Vibrações - 2 Graus de Liberdade

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
LABORATÓRIO 2
SISTEMA VIBRATÓRIO DE UM GRAU DE LIBERDADE
PROFESSOR: FRANCISCO PAULO LÉPORE NETO
ALUNO: PEDRO HENRIQUE DEMÉTRIO ABRÃO
MATRÍCULA: 12122EMC011
UBERLÂNDIA
2021
1. INTRODUÇÃO
Vibração mecânica é o movimento de uma partícula ou de um corpo que oscila em torno de uma posição de equilíbrio. Uma vibração mecânica surge geralmente quando um sistema é deslocado da sua posição de equilíbrio estável, e são provocados por excitações externas ao sistema como forças e momentos.
Um sistema vibratório é formado por componentes físicos que são utilizados como aproximações do sistema real, o chamado sistema massa-mola-amortecedor. A função de cada um dos componentes é:
i. Massa/Inércia – Responsável por armazenar energia cinética; 
ii. Mola/Rigidez – Responsável por armazenar energia potencial elástica;
iii. Amortecedor – Dissipa energia mecânica.
Figura 1.0 - Sistama massa-mola-amortecedor.
Os movimentos desses componentes ocorrem preferencialmente em algumas direções que determinam os graus de liberdade do sistema. Sistemas que possuem apenas um grau de liberdade tem movimento predominante em apenas uma direção, como pode ser visto na figura anterior.
2. OBJETIVOS
O principal objetivo deste laboratório é estudar o comportamento dinâmico do sistema vibratório e identificar suas propriedades físicas, massa, rigidez e amortecimento. Para isso, é preciso estudar o movimento do sistema para diferentes tipos de excitação.
i. Movimento livre do sistema;
ii. Movimento provocado por excitação harmônica com diferentes frequências;
iii. Movimento provocado por excitações aleatórias e impulsivas;
iv. Comparar a eficiência dos diferentes métodos de ensaio utilizados (FRF’s);
v. Estudar o comportamento do sistema vibratório na região da ressonância.
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
3.1. MODELO FÍSICO DO SISTEMA
O modelo físico do sistema pode ser visualizado a seguir. Dela, pode-se observar que o modelo físico da estrutura vibratória é formado por quatro lâminas paralelas entre si, de aço inoxidável, que são responsáveis por sustentar uma placa, sendo essa tratada como rígida.
Figura 3.1 – Esquemático da mesa vibratória.
As lâminas podem ser tratadas como molas, sua rigidez depende do material do qual são feitos e de suas propriedades geométricas, além disso sua massa, por ser pequena comparada a massa da placa rígida, é desconsiderada. As quatro lâminas em paralelo representam a rigidez do sistema a inércia do sistema é representada pela placa rígida e o amortecimento se resume à iteração da estrutura com o ar.
Adotando o referencial para o modelo proposto, o sistema deve ter 6 graus de liberdade, as translações nos eixos e as rotações . Entretanto, uma análise feita no sistema comprova que apenas a translação no eixo x é relevante, ou seja, o sistema possui apenas um grau de liberdade. 
A análise dos graus de liberdade efetivos será demonstrada a seguir. Assumindo as hastes flexíveis como sendo engastada-livre.
L
b
h
Figura 3.2 – Haste engastada-livre.
Atribuindo valores arbitrários para as propriedades geométricas e físicas da viga , podemos calcular a rigidez nas três direções:
Dessa forma a rigidez na direção é menor que nas demais direções. Considerando o regime elástico das hastes flexíveis, a lei de Hooke pode ser aplicado para avaliar o comportamento de toda a estrutura. Logo, visto que as diferentes rigidezes apresentam uma significativa diferença entre si, para uma mesma força, os deslocamentos obtidos nas direções são praticamente nulas se comparadas com a direção 
3.2. MODELO MATEMÁTICO DO SISTEMA
Considerando que o sistema vibratório apresenta um grau de liberdade, sendo este associado à translação da placa rígida na direção do eixo , do sistema de coordenadas. Com isso, para efeitos de cálculos, o modelo físico pode ser simplificado como o apresentado na Fig. 4.2.1., onde representa a rigidez equivalente, associada as quatro lâminas flexíveis, representa o coeficiente de amortecimento viscoso devido à interação com o ar, denota a massa associada à placa rígida e , um esforço externo aplicado sobre o sistema.
 
Figura 3.3 – Modelo simplificado do sistema vibratório.
A equação que representa o modelo matemático do comportamento do sistema pode ser obtida através do emprego da segunda lei de Newton. Para isso é necessário analisar o diagrama de corpo livre da estrutura em estudo, como visto na Fig. 4.2.2.
Figura 3.4 – Diagrama de corpo livre do sistema.
	 Aplicando a segunda lei de newton na direção :
	Logo, 
Onde, é o deslocamento da estrutura, logo denota sua velocidade e a aceleração.
3.2.1. MOVIMENTO LIVRE SEM AMORTECIMENTO 
Assumindo que excitações externas e a forças de amortecimento são nulos, assim a equação do movimento toma a seguinte forma:
Dessa forma a equação do movimento é caracterizada como uma equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem. Admitindo uma solução harmônica do tipo: 
 
