Unidade IV - Algoritmo da Divisão

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Álgebra e Teoria 
Elementar dos 
Números
Algoritmo da Divisão
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Ms. Alessandra Garcia de Andrade e Silva
Revisão Técnica:
 Prof. Ms. Fabio Douglas Farias
Revisão Textual:
Prof. Ms. Claudio Brites
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• Introdução
• A Relação de Ordem em Z
• Algoritmo da Divisão
A proposta desta unidade tem a finalidade de aprofundar os conhecimentos matemáticos 
na Teoria dos Números e descrever algumas aplicações práticas. Faremos um estudo dos 
números inteiros e suas propriedades, a divisibilidade, com ênfase no algoritmo da divisão. 
Terminaremos a unidade com questões referentes à Indução Finita.
Ao término do estudo, desejamos que você seja capaz de trabalhar com os números inteiros 
e suas relações. Para ajudá-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os 
exemplos resolvidos, além de treinar com as atividades práticas disponíveis e suas resoluções 
ao final do conteúdo. Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas 
propostas e ao prazo para realização das mesmas. 
 · Nesta unidade, trabalharemos os principais conceitos da 
Teoria dos Números. Iniciaremos pelo Conjunto dos Números 
Inteiros, operações e propriedades, onde nosso foco são as 
questões da divisibilidade nesse conjunto, no que se refere a 
múltiplos e divisores, para chegarmos ao Algoritmo da Divisão. 
Estudaremos também as questões referentes à Indução Finita.
Algoritmo da Divisão
• Propriedades Elementares da Divisibilidade
• Dedução e Indução
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Unidade: Algoritmo da Divisão
Contextualização
Esta prática traduz, em essência, a ideia central por trás do Princípio da Indução Finita, 
e a expressão efeito dominó, comumente utilizada na língua portuguesa, apropria-se bem 
de seu significado.
A Teoria dos Números nasceu cerca de 600 anos antes de Cristo, quando Pitágoras e seus 
discípulos começaram a estudar as propriedades dos números inteiros. Os pitagóricos rendiam 
verdadeiro culto místico ao conceito de número, considerando-o como essência das coisas. 
Acreditavam que tudo no universo estava relacionado com números inteiros ou com razões de 
números inteiros (em linguagem atual, números racionais). Aliás, na antiguidade, a designação 
número aplicava-se só aos inteiros maiores do que um.
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Introdução
Representado pela letra Z, o conjunto dos números inteiros é definido como o conjunto 
formado por todos os números inteiros positivos, negativos ou nulo. Isto é Z = {..., -3, -2, -1, 0, 
1, 2, 3, ...}.
Algumas vezes, desejamos nos referir a partes desse conjunto. Para tal, usamos:
Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0, 1, 2, 3, ...}. Também representado por N 
(conjunto dos números naturais).
Z- = {..., -3, -2, -1, 0} – conjunto dos inteiros não positivos.
Quando se deseja excluir o zero de algum desses conjuntos, usa-se o sinal *. Assim, Z+* = 
{1, 2, 3, ...}. 
No conjunto Z, são definidas as operações adição, subtração e multiplicação. 
1. A adição e a multiplicação apresentam as propriedades comutativas e associativas. 
2. O elemento neutro da adição é o 0, o da multiplicação é o 1. 
3. Para a adição cada elemento x tem o seu simétrico que é -x, tal que x + (-x) = -x + x = 0.
Considerando apenas os inteiros não negativos (Z+), pode-se também definir a operação 
potenciação, pois para todo a ∈ Z+ e b ∈ Z+, ab ∈ Z+.
A Relação de Ordem em Z 
 
 Além das operações descritas anteriormente, o conjunto Z é munido de uma relação de 
ordem (> maior do que), para a qual são verificadas as propriedades:
a. a > b e b > c ⇒ a > c
b. a > b e c > d ⇒ a + c > b + d
c. a > b e c > 0 ⇒ ac > bc
d. a < b e 0 < c ⇒ ac < bc. 
