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Problema 1

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Problema: Suponha-se uma função f(x) contínua e derivável, cujo gráfico está traçado 
sobre o plano xy. Afixe-se, pois, o ponto P (p, f(p)), sobre a curva de f. Em seguida, trace-se a 
reta r, tangente a f no ponto P. Depois, seja traçada a reta s, perpendicular a r no ponto P. Sobre 
a reta s, afixe-se o ponto Q (q, s(q)) (à esquerda de P), de tal modo que a distância entre P e Q 
seja igual a f’(p). Encontre a equação que descreva o ponto Q para qualquer ponto genérico x=p 
dado. 
 
 Primeiro, devemos calcular as retas r e s. Se r é tangente a f em P, então não precisamos 
fazer o cálculo de toda a sua função, senão somente de sua inclinação: 
 
𝑚 = 𝑓′(𝑝) 
 
 Dessa forma, é fácil calcular os coeficientes da reta s. 
 
𝑠(𝑥) = 𝑚 . 𝑥 + 𝑛 
𝑚 = −
1
𝑚
= −
1
𝑓′(𝑝)
 
 
 Se s passa por P, então podemos aplicar-lhe os valores. 
 
𝑠(𝑥) = −
𝑥
𝑓 (𝑝)
+ 𝑛 
𝑓(𝑝) = −
𝑝
𝑓 (𝑝)
+ 𝑛 ⇒ 𝑛 =
𝑝
𝑓 (𝑝)
+ 𝑓(𝑝) 
𝑠(𝑥) = −
𝑥
𝑓 (𝑝)
+
𝑝
𝑓 (𝑝)
+ 𝑓(𝑝) 
 
 Agora, sabemos que o ponto Q possui duas características: além de pertencer à 
curva de s, dista de P por f’(p). 
 
𝑠(𝑞) = −
𝑞
𝑓 (𝑝)
+
𝑝
𝑓 (𝑝)
+ 𝑓(𝑝) 
𝑃𝑄 = 𝑓 (𝑝) 
(𝑝 − 𝑞) + 𝑓(𝑝) − 𝑠(𝑞) = 𝑓 (𝑝) 
(𝑝 − 𝑞) + 𝑓(𝑝) − −
𝑞
𝑓 (𝑝)
+
𝑝
𝑓 (𝑝)
+ 𝑓(𝑝) = 𝑓 (𝑝) 
(𝑝 − 𝑞) + 𝑓(𝑝) +
𝑞
𝑓 (𝑝)
−
𝑝
𝑓 (𝑝)
− 𝑓(𝑝) = 𝑓 (𝑝) 
(𝑝 − 𝑞) +
𝑞
𝑓 (𝑝)
−
𝑝
𝑓 (𝑝)
= 𝑓 (𝑝) 
(𝑝 − 𝑞) + (𝑝 − 𝑞) .
1
𝑓′(𝑝)
= 𝑓 (𝑝) 
(𝑝 − 𝑞) . 1 +
1
(𝑓′(𝑝))
= 𝑓 (𝑝) 
(𝑝 − 𝑞) =
𝑓 (𝑝)
(𝑓′(𝑝)) + 1
(𝑓′(𝑝))
= 𝑓 (𝑝) .
(𝑓′(𝑝))
(𝑓′(𝑝)) + 1
 
(𝑝 − 𝑞) =
(𝑓′(𝑝))
(𝑓′(𝑝)) + 1
 
 
 Perceba que, neste momento, podemos perceber que existem dois pontos que satisfazem 
essa condição. No entanto, a questão afirma que o ponto Q está à esquerda de P, portanto 𝑞 < 𝑝 
e, consequentemente, 𝑝 − 𝑞 > 0. 
 
𝑝 − 𝑞 =
(𝑓′(𝑝))
(𝑓′(𝑝)) + 1
 
𝑝 − 𝑞 =
(𝑓′(𝑝))
(𝑓′(𝑝)) + 1
 
𝑞 = 𝑝 −
(𝑓′(𝑝))
(𝑓′(𝑝)) + 1
 
𝑠(𝑞) = −
𝑞
𝑓 (𝑝)
+
𝑝
𝑓 (𝑝)
+ 𝑓(𝑝) 
𝑠 𝑝 −
(𝑓′(𝑝))
(𝑓′(𝑝)) + 1
= −
𝑝 −
(𝑓′(𝑝))
(𝑓′(𝑝)) + 1
𝑓 (𝑝)
+
𝑝
𝑓 (𝑝)
+ 𝑓(𝑝) 
𝑠 𝑝 −
(𝑓′(𝑝))
(𝑓′(𝑝)) + 1
= −
𝑝 −
𝑓 (𝑝)
𝑓 (𝑝) + 1
+ 𝑝
𝑓 (𝑝)
+ 𝑓(𝑝) 
𝑠 𝑝 −
(𝑓′(𝑝))
(𝑓′(𝑝)) + 1
=
𝑓 (𝑝)
𝑓 (𝑝) + 1
𝑓 (𝑝)
+ 𝑓(𝑝) 
𝑠 𝑝 −
(𝑓′(𝑝))
(𝑓′(𝑝)) + 1
=
𝑓 (𝑝)
𝑓 (𝑝) + 1
.
1
𝑓′(𝑝)
+ 𝑓(𝑝) 
𝑠 𝑝 −
(𝑓′(𝑝))
(𝑓′(𝑝)) + 1
=
𝑓 (𝑝)
𝑓 (𝑝) + 1
.
1
𝑓′(𝑝)
+ 𝑓(𝑝) 
𝑠 𝑝 −
(𝑓′(𝑝))
(𝑓′(𝑝)) + 1
= 𝑓(𝑝) +
𝑓′(𝑝)
𝑓 (𝑝) + 1
 
 
 Portanto, o ponto Q, em relação à função f(x), pode ser descrito da seguinte maneira: 
 
𝑄
⎝
⎛𝑥 −
𝑓 (𝑥)
𝑓 (𝑥) + 1
, 𝑓(𝑥) +
𝑓′(𝑥)
𝑓 (𝑥) + 1⎠
⎞