∩ α = ∅.
Observação: Se r ‖ α então r ‖ s, sendo s uma das retas contidas no
plano α.
1.4.6 Entre Planos
Vamos considerar dois planos α e β. As possíveis posições relativas para dois
planos são:
• Secantes: se dois planos α e β se interceptam, então eles são secantes.
A interseção entre os planos é uma reta r que está contida em ambos os
planos.
Outra observação importante é a seguinte: se dois planos α e β possuem
um ponto P comum, então possuem mais de um ponto comum Q.
11 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À GEOMETRIA
α
β
r
Figura 1.18: Os planos α e β são secantes e sua interseção é a reta r.
Podemos dizer que dois planos são secantes se possuem apenas uma reta
em comum. Na figura 1.18 os planos α e β são secantes e α ∩ β = r.
• Paralelos: dois planos são paralelos se não possuem pontos em comum,
isto é, são conjuntos disjuntos.
α
β
Figura 1.19: Os planos α e β são paralelos e sua interseção é vazia.
Na figura 1.19 os planos α e β são paralelos e α ∩ β = ∅.
Aqui vale mais uma observação. Dois planos α e β são paralelos, se
existem duas retas r e s concorrentes contidas em α, respectivamente
paralelas às retas m e n contidas em β.
• Coincidentes: dois planos são coincidentes se possuem todos os pontos
em comum. Neste caso, podemos dizer que os planos são iguais.
α = β
Figura 1.20: Os planos α e β são coincidentes e sua interseção é igual a um
destes planos.
Introdução à Geometria 12
1.5 Considerações Finais
Para finalizar, vamos considerar, ainda, as seguintes definições, embora já te-
nhamos usado algumas delas de forma quase que intuitiva:
• Figura geométrica é qualquer conjunto de pontos;
• Figura geométrica plana é a figura que possui todos os seus pontos em
um mesmo plano. Lembre-se que inicialmente só estudaremos figuras
geométricas planas.
• Colineares são figuras que estão em uma mesma reta; lembre-se que dois
pontos distintos definem uma única reta, logo dois pontos distintos sempre
são colineares.
• Coplanares são figuras que estão em um mesmo plano. No estudo da
geometria plana, só estudaremos figuras planas e, portanto, coplanares.
• Consideramos o espaço como o conjunto de todos os pontos.
1.6 Resumo
Elementos Primitivos
São o ponto (A,B,C, . . .), a reta (r, s, t, . . .) e o plano (α, β, θ, . . .).
A
r
α
Postulados ou Axiomas
Afirmações consideradas verdadeiras a priori e a partir das quais, demonstramos os teoremas.
• Axiomas de Existência
– Existem infinitos pontos, infinitas retas e infinitos planos.
– Na reta r, bem como fora dela, há infinitos pontos P , ou seja, P ∈ r ou P /∈ r.
– No plano α, bem como fora dele, há infinitas retas e também infinitos pontos.
• Axiomas de Determinação
– Dois pontos P e Q distintos definem uma, e somente uma, reta r representada
por r =
←→
PQ.
– Três pontos distintos A, B e C e não colineares, definem um, e somente um,
plano. Consequentemente:
13 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À GEOMETRIA
∗ Duas retas r e s concorrentes definem um único plano α;
∗ Duas retas paralelas r e s definem um único plano α que as contêm.
∗ Uma reta r e um ponto A, com A /∈ r, definem um único plano α.
• Axioma de Inclusão
– Se dois pontos distintos P e Q pertencem a uma reta r ({P,Q} ⊂ r) e também
pertencem a um plano α, então a reta r está contida no plano, ou seja, r ⊂ α.
Posições Relativas
Observando que elementos colineares pertencem a mesma reta e elementos coplanares per-
tencem ao mesmo plano.
• Entre Pontos
– Dois pontos A e B ou são coincidentes (A = B) ou são distintos (A 6= B).
• Reta e Ponto ou Entre Retas
– Um ponto P pode pertencer a reta r (P ∈ r) ou não pertencer a reta (P /∈ r);
– Duas retas r e s coplanares só podem ser concorrentes em um único ponto
(r ∩ s = {P}), coincidentes (r = s) ou paralelas (r ∩ s = ∅);
r = s
r \ s = fPg
r k s
r \ s = ;
P
A
B
r
s
r
s
– Duas retas r e s não coplanares são chamadas de reversas e possuem sempre
uma única perpendicular comum a ambas;
• Ponto e Plano, Reta e Plano ou Entre Planos
– Um ponto P pode pertencer a um plano ou não, ou seja, P ∈ α ou P /∈ α.
