Unidade III - Sistemas de Numeração e Mudanças de base

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Álgebra e Teoria 
Elementar dos 
Números
Sistemas de Numeração e Mudanças de base
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Ms. Alessandra Garcia de Andrade e Silva
Revisão Técnica:
 Prof. Ms. Fabio Douglas Farias
Revisão Textual:
Profa. Esp.Vera Lídia de Sá Cicarone
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• Introdução
• Sistema de Numeração Egípcia
• Sistema de Numeração dos Babilônios
No caso de dúvidas, coloque-as no fórum de discussão. Estaremos em contato permanente 
com você por meio do ambiente de aprendizagem virtual Blackboard.
Esperamos que você tenha um ótimo aproveitamento!! 
Nossa proposta nesta unidade é compreender a evolução dos 
sistemas de numeração ao longo das civilizações até chegarmos 
ao atual sistema de numeração decimal. Vamos investigar a 
história dos números e as origens das descobertas dos mesmos 
assim como as notações antigas que foram criadas para suprir 
as necessidades do homem.
Trabalharemos também com as diferentes escritas dos números 
e as operações de adição e subtração em diferentes bases.
Sistemas de Numeração e Mudanças de base
• Sistema de Numeração Romana
• Sistema de Numeração Hindu
• Sistema de Numeração Decimal
• Base de um Sistema de Numeração
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Unidade: Sistemas de Numeração e Mudanças de base
Contextualização
A evolução do homem, no sentido numérico, sempre foi na tentativa de construir um sistema 
de numeração que nos permitisse compreender a utilização dos números na vida e que tornasse 
mais rápida e eficaz a realização dos cálculos.
Nesta unidade, a proposta é esta: o conhecimento e o processo de construção do sistema de 
numeração decimal.
C
U
IP
/U
niversity of C
hicago
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Introdução
A criação dos números foi se desenvolvendo junto com as civilizações. A necessidade de 
uma organização para as contagens, as escritas numéricas, as relações monetárias, entre outras, 
foram os fatores iniciais para a evolução dos sistemas de numeração.
 » Linha do tempo
Segundo Boyer (1996, p. 1), 
Noções primitivas relacionadas com os conceitos de número, grandeza e forma 
podem ser encontradas nos primeiros tempos da raça humana, e vislumbre 
de noções matemáticas se encontra em formas de vida que podem datar de 
milhões de anos antes da humanidade.
Os povos primitivos necessitavam de contagens para atividades diárias e de sobrevivência. Ainda 
para Boyer (1996, p. 2), “a ideia de número, a princípio expressa na linguagem de sinais, tornou-se 
ampla e vivida quando surgiu a necessidade de exprimir de alguma forma a propriedade”. Os dedos 
das mãos e dos pés eram utilizados para expressar coleções de até vinte elementos.
Ainda, para Boyer (ibidem):
Quando os dedos humanos eram inadequados, podiam ser usados montes 
de pedras para representar uma correspondência com elementos de um outro 
conjunto. Quando o homem primitivo usava tal método de representação, ele 
frequentemente amontoava as pedras em grupos de cinco, pois os quíntuplos 
lhe eram familiares por observação da mão e pé humanos.
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Unidade: Sistemas de Numeração e Mudanças de base
Sistema de Numeração Egípcia
A civilização egípcia desenvolveu-se ao longo de uma extensa faixa de terra fértil que margeava 
o rio Nilo. Em relação aos números, os Egípcios inventaram um sistema de numeração para 
descrever números baseado em agrupamentos.
• 1 era representado por uma marca que se parecia com um bastão |
• 2 por duas marcas ||
E assim por diante: 
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Dessa forma, trocando cada dez marcas iguais por uma nova, eles escreviam todos os 
números de que necessitavam.
Veja os símbolos usados pelos egípcios e o que significava cada marca.
Observe como eles escreviam o número 322:
Para Ifrah (2001, p. 208), 
[...] os algarismos hieroglíficos sofreram modificações gráficas. Os detalhes 
figurados tornaram-se cada vez menos numerosos e os contornos dos seres e 
objetos representados foram reduzidos ao essencial, passando as novas formas dos 
algarismos egípcios a apresentar apenas uma vaga semelhança com seus protótipos.
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Unidade: Sistemas de Numeração e Mudanças de base
Esse quadro mostra as transformações que o sistema de numeração egípcio sofreu em virtude 
da rapidez que os escribas dos faraós necessitavam para escrevê-los.
