A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
343 pág.
Notas de Aula - Álgebra Linear

Pré-visualização | Página 2 de 50

é uma equação da
forma
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b, (1.6)
em que a1, a2, . . . , an e b são números reais, chamados coeficientes da equação
linear. Uma sequência (s1, s2, . . . , sn) formada por n números reais é dita
uma solução para a equação linear (1.6) se a igualdade numérica
a1s1 + a2s2 + · · ·+ ansn = b
for verdadeira.
Um sistema linear de m equações nas n incógnitas x1, x2, . . . , xn é uma
sequência de m equações lineares nas incógnitas x1, x2, . . . , xn:
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm.
(1.7)
Uma solução para o sistema linear (1.7) é uma sequência (s1, s2, . . . , sn) de
números reais que é solução para cada uma das m equações que compõem
(1.7).
Exemplo 1.1.1. O sistema linear{
2x1 + (−2)x2 = 2
2x1 + 2x2 = 6,
(1.8)
é formado por duas equações e tem duas incógnitas: x1 e x2.
O par (2, 1) é uma solução de (1.8), como pode ser diretamente verifi-
cado. Ainda, (2, 1) é a única solução desse sistema linear. Vejamos uma
demonstração desse fato. Se (s1, s2) for uma solução qualquer, então da pri-
meira equação obteremos 2s1 + (−2)s2 = 2, o que, por sua vez, implicará
5
s1 = s2 + 1. Como (s1, s2) deve ser também solução da segunda equação,
e sabemos que, necessariamente, s1 = s2 + 1, teremos 2(s2 + 1) + 2s2 = 6,
donde concluı́mos que s2 = 1 e, portanto, s1 = 2. Em resumo, (2, 1) é a
única solução de (1.8). ♦
Exemplo 1.1.2. O sistema linear{
2x1 + 2x2 = 4
2x1 + 2x2 = 2
(1.9)
não tem soluções, uma vez que se (s1, s2) é uma solução da primeira equa-
ção do sistema, então 2s1 + 2s2 = 4 6= 2; assim, (s1, s2) não pode ser uma
solução da segunda equação do sistema. ♦
Exemplo 1.1.3. O sistema linear{
−6x1 + 2x2 = −8
3
2 x1 +
(
− 12
)
x2 = 2
(1.10)
tem infinitas soluções. De fato, para qualquer t ∈ R, o par (t, 3t− 4) é uma
solução do sistema, como pode ser diretamente verificado. ♦
Adiante, veremos um método para concluir, dado um sistema linear, se
ele possui solução ou não e, no caso de possuir, uma maneira de encontrar
todas as suas soluções.
Observação. Adotaremos algumas simplificações na notação para sistemas
lineares:
• Equações que envolvem coeficientes negativos terão um termo da for-
ma
· · ·+ (−a)xi + . . . ,
com a > 0, reescritos na forma
· · · − axi + . . . .
Por exemplo, o sistema (1.8) pode ser reescrito na forma{
2x1 − 2x2 = 2
2x1 + 2x2 = 6.
• Quando o número de incógnitas é pequeno, podemos rotulá-las por
x, y, z, . . . . Assim, o sistema (1.8) pode ser escrito, ainda, como{
2x− 2y = 2
2x + 2y = 6.
6
• Quando o número 1 aparecer como coeficiente de alguma incógnita,
esse coeficiente será omitido, e quando o número 0 aparecer como coe-
ficiente de alguma incógnita, o termo correspondente será omitido. Por
exemplo, será mais comum denotarmos o sistema linear{
2x− 1y = 3
0x + 2y = 1
por {
2x− y = 3
2y = 1.
Também vale registrar que os termos variável ou indeterminada são utili-
zados como sinônimo de incógnita. ♦
Sistemas lineares serão categorizados em três classes. Dizemos que um
sistema linear é
• impossı́vel (ou incompatı́vel, ou, ainda, inconsistente) se não possuir ne-
nhuma solução;
• possı́vel (ou compatı́vel, ou, ainda, consistente) determinado se possuir ape-
nas uma solução;
• possı́vel (ou compatı́vel, ou, ainda, consistente) indeterminado se possuir
pelo menos duas soluções.
Assim, nos três exemplos acima, o sistema (1.8) é possı́vel determinado,
o sistema (1.9), impossı́vel, e o sistema (1.10), possı́vel indeterminado.
Veremos que todo sistema linear possı́vel indeterminado possui, de fato,
infinitas soluções.
