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Notas de Aula - Álgebra Linear

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de escalonamento.
Nesta seção, veremos que existem operações que nos permitirão falar
na álgebra de matrizes.
Se A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn
 ∈ Mm×n(R), escreveremos, a tı́tulo de
abreviação, A = (aij)1≤i≤m,1≤j≤n, ou, simplesmente, A = (aij), quando não
houver dúvida a respeito do tamanho de A.
Dizemos que duas matrizes são iguais se tiverem o mesmo tamanho e
suas entradas correspondentes forem iguais. Mais detalhadamente, dadas
A = (aij) ∈ Mm×n(R) e B = (bij) ∈ Mr×s(R), então A = B se, e somente
se, m = r, n = s e, para cada i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n, tivermos aij = bij.
Dadas matrizes A = (aij), B = (bij) ∈ Mm×n(R), a soma A + B é de-
finida como sendo a matriz dada por A + B = (cij) ∈ Mm×n(R), em que
cij = aij + bij, para todos i = 1, . . . , m, j = 1, . . . n. Por exemplo,[
2 3 4
1 0 2
]
+
[
−1 0 2
0 0 2
]
=
[
1 3 6
1 0 4
]
.
Dada uma matriz A = (aij) ∈ Mm×n(R) e dado um número real λ,
define-se a multiplicação de λ por A como sendo a matriz dada por λA =
(dij) ∈ Mm×n(R), em que dij = λaij, para todos i = 1, . . . , m, j = 1, . . . n.
18
Por exemplo,
1
3
[
2 3 9
−1 0 12
]
=
[
2
3 1 3
− 13 0
1
6
]
.
O produto de duas matrizes, a ser definido em seguida, não envolve
matrizes de mesmo tamanho. Dada uma matriz A = (aij) ∈ Mm×n(R)
e uma matriz B = (bij) ∈ Mn×r(R), define-se o produto AB ∈ Mm×r(R),
como sendo a matriz dada por AB = (eij), em que
eij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj,
para todos i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , r. Em poucas palavras, o produto de
uma matrix m× n por uma matriz n× r é uma matriz m× r cuja entrada na
posição (i, j) é dada pelo “produto da linha i de A pela coluna j de B”. Por
exemplo, [
2 1 −1
3 2 4
] 2 0 0 00 0 1 12
1 2 1 − 12
 = [ 3 −2 0 110 8 6 −1
]
.
Não está definido o produto de uma matriz de n colunas por uma ma-
triz de m linhas caso n 6= m.
As operações definidas entre matrizes satisfazem as seguintes proprie-
dades, que podem ser diretamente demonstradas a partir das definições.
Proposição 1.2.1. Sejam A, B, C, M, N, L matrizes e sejam λ, µ ∈ R. Então, se
estão definidas as matrizes no lado esquerdo das igualdades, as matrizes do lado
direito também estão definidas, e elas são iguais:
(i) A + B = B + A;
(ii) (A + B) + C = A + (B + C);
(iii) (AM)N = A(MN);
(iv) A(M + L) = AM + AL;
(v) (A + B)M = AM + BM;
(vi) λ(A + B) = λA + λB;
(vii) (λ + µ)A = λA + µA;
(viii) λ(AM) = (λA)M = A(λM);
(ix) (λµ)A = λ(µA).
Ou seja, muitas das propriedades das operações entre números reais
continuam válidas para matrizes. Porém, ao contrário do produto entre
números, o produto entre matrizes não é comutativo. Isto é, se A e B são
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matrizes e ambos os produtos AB e BA estão definidos, nem sempre eles
são iguais. Por exemplo,[
1 2
2 4
] [
1 0
1 1
]
=
[
3 2
6 4
]
6=
[
1 2
3 6
]
=
[
1 0
1 1
] [
1 2
2 4
]
.
Uma matriz que tem o mesmo número de linhas que o númereo de colu-
nas é chamada matriz quadrada. O conjunto de todas as matrizes quadradas
n× n será denotado, simplesmente, por Mn(R).
A matriz identidade de tamanho n × n é definida como sendo a matriz
quadrada In = (eij) ∈ Mn(R), em que eij =
{
1, se i = j
0, se i 6= j
. Por exemplo,
I2 =
[
1 0
0 1
]
e I3 =
1 0 00 1 0
0 0 1
 .
