TEORIA DOS CONJUNTOS-EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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Exercícios conjuntos 
1) Considere os conjuntos A = {2, 4, 5, 12, 40, 53} e B = {9, 12, 30, 90}, 
determine A – B, A ∪ B e A ∩ B. 
 
 
2) Sejam os conjuntos A = {1, 4, 5, 8}, B = {1, 2, 8} e C = {3, 8, 12}, 
determine: 
a) A ∩ (B ∩ C) 
b) A – (A ∩ B) 
c) (A ∪ B) ∩ (B ∪ C) 
RESPOSTA 
A – B é todos os elementos que estão em A e não estão em B. 
Logo: A – B = {2, 4, 5, 40, 53} 
A ∪ B é a união de todos os elementos dos conjuntos A e B. 
Logo: A ∪ B = {2, 4, 5, 9, 12, 30, 40, 53, 90} 
A ∩ B é o conjunto formado por todos os elementos que estão em ambos os 
conjuntos. 
Logo: A ∩ B = {12} 
 
RESPOSTA 
a) B ∩ C = {8}  Logo: A ∩ (B ∩ C) = {8} 
 
b) A ∩ B = {1, 8}  Assim: A – (A ∩ B) = {4, 5} 
 
c) A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 8} 
B ∪ C = {1, 2, 3, 8, 12} 
Então: (A ∪ B) ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 8} 
 
 
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3) Sejam os conjuntos A e B definidos pelas imagens abaixo, determine o 
valor de x sabendo que o total de elementos dos conjuntos é 120. 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTA 
4 + 2x + x + 12 + x = 120 ⇒ 
4 + 12 + 4x = 120 ⇒ 
16 + 4x = 120 ⇒ 
4x = 120 – 16 ⇒ 
4x = 104 ⇒ 
x = 104/4 ⇒ 
x = 26 
Portanto, o valor e x é 26. 
 
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4) Sejam A, B e C conjuntos, demonstre que: 
a) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 
b) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTA 
a) Temos que: 
Se x ∈ [(A ∩ B) ∩ C], então x ∈ (A ∩ B) e x ∈ C 
Se x ∈ (A ∩ B), então x ∈ A e x ∈ B 
Como x ∈ C, logo x ∈ A e x ∈ (B ∩ C) ⇒ x ∈ [A ∩ (B ∩ C)] 
Portanto, (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 
 
b) Temos que: 
Se x ∈ [(A ∪ B) ∪ C], então x ∈ (A ∪ B) ou x ∈ C 
Se x ∈ (A ∪ B), então x ∈ A ou x ∈ B 
Como x ∈ C, logo x ∈ A ou x ∈ (B ∪ C) ⇒ x ∈ [A ∪ (B ∪ C)] 
Portanto, (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 
 
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5) Sejam A, B e C conjuntos, demonstre as leis de Morgan abaixo: 
a) 
b) 
RESPOSTA 
a) Temos que mostrar que 
Seja x ∈ , então x ∉ (A ∪ B), assim x ∉ A ou x ∉ B, Logo 
x ∈ e x ∈ ⇒ x ∈ 
Agora temos que mostrar que 
Dessa forma, considerando que x ∈ ⇒ x ∈ e x ∈ . 
Logo, x ∉ A e x ∉ B ⇒ x ∉ A, x ∉ B e x ∉ (A ∩ B). Então, x ∉ (A ∪ B). 
Portanto, x ∈ . 
Assim, concluímos que 
 
b) Temos que mostrar que . 
Seja x ∈ , então x ∉ (A ∩ B), sendo assim x ∈ ou x 
∈ A e x ∉ B ou x ∈ B e x ∉ A. Portanto, x ∈ . 
Agora vamos mostrar que 
Seja x ∈ , então x ∈ ou x ∈ ou x ∈ . 
Logo, x ∈ . 
Portanto, concluímos que 
 
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6) Numa sala de aula com x alunos. 56 alunos leem o romance A, 23 leem 
os romances A e B, 100 leem somente um dos romances e 36 não leem o 
romance B. O total de alunos da sala é. 
 
RESPOSTA 
56 alunos que leem o romance A, e destes 23 leem também B, temos 
então 56 – 23= 33. Logo, 33 leem apenas o romance A; 
Como 100 leem apenas um romance, temos então que 100 – 33 = 67, leem 
apenas o romance B; 
Como 36 não leem o romance B e destes 33 leem A, temos 36 – 33 = 3 
não leem nenhum dos dois romances; 
Portanto, 
x = (A ∪ B) – (A ∩ B) + 3 ⇒ 
x = 56 + 90 – 23 + 3 ⇒ 
x = 146 – 20 ⇒ 
x = 126 
Portanto, o número de alunos da sala é de 126 alunos. 
Veja a representação no diagrama de Venn: