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Problema: Suponha-se uma função f(x) contínua e derivável, cujo gráfico está traçado sobre o plano xy. Afixe-se, pois, o ponto P (p, f(p)), sobre a curva de f. Em seguida, trace-se a reta r, tangente a f no ponto P. Depois, seja traçada a reta s, perpendicular a r no ponto P. Sobre a reta s, afixe-se o ponto Q (q, s(q)) (à esquerda de P), de tal modo que a distância entre P e Q seja igual a f’(p). Encontre a equação que descreva o ponto Q para qualquer ponto genérico x=p dado. Primeiro, devemos calcular as retas r e s. Se r é tangente a f em P, então não precisamos fazer o cálculo de toda a sua função, senão somente de sua inclinação: 𝑚 = 𝑓′(𝑝) Dessa forma, é fácil calcular os coeficientes da reta s. 𝑠(𝑥) = 𝑚 . 𝑥 + 𝑛 𝑚 = − 1 𝑚 = − 1 𝑓′(𝑝) Se s passa por P, então podemos aplicar-lhe os valores. 𝑠(𝑥) = − 𝑥 𝑓 (𝑝) + 𝑛 𝑓(𝑝) = − 𝑝 𝑓 (𝑝) + 𝑛 ⇒ 𝑛 = 𝑝 𝑓 (𝑝) + 𝑓(𝑝) 𝑠(𝑥) = − 𝑥 𝑓 (𝑝) + 𝑝 𝑓 (𝑝) + 𝑓(𝑝) Agora, sabemos que o ponto Q possui duas características: além de pertencer à curva de s, dista de P por f’(p). 𝑠(𝑞) = − 𝑞 𝑓 (𝑝) + 𝑝 𝑓 (𝑝) + 𝑓(𝑝) 𝑃𝑄 = 𝑓 (𝑝) (𝑝 − 𝑞) + 𝑓(𝑝) − 𝑠(𝑞) = 𝑓 (𝑝) (𝑝 − 𝑞) + 𝑓(𝑝) − − 𝑞 𝑓 (𝑝) + 𝑝 𝑓 (𝑝) + 𝑓(𝑝) = 𝑓 (𝑝) (𝑝 − 𝑞) + 𝑓(𝑝) + 𝑞 𝑓 (𝑝) − 𝑝 𝑓 (𝑝) − 𝑓(𝑝) = 𝑓 (𝑝) (𝑝 − 𝑞) + 𝑞 𝑓 (𝑝) − 𝑝 𝑓 (𝑝) = 𝑓 (𝑝) (𝑝 − 𝑞) + (𝑝 − 𝑞) . 1 𝑓′(𝑝) = 𝑓 (𝑝) (𝑝 − 𝑞) . 1 + 1 (𝑓′(𝑝)) = 𝑓 (𝑝) (𝑝 − 𝑞) = 𝑓 (𝑝) (𝑓′(𝑝)) + 1 (𝑓′(𝑝)) = 𝑓 (𝑝) . (𝑓′(𝑝)) (𝑓′(𝑝)) + 1 (𝑝 − 𝑞) = (𝑓′(𝑝)) (𝑓′(𝑝)) + 1 Perceba que, neste momento, podemos perceber que existem dois pontos que satisfazem essa condição. No entanto, a questão afirma que o ponto Q está à esquerda de P, portanto 𝑞 < 𝑝 e, consequentemente, 𝑝 − 𝑞 > 0. 𝑝 − 𝑞 = (𝑓′(𝑝)) (𝑓′(𝑝)) + 1 𝑝 − 𝑞 = (𝑓′(𝑝)) (𝑓′(𝑝)) + 1 𝑞 = 𝑝 − (𝑓′(𝑝)) (𝑓′(𝑝)) + 1 𝑠(𝑞) = − 𝑞 𝑓 (𝑝) + 𝑝 𝑓 (𝑝) + 𝑓(𝑝) 𝑠 𝑝 − (𝑓′(𝑝)) (𝑓′(𝑝)) + 1 = − 𝑝 − (𝑓′(𝑝)) (𝑓′(𝑝)) + 1 𝑓 (𝑝) + 𝑝 𝑓 (𝑝) + 𝑓(𝑝) 𝑠 𝑝 − (𝑓′(𝑝)) (𝑓′(𝑝)) + 1 = − 𝑝 − 𝑓 (𝑝) 𝑓 (𝑝) + 1 + 𝑝 𝑓 (𝑝) + 𝑓(𝑝) 𝑠 𝑝 − (𝑓′(𝑝)) (𝑓′(𝑝)) + 1 = 𝑓 (𝑝) 𝑓 (𝑝) + 1 𝑓 (𝑝) + 𝑓(𝑝) 𝑠 𝑝 − (𝑓′(𝑝)) (𝑓′(𝑝)) + 1 = 𝑓 (𝑝) 𝑓 (𝑝) + 1 . 1 𝑓′(𝑝) + 𝑓(𝑝) 𝑠 𝑝 − (𝑓′(𝑝)) (𝑓′(𝑝)) + 1 = 𝑓 (𝑝) 𝑓 (𝑝) + 1 . 1 𝑓′(𝑝) + 𝑓(𝑝) 𝑠 𝑝 − (𝑓′(𝑝)) (𝑓′(𝑝)) + 1 = 𝑓(𝑝) + 𝑓′(𝑝) 𝑓 (𝑝) + 1 Portanto, o ponto Q, em relação à função f(x), pode ser descrito da seguinte maneira: 𝑄 ⎝ ⎛𝑥 − 𝑓 (𝑥) 𝑓 (𝑥) + 1 , 𝑓(𝑥) + 𝑓′(𝑥) 𝑓 (𝑥) + 1⎠ ⎞
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