Onde, 
Substituindo a equação da aceleração na equação do movimento, temos:
Assim,
Sabendo que para qualquer , o não é zero, caso contrário não existiria movimento. 
A vibração livre, na ausência de amortecimento, só se torna possível quando ocorre em uma frequência natural dada por . A solução harmônica completa pode ser expressa, da seguinte forma:
Onde A e B são constantes dependentes das condições iniciais. 
Para as condições iniciais quando 
E,
Assim, a solução da equação do movimento livre, sem amortecimento, é dada:
3.2.2. MOVIMENTO LIVRE COM AMORTECIMENTO 
Assumindo que apenas as forças de excitação externa sejam nulas. A equação do movimento descrita anteriormente passa a ser da seguinte forma: 
Assim como para o caso anterior, a equação para o movimento livre com amortecimento é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Admitindo uma solução harmônica do tipo: 
Onde,
Substituindo as equações da velocidade e aceleração na equação do movimento, temos:
Dessa forma, não se trata de um movimento harmônico. Logo, a solução é do tipo: 
Onde,
Substituindo na equação do movimento:
Logo, para que exista movimento:
Calculando as raízes do polinômio de grau dois, temos:
Dependendo do valor de Δ, as raízes podem assumir valores reais e distintos (Δ > 0), valores reais e idênticos (Δ = 0) e valores complexos conjugados (Δ < 0). 
Se Δ = 0, é possível obter uma relação adimensional que define o amortecimento do sistema, denominado coeficiente de amortecimento (ζ). Dado por:
Quando = 1 o sistema se situa no limite entre um movimento oscilatório e um movimento não oscilatório, daí o movimento é dito com amortecimento crítico. Caso > 1 o movimento é dito superamortecido. E caso < 1 o movimento é dito sub-amortecido.
Escrevendo as equações em termos de , para verificar a influência das propriedades na vibração do sistema. Tomando como o coeficiente de amortecimento do ar, caso exista um amortecedor viscoso instalado na estrutura o coeficiente passará a ser representado por que é o amortecimento resultante entre a iteração fluido-estrutura e o amortecimento viscoso.
Logo,
Onde,
Portanto:
Para , a solução pode ser reescrita da seguinte maneira:
Aplicando as condições iniciais tem-se que:
Já para o caso a solução é:
Aplicando as condições iniciais:
Por fim, se , a solução pode ser reescrita como:
Onde, 
Aplicando as condições iniciais:
3.2.3. EXCITAÇÃO HARMÔNICA
Quando existe uma excitação externa aplicada ao sistema, equação do movimento ou modelo matemático do sistema é dada da seguinte forma:
Caso a excitação externa aplicada for do tipo harmônica, a força de excitação é expressa da seguinte forma:
Dessa forma,
Em termos de :
Sendo a excitação um harmônico com ω de argumento, x(t) também será harmônica. Assim a solução da EDO é uma função do tipo 
Onde,
Substituindo a função e suas derivadas na equação do movimento,temos:
Para, ;
Multiplica-se o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
	Logo, temos:
Pode-se também determinar módulo e fase da relação , onde representa a saída do sistema, amplitude do movimento e a entrada, ou excitação.
O cálculo das FRF’s é realizado quando se sabe que uma função do tipo:
Onde,
Logo,
Em módulo e em fase, temos:
	E,
4. ENSAIOS REALIZADOS
4.1. EQUIPAMENTO UTILIZADOS
4.1.1. ANALISADOR DE SINAIS – Spectral Dynamics – SD 380
Equipamento responsável por analisar sinais e os seus respectivos espectros. O analisador recebe os sinais a serem analisados por canais analógicos, na sequência o sinal é tratado de acordo com a necessidade do estudo, para isso o sinal analógico é convertido em sinal digital. Após a conversão do sinal, é possível trabalhar com funções do próprio analisador, dentre elas estão funções matemáticos e estatísticos.
Figura 4.1 – Analisador de sinais SD-380.
4.1.2. SISTEMA DE EXCITAÇÃO – Brüel & Kjær
O sistema de excitação é composto por um gerador de sinais, um amplificador de potência e de um excitador eletrodinâmico conhecido, também chamado de Shaker. 
No gerador de sinais é possível configurar o sistema para excitações diversas, harmônicas, sinais aleatórios (White noise), impulsos. O sinal gerado é amplificado, pelo amplificador de potência, que irá aplicar o sinal sobre o excitador, que por sua vez é responsável por vibrar a mesa.
Figura 4.2 – A esquerda; amplificador de sinais e o gerador de sinais. A direita; excitador eletrodinâmico.
4.1.3. CONECTORES E CABOS
.
Para realizar a montagem do experimento são necessários cabos elétricos, para alimentação e comunicação. Para a alimentação, são utilizados cabos do tipo P-10, já para a coleta de dados e controle, são utilizados cabos BNC e BCN.
(a) (b) (c)
Figura 4.5 – Cabos com conectores P-10 (Figura 3.6a); cabos coaxiais com conectores BNC (Fig. 3.6b); conectores BCN (Fig. 3.6c).
Fonte: Manual do fabricante.
4.1.4. MESA VIBRATÓRIA 
A mesa é confeccionada para permitir movimentos apenas em uma direção, caracterizando assim um sistema de um grau de liberdade. Para que isso seja verdade, a mesa é apoiada por quadro vigas bi engastadas, nas suas extremidades. 
Figura 4.6 – Mesa vibratória.
4.1.5. SISTEMA DE MEDIÇÃO – Brüel & Kjær 
O sistema de medição é composto por um instrumento para a medição da aceleração, ou acelerômetro e um condicionador de sinais. O seu objetivo é coletar os dados de aceleração do sistema, converter o sinal (Mecânico para elétrico) e amplificar, de forma a ser compatível com sistemas de aquisição de dados e com o micro. 
Figura 4.7 – A esquerda; acelerômetro. A direita; condicionador de sinais.
4.2. METODOLOGIA
4.2.1. MOVIMENTO LIVRE
O primeiro tipo de movimento estudado foi aquele livre. Nesta etapa de ensaios, o procedimento adotado é:
1. 	Instalar o acelerômetro para medir o movimento do grau de liberdade do sistema que, inicialmente, não apresenta amortecedor viscoso instalado. A sensibilidade de 1,92 pC/(m/s²) é ajustada no amplificador de carga ao qual o acelerômetro é conectado. O ganho do mesmo é então ajustado para 100 mV/(m/s²). A saída do amplificador de carga não é conectada ao canal de entrada A do analisador de sinais SD380, ajustado para operar no modo GRP TIME, TIME & SPEC, RT;
1. 	Aplicar condições iniciais diversas e verificar o movimento exibido pelo sistema. A frequência natural é medida através do espectro do sinal;
1. 	Adicionar uma massa conhecida de valor e medir o novo valor da frequência natural, pelo espectro do sinal. Outra massa de valor é adicionada novamente, e o novo valor para a frequência natural do sistema é medido. Através destes valores de frequência natural é possível estimar a massa do sistema;
1. 	Instalar o amortecedor viscoso ao sistema vibratório entre a massa da plataforma e uma coluna fixada à mesa inercial na qual o conjunto encontra-se instalado. É aplicadas as condições iniciais ao sistema e observada o tipo de resposta medida pelo sistema de aquisição e análise de dados. Utilizando recurso do analisador de sinais SD380, o gráfico da resposta temporal é exportado para um microcomputador, a partir do qual é estimado, o valor do fator de amortecimento do sistema;
1. 	Medir as dimensões das lâminas que compõem a suspensão da placa rígida. A partir destas, a constante elástica equivalente das 4 lâminas associadas em paralelo e que constituem a suspensão do sistema vibratório é avaliada.
(a) Montagem relativa aos procedimentos a e b;
(b) Montagem relativa ao procedimento c;
(c) Montagem relativa ao procedimento d.
Figura 4.8 - Esquemas das montagens realizadas para medição dos movimentos livres sem (a) e com (c) amortecimento e estimativa da frequência natural do sistema (b).
4.2.2. EXCITAÇÃO HARMÔNICA
Depois de realizados ensaios de movimento livre do sistema com e sem amortecimento, o sistema é excitado por forças de natureza harmônica. Assim:
1. 	O sistema de excitação e a célula de carga são instalados no sistema, esta última entre o sistema de excitação e a placa rígida. O sinal da força, proveniente de um amplificador de carga ao qual é ligada a célula de carga, é ligado ao canal A do analisador de sinais SD380. O sinal da aceleração, por outro lado, é conectado ao canal B do mesmo equipamento. O analisador de sinais é então ajustado para o modo GRP TIME, 2CH TIME, RT. O sistema de excitação é ajustado para produzir um sinal do tipo harmônico, e a sensibilidade do sistema de medição da aceleração permanece inalterada com respeito à primeira etapa do procedimento experimental, enquanto o amplificador de carga associado à célula de carga é ajustado para 3,47 pC/N, com ganho de 100 mV/N;
1. 	A frequência do sinal harmônico no gerador de sinais é ajustada. As amplitudes da força e da aceleração, bem como sua defasagem são medidas. Também é observado o comportamento dos sinais no domínio da frequência pelo ajuste do analisador de sinais para o modo GRP SPEC, 2CH SPEC, RT;
1. 	Alterar as configurações do analisador de sinais para que operasse no modo de médias. O número de amostras para realização deste procedimento é ajustado, e para a frequência é ajustado para valores de banda no gerador de sinais, com valores refinados para a região de ressonância do sistema vibratório considerado. Quanto ao analisador de sinais SD380, duas configurações são utilizadas. No modo GRP SPEC, 2CH SPEC, AVG, as amplitudes da força e da aceleração são medidas. No modo GRP TF, |TF| e , AVG, a amplitude da função de transferência do sistema e a defasagem entre os sinais de saída e de entrada são medidas. 
1. 	Calcular os valores da relação entre as amplitudes do deslocamento e da força, bem como a defasagem entre estas entidades, a partir dos dados obtidos pelo procedimento descrito anteriormente. Ainda, a curva da função de resposta em frequência do sistema pode ser construída em vários formatos, quais sejam sob a forma dos gráficos de Bode, do diagrama de Nyquist, e das partes real e imaginária x frequência;
1. 	Determinar, a partir de dados coletados para a região da ressonância, o fator de amortecimento e a frequência natural do sistema;
1. 	Através de um método de ajuste de curvas, é possível determinar a rigidez, o fator de amortecimento e a massa do sistema, tomando por base aqueles dados coletados no procedimento descrito no item c.
Figura 4.9 - Esquemas das montagens realizadas para medição dos movimentos.
4.2.3. EXCITAÇÃO ALEATÓRIA
Após as duas etapas consideradas anteriormente, o sistema vibratório de um grau de liberdade foi excitado por forças aleatórias. O procedimento adotado, neste caso foi o de:
1. 	Ajustar o analisador de sinais para que operar no modo GRP TIME, 2CH TIME, RT, e o gerador de sinais para produzir uma força aleatória do tipo ruído branco com banda de frequências de 2 Hz a 2 kHz. Ressalta-se que, como no caso apresentado anteriormente, para excitação do tipo harmônica, o sistemade excitação deve estar corretamente posicionado e instalado, assim como a célula de carga, que deve ser posicionada entre o sistema de excitação e a mesa vibratória considerada. Além disso, o sinal da força proveniente do amplificador de carga associado à célula de carga deve ser dirigido ao canal de entrada A do analisador de sinais SD380, enquanto aquele proveniente do amplificador de carga ao qual está conectado o acelerômetro deve ser enviado ao canal de entrada B do mesmo equipamento de análise de sinais;
1. 	Observar os sinais da força e da aceleração, tentando identificar diferenças entre suas representações no domínio do tempo, para diferentes valores para o fundo de escala de frequência (valor de FR). Após, alteração do modo de operação do analisador SD380 para GRP SPEC, 2CH SPEC, RT, para analisar os espectros dos sinais correspondentes à força e à aceleração;
1. 	Ajustar o analisador de sinais SD380 para operar no modo GRP TF, com utilização da memória AVG. O número de amostras para realização de média é ajustado. Num primeiro momento, considera-se a representação da amplitude da função de transferência e a defasagem entre as grandezas físicas mensuradas (representação da função de resposta em frequência por gráficos de Bode), bem como a coerência entre os sinais medidos. Em seguida, o modo de display é ajustado para REAL & IMAG, permitindo a análise da FRF na região da ressonância. Posteriormente, com o modo de display modificado para UPPER/LOWER, a representação da FRF do sistema pelo diagrama de Nyquist é observada e, a partir da mesma, é medida a frequência de ressonância do sistema;
1. Transferir os dados da função de transferência, em módulo, fase e coerência, para um microcomputador. 
Célula de carga
Acelerômetro
Amplif. de potência
Gerador de sinais
Figura 4.10 - Ilustração esquemática da montagem realizada para medição dos movimentos oriundos de excitação do tipo aleatória.
4.2.4. EXCITAÇÃO TRANSITÓRIA-IMPULSIVA
Por fim, o último procedimento experimental considerado, está relacionada à excitação deste último a partir de uma força de natureza transitório-impulsiva. Para isso:
1. 	Remover sistema de excitação, formado pelo conjunto do gerador de sinais, do amplificador de potência e do excitador (shaker);
1. 	Ajustar o amplificador de carga para a sensibilidade do martelo de impacto utilizado, qual seja a de 4,08 pC/N. Além disso, um ganho de 100 mV/N é selecionado no mesmo amplificador de carga;
1. 	Ajustar o analisador de sinais SD380 para que opere no modo GRP TIME, 2CH TIME, RT, com trigger no modo externo repetitivo. O sinal proveniente do amplificador de carga ao qual estava conectada a célula de carga presente no martelo de impacto é enviado ao canal de entrada A do analisador. Por outro lado, a saída do outro amplificador de carga, que se encontrava conectado ao acelerômetro, é ligada ao canal de entrada B daquele equipamento. Impactos com o martelo são realizados e pôde-se observar os sinais da força e da aceleração no domínio do tempo;
1. 	Ajustar o analisador de sinais SD380 para que opere no modo GRP SPEC, 2CH SPEC, RT, com trigger no modo externo repetitivo. É observado os espectros dos sinais da força e da aceleração;
1. 	Com o analisador SD380 operando no modo GRP TF, e para um número de amostras igual a 30 para realização de média, impactos são aplicados à mesa vibratória. A subseção 4.2.3 é outra vez realizada, desta vez para o sinal cuja natureza é transitório-impulsiva.
Célula de carga
Acelerômetro
Figura 4.11 – Ilustração esquemática da montagem realizada para medição dos movimentos oriundos de excitação do tipo impulsiva.
5. ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
A seguir são apresentados e discutidos os resultados obtidos. 
5.1. MOVIMENTO LIVRE
Através da aplicação de condições iniciais sobre a mesa vibratória, foi constatada a natureza harmônica do movimento. Para baixas frequências de aquisição, contudo, um leve decaimento das amplitudes evidencia a presença de amortecimento no sistema, devido à interação com o ar. Para uma frequência máxima observável de , foi possível constatar que a frequência natural do sistema é de Hz, com incerteza de ±0,125/2 Hz, medida pelo espectro do sinal.
Utilizando o mesmo fundo de escala para a frequência máxima observável, uma massa conhecida é adicionada, Kg, por consequência, a frequência natural do sistema é deslocada, alterando seu valor para Hz. Através destes valores de frequência natural e de massa adicionada, é possível estimar o valor da massa do sistema. Para tanto, percebendo que a rigidez do sistema mantém inalterada durante o procedimento realizado:
Dessa forma:
Portanto, Kg é a massa da estrutura. Com posse de informações a respeito da frequência natural, obtida no espectro de frequência do SD380 e da massa do sistema, é fácil obter a rigidez equivalente. 
Dessa forma, através do método dinâmico, a rigidez equivalente da estrutura possui o valor de , entretanto, o mesmo parâmetro pode ser obtido analiticamente. Para tal, assumindo novamente as hastes na configuração engaste-livre conforme, é necessário determinar suas dimensões geométricas (mediante uso de um paquímetro. Portanto, através de alguns conceitos de mecânica dos sólidos obtida. 
Tabela 1 - Dimensões geométricas das hastes.
	Parâmetros Geométricos
	Dimensão [mm]
	L
	63 ± 0,025
	B
	22,65± 0,025
	H
	0,78 ± 0,025
	