– Uma reta r e um plano α podem ser tais que a reta está contida no plano
(r ⊂ α), a reta r é secante ao plano α (r ∩ α = {P}) ou a reta é paralela ao
plano (r ∩ α = ∅).
α α
α
β
r
s
r
r P
s
– Dois planos α e β podem ser paralelos (α ∩ β = ∅), coincidentes (α = β) ou
secantes (α ∩ β = r).
α = β
α
β
β
α
r
P Q
P Q
Introdução à Geometria 14
1.7 Exercícios
Q1. Qual dos seguintes elementos (objetos) nos dá uma ideia melhor de ponto
(ente geométrico)?
a) A parede da sala
b) O tampo de uma mesa
c) Uma estrela no céu
d) Uma bola de futebol
Q2. Estrelas no céu dão idéia de:
a) Pontos
b) Retas
c) Planos
d) Semirretas
Q3. Assinale a opção que contém uma figura geométrica plana:
a) Cubo
b) Círculo
c) Pirâmide
d) Paralelepípedo
Q4. Marque a alternativa que contém SOMENTE elementos primitivos da
geometria plana.
a) Ponto e ângulo
b) Reta e segmento
c) Semirreta e plano
d) Reta e plano
Q5. O que são noções primitivas? Quais são os conceitos primitivos ado-
tados neste material?
Q6. Analise as afirmativas a seguir:
• Se r é uma reta e α é um plano, então ou r pertence a α ou é paralelo a
α.
• Se uma reta r e um plano α possuem um ponto em comum, então r ⊂ α
ou r ∩ α 6= ∅.
• Se dois pontos de um plano α também pertencem a outro plano β, então
α = β.
• Se A, B e C são três pontos distintos e {A,B,C} ⊂ α e {A,B,C} ⊂ β,
então α = β.
Q7. Analise as afirmativas a seguir:
15 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À GEOMETRIA
• Um conjunto de pontos S é coplanar, se existe um plano α tal que S ⊂ α.
• Se duas retas têm um ponto comum, então não são paralelas.
• Duas retas não paralelas são concorrentes.
• Duas retas r e s quaisquer definem um único plano α.
Q8. Marque a alternativa FALSA:
a) Por um ponto P dado, passam infinitas retas.
b) Por dois pontos distintos passam duas retas, que são coincidentes.
c) Um conjunto de pontos é chamado de colinear quando existe pelo menos
uma reta passa simultaneamente por todos os pontos do conjunto.
d) Três pontos não colineares determinam três planos.
Q9. Duas retas, em um mesmo plano, que não se tocam (não se intercep-
tam) são:
a) Paralelas
b) Opostas
c) Concorrentes
d) Coincidentes
Q10. Assinale a FALSA:
a) Para que um conjunto de pontos seja chamado de coplanar deve existir pelo
menos um plano que passe simultaneamente por todos os pontos do conjunto.
b) Entre dois pontos distintos existe um só ponto.c) Por dois pontos distintos passa uma única reta determinada ou infinitas retas
coincidentes.
d) Duas retas que se interceptam determinam um único plano.
Q11. Assinale a FALSA:
a) Para que um conjunto de pontos seja chamado de coplanar deve existir pelo
menos um plano que passe simultaneamente por todos os pontos do conjunto.
b) Entre dois pontos distintos existem infinitos pontos.
c) Por dois pontos distintos passa uma única reta determinada ou infinitas retas
coincidentes.
d) Duas retas que se interceptam determinam um único plano.
Q12.
“Ideias intuitivas adotadas como verdadeiras a princípio e, a partir
das quais, construímos novos conceitos.”
Isto refere-se a:
a) Teorema
b) Lema
Introdução à Geometria 16
c) Corolário
d) Noções primitivas
Q13. Dois pontos distintos determinam:
a) Um círculo
b) Uma reta
c) Um polígono
d) Uma figura não plana
Q14. Considere as afirmações a seguir:
• Uma reta tem apenas uma extremidade.
• Três pontos distintos sempre são coplanares.
• As possíveis posições para dois pontos quaisquer são distintos ou coinci-
dentes.
Quantas são verdadeiras?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
Q15. Considere as afirmações a seguir:
• Uma reta r tem comprimento infinito.
