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Notas de Aula - Álgebra Linear

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dois sistemas lineares com o mesmo número de incógnitas
são equivalentes se tiverem exatamente as mesmas soluções.
Assim, o que acabamos de ver é que se (S1) é um sistema obtido por
meio da aplicação de uma operação elementar sobre as equações do sistema
(S), então (S) e (S1) são equivalentes.
Nosso objetivo será, dado um sistema linear (S), obter um sistema li-
near (S ′) que é equivalente a ele, cujas soluções são fáceis (num sentido
a ser tornado preciso adiante) de ser encontradas. Esse sistema (S ′) será
obtido por meio de uma sequência finita de operações elementares sobre
equações a começar pelo sistema (S).
Antes, porém, de descrever o método geral, consideremos um exemplo.
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Exemplo 1.1.5. Considere o sistema linear
2x− y + z = 4
x− y + z = 1
3x− 6y + 6z = 0
(1.12)
de três equações e três incógnitas, quais sejam, x, y e z.
Aplicando a operação elementar de tipo I que permuta a primeira e a
segunda equações, obtemos o sistema
x− y + z = 1
2x− y + z = 4
3x− 6y + 6z = 0,
(1.13)
que é equivalente a (1.12), pois como vimos, operações elementares sobre
as equações de um sistema linear não alteram suas soluções.
Agora, aplique ao sistema (1.13) a operação elementar do tipo III dada
pela soma à segunda equação da primeira multiplicada por −2:
x− y + z = 1
y− z = 2
3x− 6y + 6z = 0.
Esse novo sistema é equivalente a (1.13), que, por sua vez, era equivalente
a (1.12); portanto ele é, também, equivalente a (1.12).
Agora, a esse último sistema aplicamos uma operação elementar do tipo
III, somando à terceira equação a primeira multiplicada por −3:
x− y + z = 1
y− z = 2
−3y + 3z = −3.
Mais uma vez, obtemos um sistema que é equivalente a (1.12).
Finalmente, aplique ao último sistema obtido a operação elementar do
tipo III que soma à terceira equação a segunda multiplicada por 3 e obtenha
o sistema 
x− y + z = 1
y− z = 2
0 = 3.
(1.14)
O sistema (1.14) encontra-se em um formato no qual fica evidente que
ele é impossı́vel, uma vez que sua terceira equação não tem solução. Como
ele é equivalente a (1.12), pois foi obtido a partir dele por uma sequência
de operações elementares sobre equações, segue que o sistema (1.12) é,
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também, impossı́vel, um fato que não era fácil de se concluir no inı́cio, an-
tes de realizarmos as operações elementares que produziram (1.14) a partir
de (1.12). ♦
Nesse exemplo, fomos capazes de trocar um sistema linear sobre o qual
não era evidente afirmar se tratar de um sistema impossı́vel por um sistema
equivalente, isto é, um sistema que tem as mesmas soluções que o original,
este último, sim, obviamente impossı́vel.
Procuraremos sistematizar o procedimento que adotamos nesse exem-
plo de modo a sermos capazes de tratar qualquer sistema linear e de tam-
bém poder tirar conclusões sobre suas soluções quando ele for um sistema
possı́vel.
Porém, antes, observemos que é possı́vel trabalhar apenas com os co-
eficientes das equações que compõem um sistema linear: eles codificam a
informação completa contida em um sistema linear. Para tanto, introduzi-
remos um objeto que reúne todos os coeficientes de um sistema linear, sua
matriz aumentada.
Notação matricial. O sistema linear
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm,
pode ser mais compactamente denotado por
AX = B,
em que
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn

é o que chamaremos de uma matriz de tamanho m× n (ou, de m linhas e n
colunas) — o que será doravante denotado por A ∈ Mm×n(R) —,
B =

b1
b2
...
bm

11
é uma matriz m× 1 (ou B ∈ Mm×1(R)), e
X =

x1
x2
...
xn

é uma “matriz” n× 1 cujas entradas são incógnitas.
A matriz
[A | B] =

a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn bm
 ∈ Mm×(n+1)(R)
é chamada matriz aumentada do sistema linear. A barra vertical que está
presente na matriz aumentada de um sistema linear, separando a última
coluna das precedentes, é apenas um recurso notacional, para nos lembrar
de como essa matriz foi construı́da, não acrescentando a ela nenhum atri-
buto novo; trata-se de uma matriz m× (n + 1) como todas as demais.
A cada operação elementar sobre as equações de um sistema linear, em
notação matricial, AX = B corresponde uma operação elementar sobre as
linhas da matriz aumentada [A | B] dele:
I. Permutar duas linhas de [A | B].
II. Multiplicar todas as entradas de uma linha de [A | B] por um mesmo
número real não nulo.
III. Somar a uma das linhas de [A | B] uma outra linha cujas entradas foram
todas multiplicadas por um mesmo número real.
A sequência de operações elementares realizada no Exemplo 1.1.5 pode
ser registrada como uma sequência de operações elementares sobre as li-
nhas da matriz aumentada de (1.12): 2 −1 1 41 −1 1 1
3 −6 6 0
→
 1 −1 1 12 −1 1 4
3 −6 6 0
→
 1 −1 1 10 1 −1 2
3 −6 6 0

→
 1 −1 1 10 1 −1 2
0 −3 3 −3
→
 1 −1 1 10 1 −1 2
0 0 0 3
 (1.15)
Note que a última matriz nessa sequência é precisamente a matriz aumen-
tada do sistema linear (1.14).
Para descrever o método que aplicamos no exemplo acima, vamos in-
troduzir uma nova definição.
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Definição. Uma matriz é dita ser escalonada se as seguintes condições esti-
verem satisfeitas:
(i) todas suas linhas nulas (se existirem) estão abaixo das linhas não nulas,
e
(ii) em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (lendo da es-
querda para a direita), chamado pivô, ocorre mais à direita do que o
pivô da linha imediatamente acima dela.
Por exemplo, as matrizes[
0 0
1 0
]
,
[
0 1 1
1 0 1
]
,
1 0 01 1 0
0 0 1

não são escalonadas (você sabe dizer por quê?), e a matriz1 0 10 0 1
0 0 0

é. Um outro exemplo de matriz escalonada é a última matriz obtida na
sequência (1.15). (Não é demais lembrar que barra vertical separando a
última coluna das demais designa apenas uma marcação, devendo, assim,
ser ignorada ao se verificar se a matriz é escalonada ou não.)
A observação a seguir, apesar de simples, é crucial no que veremos adi-
ante.
Observação. Se R ∈ Mm×n(R) é uma matriz escalonada e R tem p pivôs,
então p ≤ m e p ≤ n.
A primeira desigualdade segue do fato de que o número de pivôs em
uma matriz escalonada é igual ao número de linhas não nulas dela. A se-
gunda desigualdade é consequência do fato de que em cada coluna de uma
matriz escalonada, há, no máximo, um pivô. ♦
O processo de escalonamento. Apresentamos , agora, o resultado que
está por trás do método de resolução de sistemas lineares que adotaremos
nestas notas. Esse resultado garante que o método se aplica a qualquer
sistema linear. Sua demonstração é algorı́tmica, isto é, é apresentada em
forma de uma sequência de passos que, uma vez seguidos, conduzem à
conclusão desejada.
O procedimento a ser apresentado na demonstração desse resultado
(enunciado como um teorema) é conhecido como algoritmo de eliminação
gaussiana ou processo de escalonamento.
Teorema 1.1.6. Para toda matriz, existe uma sequência de operações elementares
sobre linhas que resulta em uma matriz escalonada.
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Demonstração. Dada uma matriz A, submeta-a ao seguinte procedimento,
composto de uma sequência finita de operações elementares sobre linhas:
1. Se A é a matriz nula, pare. (Ela já é escalonada.)
2. Se não, encontre a primeira coluna (da esquerda para a direita) de A
que contém uma entrada não nula e permute a linha que contém essa
entrada com a primeira linha, se necessário. O primeiro elemento não
nulo desssa nova primeira linha é chamado pivô da linha. (Neste passo,
realiza-se uma operação elementar do tipo I.)
3. Por adição de múltiplos adequados da primeira linha nas linhas abaixo
dela, zere todas as entradas abaixo do pivô. (Neste passo, são realizadas