De acordo com os conceitos da mecânica dos sólidos, a rigidez de uma haste flexível nessa configuração pode ser estimada pela seguinte equação:
Onde é o módulo de elasticidade do material, possuindo , uma vez que a haste é construída em aço. Já denota o momento de inércia na direção , podendo ser obtido mediante . Logo:
Para determinar a rigidez equivalente basta fazer a associação em paralelo das quatro hastes, dessa forma:
Nota-se que os valores obtidos são distinto, esse fato pode ser explicado devido à erros cometidos na aquisição dos sinais e estimação da frequência natural, erros e incertezas de medição nas dimensões das lâminas e diversas outras fontes de erros, como limitação em realizar um engaste perfeito e aproximações numéricas nos cálculos realizados. Em seguida é adicionado um amortecimento viscoso à estrutura, o comportamento da estrutura. É possível notar como o amortecimento influência de forma significativa no comportamento da estrutura, dissipando à energia de vibração a cada ciclo vibratório, fenômeno notado pela redução nas amplitudes de vibrações a cada período.
Através do código computacional em MATLAB®, presente no ANEXO A, foi possível identificar os pontos de amplitude máxima da resposta oscilatória. Assim, o valor do fator de amortecimento pôde ser estimado através do método do decremento logaritmo e por um método de ajuste de curvas.
Figura 5.1 - Gráficos temporal e espectro de frequências do sistema livre amortecido.
O fator de amortecimento do sistema pode ser calculado de duas formas, a primeira delas é através do método do decremento logaritmo e a segunda através de um ajuste de curvas por um modelo exponencial decrescente.
Figura 5.2 – Amplitudes de pico.
O método do decremento logaritmo leva em consideração a taxa de decaimento da amplitude de dois picos consecutivos do sinal. Sendo o decremento logaritmo e os valores dos picos consecutivos.
Tabela 2 - Valores utilizados para estimativa do coeficiente de amortecimento
	Amplitudes 
dos picos
	
