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Notas de Aula - Álgebra Linear

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Álgebra Linear
Versão 07/04/2021
Vitor de Oliveira Ferreira
Prefácio
Estas notas compreendem todo o conteúdo da sequência de Álgebra Li-
near para os alunos do primeiro ano dos cursos de Engenharia na Escola
Politécnica da Universidade de São Paulo.
A sequência de Álgebra Linear é constituı́da de duas disciplinas semes-
trais: MAT3457 - Álgebra Linear I e MAT3458 - Álgebra Linear II. Aqui,
encontra-se o conteúdo unificado delas.
São parte integrante destas notas as listas de exercı́cios elaboradas pelos
docentes responsáveis pelas turmas e disponibilizadas aos alunos.
O sı́mbolo�marca o final da demonstração de um teorema, proposição,
lema ou corolário; o sı́mbolo ♦ marca o final de uma observação, de um
exemplo, ou da solução de um exercı́cio.
iii
Sumário
Prefácio iii
Parte 1 Vetores e Geometria Anaĺıtica 1
1 Sistemas lineares, matrizes e determinantes 3
1.1 Sistemas lineares 3
1.2 Matrizes 18
1.3 Determinantes 26
2 Vetores 35
2.1 Vetores e operações entre vetores 35
2.2 Dependência linear 39
2.3 Bases e coordenadas 44
2.4 Produto escalar 51
2.5 Projeção ortogonal 54
2.6 Mudança de base 56
2.7 Produto vetorial 58
2.8 Produto misto 65
3 Geometria anaĺıtica 73
3.1 Sistemas de coordenadas 73
3.2 Retas 76
3.3 Planos 80
3.4 Posições relativas 87
3.5 Perpendicularidade e distâncias 93
Parte 2 Álgebra Linear 101
4 Espaços vetoriais 103
4.1 Definição, exemplos, propriedades básicas 103
4.2 Subespaços vetoriais 109
4.3 Combinações lineares 114
4.4 Dependência linear 118
4.5 Bases e dimensão 122
4.6 Coordenadas 130
v
4.7 Base e dimensão de subespaços 132
4.8 Soma e interseção de subespaços 142
4.9 Soma direta de subespaços 152
5 Espaços vetoriais com produto interno 157
5.1 Produto interno 157
5.2 Bases ortonormais 166
5.3 Projeção ortogonal 173
5.4 O complemento ortogonal 178
6 Transformações lineares 183
6.1 Definição e exemplos 183
6.2 Núcleo e imagem 190
6.3 Teorema do núcleo e da imagem 199
6.4 Operações com transformações lineares 204
6.5 Matriz de uma transformação linear 205
6.6 Matriz da transformação composta 216
6.7 Mudança de base 219
7 Diagonalização de operadores 227
7.1 Autovalores e autovetores 229
7.2 O polinômio caracterı́stico 233
7.3 Diagonalização 238
7.4 Operadores diagonalizáveis 245
7.5 Aplicação: resolução de sistemas de equações diferenciais
(caso real) 256
8 Operadores em espaços com produto interno 265
8.1 Operadores simétricos 265
8.2 Diagonalização de operadores simétricos 270
8.3 Aplicação: reconhecimento de quádricas (e cônicas) 277
9 Espaços vetoriais complexos 287
9.1 Autovalores complexos 287
9.2 O complexificado de um operador real 293
9.3 Aplicação: resolução de sistemas de equações diferenciais
(caso complexo) 296
A Um pouco mais sobre determinantes 307
A.1 Cofatores 307
A.2 A regra de Sarrus 309
B O posto de uma matriz 311
B.1 Posto-linha e posto-coluna 311
B.2 Aplicação: Extração de bases de conjuntos geradores 313
vi
C Um pouco sobre funções 317
C.1 Definições 317
C.2 Composição de funções 318
D Polinômios e suas ráızes (reais e complexas) 323
D.1 Polinômios com coeficientes reais 323
D.2 Polinômios com coeficientes complexos 326
D.3 Autovalores de matrizes simétricas 330
Referências Bibliográficas 331
Índice Remissivo 333
vii
Parte 1
Vetores e Geometria Anaĺıtica
1
Sistemas lineares, matrizes e
determinantes
Este capı́tulo será dedicado à sistematização do conhecimento sobre sis-
temas lineares, matrizes e determinantes, usualmente coberto no Ensino
Médio. Porém, nosso ponto de vista será mais conceitual, com especial
atenção dada à investigação das razões por trás das técnicas que o leitor
provavelmente já conhece, isto é, faremos demonstrações completas dos
resultados enunciados. Uma exceção é a Seção 1.3, que trata de determi-
nantes, em que, exclusivamente por falta de tempo, muito pouco será de-
monstrado.
