Teoria Eletromagnética_Lei de Gauss Magnetismo_forma integral e Diferencial

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PROFA. DRA MARIA ELENICE DOS SANTOS 
 
A TEORIA ELETROMAGNÉTICA: LEI DE GAUSS PARA O MAGNETISMO 
 
 Nesta aula iremos mostrar conceitualmente e algebricamente os raciocínios em torno da Lei de 
Gauss para o magnetismo, na sua forma integral. 
 
LEI DE GAUSS PARA O MAGNETISMO NA SUA FORMA INTEGRAL 
 
 Neste caso, vamos imaginar certa região do espaço na qual existe a presença de linhas de 
campo magnético. 
 Figura 01: representação de linhas de campo magnético em uma região do espaço e de uma superfície esférica S fechada e 
de volume V, cujo fluxo de linhas de campo a atravessam. 
 
 A Figura 01 ilustra tal situação, aonde se verificam linhas do campo magnético B, cuja direção 
e sentido estão especificadas na figura. Além disso, tomemos uma superfície de casca esférica S e de 
volume V. Nesta situação iremos definir um fluxo de linhas de campo magnético (φB) sobre uma 
superfície fechada. Tal fluxo será calculado a partir da relação mostrada na Equação 01, que segue. 
 
)01(  sdBB

 
 
 Na Equação 01: o termo (φB) corresponde ao fluxo de linhas de campo magnético que 
atravessam a superfície S da esfera e corresponde ao produto escalar ( sdB

 ) entre cada vetor campo 
magnético B e cada versor ds, de modo que a solução da integral seria o resultado de todas as 
interações sobre a área S. 
 Fazendo uma analogia com a Lei de Gauss para a eletricidade, o resultado da integral seria 
proporcional à carga inserida dentro do volume da esfera. A Equação 02 nos dá este resultado, como se 
vê, 
)02(
0
 env
Q
 
 Assim, seguindo tal linha de raciocínio, a Equação 03 seria uma representação do que 
deveríamos esperar da Lei de Gauss para o magnetismo. 
 
)03(
C
Q
sdB
mag
B


 
 
 Ainda por analogia, nota-se que o fluxo de linhas de campo magnético deveria ser igual à certa 
quantidade de carga magnética encerrada no volume V e dividido por uma constante magnética que 
aqui chamamos C. 
 A teoria do magnetismo já provou e até hoje não existem contraprovas desse fato, de que 
monopolos magnéticos não existem. Em outras palavras, pode-se dizer que não existem cargas 
magnéticas pontuais, como se verificou para carags elétricas. 
 Com base no que foi dito anteriormente, reestrutura-se aqui a Equação 03 concluindo-se que o 
resultado mostrado à direita de tal equação seria zero, conforme se verifica na Equação 04 a seguir. 
 
)04(0 sdBB


 
 
 
 A Equação 04 é descrita como a Lei de Gauss para o magnetismo, na sua forma integral. 
 
LEI DE GAUSS PARA O MAGNETISMO NA SUA FORMA DIFERENCIAL 
 
 Considerando-se o raciocínio já desenvolvido para encontrar a equação que rege a Lei de Gauss 
para o magentismo na sua forma integral, podemos nos utilizar destes conceitos para desenvolver uma 
equação da Lei de Gauss para o magnetismo na sua forma diferencial. Para tal, faremos uso do 
Teorema da Divergência. 
 
TEOREMA DA DIVERGÊNCIA 
 
 O Teorema da Divergência é também enunciado como o “Teorema de Gauss”. Tal teorema 
relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície com o vetor campo atuando dentro 
da mesma superfície. Em outras palavras teremos que: oTeorema da Divergência afirma que o fluxo 
externo de um dado campo vetorial passando através de uma superfície fechada é igual à integral de 
volume da divergência sobre a região encerrada na superfície. 
 Em termos algébricos, define-se o Teorema da Divergência conforme descrito na Equação 04. 
 
)05().(  V
S
dVBsdB

 
 
Onde: o termo à esquerda da igualdade constitui a integral fechada do produto escalar entre o vetor 
campo magnético e o infinitesimal de superfície e o termo à direita da igualdade trata-se da integral de 
volume da divergência do vetor campo magnético (uma função do ponto, isto é; em cada ponto existe 
uma divergência de B). 
 Por consequência, substituindo-se a relação dada na Equação 05 na Equação 04, teremos que: 
 
 
)06(0B

 
 
 
 A Equação 06 é intitulada como a Lei de Gauss para o magnetismo, na sua forma diferencial, 
também podendo ser chamada de “A Segunda Lei de Maxwell” . Em uma composição de quatro 
equações, a Lei de Gauss para o magnetismo é uma das leis que compõe a Teoria Eletromagnética.