	
	
	0,8203
	-
	-
	-
	0,7685
	1,0674
	0,0652
	0,0104
	0,7278
	1,0559
	0,0544
	0,0087
	0,6793
	1,0714
	0,0690
	0,0110
	0,6433
	1,0560
	0,0545
	0,0087
	0,6008
	1,0707
	0,0683
	0,0109
	0,5694
	1,0552
	0,0537
	0,0086
	0,5356
	1,0631
	0,0612
	0,0097
	0,5052
	1,0602
	0,0585
	0,0093
	0,4770
	1,0591
	0,0574
	0,0091
	Média
	0,0096
	Desvio Padrão
	
O método de ajuste de curvas citado anteriormente, é baseado na aproximação dos picos através de uma função. Opta-se pelo ajuste através de uma função exponencial devido ao comportamento do decaimento mostrado no gráfico temporal. Assim, é possível determinar ofator de amortecimento do sistema. No caso em questão o fator de amortecimento encontrado foi .
Figura 5.3 - Resposta livre do sistema vibratório quando na presença de amortecimento.
5.2. EXCITAÇÃO HARMÔNICA
Para o movimento excitado por força harmônica, inicialmente, no domínio do tempo, foram medidas as amplitudes pico e o tempo de pontos homólogos entre os sinais de força e de aceleração para três frequências distintas de excitação. A mesma traz ainda a defasagem entre os sinais, obtidos a partir de:
	
Outros dados foram medidos para o movimento da mesa vibratória, mas desta vez nos modos de operação do analisador de sinais SD380 configurados para GRP SPEC e GRP TF e com realização de média para 30 amostras.
Tabela 4 - Dados colhidos no domínio da frequência para movimento devido à excitação harmônica.
	 [Hz]
	Amplitudes Pico [V]
	
	 [°]
	
	 [°]
	
	A
	F
	
	
	
	
	10
	0,094
	0,503
	0,185
	178,0
	0,0496
	-2,00
	15
	0,294
	0,174
	1,69
	174,0
	0,1903
	-6,00
	16
	0,359
	0,047
	7,63
	159,0
	0,755
	-21,0
	16,25
	0,381
	0,0166
	22,70
	108,0
	2,177
	-72,0
	16,375
	0,385
	0,0207
	18,60
	47,6
	1,757
	-132,4
	16,5
	0,399
	0,0369
	10,80
	26,6
	1,0048
	-153,4
	17
	0,474
	0,115
	3,74
	8,0
	0,3278
	-172,0
	18
	0,507
	0,298
	1,70
	2,69
	0,1329
	-177,31
	20
	0,601
	0,659
	0,913
	0,894
	0,0578
	-179,1
	30
	0,425
	0,973
	0,434
	0,444
	0,0122
	-179,5
	50
	0,289
	0,837
	0,344
	0,444
	0,0035
	-179,5
A partir destes dados, e do código computacional implementado em ambiente MATLAB®, disponível no ANEXO B, foi possível a construção do gráfico da função de resposta em frequência sob a representação de Bode, sob a forma partes real e imaginária contra a frequência e sob a representação de Nyquist.
Uma estimativa da frequência natural do sistema pôde ainda ser feita tomando por base a fase da FRF considerada, já que na região da ressonância, como o amortecimento é relativamente pequeno, tem-se um comportamento praticamente linear para sua curva. Uma interpolação linear pode então ser feita para o cálculo daquele parâmetro do sistema:
	
Onde L e U fazem referência aos dados que se têm à disposição e que são os mais próximos da frequência natural para frequências menores e maiores que a mesma, respectivamente. Para os dados em questão:
	
Figura 5.4 - Representação da FRF do sistema vibratório pelos gráficos de Bode com dados obtidos a partir de excitação harmônica.
Figura 5.5 - Representação das partes real e imaginária da FRF do sistema vibratório com dados obtidos a partir de excitação harmônica.
Figura 5.6 - Representação de Nyquist da FRF do sistema vibratório com dados obtidos a partir de excitação harmônica.
A partir da frequência natural calculada, pode-se estimar outras propriedades do sistema. Relembra-se que a amplitude e a fase da FRF do sistema são dadas, analiticamente, em termos do deslocamento, por:
	
	
Como a amplitude da FRF em termos do deslocamento está relacionada à amplitude da FRF em termos da aceleração por meio de:
	
E a fase entre e pode ser obtida a partir de:
	
Então o fator de pode ser estimado a partir de:
	
A rigidez do sistema pode ser avaliada a partir de:
	
Como a rigidez e a frequência natural do sistema são neste ponto conhecidas, a massa pode ser avaliada por meio de:
	
Tabela 5 - Dados colhidos no domínio da frequência para movimento devido à excitação harmônica.
	 [Hz]
	
	
	k 
[N/m]
	m 
[kg]
	c 
[N.s/m]
	10
	0.614
	0,0177
	34248
	0,3273
	0,1883
	15
	0.921
	0,0087
	34478
	3,2922
	0,9309
	16
	0.982
	0,0068
	34927
	3,3351
	0,7370
	16,25
	0,9977
	0,0070
	29426
	2,8098
	0,6392
	16,375
	1.0054
	0,0059
	30737
	2,9349
	0,5628
	16,5
	1.013
	0,0065
	32792
	3,1312
	0,6615
	17
	1,043
	0,0060
	33601
	3,2084
	0,6256
	18
	1,105
	0,0047
	33894
	3,2364
	0,49436
	20
	1,228
	0,0032
	34034
	3,2499
	0,3379
	30
	1,842
	0,0050
	34182
	3,2639
	0,5304
	50
	3,0699
	0,0106
	34057
	3,2519
	1,1203
Da tabela anterior, observa-se uma grande discrepância entre os valores das colunas de , , e . Para a coluna de , faz-se verdade a observação de que o mesmo só se mostra influente na resposta do sistema na região de ressonância. Assim sendo, seu valor pode ser estimado para dados pertencentes à banda de frequências próximas àquela de ressonância. Entretanto, para estes valores de frequência, a fase é próxima de 90°. Nesta faixa de ângulos, contudo, o comportamento da função tangente é altamente sensível a pequenas alterações no valor de seu argumento. Por consequência, a confiabilidade de resultados obtidos desta forma para o coeficiente de amortecimento é relativamente baixa.
A rigidez pode ser estimada para regiões afastadas daquela de ressonância, uma vez que a amplitude da função de resposta em frequência, no entorno da frequência de ressonância, está mais suscetível a erros de medição, uma vez que a força de excitação toma amplitudes relativamente pequenas (o que acaba por fazer sobressair o valor do ruído de fundo). Entretanto, para tais regiões, o fator de amortecimento pode não ser bem estimado, o que pode acabar por comprometer os valores encontrados para a rigidez em praticamente toda a banda de frequências ensaiadas.
A avaliação do coeficiente de amortecimento, por depender da massa, ou alternativamente da rigidez, e do fator de amortecimento, também é crítica.
Ressalta-se que uma correta estimativa da frequência natural é indispensável para que as análises anteriores possam ser realizadas. Este é o único parâmetro que influi diretamente e de maneira decisiva na estimativa daqueles outros relacionados ao sistema vibratório.
Um comentário final sobre o método anterior para estimativa das características do sistema vibratório é que o mesmo deve ser conduzido com relativa cautela, uma vez que a sensibilidade dos parâmetros a erros de medição é alta e há interdependência entre parâmetros estimados posteriormente com aqueles avaliados em etapas anteriores.
Considerando apenas aqueles dados da tabela anterior próximos à região da ressonância, o valor de pode ser tomado como valendo:
	
Para os mesmos dados, a rigidez pode ser estimada pelo valor:
	 
A massa então é tomada como sendo:
	
Se desejado o valor do coeficiente de amortecimento, faz-se:
	