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Unidade: Algoritmo da Divisão
Divisibilidade em Z
Divisor e Múltiplo de um inteiro
Trocando Ideias
O conjunto dos múltiplos de um número natural não-nulo é infinito, e podemos consegui-lo 
multiplicando o número dado por todos os números naturais. 
Divisores são números que dividem outros, desde que a divisão seja exata.
Definição: Se “a” e “b” são dois inteiros, com a ≠ 0, dizemos que “a” divide “b”, se existe 
um inteiro q, tal que b = aq. Indicamos “a” divide “b” por a | b. Quando “a” não divide 
“b”, indica-se a b . 
Quando a | b, dizemos que “a” é divisor de “b” ou que “b” é múltiplo de “a”. 
Exemplo: 
 2 | 6 pois existe o inteiro 3, tal que 6 = 2.(3) 
-5 | 30 pois existe o inteiro –6, tal que 30 = (-5)(-6). 
 3 8 pois não existe nenhum inteiro “q”, tal que 8 = 3q. 
Propriedades 
1 - Se a | b, então (-a) | b. 
Demonstração:
a | b → ∃ q ∈ Z tal que b = aq → b = (-a)(-q). Sendo q um inteiro, -q também é um 
inteiro. Portanto, -a | b. 
2 - ∀ “a” inteiro e diferente de zero, a | 0 e a | a. 
Demonstração:
a | 0 pois 0 = a.0 (0 é inteiro) 
a | a pois a = a.1 (1 é inteiro) 
3 - ∀ a inteiro, 1 | a.
Demonstração:
1 | a pois a = 1.a. 
4 – Se a | 1, então a = 1 ou a = -1. 
Demonstração: 
Se a | 1, então 1 = aq, com q inteiro. Como 1 só é múltiplo de 1 e de –1, então a = 
1 e q = 1 ou a = -1 e q = -1. Portanto, a = 1 ou a = -1. 
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5 – Se a | b e c | d, então ac | bd.
 Demonstração:
Se a | b, então ∃ q ∈ Z, tal que b = a.q (1) 
Se c | d, então ∃ q’ ∈ Z, tal que d = c.q’ (2). 
Multiplicando membro a membro (1) por (2), resulta: bd = aqcq’ = (ac)(qq’). Como 
qq’ é inteiro, ac | bd. 
6 – Se a | b e b | a, então a = ± b. 
Demonstração: 
Se a | b, então ∃ q ∈ Z tal que b = aq. (1) 
Se b | a, então ∃ q’ ∈ Z tal que a = bq’ (2) 
Substituindo o valor de b (1) em (2), resulta a = aqq’ → qq’ = 1 → q’ = ± 1. 
Substituindo esse valor em (2), resulta a = b(± 1) → a = ± b. 
7 – Se a | b, com b ≠ 0, então | a | ≤ | b |. 
Demonstração:
Se a | b, com b ≠ 0 → ∃ q ∈ Z, tal que b = aq com q ≠ 0 → | b | = | a |. | q |
Como q ≠ 0, | q | > 1 → | b | ≤ | a | ou | a | ≤ | b |. 
8 – Se a | b e a | c, então a | (bx + cy), ∀ x, y ∈ Z.
Demonstração:
Se a | b, então b = aq(1). Se a | c, então c = aq’ (2). 
Ora, bx + cy = aqx + aq’y → bx + cy = a(qx + q’y) → a | bx + cy, pois qx + q’y é 
um inteiro.
Algoritmo da Divisão
Sejam os inteiros “a” e “b”, com b ≠ 0. Na divisão de “a” por “b”, existem os inteiros “q” e 
“r”, tais que a = bq + r, com 0 ≤ r < | b |, sendo “q” e “r” únicos. 
 Os termos são assim denominados: 
a = dividendo
b = divisor
q = quociente
r = resto
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Unidade: Algoritmo da Divisão
De acordo com a definição, o resto é um número positivo menor que o divisor. Assim, por 
exemplo, ao dividir qualquer inteiro por 5 ou por –5 os restos possíveis são 0, 1, 2, 3, 4. 
Como pode ser notado, o maior resto possível é sempre 1 unidade a menos que o 
módulo do divisor. 
