Capítulo 3 – Vigas Curvas

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Capítulo 3 - Flexão de Peças Curvas 
3.1. Generalidades 
 
No estudo que se segue, admite-se que a linha que une os centros de 
gravidade das seções transversais da barra, chamada linha dos centros, seja uma 
curva plana e que as seções transversais tenham um eixo de simetria neste plano. 
 
Algumas hipóteses: 
 
a) O plano que contém o eixo da barra é também o plano da solicitação; 
b) A seção reta da peça admite pelo menos um eixo de simetria que é 
coplanar com o eixo da barra. 
 
Esforços solicitantes: 
 
a) Momento Fletor; 
b) Força Normal; 
c) Força Cortante; 
 
3.2. Flexão Pura 
 
Considera-se, primeiramente, o caso de uma barra de seção transversal 
constante sujeita à flexão pura, produzida por conjugados aplicados em suas 
extremidades. 
 
Convenção: O momento fletor é positivo quando tende a retificar a peça. 
 
Hipótese Básica: As seções permanecem planas após a deformação (seções 
cheias). 
 
 Seção bc ficará na posição ef, após a deformação, sofrendo um giro de d ; 
 Seja uma fibra genérica gh compreendida entre duas seções que formam 
um ângulo  , a deformação específica da fibra gh será: 
 
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2
 
gh
'hh ou 

r
r)d(Rε 
 
r
r
R
r
e
a
b
c f
dØ
g
h
h'
a
b
c f
dØ
g
h
h'
y
linha neutra
C
dA
M
M e
Ø
e
e
 
 
Como  E , tem-se, 
 


r
d)rR( . E
 → 

 d . E
)rR(
r . 
 
 
A posição da linha neutral pode ser obtida pela condição da estática, ou seja, 
  0Fn e 0dA 
A
 → 0dAr d)rR( . EA 
 
 
Como E, R,  e d são constantes, tem-se, 
 
0dA
r
dAR
A
  → 

A r
dA
AR (posição da linha neutra → não passa pelo centróide) 
 
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Conhecendo-se R, a distribuição de tensões ficará conhecida fazendo-se a 
igualdade do momento interno da seção resistente com o momento aplicado M. 
 
 
A
r) - (R dA x . M ou    A
2
dA
r
d)rR( . EM 
 força braço 
 de alavanca 
 
como, 

 d . E
)rR(
r . 
 →  
A
22
dA
r
rRr2R
r)-(R
r . M 
 


  
AAAA
2
dA . rdARdAR
r
dAR
r)-(R
r . M 
Ou então, 



 


  
AAAA
dA . rdARdA
r
dARR
r)-(R
r . M → 
 
 0 AR  Ar  
 
   R- r
r)-(R
 Ar. . A. R- A. r
r)-(R
r . M  → 
 
)Rr( A. r
r)-(R . M
 => Eq. das Tensões (Hipérbole) 
 
No caso de y ser positivo quando medido a partir do eixo neutro, na direção do 
centro de curvatura, tem-se, 
 
R – r = y → r = R – y e como Rre  , tem-se, 
 
)yR( e .A 
y . M
 que para vigas retas, I
y . M 
 
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A máxima tensão em módulo é sempre verificada no lado interno (côncavo) da 
peça. Tal fato provém do eixo neutro estar deslocado na direção do centro de 
curvatura da peça. 
 
Tal expressão só é válida para a distribuição de tensões em regime elástico em 
vigas sujeitas somente à momento fletor. 
 
3.3. Flexão Composta 
 
Para o caso de a seção em estudo estar submetida a esforços de flexão e 
esforços normais, a tensão normal será obtida pela superposição dos efeitos, através 
da equação a seguir. Nesta equação, a primeira parcela fornece a tensão normal 
devido ao esforço normal na seção e a segunda, a tensão normal devido à flexão. 
 