5.3. EXITAÇÃO ALEATÓRIA (WHITE NOISE)
Quando no caso do movimento produzido devido à excitação de natureza aleatória, nos domínios do tempo e da frequência não puderam ser constatadas, visualmente, relações entre os sinais da aceleração e da força. Contudo, a relação entre suas amplitudes e a defasagem entre estas entidades acaba por caracterizar a função de resposta em frequência do sistema. O código computacional escrito em linguagem MATLAB®, pode ser visto no ANEXO C.
A frequência de ressonância é aquela para a qual a amplitude da função de transferência do sistema é máxima. Já frequência natural, por outro lado, corresponde à situação em que a parte real da FRF é nula, ou à situação em que sua fase vale 90°. Feita esta análise, torna-se simples identificar estas frequências, mesmo que aproximadamente, a partir das representações gráficas da função de transferência de um sistema vibratório de um grau de liberdade.
Figura 5.6 - Representação da amplitude da FRF do sistema vibratório com dados obtidos a partir de excitação aleatória.
Figura 5.7 - Representação da fase da FRF do sistema vibratório com dados obtidos a partir de excitação aleatória.
Figura 5.8 - Representação da coerência da FRF do sistema vibratório com dados obtidos a partir de excitação aleatória.
Figura 5.9 - Representação das partes real e imaginária da FRF do sistema vibratório, dados obtidos a partir de excitação aleatóri
Figura 5.10 - Representação de Nyquist da FRF do sistema vibratório com dados obtidos a partir de excitação aleatória.
A partir de um processo de otimização, os parâmetros do sistema podem ser estimados todos de uma única vez. Para isso, uma minimização da função objetivo seguinte é realizada:
	
Onde e são os valores medidos da amplitude e da fase da FRF em termos daaceleração para o k-ésimo ponto em frequência disponível (que somam um total de pontos disponíveis), respectivamente, e e são os valores estimados analiticamente para estes mesmos valores anteriores:
	
	Onde, 
Figura 5.11 - Comparação das amplitudes das FRFs do sistema vibratório calculada analiticamente a partir de parâmetros otimizados e medida através de excitação aleatória.
Figura 5.12 - Comparação das fases das FRF’s do sistema vibratório calculada analiticamente a partir de parâmetros otimizados e medida através de excitação aleatória.
Figura 5.13 - Coerência e nível mínimo aceitável para que os dados fossem utilizados quando na otimização dos parâmetros do sistema vibratório.
Os valores dos parâmetros ótimos do sistema vibratório obtidos pela minimização daquela função objetivo apresentada anteriormente são dados por:
	
	
	
	
	
5.4. EXCITAÇÃO TRANSITÓRIO-IMPULSIVO
O último ensaio realizado foi aquele no qual o sistema foi excitado por uma força de natureza transitório-impulsiva. Assim como para o caso em que a excitação era aleatória, os dados correspondentes à FRF do sistema puderam ser transferidos para um microcomputador. Estes puderam ser manipulados para que a construção dos gráficos de Bode, das partes real e imaginária contra a frequência e da representação de Nyquist se fizesse possível. O código computacional escrito em linguagem MATLAB®, pode ser visto no ANEXO D. 
Figura 5.14 - Representação da amplitude da FRF do sistema vibratório com dados obtidos a partir de excitação impulsiva.
Figura 5.15 - Representação da fase da FRF do sistema vibratório com dados obtidos a partir de excitação impulsiva.
Figura 5.16 - Representação da coerência da FRF do sistema vibratório com dados obtidos a partir de excitação impulsiva.
Figura 5.17 - Representação das partes Real e Imaginária da FRF do sistema vibratório com dados obtidos a partir de excitação impulsiva.
Figura 5.18 - Representação de Nyquist da FRF do sistema vibratório com dados obtidos a partir de excitação impulsiva.
Utilizando o mesmo procedimento de otimização que aquele descrito anteriormente para no caso de excitação devido a uma força aleatória, mas desta vez para dados oriundos de excitação do tipo impulsiva, pôde-se estimar os parâmetros do sistema vibratório considerado. O algoritmo, para o procedimento de otimização, implementado se encontra no ANEXO D. 
Figura 5.19 - Comparação das amplitudes das FRFs do sistema vibratório calculada analiticamente a partir de parâmetros otimizados e medida através de excitação impulsiva.
Figura 5.20 - Comparação das fases das FRFs do sistema vibratório calculada analiticamente a partir de parâmetros otimizados e medida através de excitação impulsiva.
Figura 5.21 - Coerência e nível mínimo aceitável para que os dados fossem utilizados quando na otimização dos parâmetros do sistema vibratório.
Os valores dos parâmetros ótimos do sistema vibratório obtidos pela minimização daquela função objetivo considerada são dados por:
	
	
	
	
	
5.5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Um resumo de todos os parâmetros do sistema vibratório analisado estimados pelas diferentes metodologias apresentadas ao longo do relatório é apresentado na tabela a seguir.
Tabela 4.4: Valores identificados para os parâmetros do sistema vibratório.
	Ensaio
	
	
	
	
	
	Movimento livre
	16,250
	0,0096
	3,1800
	6,3493
	34389,0
	Excitação harmônica
	16,2873
	0,0620
	2,9128
	3,9093
	30613,0
	Excitação aleatória
	
	
	
	
	
	Excitação impulsiva
	
	
	
	
	
Uma comparação das FRFs geradas pelos parâmetros identificados e apresentados na tabela anterior é feita, que traz a representação de Bode para esta função de transferência do sistema. O código computacional pode ser visto no ANEXO E.
Figura 4.23 - Representação da FRF do sistema vibratório pelos gráficos de Bode a partir dos parâmetros identificados por meio de diferentes ensaios.
Como pode ser constatado por análise da tabela anterior, os parâmetros obtidos por intermédio daqueles dados oriundos de excitação aleatória encontram-se relativamente distantes daqueles obtidos a partir de dados relacionados aos outros ensaios realizados. Isto se deve a um provável erro quando na realização do procedimento experimental, possivelmente quando na montagem do sistema de excitação do sistema.
Ainda, observa-se também que a amplitude da FRF com parâmetros identificados a partir de excitação harmônica é relativamente alta comparativamente àquelas amplitudes das curvas obtidas a partir dos parâmetros conseguidos por meio de vibrações livres e de excitação impulsiva. Isto se deve ao fato de o método de estimativa dos parâmetros do sistema a partir de excitações harmônicas requerer dados obtidos com precisão relativamente alta, bem como em grande número para diminuir a incerteza.
Consequentemente, os parâmetros estimados que mais se aproximam daqueles correspondentes ao sistema real são os obtidos através de ensaios por excitação impulsiva e por vibrações livres. Isto mostra que, mesmo que se tenha à disposição ferramentas sofisticadas, como é o caso da identificação dos parâmetros a partir da resposta obtida a partir de excitação aleatória, resultados mais confiáveis talvez possam ser obtidos através de ensaios mais simples, que envolvem custos de equipamentos e de tempo de realização menores. Isto se faz verdade, no presente caso, devido a uma possível falha quando na realização do procedimento experimental relacionado à excitação do tipo aleatória, e não descarta, de forma alguma, a realização de ensaios deste tipo, uma vez que podem trazer resultados muito superiores se corretamente realizados.
6. CONCLUSÃO
Um sistema de um grau de liberdade é um sistema aparentemente simples, porém possui diversas possibilidades e formas de ser analisado. É possível realizar análises no domínio do tempo e/ou frequência, gerar gráficos e obter os parâmetros que descrevem o sistema analiticamente, graficamente ou por meio de ajustes de curva utilizando métodos de otimização.
Há possiblidade de excitar o sistema de diferentes maneiras, sendo que cada uma delas possibilita obter diferentes respostas para o sistema. Apesar disso, como os parâmetros físicos devem teoricamente permanecer inalterados, eles não devem ser alterados nos cálculos. Como quase tudo na engenharia, a prática realizada neste experimento mostrou que existem diversas formas e erros e incertezas que afetam o sistema, gerando variações nos valores estimados de diferentes modos.
De um modo geral a obtenção dos parâmetros físicos do sistema foi eficiente, com exceção do coeficiente de amortecimento , o qual foi muito diferente em cada um dos métodos abordados. Cabe a cada um, então, saber qual método melhor se adapta à análise desejada e a facilidade de acesso aos equipamentos, assim como custo financeiro e esforço computacional envolvido.
ANEXO A
SCRIPT NO MATLAB DO EXPERIMETO DO SISTEMA LIVRE
clear all;
close all;
clc;
 