Exemplo 1: Na divisão de 432 por 17, temos:
Observe que ao dividir 43 por 17 obtém-se 2. O produto 2 . 17 = 34 é subtraído do 43, 
restando 9. Por isso, abaixo do 43 foi posicionado o – 34. Dividindo 92 por 17, obteve-se 5. O 
produto 5 . 17 = 85 é subtraído do 92, obtendo o resto 7.
Desta forma, 432 dividido por 17 resulta em um quociente 25 e resto 7.
Exemplo 2: Vejamos agora a divisão de (-325) por 23
 
Nesse caso, dividindo –32 por 23 obtém-se -1. O produto 23.(-1) = - 23 deve ser subtraído 
de –32, o que resulta –32 – (-23) = -32 + 23 = -9. Fato semelhante resulta na divisão de – 95 
por 23, obtém-se –4 e a –95 – (-92) = -95 + 92 = -3 
De acordo com a definição da divisão, o resto “r” deve ser tal que 0 < r < |23|. Portanto, 
não se pode aceitar o resto –3. 
Pelo algoritmo da divisão temos: -325 = (-14) . 23 – 3. Já sabemos que o resto não pode 
ser negativo, então, para que se obtenha um resto positivo, como temos o divisor igual a 23, 
devemos acrescentar 23 para que tal resto fique positivo, e -23 para acrescentar uma unidade 
ao múltiplo -14 do 23, logo teremos:
-325 = (-14) . 23 - 3 + 23 - 23
- 325 = (-14) . 23 + 20 (– 1).(23)
- 325 = (-14) . 23 + (– 1).(23) + 20
- 325 = (-15) . 23 + 20
Logo (-325) dividido por 23, tem quociente (-15) e resto 20.
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Exemplo 3: Na divisão 256 por (-7), temos:
 
 256 = (-7) . (-36) + 4, quociente (-36) e resto 4Exemplo 4: Na divisão de (-148) por (-12) Na divisão de (-148) por (-12)
 Pelo algoritmo da divisão temos: (-148) = (-12) . 12 – 4. Como o o resto não pode ser 
negativo, então, para que se obtenha um resto positivo, como temos o divisor igual a (-12), 
devemos acrescentar 12 para que o tal resto fique positivo e -12, para acrescentar uma unidade 
ao múltiplo -12 do 12, logo teremos:
 
(-148) = (-12) . 12 - 4 + 12 - 12
(-148) = (-12) . 12 + 8 + 1. (-12)
(-148) = (-12) . 13 + 8
Logo (-148) dividido por (-12), tem quociente 13 e resto 8
Exemplo:
Uma sequência de 100 bandeiras enfeita uma comemoração cívica. A primeira bandeira é 
vermelha, a segunda é azul, a terceira é amarela, a quarta é vermelha, a quinta é azul, a sexta 
é amarela e assim por diante.
a. Qual é a cor da bandeira que está em 80º lugar?
b. Foram feitas quantas bandeiras de cada cor?
Resolução: Temos 100 bandeiras, distribuídas em 3 cores: vermelha, azul e amarela. Pelo 
algoritmo da divisão, temos:
Logo, serão 33 sequências completas e sobra 1 bandeira.
(-148) = (-12) . 12 - 4 + 12 - 12
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Unidade: Algoritmo da Divisão
O número 80 não é múltiplo de 3. O último múltiplo de 3 antes do 80 é o 78. Logo, a 78ª 
bandeira tem a cor amarela, a 79ª tem a cor vermelha, e a 80ª é AZUL.
Pelo algoritmo da divisão, vimos que são 33 sequências completas e sobra 1 bandeira. Logo, 
são 34 bandeiras vermelhas, 33 bandeiras azuis e 33 bandeiras amarelas.
Propriedades Elementares da Divisibilidade
Abaixo a, b, c, d são inteiros. Em cada situação vamos verificar se são verdadeiro ou falso. 
Se falso, dê um contra exemplo. 
a. Se a divide b e a divide c, então a divide (b+c). 
