Relação entre a Lei de Gauss e a Lei de Coulomb

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PROFA. DRA MARIA ELENICE DOS SANTOS 
 
A RELAÇÃO ENTRE A LEI DE GAUSS (DA ELETRICIDADE) E A LEI DE 
COULOMB 
 
 Nesta aula iremos relacionar a Lei de Gauss para a eletricidade, na sua forma diferencial, com 
a Lei de Coulomb. Ambas são fundamentais para descrever processos elétricos na presença de cargas 
elétricas e, partindo de uma das referidas equações pode se chegar à outra, ou vice-versa. 
 Na sequência mostramos a Equação 01 dita a Lei de Gaussa para a eletricidade na sua forma 
diferencial: 
)01(
0

E

 
 
 Seguido a isso, teremos a Equação 02 dita a Lei de Coulomb: 
)02(ˆ.
.
.
2
21 r
r
qq
kF 

 
 
 Cabe ressaltar aqui que: toda a Física contida na Equação 01 também está contida na Equação 
02, sem perdas. Antes de mostrarmos tal relação cabe aqui fazer um ajuste na Equação 02, como 
segue. 
)03(
4
1
0
k
 
 A Equação 03 nos dá uma relação da constante elétrica mostrada na Lei de Coulomb, com a 
constante de permissividade elétrica (ε0), cujo valor é de mFx /1085,8
12
. 
 Agora, tomando-se a Equação 02 e isolando-se uma das cargas, teremos: 
 
)04(.
4
1
2
2
0
1
r
q
qF



 
 
 A Equação 04 tal qual é mostrada e sem levar em consideração a carga q1, mostra uma relação 
para o campo elétrico gerado por uma carga pontual. A partir daqui, vamos relacionar a Equação 04 
com a Equação 01, provando que ambas as equações estão ligadas e que de uma pode-se chegar à 
outra. 
 Para tal, é necessário imaginarmos que existe uma carga “q” pontual encerrada em um volume 
esférico, localizada no centro da esfera de raio R. A Figura 01 ilustra tal situação, conforme se vê. 
Considerando-se uma carga pontual. Como já foi dito, esta gerará um campo elétrico radial. A efeito 
de exemplo, vamos tomar a carga como positiva. Assim, em toda a superfície da casca esférica 
existirão vetores campos elétricos perpendiculares à superfície (Figura 01). 
 Figura 01: figura ilustrativa de linhas de campo elétrico em uma região do espaço e de uma superfície esférica fechada 
com a representação dos vetores campo elétrico E e dos versores ds mostrando que ambos encontram-se paralelo um em 
relação ao outro 
 
 
 Tratando-se do conceito de fluxo de campo elétrico, este poderá, nas dadas condições, ser 
facilmente calculado. Para tal, voltemos à equação do fluxo ϕE, a Equação 05. 
 
)05( 
S
E
sdE


 
 A Equação 05 é facilmente calculada, pois, em todos os pontos da superfície o versor ds é 
paralelo aos vetores campo elétrico E (Figura 01). Tratando-se de um produto escalar, a interação entre 
cada vetor campo elétrico E e cada versor ds, teremos que o resultado da integral representada na 
Equação 05 será o produto entre o módulo do vetor campo elétrico e a área da superfície, que será: 
 
S
E
sdE


 
)06()4( 2RxE
E


  
OBS.: apenas lembrando-se que a área de uma superfície esférica é dada por 
24 R . 
 Voltando-se aos conceitos que definem a Lei de Gauss para a eletricidade: diz que o fluxo 
dentro da superfície Gaussiana é proporcional à carga inserida na referida Gaussiana, como segue na 
Equação 07. 
)07(
0
 env
Q
 
 Substituindo-se, assim, a Equação 07 na Equação 06, teremos que: 
 
)4( 2RxE
E


 
 
 
)4( 2
0
RxE
Qenv 



 
 
 Isolando-se o campo elétrico, teremos: 
 
)08(
4
1
2
0 R
Q
E env


 
 
 A Equação 08 trata-se da equação para o campo elétrico, a mesma relação verificada a partir da 
Lei de Coulomb, provando que a equivalência entre as Equações 01 e 04 existem.