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Notas de Aula - Álgebra Linear

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operações elementares do tipo III.)
4. Volte ao passo 1 e repita o procedimento na matriz que consiste das
linhas abaixo da primeira.
O processo termina quando não houver mais linhas no passo 4 ou quan-
do as linhas restantes forem nulas. Em qualquer dos casos, a matriz resul-
tante será escalonada.
Note que a sequência de operações elementares utilizadas em (1.15) se-
gue os passos do procedimento descrito acima.
Vejamos mais um exemplo do processo de escalonamento.
Para facilitar o registro de cada um dos passos, no que segue, adotare-
mos a seguinte notação:
• uma operação elementar do tipo I que permuta as linha i e j será deno-
tada por Li ↔ Lj;
• uma operação elementar do tipo II que multiplica a linha i por λ 6= 0
será denotada por Li ← λLi; e
• uma operação elementar do tipo III que soma à linha j a linha i multi-
plicada por λ será denotada por Lj ← Lj + λLi.
Os pivôs serão destacados em vermelho para facilitar sua identificação.
Exemplo 1.1.7. Aplique o processo de escalonamento à matriz
0 0 0 2 1 9
0 −2 −6 2 0 2
0 2 6 −2 2 0
0 3 9 2 2 19
 .
14
Solução.
0 0 0 2 1 9
0 −2 −6 2 0 2
0 2 6 −2 2 0
0 3 9 2 2 19
 L1↔L2−→

0 −2 −6 2 0 2
0 0 0 2 1 9
0 2 6 −2 2 0
0 3 9 2 2 19

L3←L3+L1−→

0 −2 −6 2 0 2
0 0 0 2 1 9
0 0 0 0 2 2
0 3 9 2 2 19
 L4←L4+ 32 L1−→

0 −2 −6 2 0 2
0 0 0 2 1 9
0 0 0 0 2 2
0 0 0 5 2 22

L4←L4+(− 52 )L2−→

0 −2 −6 2 0 2
0 0 0 2 1 9
0 0 0 0 2 2
0 0 0 0 − 12 −
1
2

L4←L4+ 14 L3−→

0 −2 −6 2 0 2
0 0 0 2 1 9
0 0 0 0 2 2
0 0 0 0 0 0

A última matriz na sequência acima é uma matriz escalonada. ♦
Observação. No processo de escalonamento de uma matriz, é comum haver
escolhas diferentes que podem ser feitas no passo 2. No exemplo acima,
poderı́amos ter realizado a operação L1 ↔ L3 ou L1 ↔ L4 no lugar de
L1 ↔ L2, logo na primeira etapa. Essas escolhas diferentes conduziriam, ao
final do processo, a uma matriz escalonada diferente da que obtivemos.
Em resumo, a matriz escalonada obtida ao final do processo de escalo-
namento não está univocamente determinada pela matriz com que come-
çamos. ♦
Vale destacar, neste ponto, que no algoritmo de escalonamento descrito
na demonstração do Teorema 1.1.6 podemos dispensar operações elementa-
res do tipo II. Elas terão, entretanto, papel fundamental nas próximas duas
seções.
Método para resolução de sistemas lineares. Podemos aplicar o Teo-
rema 1.1.6 para desenvolver um método de resolução de sistemas lineares.
Seja (S) um sistema linear de m equações e n incógnitas, com matriz
aumentada M ∈ Mm×(n+1)(R). Pelo Teorema 1.1.6, existe uma matriz esca-
lonada R que pode ser obtida a partir de M por meio de operações elemen-
tares sobre linhas. Chamemos de (S ′) o sistema linear que tem R como ma-
triz aumentada. Como (S ′) foi obtido a partir de (S) por meio de operações
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elementares sobre suas equações (exatamente a mesma sequência que pro-
duziu R a partir de M), esses sistemas são equivalentes. Vejamos como
encontrar as soluções de (S ′).
Há duas possibilidades:
(1) A matriz R tem um pivô na coluna n + 1. Neste caso, (S ′) tem uma
equação da forma 0 = b, com b 6= 0. Logo (S ′), e, portanto, também,
(S), não tem solução.
(2) A matriz R não tem pivô na coluna n + 1. Neste caso, se p denota o
número de pivôs de R, então p ≤ n (pois, como vimos, em uma matriz
escalonada há, no máximo um pivô por coluna). Há dois subcasos a
considerar:
(a) Se p = n, então (S ′), e, portanto, também, (S), tem uma única
solução, que é obtida resolvendo a primeira equação não nula, de
baixo para cima, de (S ′), determinando-se, assim, o único valor
possı́vel para a variável xn. Esse valor é substituı́do na equação
exatamente acima dela, da qual resultará o único valor possı́vel
para xn−1, e, assim, por diante, sempre substituindo-se em uma
equação os únicos valores obtidos para as variáveis nas equações
abaixo dela.
(b) Se p < n, então (S ′), e, portanto, também, (S), tem infinitas solu-
ções. Neste caso, a variáveis de (S ′) correspondentes às colunas
de R, exceto a última, que não têm pivô são chamadas variáveis
livres. As variáveis livres de (S ′) são em número de n − p. Para
cada escolha independente de valores reais para as variáveis li-
vres, uma solução para (S ′) pode ser obtida pelo mesmo método
utilizado no caso (a). Assim, atribuem-se parâmetros independen-
tes às variáveis livres e escrevem-se as demais (chamadas variáveis
pivô) em termos das livres.
O método para encontrar soluções descrito no caso (2), acima, começan-
do pela primeira equação não nula, de baixo para cima, e substituindo os
valores encontrados nas equações acima dela é chamado retrossubstituição.
Observação. Segue da análise acima que se um sistema é possı́vel e indeter-
minado, isto é, se tem pelo menos duas soluções, então, necessariamente,
ele está no caso (2-b) e, portanto, tem, de fato, infinitas soluções. ♦
No próximo exemplo, ilustramos não apenas o processo de escalona-
mento da matriz aumentada de um sistema, como, também, aplicamos o
método de retrossubstituição para encontrar todas as suas soluções.
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Exemplo 1.1.8. Encontre todas as soluções do sistema linear
x− 2y− z = 1
2x + y− 3z = 0
x− 7y = 3.
Solução. Vamos escalonar a matriz aumentada do sistema: 1 −2 −1 12 1 −3 0
1 −7 0 3
 L2←L2+(−2)L1L3←L3+(−1)L1−→
 1 −2 −1 10 5 −1 −2
0 −5 1 2

