EM II - Parte 4 - Indutância

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Parte 11- Indutância 
 
1 
Adaptado de: Cursos de Física Geral
Universidade Virtual do Estado de S. Paulo
Auto-Indutância e Indutância Mútua 
Quando estudamos campo elétrico, relacionamos a quantidade de cargas num 
par de condutores com a diferença de potencial entre eles. A constante de 
proporcionalidade, que é a capacidade, depende apenas das geometrias dos 
condutores: 
2 
 
Qlivre = εo
!
E ⋅ n̂ dA"∫
ΔV = −
!
E ⋅d
!
l∫
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
⇒Qlivre = CV
 Iremos agora fazer algo análogo ao relacionar as leis de Ampère e Gauss 
(para campo magnético) e mostrar que poderemos escrever o fluxo magnético em 
função das correntes elétricas geradoras de campo magnético. Novamente a 
constante de proporcionalidade depende apenas da geometria dos condutores 
envolvidos. A grande diferença é que a proporcionalidade é feita através de uma 
relação matricial, dando origem a auto-indutância e indutâncias mútuas: 
 
φB =
!
B ⋅ n̂ dA∫
ienv =
!
B ⋅d
!
l"∫
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
⇒φn = Ln,mim
Ln,n = Auto-Indutância; 
Lm,n = Indutância Mútua; 
Solenóide: Indutância Mútua 
3 
Considere o sistema ao lado. Iremos analisar quatro situações: 
i) i1 = constante, i2=0 à fluxo produzido na bobina 2: 
 
!
B1 = µ0
N1
l
i1ẑ
 
φ2, (1) = N2
!
B1 ⋅ n̂ dA = N2B1A1
A2
∫
1 2
21 0 1
N NL A
l
µ=
i) i2 = constante, i1=0 à fluxo produzido na bobina 1: 
2
2 0 2 ˆ
NB z
l
iµ=
r
 
φ1, (2) = N1
!
B2 ⋅ n̂ dA = N1B2A1
A1
∫
1(2) 12 2iLφ = 112 120
N NL A
l
µ=
12 21L L=
Note que apesar de L12 =L21 não se 
obtém L21 de L12 trocando-se 1 à 2. 
1H = 1T ⋅m
2
A
=1Wb
A
A unidade SI de indutância é 
o henry (H): 
2(1) 21 1L iφ =
Solenóide: Auto-Indutância 
4 
iii) i1 = constante, i2=0 à fluxo produzido na bobina 1: 
 
!
B1 = µ0
N1
l
i1ẑ
 
φ1, (1) = N1
!
B1 ⋅ n̂ dA = N1B1A1
A1
∫
1(1) 11 1iLφ =
2
1
11 0 1
NL A
l
µ=
iv) i2 = constante, i1=0 à fluxo produzido na bobina 2: 
 
!
B2 = µ0
N2
l
i2 ẑ
 
φ2, (2) = N2
!
B2 ⋅ n̂ dA = N2B2A2
A2
∫
2(2) 22 2iLφ =
2
2
22 0 2
NL A
l
µ=
Solenóide 
ideal: 
(Indutância por unidade de comprimento) 
2
2
0 0L A
N Ll n A
l l
µ µ→⎛= =⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Auto-Indutância e Indutância Mútua 
5 
Quando ambos os solenóides carregam correntes, o 
fluxo total é então proporcional a estas correntes e às 
auto-indutâncias e indutâncias mútuas. Pelo princípio de 
sobreposição podemos escrever esta relação na forma 
matricial como: 
φ1
φ2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
L11 L12
L21 L22
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
i1
i2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Observações: 
1) As auto-indutâncias (que nomearemos apenas como 
indutâncias a partir deste ponto) são constantes reais 
positivas diferente de zero; 
2) A indutância mútua pode assumir qualquer valor real 
(menor, maior ou igual a zero); 
3) Ambas dependem apenas de fatores geométricos 
N espiras 
r 
 Vimos que o campo magnético no interior de um toróide é: 
r
iN
B
π
µ
2
0=
==== ∫ ∫∫
b
a
B r
iNhdrBhdrdAnB
π
µφ
2
ˆ. 0
!
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛=
a
biNh ln
2
0
π
µ
Então: 
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛==
a
bhN
i
NL B ln
2
2
0
π
µφ
Indutância de um toróide 
6 
( = fluxo concatenado) 
 Consideremos uma bobina de N voltas, chamada de indutor, percorrida por 
uma corrente i que produz um fluxo magnético ϕB através de todas as espiras da 
bobina. Se i = i(t), pela lei de Faraday aparecerá nela uma fem dada por: 
fem induzida em indutores 
dt
Nd B
L
)( φε −=
LiN B =φ
 Na ausência de materiais magnéticos, é proporcional à corrente: 
ou: 
i
NL Bφ=
Então: 
dt
diL
dt
Lid
L −=−=
)(ε
(fem auto-induzida) 
(L: auto-indutância) 
 O sentido de é dado pela lei de Lenz: 
ela deve opor-se à variação da corrente que 
a originou (figura). 
i crescendo i decrescendo 
BNφ
BNφ
Lε
7 
Dois cilindros maciços paralelos de mesmo comprimento l e raio a 
transportam correntes iguais em sentidos opostos. Sabendo-se que a 
distância entre os eixos dos cilindros é d, mostre que a indutância por 
unidade de comprimento desse sistema é: 
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −=
a
ad
l
L ln0
π
µ
Despreze o fluxo no interior dos cilindros. 
Exemplo 1 
 O fluxo produzido pelas duas correntes na região 
entre os dois fios é dado por: 
0
0
1 1)
2
ˆ ˆ(
ln
a
E
d
T D
a
B ndA B ndA
r
iB Ldr
d r
L d ia
a
µφ
π
µ
π
− ⎛ ⎞⋅ ⋅ += = + ⎜ ⎟⎝ ⎠
=
−
−= ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
urr r
8 
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −=
a
ad
l
L ln0
π
µ
 Duas bobinas circulares compactas, a menor delas (raio R2 e N2 voltas) sendo 
coaxial com a maior (raio R1 e N1 voltas) e no mesmo plano. Suponha R1 >> R2 . 
 a) deduzir uma expressão para a indutância mútua deste arranjo ; 
 b) Qual o valor de M para N1 = N2 =1200 voltas, R2 = 1,1 cm e R1 = 15 cm? 
 Exemplo 2 
2122122121 ABNNAB =→= φφa) 
1
1
2
2210
212 2
i
R
RNN
N
πµφ =
mH
m
mmH
M 29,2
)015(2
)011,0)(1200)(1200)(/104( 27
=
×
×
=
−ππb) 
M
i
N
M ==
1
212
21
φ
1
2
2210
2R
RNN
M
πµ
=
Então: 
1
10
11 2R
iNB µ=
 Circuitos RL são aqueles que contêm resistências e indutores. 
Neles as correntes e os potenciais variam com o tempo. Apesar 
das
 
