Métodos de Euler aperfeiçoado e modificado para solução de equações diferenciais ordinárias

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Métodos de Euler aperfeiçoado e modificado para solução de equações
diferenciais ordinárias
Improved and modified Euler methods for the resolution of ordinary differential equations.
Soeiro. L. A.*. Lima. R. J.A. T.**
* Engenharia de alimentos, Universidade Federal do Maranhão- Imperatriz, Brasil (E-mail:
ariane.soeiro@discente.ufma.br).
**Engenharia de alimentos, Universidade Federal do Maranhão- Imperatriz, Brasil (E-mail:
thaina.rodrigues@discente.ufma.br).
Abstract: The different areas of physical engineering represent all the phenomena of nature in the most
diverse, between chemistry, physics and physics. The solution to the solution of workarounds is difficult
to solve, as the analytical methods are suitable for the uncomplicated solution solutions. For this reason,
they were created to find the exact result or different methods, one of these methods is the modified
Euler method which consists of determining two derivatives (two tangent lines) one at the starting point
and another interval, one at the starting point and at the ending point, where it is used as two straight
lines for the calculation and at the end the average is made. The numerical calculator is in the MatLab
software, where we study, analyze and compare the results of the solutions.
Resumo: As equações diferenciais ordinárias representam inúmeros fenômenos da natureza nas mais
diversas áreas, entre a química, física e engenharia. A solução para parte dessas equações é difícil de ser
encontrada, pois métodos analíticos de solução não são adequados para as características da equação.
Por este motivo foram criados métodos para se encontrar o resultado preciso dessas equações, um
desses métodos é o de Euler modificado ou como é mais conhecido, método de Euler aperfeiçoado, que
consiste em determinar duas derivadas (ou seja, duas retas tangentes) para o intervalo, uma no ponto
inicial e outra no ponto final, onde utiliza-se as duas retas para o cálculo e no final faz-se a média delas.
A simulação numérica é executada no software MatLab, onde estudamos, analisamos e comparamos os
resultados das soluções.
Keywords: Ordinary differential equations. Modified Euler method. Improved Euler's
method. Solution. Equations
Palavras-chaves: Equações diferenciais ordinárias. Método de Euler modificado. Método de
Euler aperfeiçoado. Solução. Equações.
1. INTRODUÇÃO
O método de Euler modificado é uma técnica
numérica explícita de passo simples usada para
resolver EDOs de primeira ordem. Ela é uma versão
modificada do método explícito de Euler.
Embora as equações diferenciais
constituam uma classe de equações de grande
visibilidade, onde desenvolvem-se vários estudos,
principalmente por ser a base das modelagens de
inúmeros problemas que se tem interesse em
resolver, até o presente momento existem equações
que não permitem serem resolvidas por meio de
métodos exatos. Justamente por isso, diversos
problemas dentro da área das ciências e
engenharias, por exemplo, só admitem soluções
aproximadas, e são justamente os métodos
numéricos que fornecem essas aproximações. A
necessidade de se resolver problemas cujas
mailto:ariane.soeiro@discente.ufma.br
mailto:thaina.rodrigues@discente.ufma.br
modelagens resistiam às técnicas analíticas
impulsionou o estudo e aplicação de técnicas
numéricas capazes de calcular soluções que
substituem a solução analítica, pois tratam-se de
aproximações extremamente eficientes.
Por ser fermentado e rico em probióticos, o
chucrute pode ter vários benefícios para a saúde,
melhorando a digestão e a absorção de nutrientes,
fortalecendo o sistema imune e promovendo uma
melhora geral do estado de saúde. [1]
2. MÉTODO DE EULER MODIFICADO
PARA SISTEMAS DE EDO’s
A principal hipótese adotada no método explícito de
Euler assume que a derivada entre os pontos (xi , yi
) e (xi + 1, yi + 1) em cada subintervalo seja
constante e igual à derivada de y(x) no ponto (xi , yi
). Essa hipótese é a principal fonte de erros nesse
método. No método de Euler modificado, a
inclinação utilizada no cálculo do valor de yi + 1 é
modificada para incluir o efeito de variação desse
parâmetro ao longo do intervalo. A inclinação
usada no método de Euler modificado é a média da
inclinação no início do intervalo e de uma
estimativa para a inclinação no final do intervalo. A
inclinação no início do intervalo é:
𝑑𝑦
𝑑𝑥 |𝑥=𝑥𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)
A estimativa para a inclinação no final do intervalo
é determinada primeiramente com o cálculo de um
valor aproximado para a variável yi + 1, escrita
como , usando o método explícito de Euler:
e depois com a estimativa para a inclinação no final
do intervalo com a substituição do ponto na
equação que envolve 𝑑𝑦𝑑𝑥
Uma vez calculadas as duas inclinações, uma
melhor estimativa para o valor de yi + 1 é calculada
a partir da média dessas inclinações:
3.ALGORITMO EDO 2
A implementação do algoritmo em questão é
apresentada abaixo.
%% Euler explícito:
x(1) = 0;
y(1) = 1;
h = 0.1; % passo de integração
n = 1;
while x(n) <= 1.5
k1 = x(n) - y(n);
k2 =(x(n) + h) - ( y(n) + k1*h );
k = ( k1 + k2)/2;
y(n + 1) = y(n) + k*h;
x(n + 1) = x(n) + h;
n = n + 1;
end
%% Solucao analitica:
x_an = -0.1:0.001:1.5;
y_an = x_an + 2*exp(-x_an) - 1;
%% Plotagem:
plot(x,y, 'o', x_an, y_an,'r')
title('edo2')
legend('Euler explicito', 'Sol analitica')
4. ALGORITMO EDO 3
clc; clear all; close all
%% Euler modificado:
t(1) = 0.5;
y(1) = -1;
h = 0.1; % passo de integração
n = 1;
while t(n) <= 2
k1 = y(n) + t(n)^3;
k2 = ( y(n) + k1*h ) + (t(n) + h)^3;
k = ( k1 + k2 )/2;
y(n + 1) = y(n) + k*h;
t(n + 1) = t(n) + h;
n = n + 1;
end
%% Solucao analitica:
t_an = -0.1:0.001:2;
y_an = -t_an.^3 - 3*t_an.^2 - 6*t_an - 6 +
71*exp(t_an)/(8*exp(0.5));
%% Plotagem:
plot(t,y, 'o', t_an, y_an,'r')
title('edo3')
legend('Euler modif', 'Sol analitica')
5. RESULTADOS DOS TESTES
As equações a seguir, foram resolvidas utilizando o
método de Euler modificado:
5.1 EDO 2
ⅆy/ⅆx= x - y
os intervalos da função são:
x = 0 a 1.5 com y(0) = 1
Figura 1: Posição de Euler modificado em relação a
solução analítica.
5.2 EDO 3
ⅆy/ⅆx=y+t^3
com intervalos da função em:
t = 0,5 a t = 2 com y(0,5) = -1
Figura 2: Temos uma certa sobreposição do Euler
modificado sobre a solução analítica.
6. REFERÊNCIAS
Fontana, Éliton. (2018) Métodos Numéricos em
Engenharia Química. Universidade Federal do
Paraná – UFPR. Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Química -PPGEQ.
Romanazzi, Guiseppe. (2020) Equações
Diferenciais Ordinárias e Problemas de valor
inicial. M ́ métodos de Euler e Crank-Nicolson.
Takana, Victoria. (2016) Método de Euler Explícito
para Resolver EDOs. Escola Politécnica -
Universidade de São Paulo.