Nos dois capı́tulos seguintes, que tratam de vetores e geometria analı́ti-
ca, e na segunda parte destas notas, a respeito de espaços vetoriais, faremos
extenso uso dos métodos utilizados no estudo de sistemas lineares e da
conexão destes com matrizes e determinantes.
Neste capı́tulo, e em todos os capı́tulos subsequentes, o conjunto dos
números reais será denotado por R.
1.1 Sistemas lineares
Iniciamos, nesta seção, o estudo de sistemas de equações lineares. Será
preciso, primeiramente, termos claro o que entendemos por uma equação
linear.
Uma equação como
2x = −4 (1.1)
é o que chamamos uma equação linear na incógnita (ou variável) x.
3
Quando se diz que iremos determinar uma solução para essa equação,
se quer dizer que desejamos encontrar um número real que, ao ocupar o lu-
gar da incógnita, dá origem a uma afirmação verdadeira. Assim, o número
−2 é solução da equação (1.1) porque 2 · (−2) é, de fato, igual a −4. E
o número 3 não é solução da equação (1.1) porque 2 · 3 não é igual a −4.
Como, além do número −2, nenhum outro número real é solução da equa-
ção (1.1), costuma-se dizer que −2 é sua única solução.
De maneira geral, uma equação linear na incógnita x é uma equação da
forma
ax = b, (1.2)
em que a e b são números reais dados. Uma solução da equação (1.2) é um
número real s que satisfaça as = b. É fácil ver que se a 6= 0, então o número
a−1b é a única solução de (1.2). (Se a = b = 0, então qualquer número real
será solução de (1.2), e se a = 0 e b 6= 0, (1.2) não terá solução.)
Equações lineares podem ter mais do que uma incógnita, como é o caso,
por exemplo, da equação
3x− 4y = 1, (1.3)
na qual x e y são incógnitas. O par de números reais (3, 2) é uma solução de
(1.3), no sentido de que ao substituirmos a primeira incógnita, que chama-
mos de x, por 3 e a segunda, y, por 2, obtemos uma afirmação verdadeira,
já que vale 3 · 3− 4 · 2 = 1. Aqui, porém, diferentemente do que ocorreu em
(1.1), a equação tem mais do que uma única solução; o leitor pode verificar
que para qualquer número real s o par
(
s,− 14 +
3
4 s
)
é solução de (1.3). Essas
são, de fato, todas as soluções de (1.3). Isso seguirá da teoria mais geral de
sistemas lineares, tema desta seção.
Também é possı́vel investigar o problema de se tentar encontrar solu-
ções simultâneas de equações lineares. Por exemplo, poderı́amos tentar
descobrir quais são as soluções da equação (1.3) que também são soluções
da equação
− 2x + 3y = 0. (1.4)
Procurar as soluções simultâneas dessas duas equações é tratar do que se
costuma chamar de resolução de um sistema linear. Em termos de notação
e nomenclatura, listamos sequencialmente as equações,{
3x− 4y = 1
−2x + 3y = 0,
(1.5)
e chamamos as soluções simultâneas delas de soluções do sistema linear
(1.5).
Uma abordagem possı́vel (e que é a mais frequentemente utilizada no
Ensino Médio) é usar o fato (conhecido — e já mencionado acima —, mas
ainda não totalmente esclarecido) que toda solução da primeira equação
4
que compõe esse sistema, a equação (1.3), é da forma
(
s,− 14 +
3
4 s
)
e “subs-
tituı́-la” na segunda equação do sistema, ou seja, procurar os números reais
s que satifazem
−2s + 3
(
−1
4
+
3
4
s
)
= 0.
Isso, na realidade, resulta em uma nova equação linear (agora na incógnita
s), cuja solução é s = 3, como o leitor pode ele mesmo verificar. Concluı́mos
que (3, 2) é a única solução do sistema de equações lineares (1.5).
Nesta seção, veremos um método bastante mais eficiente do que o utili-
zado acima e que se aplica a situações mais gerais. Trata-se do método do es-
calonamento. Para introduzi-lo, precisamos, antes, proceder à formalização
adequada ao estudo de sistema lineares, começando por fixar a notação e a
nomenclatura que utilizaremos deste ponto em diante.
Uma equação linear nas n incógnitas x1, x2, . . . , xn

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