% Carregamento dos dados
 
data = load('atcom.txt');
 
% Montagem do vetor de tempos
 
N_pts = 2048; % número de pontos amostrados
fs = 500*2.56;
dt = 1/fs; % intervalo de amostragem, expresso em s
df = fs/N_pts;
sa = 100;
 
t = 0:dt:dt*(N_pts-1); % vetor de tempos
 
T = dt*N_pts; % período de amostragem
 
ac = data(:,1)*1000/sa;
af = fft(ac,N_pts)*2/N_pts;
A_F = abs(af);
f = 0:df:(N_pts-1)*df;
 
% Gráfico dos dados coletados
 
figure
subplot(2,1,1), plot(t,data(:,1),'b')
grid on
xlabel('Tempo [ s ]')
ylabel('Aceleração [ V ]')
 
subplot(2,1,2), plot(f,A_F,'r')
grid on;
xlabel('Frequência [ Hz ]');
ylabel('|A| [ m/s^2 ]');
 
x_lim = xlim;
y_lim = ylim;
 
% Frequência natural
f_n = 16.25; % valor medido no ensaio sem amortecimento, em Hz
w_n = 2*pi*f_n; % freq. natural em rad/s
T_a = 1/f_n; % período amortecido aproximado
 
% Amostragem dos pontos de pico
 
time_interv = 0*T_a:T_a:20*T_a; % definição de quantos períodos serão 
 % utilizados noajuste de dados e no 
 % cálculo do decremento log.
 
positions = [ zeros(length(time_interv)-1,1); N_pts ];
 
time_fit = zeros(length(positions)-1,1);
data_fit = zeros(length(positions)-1,1);
 
for ii = 1:length(time_interv)
 
 for jj = 1:length(t)
 
 if t(jj) >= time_interv(ii)
 
 positions(ii) = jj; % posições do vetor de tempo que definem
 % os tempos onde começam novos períodos de
 % oscilação amortecida
 break;
 
 end
 
 end
 
 if ii >= 2
 
 vet_positions = positions(ii-1):positions(ii);
 % vetor das posições que dão os dados
 % pertencentes ao período de oscilação
 % considerado
 [data_fit(ii-1),pos_fit] = max(data(vet_positions,1));
 % valor máximo da amplitude para o período
 % de oscilação considerado e respectiva
 % posição
 time_fit(ii-1) = t(vet_positions(pos_fit));
 % tempo para o qual ocorre o maior valor de
 % amplitude correspondente ao período de
 % oscilação considerado
 
 end
 
end
 
% Gráfico dos dados coletados e pontos de pico identificados
 
figure;
plot(t,data(:,1),'b',time_fit,data_fit,'ok','MarkerSize',1.5,...
 'MarkerFaceColor','b');
grid on;
xlabel('Tempo [ s ]');
ylabel('Aceleração [ V ]');
legend('Dados coletados','Pontos de pico identificados');
xlim(x_lim);
ylim(y_lim);
 
% Ajuste dos picos escolhidos por uma reta e estimativa do fator de
% amortecimento
 
p = polyfit(time_fit,log(data_fit),1);
 
csi_fit = -p(1)/w_n;
fi = p(2);
 
% Estimativa do fator de amortecimento através do decremento logarítmico
 
delta = log(data_fit(1:end-1)./data_fit(2:end));
csi = delta./sqrt((2*pi)^2+delta.^2);
 
csi_mean = mean(csi);
csi_std = std(csi);
 
% Exclusão de valores que se encontram fora dos limites definidos pelo
% desvio-padrão dos dados obtidos
 
n = 1; % nº de pts que não satisfazem a condição do desvio-padrão
cont = 0; % contador
 
while n > 0
 
 n = 0;
 csi_new = [];
 
 for ii = 1:length(csi)
 
 if csi(ii) >= csi_mean - csi_std && csi(ii) < csi_mean + csi_std
 % se o valor de csi estiver entre os valores delimitados
 % pelo desvio padrão, então eles são armazenados; caso
 % contrário, são descartados
 
 csi_new = [ csi_new; csi(ii) ];
 
 else
 
 n = n + 1;
 
 end
 
 end
 
 csi = csi_new; % atualização do vetor de csi's
 csi_mean = mean(csi); % nova média dos dados
 csi_std = std(csi); % novo desvio-padrão dos dados
 
 cont = cont + 1; % nº de iterações realizadas
 
end
 
n = length(csi); % nº de dados levados em conta
n_or = length(delta); % nº de dados originais
 
csi_mean = mean(csi); % valor médio de csi
csi_std = std(csi); % desvio-padrão de csi
figure;
plot(t,data(:,1),'b-',time_fit,data_fit,'ok',...
 t,exp(-csi_fit*w_n*t+fi),'b--',t,exp(-csi_mean*w_n*t+fi),'r',...
 'MarkerSize',1.5,'MarkerFaceColor','b');
grid on;
xlabel('Tempo [ s ]');
ylabel('Aceleração [ V ]');
legend('Dados coletados','Pontos de pico identificados',...
 'Ajuste de curva','Decremento Logarítmico');
xlim(x_lim);
ylim(y_lim);
ANEXO B
SCRIPT NO MATLAB DO EXPERIMETO EXCITAÇÃO HARMÔNICA
clear all;
close all;
clc;
 
% Dados mensurados para exictação harmônica
 
freq = [10 15 16 16.25 16.375 16.5 17 18 20 30 50]'; % Frequências [Hz]
 
data = [ 0.185 178.0
 1.69 174.0
 7.63 159.0
 22.7 108.0
 18.6 47.6
 10.8 26.6
 3.74 8.0
 1.7 2.69
 0.913 0.894
 0.434 0.444
 0.344 0.444]; % 1ª coluna: |TF| [m/s²/N]; 2ª coluna: Fase [°]
 
amp = data(:,1); % Amplitude da função de transferência
phase = data(:,2)*pi/180; % Fase da função de transferência
FRF = amp.*exp(1i*phase); % Representação complexa da função de transf.
 
% Estimativa da frequência natural
 
pos_lower = phase > pi/2 ;
pos_upper = phase < pi/2 ;
 
[freq_lower,pos] = max(freq(pos_lower));
phase_lower = phase(pos);
[freq_upper,pos] = min(freq(pos_upper));
phase_upper = phase(pos+length(freq(pos_lower)));
 
f_n = (phase_lower-pi/2)/(phase_lower-phase_upper)*...
 (freq_upper-freq_lower) + freq_lower;
 