• Três pontos A, B e C sempre são coplanares.
• As possíveis posições para dois pontos A e B quaisquer são distintos ou
coincidentes.
Quantas são verdadeiras?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
Q16. Pontos em uma mesma reta são:
a) Congruentes
b) Colineares
c) Opostos
d) Distintos
Q17. Quantas retas podem ser traçadas interceptando um único ponto?
17 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À GEOMETRIA
Q18. Dois pontos distintos determinam quantas retas?
Q19. Dois pontos quaisquer são sempre:
a) Congruentes
b) Colineares
c) Opostos
d) Coincidentes
Q20. Dois pontos determinam quantas retas?
Q21. Quais são as posições relativas entre ponto e reta?
Q22. Por um único ponto no plano passam quantas retas distintas?
a) Infinitas
b) Apenas uma
c) Nenhuma
d) Exatamente duas
Q23. Quais são as posições relativas de duas retas?
Q24. Três pontos distintos não colineares determinam quantas retas?
Q25. Se uma figura geométrica tem todos os seus pontos em um mesmo
plano, ela é:
a) Curva
b) Plana
c) Sólida
d) Poliédrica
Q26. Por que dois pontos distintos são sempre colineares?
Q27. Se um mesmo ponto P pertence à duas retas r e s, elas são neces-
sariamente concorrentes?
Q28. Analise as afirmativas:
• Dois pontos sempre são colineares
• Três pontos sempre são coplanares
• Duas retas sempre são coplanares
Quantas são corretas:
a) 0
b) 1
Introdução à Geometria 18
c) 2
d) 3
Q29. Considere 5 pontos sendo 3 deles colineares. Quantas retas podemos
determinar passando simultaneamente por dois destes cinco pontos?
Q30. Quais são as possíveis posições relativas de 3 pontos A, B e C?
Q31. Quais são as possíveis posições relativas de 3 retas r, s e t?
Q32. Considere as afirmações:
“Se um mesmo ponto P pertence à duas retas r e s, elas são neces-
sariamente concorrentes e distintas.”
E
“Se duas retas r e s são concorrentes necessariamente elas têm um
ponto comum.”
Então:
a) a primeira é verdadeira e a segunda, falsa
b) a primeira é falsa e a segunda, verdadeira
c) ambas são verdadeiras
d) ambas são falsas
Q33. Um aluno viu as seguintes afirmações envolvendo retas e os pontos
A e B, no quadro negro em sala de aula:
“Passam infinitas retas por A ou por B.”
E
“É determinada uma única reta por A e por B.”
Quais estão corretas?
Q34. Considere as formas de determinar unicamente o plano abaixo. As-
sinale as que são CORRETAS:
(a) Três pontos distintos não colineares.
(b) Uma reta e um ponto fora da reta.
(c) Duas retas distintas e concorrentes.
(d) Duas retas paralelas e distintas.
19 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À GEOMETRIA
Q35. Verdadeiro ou Falso: Duas retas r e s, distintas, podem ter mais que
um ponto P em comum.
Q36. Assinale a correta:
a) Três pontos podem ser colineares
b) Duas retas sempre são coplanares
c) Três pontos podem não ser coplanares
d) Duas retas coplanares podem não ter ponto comum
Q37. Classifique em (V) ou (F):
(a) Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, a reta está
contida no plano.
(b) Duas retas que possuem um único ponto comum são chamadas de retas
coincidentes.
(c) Duas retas de um plano que não possuem pontos em comum são chamadas
de retas paralelas.
(d) Duas ou mais retas de um mesmo plano são retas reversas.
(e) O paralelepípedo é uma figura plana.
(f) Retas concorrentes são sempre perpendiculares.
(g) A esfera é uma figura não-plana.
Q38. Verdadeiro ou Falso: Se uma reta r não está contida no plano α, não
há dois pontos de r pertencentes a α.
Q39. Observe a figura 1.21 e classifique as sentenças em V ou F:
C
A
B
r s ≡ u
t
α
Figura 1.21
• C ∈ t
• B ∈ (s ∩ r)
• A ∈ t
Introdução à Geometria 20
• t ⊂ α
• s e u são coincidentes
• r e t são concorrentes
• r ∩ s = ∅
• A ∈ α
Q40. Verdadeiro ou Falso: Se r é uma reta, α um plano e r∩α = {P}, sendo
P um ponto, então r 6⊂ α.