)Rr( A. r
r)-(R . M
A
P
 
 
3.4. Cálculo de R (Posição da Linha Neutra) 
 
Para o caso de seções retangulares, tem-se, 
r
r
R
r
dr
C
o
b
h
i
e
r
 


A r
dA
AR , onde A = b.h e  








2
hr
2
hr
ie
A
rrln.b
2
hr
2
hr
lnb
r
drb
r
dA
 
 
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=> 






2
hr
2
hr
ln
hR => 



i
e
r
rln
hR 
 
Figura geométrica Área 
A r
dA
 
r
r
b
h
i
e
r
r
b
h
i
e
r
2c
r
2b
2a
 
 ie rrb  



i
e
r
rln.b 
Erro! Não é possível criar 
objetos a partir de códigos de 
campo de edição. 
b
r
rln
rr
r.b
i
e
ie
e 



 
2c 

  22 crr2 
ab 

  22 arr
a
b2
 
 
 
Desenvolvendo-se as funções logarítimicas em série e tomando-se o primeiro 
termo da série, o que para h/r < ½ oferece precisão suficiente, tem-se, 
 
2
2
r2
hr
3
1e 

 
 
Para o caso de seções circulares, tem-se, 
 
   22 crr21e , onde c é o raio da seção transversal. 
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Exemplo 3.1 – Compactar as tensões na viga de seção retangular de (0,50 x 0,50)m 
submetida a um momento fletor de 2000 kN.m para os seguintes casos: 
 
a) Viga Reta; 
b) Viga Curva com raio de curvatura na linha dos centróides de 2,5 m; 
c) Viga Curva com r =0,75 m. 
 
Solução: 
 
a) Viga Reta 
 
36
223
mm1083,20
6
500.500
6
h.b
h
2
12
h.b
c
lW  
 
MPa96
Nmm1083,20
Nmm102000
W
M
6
6
máx 
 
 
 
 
b) Viga Curva com r = 2500 mm. 
 
mm225025,05,2r
mm275025,05,2r
i
e


 mm64,2491
25,2
75,2ln
500R 


 
 0,20067 
 
mm36,8m00836,049164,25,2Rre  
 
Logo, as tensões serão: 
 
      MPa8,102mm36,8500500mm2250 225064,2491Nmm102000Rr.A.r rRM
6
i
i
i 

 
 
      MPa9,89mm36,8500500mm2750 275064,2491Nmm102000Rr.A.r rRM
6
e
e
e 

 
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c) Viga Curva com r = 750 mm. 
 
mm500r
mm1000r
i
e


 mm348,721
500
1000ln
500R 


 
 
mm6525,28348,721750Rre  
 
      MPa6,1236525,28500 500348,721102000Rr.A.r rRM 3
6
i
i
i 

 
 
      MPa8,776525,285001000 1000348,721102000Rr.A.r rRM 2
6
e
e
e 

 
 
Erro percentual devido ao uso da Lei Linear 
 
h
r i e 
1 +36,4 -34,8 
2 +16,5 -16,5 
3 +11,8 -10,9 
4 +8,1 -8,4 
5 +6,4 -7,0 
10 +3,4 -3,2 
 
 
 Para 10
h
r  , é possível para o cálculo de tensões, desprezar-se o efeito da 
curvatura da peça. 
 
 
 
 
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Exemplo 3.2 – Qual a carga máxima que a peça abaixo resiste sabendo-se que, 
er = 550 mm e ir = 300 mm, e que o material é frágil com MPa100t  e MPa180c  ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  mm74,112250150
2
2505,622
2
250250150250
2
2505,622
A
y.A
y 


 
 
 
 
   P.26,73774,112250300300Pd.PM  
 
=> Posição da Linha Neutra 
 
Retângulo 
 
mm6873,166
300
550ln.275
r
rln.b
r
dA
A 1
2 




 
 
Triângulo 
 
  mm8437,205,62300
550ln.
300550
550.5,62b
r
rln
rr
r.b
r
dA
A 1
2
12
2 





 
 
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  mm00,4258437,20.26873,166
250.5,62.
2
12250.275
r
dA
A
R
A






 
 
 
mm26,43774,112250300y250rr i  
 
      P10.46,23842526,437.53125.300 300425.P.26,73753125PRr.A.r rRMAP 6i icompA 




 
 
P.104,490 6compA
 
 
      P10.46,23842526,437.53125.550 550425.P.26,73753125PRr.A.r rRMAP 6e etraçãoA 




 
 
P.10.46,238 6traçãoA
 
 
 
KN0,367P180P.10.4,490 6   
 Logo, P = 367 KN 
KN4,419P100P.10.46,238 6  