% Interpolação (parte-a-parte) dos dados medidos por polinômio cúbicos
 
freq_fit = linspace(10,30,1e3); % Vetor de frequências
 
amp_fit = interp1(freq,amp,freq_fit,'pchip'); % |TF| interpolada
 
phase_fit = interp1(freq,phase,freq_fit,'pchip'); % Fase interpolada
 
FRF_fit = amp_fit.*exp(1i*phase_fit); % Representação complexa
 
% Gráficos
 
% Representação de Bode
 
figure;
 
subplot(2,1,1);
plot(freq,amp,'ok',freq_fit,amp_fit,'b-','MarkerSize',4.0,...
 'MarkerFaceColor','r');
xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('Frequência [ Hz ]');
ylabel({'| \itA \rm/ \itF\rm |','[ V/V ] [ (m/s²)/N ]'});
grid on;
legend('Pontos medidos','Interpolação cúbica por partes',...
 'Location','NorthEast');
 
subplot(2,1,2);
plot(freq,phase*180/pi,'ok',freq_fit,phase_fit*180/pi,'b-',...
 'MarkerSize',4.0,'MarkerFaceColor','r');
xlim([freq(1),freq(end)]);
ylim([-1e-3, 180]);
xlabel('Frequência [ Hz ]');
ylabel('\fontname{Symbol}\it\phi\fontname{Times New Roman}_{AF}\rm [ ° ]');
grid on;
legend('Pontos medidos','Interpolação cúbica por partes',...
 'Location','NorthEast');
 
% Representação das Partes Real e Imaginária
 
figure;
 
subplot(2,1,1);
plot(freq,real(FRF),'ok',freq_fit,real(FRF_fit),'b-','MarkerSize',4.0,...
 'MarkerFaceColor','r');
xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('Frequência [ Hz ]');
ylabel({'Re( \itA \rm/ \itF\rm )','[ V/V ] [ (m/s²)/N ]'});
grid on;
legend('Pontos medidos','Interpolação cúbica por partes',...
 'Location','SouthEast');
 
subplot(2,1,2);
plot(freq,imag(FRF),'ok',freq_fit,imag(FRF_fit),'b-','MarkerSize',4.0,...
 'MarkerFaceColor','r');
xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('Frequência [ Hz ]');
ylabel({'Im( \itA \rm/ \itF\rm )','[ V/V ] [ (m/s²)/N ]'});
grid on;
legend('Pontos medidos','Interpolação cúbica por partes',...
 'Location','NorthEast');
 
% Representação de Nyquist
 
figure;
plot(FRF,'ok','MarkerSize',4.0,...
 'MarkerFaceColor','r');
hold on;
plot(FRF_fit,'b-');
axis ij;
set(gca,'FontName','Times New Roman');
xlabel({'Re( \itA \rm/ \itF\rm )','[ V/V ] [ (m/s²)/N ]'});
ylabel({'Im( \itA \rm/ \itF\rm )','[ V/V ] [ (m/s²)/N ]'});
grid on;
legend('Pontos medidos','Interpolação cúbica por partes',...
 'Location','SouthEast');
ANEXO C
SCRIPT NO MATLAB DO EXPERIMETO EXCITAÇÃO ALEATÓRIA
clear all;
close all;
clc;
 
% Dados mensurados para excitação impulsiva
 
data = load('tfimp.txt');
 
amp = data(:,1)/10; % Amplitude da função de transferência
phase = data(:,2)*pi/180; % Fase da função de transferência
coherence = data(:,3); % Coerência
 
FRF = amp.*exp(1i*phase); % Representação complexa da função de transf.
 
% Montagem do vetor de frequências
 
N_pts = 800; % Número de pontos
df = 0.125; % Resolução em frequência
 
freq = 0:df:df*(N_pts-1);
 
% Gráficos
 
% Representação de Bode
 
figure;
plot(freq,amp,'b-');
xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('Frequência [ Hz ]');
ylabel({'| \itA \rm/ \itF\rm |','[ V/V ] [ (m/s²)/N ]'});
grid on;
 
figure;
plot(freq,phase*180/pi,'b-');
xlim([freq(1),freq(end)]);
ylim([-20, 180]);
xlabel('Frequência [ Hz ]');
ylabel('\fontname{Symbol}\it\phi\fontname{Times New Roman}_{AF}\rm [ ° ]');
grid on;
 
figure;
plot(freq,coherence,'b-');
xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('Frequência [ Hz ]');
ylabel({'Coerência'});
grid on;
 
% Representação das Partes Real e Imaginária
 
figure;
 
subplot(2,1,1);
plot(freq,real(FRF),'b-');
xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('Frequência[ Hz ]');
ylabel({'Re( \itA \rm/ \itF\rm )','[ V/V ] [ (m/s²)/N ]'});
grid on;
 
subplot(2,1,2);
plot(freq,imag(FRF),'b-');
xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('Frequência [ Hz ]');
ylabel({'Im( \itA \rm/ \itF\rm )','[ V/V ] [ (m/s²)/N ]'});
grid on;
 
% Representação de Nyquist
 
figure;
plot(FRF,'b-');
axis ij;
xlabel({'Re( \itA \rm/ \itF\rm )','[ V/V ] [ (m/s²)/N ]'});
ylabel({'Im( \itA \rm/ \itF\rm )','[ V/V ] [ (m/s²)/N ]'});
grid on;
%%-------------------------------------------------------------------- 
clear all;
close all;
clc;
 
% Carregamento dos dados
 
data = load('tfruido.txt');
 
amp = data(:,1); % Amplitude da função de transferência
phase = data(:,2)*pi/180; % Fase da função de transferência
coherence = data(:,3); % Coerência
 
cohe_level = 0.99; % Valor mínimo de coerência admissível
 
pos = coherence > cohe_level;
% Montagem do vetor de frequências
 
N_pts = 800; % Número de pontos
df = 0.125; % Resolução em frequência
 
freq = 0:df:df*(N_pts-1);
 
% Otimização
 
fun = @(X) objective_function(X,freq(pos),amp(pos),phase(pos));
x0 = [ 16.3; 3; 0.01 ];
options = optimset('LargeScale','off','HessUpdate','bfgs',...
'Display','iter');
x = fminunc(fun,x0,options);
 
% Parâmetros do sistema obtidos via otimização
 
f_n = x(1);
m = x(2);
csi = 0.0163;
k = m*(2*pi*f_n)^2;
c = 2*csi*sqrt(k*m);
 
% Comparação das FRFs analítica e medida / Gráficos
 
freq_a = linspace(freq(1),freq(end),1e4);
 
eta = freq_a/f_n;
 
amp_a = 1/m*eta.^2./sqrt((1-eta.^2).^2+4*csi^2*eta.^2);
phase_a = atan2(-2*csi*eta,1-eta.^2) + pi;
 
figure;
plot(freq,amp,'b-',freq_a,amp_a,'r','MarkerSize',2);
xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('Frequência [ Hz ]');
ylabel({'| \itA \rm/ \itF\rm |','[ V/V ] [ (m/s²)/N ]'});
grid on;
legend('Amplitude da FRF medida','Amplitude da FRF ajustada',...
 'Location','NorthEast');
 
figure;
plot(freq,phase*180/pi,'b-',freq_a,phase_a*180/pi,'r','MarkerSize',2);
xlim([freq(1),freq(end)]);
ylim([-1, 180]);
xlabel('Frequência [ Hz ]');
ylabel('\fontname{Symbol}\it\phi\fontname{Times New Roman}_{AF}\rm [ ° ]');
grid on;
legend('Fase da FRF medida','Fase da FRF ajustada',...
 'Location','NorthEast');
 
figure;
plot(freq,coherence,'b-',freq,cohe_level*ones(size(freq)),'r','MarkerSize',2);
xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('Frequência [ Hz ]');
ylabel({'Coerência'});
grid on;
legend('Coerência da FRF medida','Nível aceitável dos dados utilizados',...
 'Location','SouthEast');
 
function F = objective_function(X,f,amp,phase)
 
% X(1): frequência natural;
% X(2): massa;
% X(3): fator de amortecimento.
 