Q41. Assinale a Falsa:
a) Se r é uma reta e α um plano com r ∩ α 6= ∅, ou r pertence a α ou r é
paralela à α
b) Chama-se teorema a toda proposição que seja demonstrada por outras afir-
mações anteriores.
c) O conjunto de todos os pontos chama-se espaço.
d) Se uma reta r e um plano α possuem um ponto em comum P , a reta está
no plano (r ⊂ α) ou é secante a ele (r ∩ α = {P}).
Q42. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
(a) Por um ponto passam infinitas retas.
(b) Por dois pontos distintos passa uma única reta.
(c) Uma reta contém dois pontos distintos.
(d) Dois pontos distintos determinam uma e uma só reta.
(e) Por três pontos dados passa uma só reta.
Q43. Para determinar um único plano α, podemos usar:
a) Três pontos quaisquer
b) Uma reta e um ponto qualquer
c) Duas retas com apenas um ponto comum
d) Duas retas paralelas quaisquer
Q44. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
(a) Três pontos distintos são sempre colineares.
(b) Três pontos distintos são sempre coplanares.
(c) Quatro pontos todos distintos determinam duas retas.
(d) Por quatro pontos todos distintos pode passar uma só reta.
21 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À GEOMETRIA
(e) Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares.
Q45. Analise as afirmações a seguir:
• Se r é uma reta, α um plano e r ∩ α = {P}, sendo P um ponto, então
r 6⊂ α.
• Se uma reta r não está contida no plano α, não há dois pontos de r
pertencentes a α.
• Duas retas r e s, distintas, têm apenas um ponto P em comum.
Quantas são Verdadeiras?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
Q46. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
(a) Quaisquer que sejam os pontos A e B, se A é distinto de B, então existe
uma reta a tal que A ∈ a e B ∈ a.
(b) Quaisquer que sejam os pontos P e Q e as retas r e s, se P é distinto de Q
e P e Q pertencem às retas r e s, então r = s.
(c) Qualquer que seja uma reta r, existem dois pontos A e B tais que A é
distinto de B com A ∈ r e B ∈ r.
(d) Se A = B, existe uma reta r tal que A,B ∈ r.
Q47. Por quatro pontos todos distintos, sendo três deles colineares, quantas
retas podemos construir?
Q48. Considere as formas de determinar unicamente um plano α listadas
a seguir.
(i) Três pontos quaisquer não colineares.
(ii) Uma reta e um ponto fora da reta.
(iii) Duas retas distintas e concorrentes.
(iv) Duas retas paralelas e distintas.
Quantas são CORRETAS?
a) Todas
b) Nenhuma
c) Duas
Introdução à Geometria 22
d) Três
Q49. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
(a) Duas retas distintas que têm um ponto em comum são concorrentes.
(b) Duas retas concorrentes têm um ponto em comum.
(c) Se duas retas distintas têm um ponto comum, então elas possuem um único
ponto em comum.
Q50. Um plano fica determinado por:
a) Três pontos
b) Três retas concorrentes em um ponto
c) Três retas paralelas
d) Uma reta e dois pontos quaisquer
e) N.R.A.
Q51. Marque a opção VERDADEIRA:
a) Se duas retas são paralelas, elas não podem estar em um mesmo plano.
b) Duas retas que se tocam são concorrentes.
c) Duas retas concorrentes se tocam em um únicoponto.
d) Duas retas reversas estão em um mesmo plano.
Q52. Marque a opção VERDADEIRA:
a) Há uma única reta que passa simultaneamente por dois pontos.
b) Por dois pontos passam infinitas retas.
c) Não há uma reta que contenha três pontos distintos.
d) Dois pontos nunca serão colineares.
Q53. Marque a opção FALSA:
a) Quatro pontos podem determinar infinitas retas, passando por eles.
b) Quatro pontos podem determinar uma única reta, passando por eles.
c) Quatro pontos podem determinar duas retas distintas apenas, passando por
eles, dois a dois.
d) Quatro pontos podem determinar três retas distintas apenas, passando por
eles, dois a dois.
Q54. Para cada item a seguir, marque verdadeiro (V) ou falso (F) e depois
marque a sequência correta:
• ( ) Podemos definir segmento de reta como sendo a interseção de duas
semirretas;
• ( ) Ponto, reta e plano são ideias primitivas. Entes que possuem defini-
ção;
23 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À GEOMETRIA
• ( ) Como dois pontos distintos determinam uma reta, pode-se indicar a
reta por dois de seus pontos.