Operações elementares. Para obter um método de resolução de sistemas
lineares, dado um sistema linear
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm,
(S)
consideraremos as seguintes operações sobre as equações que o compõem:
I. Permutar duas equações de (S).
II. Multiplicar todos os coeficientes de uma equação de (S) por um mesmo
número real não nulo.
III. Somar a uma das equações de (S) uma outra equação cujos coeficientes
foram todos multiplicados por um mesmo número real.
7
As operações I, II e III são chamadas operações elementares sobre as equa-
ções de (S).
Uma operação elementar do tipo I altera apenas duas das equações que
compõem o sistema, as demais permanecem inalteradas. A rigor, na reali-
dade, nem as duas equações envolvidas são alteradas, apenas as posições
que elas ocupavam no sistema é que são alteradas.
Operações elementares do tipo II e III alteram apenas uma das equações
que compõem o sistema, preservando as demais. Especialmente no caso de
operações elementares do tipo III, observe que o que se faz é substituir uma
equação, a j-ésima, digamos, por uma nova equação: a j-ésima equação
original somada a uma outra equação, digamos, a i-ésima, multiplicada,
por sua vez, por um número real. Com exceção da j-ésima, todas as demais
equações do sistema, incluindo a i-ésima, permanecem inalteradas.
Assim, quando se efetua uma operação elementar sobre as equações de
um sistema linear, obtém-se um novo sistema linear com o mesmo número
de equações e, evidentemente, o mesmo número de incógnitas.
Exemplo 1.1.4. Considere o sistema linear
x1 + 2x2 − x3 + x4 = 2
2x1 − 2x3 − x4 = −1
−x2 + x4 = 0
(1.11)
Vamos exemplificar o efeito de cada um dos tipos de operações elementares
sobre as equações do sistema (1.11)
Se aplicarmos ao sistema (1.11) uma operação elementar do tipo I, por
exemplo, a que permuta a segunda e terceira equações, obtemos o sistema
linear 
x1 + 2x2 − x3 + x4 = 2
−x2 + x4 = 0
2x1 − 2x3 − x4 = −1
Se aplicarmos ao sistema (1.11) uma operação elementar do tipo II, por
exemplo, a que multiplica a terceira equação por 3, obtemos o sistema linear
x1 + 2x2 − x3 + x4 = 2
2x1 − 2x3 − x4 = −1
−3x2 + 3x4 = 0
Se aplicarmos ao sistema (1.11) uma operação elementar do tipo III, por
exemplo, a que soma à segunda equação a primeira multiplicada por −1,
8
obtemos o sistema linear
x1 + 2x2 − x3 + x4 = 2
x1 − 4x3 + x3 − 2x4 = −3
−x2 + x4 = 0
Veja que, de fato, cada um dos novos sistemas têm o mesmo número de
equações que (1.11), isto é, 3, e o mesmo número de incógnitas, 4. ♦
Operações elementares sobre as equações de um sistema linear não alte-
ram suas soluções. Dizendo de modo mais preciso, se (S1) é um sistema li-
near obtido a partir de (S) pela aplicação de uma operação elementar sobre
suas equações, então, dada uma sequência de números reais (s1, s2, . . . , sn),
ela será solução de (S) se, e somente se, for solução de (S1). Vejamos por
quê.
Por um lado, é fácil ver que toda solução de (S) é também uma solução
de (S1). Isso pode ser verificado considerando, um por vez, cada um dos
três tipos de operações elementares sobre equações.
Por outro lado, o mesmo argumento mostra que toda solução de (S1)
é solução de (S). Isso decorre do fato de que operações elementares sobre
equações podem ser “desfeitas” e, assim, (S) pode ser obtido a partir de
(S1) por meio da aplicação de uma operação elementar sobre as equações
de (S1). Por exemplo, digamos que (S1) tenha sido obtido a partir de (S)
por meio de uma operação elementar do tipo III, em que a j-ésima equação
de (S1) é o resultado da soma da j-ésima equação de (S) com a i-ésima
equação de (S) multiplicada pelo número λ. Então, (S) também pode ser
obtido a partir de (S1) por meio de uma operação elementar do tipo III: a
j-ésima equação de (S) é o resultado da soma da j-ésima equação de (S1)
com a i-ésima equação de (S1) multiplicada por (−λ). Deixamos a cargo do
leitor verificar que um raciocı́nio similar se aplica a operações elementares
dos tipos I e II.
Dizemos que