% Frequência reduzida
 
eta = f/X(1);
 
% Amplitude e fase da FRF calculadas analiticamente
 
amp_a = 1/X(2)*eta.^2./sqrt((1-eta.^2).^2+4*X(3)^2*eta.^2);
phase_a = atan2(-2*X(3)*eta,1-eta.^2) + pi;
 
% Avaliação da função objetivo
 
F = sum((amp_a.'-amp).^2) + sum((phase_a.'-phase).^2);
 
end
%%--------------------------------------------------------------------
ANEXO D
SCRIPT NO MATLAB DO EXPERIMETO EXCITAÇÃO TRANSITÓRIA
clear all;
close all;
clc;
 
% Dados mensurados para excitação impulsiva
 
data = load('mov_impacto.ext');
 
amp = data(:,1)/10; % Amplitude da função de transferência
phase = data(:,2)*pi/180; % Fase da função de transferência
coherence = data(:,3); % Coerência
 
FRF = amp.*exp(1i*phase); % Representação complexa da função de transf.
 
% Montagem do vetor de frequências
 
N_pts = 800; % Número de pontos
df = 0.125; % Resolução em frequência
 
freq = 0:df:df*(N_pts-1);
 
% Gráficos
 
% Representação de Bode
 
figure;
plot(freq,amp,'b-','MarkerSize',2);
set(gca,'FontName','Times New Roman');
xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('Frequência [ Hz ]');
ylabel({'| \itA \rm/ \itF\rm |','[ V/V ] [ (m/s²)/N ]'});
grid on;
 
figure;
plot(freq,phase*180/pi,'b-','MarkerSize',2);
xlim([freq(1),freq(end)]);
ylim([-20, 180]);
xlabel('Frequência [ Hz ]');
ylabel('\fontname{Symbol}\it\phi\fontname{Times New Roman}_{AF}\rm [ ° ]');
grid on;
 
figure;
plot(freq,coherence,'b-','MarkerSize',2);
xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('Frequência [ Hz ]');
ylabel({'Coerência'});
grid on;
 
% Representação das Partes Real e Imaginária
 
figure;
 
subplot(2,1,1);
plot(freq,real(FRF),'b-','MarkerSize',2);
xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('Frequência [ Hz ]');
ylabel({'Re( \itA \rm/ \itF\rm )','[ V/V ] [ (m/s²)/N ]'});
grid on;
 
subplot(2,1,2);
plot(freq,imag(FRF),'b-','MarkerSize',2);
set(gca,'FontName','Times New Roman');
xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('Frequência [ Hz ]');
ylabel({'Im( \itA \rm/ \itF\rm )','[ V/V ] [ (m/s²)/N ]'});
grid on;
 
% Representação de Nyquist
 
figure;
plot(FRF,'b-','MarkerSize',2);
axis ij;
set(gca,'FontName','Times New Roman');
xlabel({'Re( \itA \rm/ \itF\rm )','[ V/V ] [ (m/s²)/N ]'});
ylabel({'Im( \itA \rm/ \itF\rm )','[ V/V ] [ (m/s²)/N ]'});
grid on;
%%--------------------------------------------------------------------
clear all;
close all;
clc;
 
% Carregamento dos dados
 
data = load('tfimp.txt');
 
amp = data(:,1); % Amplitude da função de transferência
phase = data(:,2)*pi/180; % Fase da função de transferência
coherence = data(:,3); % Coerência
 
cohe_level = 0.99; % Valor mínimo de coerência admissível
 
pos = coherence > cohe_level;
% Montagem do vetor de frequências
 
N_pts = 800; % Número de pontos
df = 0.125; % Resolução em frequência
 
freq = 0:df:df*(N_pts-1);
 
% Otimização
 
fun = @(X) objective_function(X,freq(pos),amp(pos),phase(pos));
x0 = [ 16.3; 3; 0.01 ];
options = optimset('LargeScale','off','HessUpdate','bfgs',...
'Display','iter');
x = fminunc(fun,x0,options);
 
% Parâmetros do sistema obtidos via otimização
 
f_n = x(1);
m = x(2);
csi = 0.00893;
k = m*(2*pi*f_n)^2;
c = 2*csi*sqrt(k*m);
 
% Comparação das FRFs analítica e medida / Gráficos
 
freq_a = linspace(freq(1),freq(end),1e4);
 
eta = freq_a/f_n;
 
amp_a = 1/m*eta.^2./sqrt((1-eta.^2).^2+4*csi^2*eta.^2);
phase_a = atan2(-2*csi*eta,1-eta.^2) + pi;
 
figure;
plot(freq,amp,'b-',freq_a,amp_a,'r','MarkerSize',2);
xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('Frequência [ Hz ]');
ylabel({'| \itA \rm/ \itF\rm |','[ V/V ] [ (m/s²)/N ]'});
grid on;
legend('Amplitude da FRF medida','Amplitude da FRF ajustada',...
 'Location','NorthEast');
 
figure;
plot(freq,phase*180/pi,'b-',freq_a,phase_a*180/pi,'r','MarkerSize',2);
xlim([freq(1),freq(end)]);
ylim([-1, 180]);
xlabel('Frequência [ Hz ]');
ylabel('\fontname{Symbol}\it\phi\fontname{Times New Roman}_{AF}\rm [ ° ]');
grid on;
legend('Fase da FRF medida','Fase da FRF ajustada',...
 'Location','NorthEast');
 
figure;
plot(freq,coherence,'b-',freq,cohe_level*ones(size(freq)),'r','MarkerSize',2);
xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('Frequência [ Hz ]');
ylabel({'Coerência'});
grid on;
legend('Coerência da FRF medida','Nível aceitável dos dados utilizados',...
 'Location','SouthEast');
 
function F = objective_function(X,f,amp,phase)
 
% X(1): frequência natural;
% X(2): massa;
% X(3): fator de amortecimento.
 
% Frequência reduzida
 
eta = f/X(1);
 
% Amplitude e fase da FRF calculadas analiticamente
 
amp_a = 1/X(2)*eta.^2./sqrt((1-eta.^2).^2+4*X(3)^2*eta.^2);
phase_a = atan2(-2*X(3)*eta,1-eta.^2) + pi;
 
% Avaliação da função objetivo
 
F = sum((amp_a.'-amp).^2) + sum((phase_a.'-phase).^2);
 
End
%%--------------------------------------------------------------------
ANEXO E
SCRIPT NO MATLAB DO COMPARATIVO
clear all;
close all;
clc;
 
% Propriedades do sistema
 
properties = [ 16.2500 0.0096 3.1800 6.3493 34389.0000
 16.2873 0.0620 2.9128 3.9093 30613.0000
 16.2998 0.0163 3.0311 10.0265 31498.8555
 16.1817 0.0893 3.1570 5.7327 32634.7311 ];
 
% Vetor de frequências
 
f = linspace(10,30,1e4);
 
% Construção dos gráficos das FRFs
 
plot_prop = {['k'],['r'],['b'],['y']};
 
figure;
for ii = 1:size(properties,1)
 f_n = properties(ii,1);
 csi = properties(ii,2);
 m = properties(ii,3);
 c = properties(ii,4);k = properties(ii,5);
 eta = f/f_n;
 amplitude = 1/m*eta.^2./sqrt((1-eta.^2).^2+4*csi^2*eta.^2);
 phase = atan2(-2*csi*eta,1-eta.^2) + pi;
 subplot(2,1,1);
 plot(f,amplitude,plot_prop{ii});
 hold on;
 subplot(2,1,2);
 plot(f,phase*180/pi,plot_prop{ii});
 hold on;
end
 
subplot(2,1,1);
xlim([f(1),f(end)]);
xlabel('Frequência [ Hz ]');
ylabel('| \itA \rm/ \itF\rm | [ (m/s²)/N ]');
grid on;
legend('Movimento Livre','Excitação Harmônica','Excitação Aleatória',...
 'Excitação Impulsiva','Location','NorthEast');
 
subplot(2,1,2);
xlim([f(1),f(end)]);
xlabel('Frequência [ Hz ]');
ylabel('\fontname{Symbol}\it\phi\fontname{Times New Roman}_{AF}\rm [ ° ]');
grid on;
legend('Movimento Livre','Excitação Harmônica','Excitação Aleatória',...
 'Excitação Impulsiva','Location','NorthEast');