De cima para baixo temos a seguinte sequência:
a) VFF
b) VFV
c) FVF
d) VVF
Q55. Uma reta qualquer que passe por dois pontos C e B pode ser re-
presentada por:
a)
−→
CB
b) BC
c)
←→
CB
d)
−→
BC
Q56. Assinale a verdadeira:
a) Se r é uma reta e α um plano, ou r pertence a α ou r é paralela à α
b) Chama-se axioma a toda proposição que seja consequência de outras ante-
riores.
c) O conjunto de todos os pontos chama-se plano.
d) Se uma reta e um plano possuem um ponto em comum a reta está no plano
ou é secante a ele.
Q57. Duas retas coplanares não podem ser:
a) concorrentes
b) paralelas
c) reversas
d) coincidentes
Q58. A, B e C pertencem a um plano α e também a um plano β, é cor-
reto afirmar então que:
a) Se A, B e C são distintos, α = β
b) Se A, B e C são colineares, α = β
c) Se A, B e C distintos e não alinhados, α = β
d) A, B e C sendo quaisquer, os planos podem ser paralelos e distintos
Q59. Para determinar um único plano, podemos usar:
a) Três pontos quaisquer
b) Uma reta e um ponto qualquer
c) Duas retas com pelo menos um ponto comum
d) Duas retas paralelas e distintas
Introdução à Geometria 24
Q60. Considere as afirmativas:
• Se A e B são pontos de um plano situados em semiplanos opostos de-
terminados por uma reta r, então r e a reta AB são necessariamente
concorrentes;
• Se A e B são pontos de um plano situados em um mesmo semiplano
determinado por uma reta r, então r e o segmento AB não possuem
ponto em comum;
• Se A e B são pontos de um plano situados em um mesmo semiplano de-
terminado por uma reta r, então r e a reta AB possuem necessariamente
um ponto em comum.
Quantas são VERDADEIRAS:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
Q61. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F).
(a) Duas retas ou são coincidentes ou são distintas.
(b) Duas retas distintas determinam um plano.
(c) Sejam r e s duas retas tais que r ∩ s = ∅, então r e s são reversas.
(d) Sejam r e s duas retas tais que r e s são reversas, então r ∩ s = ∅.
(e) Se dois planos distintos têm um ponto comum, então eles têm uma reta
comum que passa pelo ponto.
(f) Dois planos secantes têm interseção vazia.
Q62. (EPCAr) Analise as proposições classificando-as como verdadeiras (V)
ou falsas (F).
I) Por um ponto passam infinitas retas.
II) Quaisquer que sejam os pontos P e Q, se P 6= Q, então existe uma reta
r tal que P ∈ r e Q ∈ r.
III) Quaisquer que sejam os pontos A e B e as retas t e u, se A é distinto de
B, e A e B pertencem às retas t e u, então t e u são concorrentes em um
único ponto.
IV) Quatro pontos todos distintos determinam somente duas retas.
25 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À GEOMETRIA
QUANTAS proposições são FALSAS?
a) Apenas uma.
b) Apenas duas.
c) Apenas três.
d) Todas.
Q63. Sobre os elementos primitivos da geometria, assinale a alternativa cor-
reta.
a) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si.
b) Quatro pontos não coplanares determinam quatro planos.
c) Duas retas distintas não paralelas se cortam em um ponto.
d) Três planos distintos sempre se cortam segundo uma reta.
Q64. A respeito das características do ponto, em Geometria, assinale a alter-
nativa correta:
a) O ponto pode ser definido como a menor unidade geométrica e é usado para
definir outras figuras, como retas e planos.
b) O ponto não pode ser definido, mas algumas de suas características podem
ser usadas para diferenciá-lo de outras figuras. Por exemplo, o fato de possuir
apenas uma dimensão garante que não haja medidas possíveis nos pontos.
c) O ponto pode ser definido como o menor espaço entre duas figuras geomé-
tricas.
d) O ponto não pode ser definido e não possui dimensão nem formato, o que
garante a precisão de seu uso nas localizações geográficas.
e) O ponto é o único ente geométrico que não pode ser definido.