Sistema de Numeração dos Babilônios 
Os babilônios escreviam os símbolos numéricos com caracteres cuneiformes, ou seja, em 
forma de cunha, gravados em placas de argila que, depois, eram cozidas. Os símbolos que 
usavam eram os seguintes:
Além da escrita cuneiforme, os babilônios também adotaram o sistema numérico de base 
60 (sistema numérico sexagesimal). Foram eles que dividiram o dia em 24 horas, a hora em 60 
minutos e o minuto em 60 segundos. Os 60 minutos e os 60 segundos são uma prova viva da 
eficiência do sistema sexagesimal e uma herança dos sumérios e babilônios que persiste até os 
dias de hoje. Segundo Boyer (1996, p.18), a semelhança na escrita entre egípcios e babilônios 
ia somente até o número 59. A partir daí, a forma de registro das duas culturas divergia. 
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Talvez fosse a inflexibilidade do material do escriba mesopotâmio, talvez fosse 
uma centelha de inspiração o que fez com que os babilônios percebessem que os 
seus dois símbolos para unidades e dezenas bastavam para representar qualquer 
inteiro, por maior que fosse sem excessiva repetição. Isso se tornou possível pela 
invenção que fizeram, há cerca de 4.000 anos, da notação posicional – o mesmo 
princípio que assegura a eficácia de nossa forma numeral. Isto é, os antigos 
babilônicos viram que seus símbolos podiam ter função dupla, tripla, quádrupla 
ou em qualquer grau, simplesmente recebendo valores que dependessem de 
suas posições relativas na representação de um número (BOYER, 1996, p.18).
Sistema de Numeração Romana
 
É um sistema posicional e aditivo. A numeração romana utiliza sete letras maiúsculas que 
correspondem aos seguintes valores:
Letras Valores
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000
Exemplos: XVI = 16; LXVI = 66.
Se, à direita de uma cifra romana, se escreve outra de valor igual ou menor, o valor desta se 
soma ao valor da anterior.
VI = 6 XXI = 21 LXVII = 67
A letra “I” colocada diante da “V” ou de “X”, subtrai uma unidade; a letra “X”, precedendo 
a letra “L” ou a “C”, subtrai-lhes dez unidades; e a letra “C”, diante da “D” ou da “M”, subtrai-
lhes cem unidades.
IV = 4 IX = 9 XL = 40 XC = 90 CD = 400 CM = 900
Em nenhum número pode-se pôr uma mesma letra mais de três vezes seguidas. 
XIII = 13 XIV = 14 XXXIII = 33 XXXIV = 34
As letras “V”, “L” e “D” não podem se duplicar, porque outras letras (“X”, “C”, “M”) 
representam seu valor duplicado.
X = 10 C = 100 M = 1.000
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Se, entre duas cifras quaisquer, existir outra menor, o valor desta pertencerá à letra seguinte a ela.
XIX = 19 LIV = 54 CXXIX = 129
Quando o valor dos números romanos for multiplicado por mil, são colocadas barras 
horizontais em cima deles. 
Para Ifrah (2001, p. 185), “os romanos acabaram complicando esse sistema, introduzindo 
nele a regra segundo a qual todo signo numérico colocado à esquerda de um algarismo de valor 
superior é abatido”.
O desenvolvimento dos povos do mundo antigo trouxe a necessidade de mais e mais contas, 
mas ainda não havia surgido um sistema que tornasse essas operações mais simples. Os números 
romanos foram usados em toda a Europa até 1.200 anos depois de Cristo. As dificuldades 
encontradas ao se representar números muito grandes implicaram em mudanças sofridas pelo 
sistema numérico romano.
Sistema de Numeração Hindu
A civilização hindu desenvolveu-se no Vale do rio Indo, que, atualmente, faz parte do 
Paquistão. Os matemáticos e astrônomos hindus criaram, ao longo do tempo, um Sistema de 
Numeração que foi se alterando conforme a tabela abaixo:
Fonte :http://numeros-g06.blogspot.com.br/
Esses algarismos,atualmente, chamam-se algarismos indo-arábicos, porque foram adotados 
pelos árabes, que os transmitiram aos europeus.
Segundo Ifrah (2001, p. 297), os árabes “a partir do século VIII, adotaram o conjunto do 
sistema numérico hindu: números, numeração decimal de posição, zero e métodos de calcular”.
Logo, os árabes proclamavam que se tratava do sistema mais simples, prático, fácil e resumido 
de entender e mais cômodo de aprender.
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Sistema de Numeração Decimal
Um sistema de numeração é um conjunto de princípios constituindo o artifício lógico de 
classificação em grupos e subgrupos das unidades que formam os números. A base de um 
sistema de numeração é uma certa quantidade de unidades que deve constituir uma unidade 
de ordem imediatamente superior. Os sistemas de numeração têm seu nome derivado da sua 
base, ou seja, o sistema binário tem base dois, o sistema septimal tem base sete e o decimal tem 
base dez, etc.
Nesse sistema, os números são representados por um agrupamento de símbolos que chamamos 
de algarismos ou dígitos. Esse sistema de numeração apresenta algumas características:
 » utiliza apenas os algarismos indo-arábicos 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9 para representar 
qualquer quantidade.