Verdadeiro 
a | b → ∃ q1 ∈ Z / b = a . q1
a | c → ∃ q2 ∈ Z / c = a . q2
b. Se a divide b e a divide c, então, para todos m, n inteiros, a divide (mb + nc).
Verdadeiro 
 
a | b → ∃ q1 ∈ Z / b = a . q1 → b.m = a(q1 . m)
a | c → ∃ q2 ∈ Z / c = a . q2 → c.n = a(q2 . m)
c. Se a divide (b+c), então a divide b e a divide c.
FALSO – Contra exemplo: 5 | (2 + 3) e 5 2 e/ou 5 3 
d. Se a divide b, então (a + c) divide (b + c).
FALSO – Contra exemplo: 5 | 15 e (5 + 2) (15 + 2)
 
e. Se a divide b e b divide c, então a divide c.
VERDADEIRO
(b + c) = a (q1 + q2) → a | (b + c)
b.m + c.n = a (q1 . m + q2 . n) → a | (m.b + n.c)
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Tese {a|c
a | b → ∃ q1 ∈ Z / b = a . q1
a | c → ∃ q2 ∈ Z / c = a . q2
f. Se a divide b e a divide c, então a divide bc.
VERDADEIRO
 Tese {a | b.c
 
a | b → ∃ q1 ∈ Z / b = a . q1
a | c → ∃ q2 ∈ Z / c = a . q2
g. Se a divide bc, então a divide b ou a divide c.
FALSO – Contra exemplo: 6|(2.3) e 6 2 e 6 3
h. Se a divide b e c divide d, então ac divide bd.
FALSO – Contra exemplo: 15 | 15 e 3 | 15 e (15.3) 15
Dedução e Indução
Consideremos as seguintes sequências de raciocínio:
I. Todo homem é mortal.
Sócrates é mortal.
Então, Sócrates é homem.
II. Seja o trinômio: n2 + n + 17. Se fizermos n = 0, 1, 2, 3, 4 e 5, obtemos: 17, 19, 23, 29, 37, 
47. Todos esses resultados são números primos. Poderíamos daí concluir que: para todo n 
∈ N, n2 + n + 17 é um número primo.
As duas conclusões são evidentemente falsas, pois:
I. “Sócrates pode ser um gatinho”, que é mortal mas não é homem e, 
II. para n = 17, n2 + n + 17 = 17x19, que não é primo. A sentença é verdadeira para n ≤ 16.
Entretanto, raciocínio como esses, desde que seguidas algumas regras, poderão ser válidos.
No exemplo I, partimos de uma afirmação geral para se chegar a uma afirmação particular. 
Um raciocínio desse tipo é chamado de Dedução. No exemplo II, de algumas situações 
particulares tentou-se chegar a uma afirmação que poderia ser válida para todas as situações. 
(b . c) = a (a.q1 .q2) → a | b.c
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Unidade: Algoritmo da Divisão
Esse tipo de raciocínio é chamado de Indução, ou seja, a indução e a dedução são formas 
opostas de raciocínio.
 » Indução: raciocínio em que, de fatos particulares se chega a uma conclusão geral (vai 
de uma parte ao todo).
 » Dedução: raciocínio que parte do geral para o particular (vai do todo a uma parte).
Indução Matemática
Segundo Elon Lages de Lima, o Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a 
demonstração de fatos referentes aos números naturais. Por isso, deve-se adquirir prática em 
sua utilização. Por outro lado, é importante também conhecer seu significado e sua posição 
dentro do arcabouço da Matemática. Entender o Princípio da Indução é praticamente o mesmo 
que entender os números naturais.
O Princípio da Indução diz o seguinte: Seja P uma propriedade referente a números naturais. 
Se 1 goza de P e se, além disso, o fato de o número natural n gozar de P, implica que seu sucessor 
s(n) também goza, então todos os números naturais gozam da propriedade P. Para ver que o 
Princípio da Indução é verdadeiro, basta observar que, dada a propriedade P, cumprindo as 
condições estipuladas no enunciado do Princípio, o conjunto X dos números naturais que gozam 
da propriedade P contém o número 1 e é indutivo. Logo, X = N, isto é, todo número natural goza 
da propriedade P. As propriedades básicas dos números naturais são demonstradas por indução. 