Q65. Sobre a formação, as características e o uso das retas, assinale a al-
ternativa correta.
a) As retas são noções primitivas da Geometria que não possuem definição, mas
que apresentam uma única dimensão. Assim, elas permitem que sejam feitas
medidas de comprimento ou largura a partir delas.
b) As retas podem ser definidas como a distância entre dois pontos.
c) As retas podem ser definidas como figuras geométricas que não fazem curva.
d) O número de dimensões que as retas possuem possibilita a construção de
qualquer figura geométrica sobre elas, desde que essa figura seja feita com base
em lados retos. Por exemplo, é possível construir um quadrado sobre uma reta.
e) Segmentos de reta são conjuntos de pontos que possuem início, mas não pos-
suem fim.
Q66. A respeito dos espaços, das dimensões e de suas características, em
Geometria, assinale a alternativa correta.
a) O espaço onde é possível construir retas, semirretas e segmentos de retas
possui apenas uma dimensão e é a própria reta.
b) O espaço onde são construídos os sólidos geométricos possui apenas duas
Introdução à Geometria 26
dimensões.
c) Não é possível construir figuras bidimensionais em espaços tridimensionais.
d) O espaço é infinito para todas as direções, mas sobre ele não é possível cons-
truir objetos que tenham profundidade.
e) O espaço onde não é possível construir um cubo, mas é possível construir
um círculo é o plano.
Referências Bibliográficas
[1] DOLCE, O.; POMPEO, J. N. – Fundamentos de Matemática Elementar
9 – Geometria Plana; Atual; 1997
[2] DOLCE, O.; POMPEO, J. N. – Fundamentos de Matemática Elementar
9 – Geometria Plana; Atual; 2013
[3] MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M; – Geometria I; Francisco
Alves; 1990
[4] OLIVEIRA, M. R. DE; PINHEIRO, M. R. R. – Coleção Elementos da
Matemática 2 – Geometria Plana; VestSeller; 2010
27
Introdução à Geometria 28
Gabarito
Q1. C
Q2. A
Q3. B
Q4. D
Q5. São as noções adotadas como verdadei-
ras a princípio e a partir das quais construí-
mos novas noções. Ponto, reta e plano.
Q6. F – V – F – F
Q7. V – F – F – F
Q8. D
Q9. A
Q10. B
Q11. D
Q12. D
Q13. B
Q14. C
Q15. D
Q16. B
Q17. Infinitas.
Q18. Uma.
Q19. B
Q20. Infinitas se coincidentes e uma única
reta se distintos.
Q21. Ou o ponto pertence à reta ou está fora
dela.
Q22. A
Q23. Concorrentes, coincidentes, paralelas
ou reversas (se estiverem em planos distin-
tos).
Q24. Três retas distintas duas a duas.
Q25. B
Q26. Porque, pelo postulado da determina-
ção, dois pontos definem uma reta.
Q27. Não. Elas podem ser concorrentes ou
coincidentes.
Q28. C
Q29. 8 retas
Q30. Coincidentes (todos), dois coincidentes
e um distinto, os três colineares e todos não
colineares.
Q31. Concorrentes em um único ponto, con-
correntes duas a duas, coincidentes (todos),
duas paralelas e uma transversal, duas coin-
cidentes e uma paralela, três paralelas e duas
coincidentes e uma transversal.
Q32. B
Q33. Ambas estão corretas.
Q34. Todas são corretas.
Q35. F
Q36. A
Q37. São verdadeiras: (a), (c) e (g).
Q38. V
Q39. F, F, V, V, V, V, V, V
Q40. V
Q41. A
Q42.
(a) V
(b) V
(c) V (O ideal seria dizer pontos pertencem
à reta.)
(d) V
(e) F
Q43. C
Q44.
(a) F
(b) V
(c) F
(d) V
(e) F
Q45. C
Q46.
29
Introdução à Geometria 30
(a)V
(b) V
(c) V
(d) V
Q47. 4 retas
Q48. A
Q49.
(a) V
(b) V
(c) V
Q50. E
Q51. C
Q52. A
Q53. C
Q54. B
Q55. B
Q56. D
Q57. C
Q58. C
Q59. D
Q60. B
Q61.
(a) V
(b) F – Podem ser reversas.
(c) F – Podem ser paralelas.
(d) V
(e) V
(f) F – A interseção de dois planos é uma
reta.
Q62. B
Q63. B
Q64. D
Q65. A
Q66. E
Outros títulos do mesmo autor:
Física na EEAr 
Equações
do 2º Grau