 » cada 10 unidades de uma ordem forma uma unidade da ordem seguinte. 
Observe.
 · 10 unidades = 1 dezena = 10
 · 10 dezenas = 1 centena = 100
 · 10 centenas = 1 unidade de milhar = 1000 
Outra característica é que ele segue o princípio do valor posicional do algarismo, isto é, cada 
algarismo tem um valor de acordo com a posição que ele ocupa na representação do numeral.
Temos, então, o seguinte quadro posicional (ou de ordens):
4º ordem 3º ordem 2º ordem 1º ordem 
unidade de milhar centena de unidades dezena de unidades unidades
Neste número: 632
 · o algarismo 2 representa 2 unidades e vale 2 (1º ordem);
 · o algarismo 3 representa 3 dezenas, ou seja, 3 grupos de 10 unidades e vale 30 (2º ordem);
 · o algarismo 6 representa 6 centenas, ou seja, 6 grupos de 100 unidades e vale 600 (3º ordem).
Ou seja, 600 + 30 + 2 é igual a 632, que lemos seiscentos e trinta e dois.
Neste número: 7.156 
 · o algarismo 6 representa 6 unidades e vale 6 (1º ordem).
 · o algarismo 5 representa 5 dezenas e vale 50 (2º ordem).
 · o algarismo 1 representa 1 centena e vale 100 (3º ordem).
 · o algarismo 7 representa 7 unidades de milhar e vale 7000 (4º ordem).
Ou seja, 7000 + 100 + 50 + 6 é igual a 7.156, que lemos sete mil, cento e cinquenta e seis.
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Base de um Sistema de Numeração
Base de um sistema de numeração é um conjunto de símbolos ou dígitos necessário para 
representar qualquer número nesse sistema. No sistema decimal, os dígitos ou algarismos são: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Em computação, o sistema é de base dois (binário), cujos dígitos são 
1 e 0. Num sistema de base três, os algarismos usados são: 0, 1 e 2, e assim sucessivamente. 
Num sistema de base “n”, onde a, b, c, d, e, f são alguns de seus dígitos, o número 
abcdef(n) corresponde a a.n5 + b.n4 + c.n
3 + d.n2 + e.n1 + f.n0. O índice (n) indica qual 
a base que se está usando. Não há necessidade de indicar a base quando ela é a base dez, 
pois essa é usada correntemente.
Tomando, por exemplo, o número 122122(3), significa que o número está escrito em base 3 
(indicação do número 3 entre parênteses no final do número) e, para transformar esse número 
em base 10, teremos:
 · 1.35 + 2.34 + 2.33 + 1.32 + 2.31 + 2.30 = 243 + 162 + 54 + 9 + 6 + 2 = 476
 · 122122(3) = 476
Mudança de Base
Observando o exemplo anterior, em que o número aparece decomposto em potências da 
base três, podemos ver que a simples resolução das operações indicadas na base desejada irá 
resultar no número escrito em tal base.
A indicação a.n5 + b.n4 + c.n3 + d.n2 + e.n1 + f.n0 define o processo para transformar um 
número da base dez para outra base. Como pode ser notado, o trabalho consiste em 
converter o número em uma soma de potências inteiras da base multiplicada pelos dígitos 
que ela utiliza. Isso se consegue dividindo o número dado pela base. O resto da divisão 
será o primeiro algarismo da direita do número em tal base. Dividindo o quociente pela 
base, o resto será o próximo algarismo. O processo deve-se repetir até que o quociente se 
torne menor que a base.
Assim, para transformar 6.152 para base 5, temos:
 Logo, temos 1.55 + 4.54 + 4.53 + 1.52 + 0.51 + 2.50 = 3.125 + 2.500 + 500 + 25 + 2 = 6.152
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1) Transformar 1101001(2) para a base 10.
Escrevendo na forma de produto de potências, temos
1101001(2) = 1.2
6 + 1.25 + 0.24 + 1.23 + 0.22 + 0.21 + 1.20 = 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 105
2) Transformar 2263 para a base 3.
Efetuando as divisões por 3, 
 
Portanto, 2263 = 10002211(3) . Observe bem a ordem em que são tomados os restos das 
divisões, do último para o primeiro.
 
Adição em Outras Bases
Como já vimos, o que determina a base num sistema de numeração é a forma de agrupamento. 
No sistema de numeração decimal, cada dez unidades agrupadas determina uma dezena; cada 
agrupamento com dez dezenas determina uma centena; cada agrupamento com dez centenas 
determina uma unidade de milhar, e assim sucessivamente. Segundo Coelho (2003, p.56), 
“nada determina que a base de numeração seja necessariamente dez. Com toda probabilidade, 
esse é o sistema usado quase que universalmente pelo fato de termos dez dedos disponíveis nas 
mãos para nos auxiliar nos cálculos. ”
Se pensarmos num sistema de numeração de base 3, os algarismos disponíveis seriam 0, 1, 2 
e a forma de agrupamento de 3 em 3. Num sistema de base 6, os algarismos disponíveis seriam 
0, 1, 2, 3, 4, 5 e a forma de agrupamento de 6 em 6.