Demonstração 1: Prove por indução que:
1² + 2² + .... + n² = ( 1)(2n 1)
6
n n + +
 » Passo base:
Para n = 1 1(1 1)(2.1 1)6
+ + = 
1.2.3
6
 = 
6
6 = 1 = 1², o passo base é verdadeiro.
 » Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k, k ≥ 1, então deve ser verdadeiro 
para n = k + 1
 » Hipótese indutiva:
1² + 2² + .... + k² = k k( )( k )+ +1 2 1
6
, k≥ 1
 » Deve-se mostrar que:
1² + 2² + .... + k² + (k + 1)² = 
( )( )( )k k k+ + +1 2 2 3
6
 » Sabe-se que:
1² + 2² + .... + k² + (k + 1)² = 
2k(k 1)(2k 1) (k 3)
6
+ + + +
 =
 =
( )( ) ( )1 2 1 6 1 ²
6
k k k k+ + + +
(k 1)[k(2k 1) 6(k 1)]
6
+ + + +
( ) 21 2 6 6
6
k k k k + + + + 
15
 =
 = como queríamos provar. 
Demonstração 2: Prove por indução que:
2.1 + 2.2 + 2.3 + .... + 2n = n² + n, n ≥ 1
 » Passo base:
Para n = 1 1² + 1 = 2 o passo base é verdadeiro.
 » Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k, k ≥ 1, então deve ser verdadeiro 
para n = k + 1
 » Hipótese indutiva:
2.1 + 2.2 + 2.3 + .... + 2k = k² + k
= k (k + 1) , k ≥ 1
 » Deve-se mostrar que:
 2.1 + 2.2 + .... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)² + (k + 1)
= (k + 1)[(k + 1) + 1]
= (k + 1)(k + 2), k ≥ 1
 » Sabe-se que:
2.1 + 2.2 + .... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
 = k² + k + 2k + 2
 = k² + 3k + 2
 = (k + 1)(k + 2), como queríamos provar
Demonstração 3: Prove por indução que:
Para qualquer inteiro positivo n, 2n > n, n ≥ 1
 » Passo base:
Para n = 1 21 > 1 o passo base é verdadeiro.
 » Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k, k ≥ 1, então deve ser verdadeira 
para n = k + 1
 » Hipótese indutiva:
2k > k n = k ≥ 1
 » Deve-se mostrar que:
2k + 1 > k + 1
 » Sabe-se que:
Como queríamos provar.
( ) 21 2 7 6
6
k k k + + + 
( )( )( )1 2 2 3
6
k k k+ + +
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Unidade: Algoritmo da Divisão
Material Complementar
Para aprofundar seus estudos sobre Teoria dos Números, sugerimos os sites e as referências a seguir. 
www.m3.ime.unicamp.br - Esse é o portal principal da coleção M³ Matemática Multimídia, 
que contém recursos educacionais multimídia em formatos digitais. Eles são desenvolvidos 
pela Unicamp com financiamento do FNDE, SED, MCT e MEC, para o Ensino Médio de 
Matemática no Brasil.
http://poti.impa.br/
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Referências
BOYER, C. B. História da matemática. Tradução de Elza F. Gomide. 2. ed. São Paulo: 
Edgard Blucher, 1996.
EVES, H. Introdução à História da matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. 1. 
ed. São Paulo: Atual,2004.
IFRAH, G. Os números história de uma grande invenção. 10. ed. São Paulo: GLOBO, 2001.
LIMA, E. L. Curso de Análise. Rio de Janeiro: IMPA, Cnpq, 1996.
______. Indução Matemática. Revista Eureka. Disponível em: <http://www.obm.org.br/
export/sites/default/revista_eureka/docs/artigos/inducao.doc>. Acesso em 18 jun. 2014.
MILIES, C. P. COELHO, S. P. Números, uma introdução à Matemática. São Paulo: 
EDUSP, 2003.
PEREIRA, P. C. A. O princípio da indução finita: uma abordagem no Ensino Médio. 
Dissertação de Mestrado. IMPA, 2013
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Anotações
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