fontes (fem) que alimentam estes circuitos serem independentes 
do
 
tempo, a introdução de indutores provoca efeitos dependentes do 
tempo. Estes efeitos são úteis para controle do funcionamento de 
máquinas e motores. 
Circuito básico para analisar 
correntes num indutor. 
a) Fechando-se a chave S, no instante 
t = 0, estabelece-se uma corrente 
crescente na resistência 
Resolver (estudar) este circuito é 
encontrar a expressão para a corrente 
i(t) que satisfaça a equação: 
0=−−
dt
diLRiε
i 
Lε
Circuito RL 
)(00)0(0 titit ⇒≠→=⇒=
10 
 Resolvendo esta equação diferencial 
para i(t), vamos ter: 
(I : corrente máxima, assimptótica) 
L
i
L
R
dt
di ε=+
 Para t muito grande, a corrente atinge um valor máximo constante, 
como se o indutor fosse um fio de ligação comum. 
: voltagem no indutor 
A equação anterior fica: 
Circuito RL 
R
I
R
L
eItie
R
ti
L
tLRt L
ετ
ε τ
==
−=⇒−= −−
e
onde),1()()1()( //
( : constante de tempo indutiva) Lτ
Lε
a 
b 
11 
Circuito RL 
t
L
R
L eL
L
dt
diLV
−
== ε LRt
L eV
/−= ε
εε
εε
37,0
63,0)1(
1
1
==
=−=
−
−
eV
R
e
R
i
L
 Voltagens na resistência e no indutor – figura abaixo 
RiVR = e 
→== máximo,0 LVt
Interpretação de : 
:
R
Lt L ==τPara 
equivalente a um circuito aberto 
Lτ
circuitocurtoumaeequivalent0, −→=>> LL Vt τ
12 
 Ao lado, temos gráficos das tensões 
Em VL, VR e VR+VL= ε para várias situações 
a) e b). 
 
 b) Fechando-se a chave S2: neste caso, a 
equação das quedas de potencial será: 
A solução desta equação é: 
 Variações das voltagens com o tempo: 
Circuito RL 
0=+
dt
diLRi
i
13 
LtLRt eIe
R
ti τε /0
/)( −− ==
13 
 Os termos εi, Ri2 e Lidi/dt são, respetivamente, a potência 
fornecida pela bateria, a potência dissipada na resistência e a taxa com 
que a energia UB é armazenada no campo magnético do indutor, isto 
é: 
Energia armazenada no campo magnético 
LididU
dt
diLi
dt
dU
B
B =→=
∫∫ =
iU
B LididU
B
00
2
2
1 iLUB =
 Do circuito abaixo tem-se: 
dt
diLiiRi
dt
diLiR +=→+= 2εε
a 
b 
14 
Densidade de energia do campo magnético 
 A densidade de energia será dada por: 
Lembrando que resulta que: inB 0µ=
 É a energia por unidade de volume armazenada num ponto 
qualquer do campo magnético. Consideremos o campo magnético de 
um solenóide longo de comprimento l e secção transversal A, 
transportando uma corrente i. 
22
0
2
0
2
2
1Como
2
1
inulAnL
Al
Li
Al
Uu
B
B
B
µµ =→=
==
0
2
2µ
BuB = (densidade de energia magnética) 
15 
 Indutância mútua 
 Fluxos ligados: variação de fluxo da bobina 1 produz uma fem na
 bobina 2 e vice-versa. 
 Indução mútua 2121 ML →
1
212
21 i
N
M
φ
=
dt
di
M
dt
d
NouNiM 121
21
2212121 ==
φφ
dt
di
M 1212 −=εA fem induzida na bobina 2: 
A fem induzida na bobina 1: dt
di
M 2121 −=ε
dt
di
M
dt
di
M
1
2
2
1
−=
−=
ε
ε
A indução é de facto mútua 
MMM == 2112Pode-se provar que: 
16