Na tabela abaixo, um comparativo dos numerais de 0 a 10, em base 10 e nas bases 2, 3, 4, 
5, 6 e 8:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Base 2 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010
Base 3 0 1 2 10 11 12 20 21 22 100 101
Base 4 0 1 2 3 10 11 12 13 20 21 22
Base 5 0 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20
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Unidade: Sistemas de Numeração e Mudanças de base
Base 6 0 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14
Base 8 0 1 2 3 3 5 6 7 10 11 12
Iniciaremos o procedimento referente ao algoritmo da adição em base 10 e em outras bases.
Lembre-se de que algoritmo é o procedimento utilizado para realizar o cálculo. No caso da divisão, 
os números devem ser colocados obedecendo unidades, dezenas, centenas, etc., pois utilizaremos o 
agrupamento referente à base, ou seja, base 10: agrupamento 10; base 3: agrupamento 3, etc.
1) Vamos escrever 48 e 29 em base 3 e efetuar a adição desses números em base 3 usando 
o mesmo procedimento aditivo que utilizamos no sistema decimal.
48 = (1210)3
 29 = (1002)3
 
 1210
+ 1002
 (2212)3 = 2.3
3 + 2.32 + 1.31 + 2.30 = 54 + 18 + 3 + 2 = 77 = 48 + 29
Com essa adição, podemos perceber que o algoritmo da adição sempre será o mesmo, 
independente da base utilizada. Nesse caso, não foi necessário nenhum agrupamento.
2) Somar os números 28 e 17 em base 5
28 = 103(5) 17 = 32(5)
Logo, 28 + 17 = 45 = 140(5) = 1.5² + 4.5
1 + 0.50 = 45
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Nesse caso, foi necessário fazer um agrupamento da unidade, ou seja, 5 unidades em base 5 
viraram uma unidade subsequente, que foi acrescentada ao 3, resultando 140(5).
Subtração em Outras Bases
1) Efetuar a subtração entre 58 e 20 em base 4.
58 = (322)4 20 = (110)4
 322
- 110
 (212)4 = 2.4
2 + 1.41 + 2.40 = 32 + 4 + 2 = 38 = 58 – 20
Com essa subtração, podemos perceber que o algoritmo da subtração sempre será o mesmo 
independente da base utilizada. Nesse caso, não foi necessário nenhum agrupamento.
2) Efetuar a subtração entre 100 e 35 em base 6.
100 = (244)6 35 = (55)6
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Unidade: Sistemas de Numeração e Mudanças de base
Temos 4 para tirar 5; não dá. Pegamos emprestado da casa posterior, no caso o 4. Como é 
base 6, empresta 6, mais 4 = 10 tira 5 = 5. 
Segunda casa era 4, emprestou, ficou com 3 paratirar 5; não dá; empresta da casa posterior, 
no caso o 2; empresta 6 mais 3 = 9 tira 5 = 4. 
Terceira casa, 1 menos 0 = 1, resultado 145(6)
145(6) = 1.6
² + 4.61 + 5.60 = 36 + 24 + 5 = 65 = 100 – 35
Nesse caso, foi necessário fazer um empréstimo. Como é base 6, cada unidade emprestada 
“vale 6”, resultando 145(6).
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Material Complementar
Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre os Sistemas de Numeração e sua história, 
sugerimos os sites e as referências a seguir. 
• www.m3.ime.unicamp.br - Esse é o portal principal da coleção M³ Matemática Multimídia, 
que contém recursos educacionais multimídia, em formatos digitais desenvolvidos pela 
Unicamp com financiamento do FNDE, SED, MCT e MEC, para o Ensino Médio de 
Matemática no Brasil.
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Unidade: Sistemas de Numeração e Mudanças de base
Referências
BOYER, Carl B: História da matemática. Tradução de Elza F. Gomide. 2ª ed. São Paulo: 
Edgard Blucher, 1996.
D’AMBROSIO, Ubiratan: Etnomatemática: arte ou técnica de explicar ou conhecer. 4ª.ed. 
São Paulo: Ática, 1998.
EVES, Howard: Introdução à História da Matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. 
1ª ed. São Paulo: Atual, 2004.
IFRAH, Georges: Os números: história de uma grande invenção, 10ª ed. São Paulo: GLOBO, 2001.
MILIES, César Polcino, COELHO, Sonia Pitta: Números, uma introdução à Matemática. 
São Paulo: EDUSP, 2003.
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Anotações
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