L3←L3+L2−→
 1 −2 −1 10 5 −1 −2
0 0 0 0

Estamos no caso (2-b), em que não há pivô na última coluna e existem 2
pivôs, destacados em vermelho.
Os pivôs ocorrem nas colunas correspondentes às variáveis x e y, que
são, portanto, variáveis pivô. A coluna correspondente à variável z não
contém pivô; assim, z é uma variável livre. Atribuı́mos um parâmetro a ela,
digamos z = t, e resolvemos o sistema resultante,{
x− 2y− t = 1
5y− t = −2,
por retrossubstituição. Da última equação, resolvendo para y, obtemos y =
− 25 +
1
5 t. Substituindo esse valor na primeira equação e resolvendo para x,
obtemos x = 15 +
7
5 t. Logo, as soluções do sistema original são dadas por(
1
5
+
7
5
t, −2
5
+
1
5
t, t
)
, t ∈ R.
Soluções particulares são obtidas escolhendo valores para o parâmetro
t. Por exemplo, tomando t = 1, encontramos a solução ( 85 ,−
1
5 , 1); tomando
t = 2, encontramos a solução (3, 0, 2); etc. ♦
Sistemas lineares homogêneos. Um sistema linear da forma AX = 0,
em que 0 denota uma matriz de uma única coluna cujas entradas são todas
iguais ao número 0, é dito homogêneo.
Todo sistema homogêneo é possı́vel, uma vez que tem, pelo menos, a
chamada solução trivial: (0, 0, . . . , 0).
Teorema 1.1.9. Todo sistema linear homogêneo com mais incógnitas do que equa-
ções é possı́vel indeterminado.
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Demonstração. Se p denota o número de pivôs da matriz escalonada obtida
pelo processo de escalonamento a partir da matriz aumentada de um sis-
tema homogêneo com m equações e n incógnitas, então, como vimos p ≤ m.
Mas, por hipótese, m < n. Isso resulta em p < n; logo, estamos no caso
(2-b), já que, como o sistema é homogêneo, a última coluna dessa matriz
escalonada é formada exclusivamente por zeros, sem pivô, portanto.
É importante observar que o teorema nada afirma sobre sistemas ho-
mogêneos com número de incógnitas menor ou igual ao número de equa-
ções. Um sistema desses pode ser ou determinado ou indeterminado. (Você
consegue produzir exemplos para os dois casos?)
Outra ressalva é a de que o teorema apenas se aplica a sistemas ho-
mogêneos. É muito fácil dar exemplos de sistemas não homogêneos com
mais incógnitas do que equações e que são impossı́veis.
Exercı́cios. Lista 1 - Álgebra Linear I: Exs. 1–11.
1.2 Matrizes
Vimos, na seção anterior, que matrizes podem ser utilizadas para denotar
sistemas lineares de modo mais compacto e, mais importante, podem ser
sujeitadas ao processo