É fácil concluir que para qualquer matriz A ∈ Mm×n(R) vale Im A = A =
AIn.
Definição. Dizemos que uma matriz quadrada A ∈ Mn(R) é inversı́vel se
existir uma matriz B ∈ Mn(R) tal que AB = In e BA = In.
Por exemplo, a matriz A =
[
2 −5
−1 3
]
é inversı́vel, pois tomando-se
B =
[
3 5
1 2
]
, vale AB = BA = I2. Já a matriz C =
[
2 1
0 0
]
não é in-
versı́vel, pois se D =
[
a b
c d
]
∈ M2(R) é uma matriz arbitrária, temos
CD =
[
2a + c 2b + d
0 0
]
, que não é a matriz identidade, quaisquer que se-
jam a, b, c, d ∈ R.
Proposição 1.2.2. Seja A ∈ Mn(R) uma matriz inversı́vel. Então, existe uma
única matriz B ∈ Mn(R) tal que AB = BA = In. Essa matriz será denominada
matriz inversa de A e será denotada por A−1.
Demonstração. Sejam B, C ∈ Mn(R) tais que AB = BA = In e AC = CA =
In. Então, B = InB = (CA)B = C(AB) = CIn = C.
As demonstrações das propriedades enunciadas na próxima proposição
são simples e ficam a cargo do leitor.
Proposição 1.2.3. Sejam A, B ∈ Mn(R) matrizes inversı́veis. Então,
(i) a matriz AB é inversı́vel e (AB)−1 = B−1A−1;
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(ii) a matriz A−1 é inversı́vel e (A−1)−1 = A;
(iii) a matriz In é inversı́vel e I−1n = In.
Veremos, na próxima seção, que se uma matriz tiver um inverso de um
lado, então ela será automaticamente inversı́vel. Mais precisamente, vere-
mos, após a demonstração do Teorema 1.3.8, que se A, B ∈ Mn(R) são tais
que AB = In, então, A é inversı́vel e B = A−1. (Em particular, BA = In.)
Observação. Vale ressaltar que o conceito de invertibilidade só se aplica a
matrizes quadradas. Para matrizes não quadradas, fenômenos “patológi-
cos” podem ocorrer; por exemplo, considere as matrizes
A =
[
2 1
]
e B =
[
1
−1
]
.
Então, AB = I1, mas BA 6= I2. ♦
Método prático para inversão de matrizes. Uma matriz n× n é cha-
mada matriz elementar se pode ser obtida a partir da matriz identidade In
por meio de uma operação elementar sobre as linhas de In. Vejamos alguns
exemplos:
• A matriz E =
1 0 00 0 1
0 1 0
 é uma matriz elementar, pois foi obtida a
partir de I3 pela permutação das linhas 2 e 3.
• A matriz F =
−2 0 00 1 0
0 0 1
 é uma matriz elementar, pois foi obtida a
partir de I3 por meio da multiplicação da primeira linha por −2.
• A matriz G =
1 0 00 1 0
3 0 1
 é uma matriz elementar, pois foi obtida a
partir de I3 por meio da soma da primeira linha multiplicada por 3 à
terceira linha.
O efeito da multiplicação de uma matriz elementar pela esquerda é bem
familiar:
Proposição 1.2.4. Seja A ∈ Mm×n(R) e seja E ∈ Mm(R) uma matriz elemen-
tar. Então EA é a matriz obtida a partir de A pela mesma aplicação da operação
elementar sobre linhas que produziu E a partir de Im.
Demonstração. Conside, um por vez, cada um dos três tipos de operação
elementar sobre linhas de uma matriz e compare a matriz resultante com o
produto pela uma matriz elementar correspondente.
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Por exemplo, considere as matrizes
A =
 1 2 1−2 3 7
1
2 −1
3
2
 L3←L3+(− 12 )L1−→
 1 2 1−2 3 7
0 −2 1
 = B.
Então, B = EA e E é a matriz obtida por
I3 =
1 0 00 1 0
0 0 1
 L3←L3+(− 12 )L1−→
 1 0 00 1 0
− 12 0 1
 = E.
Vimos que toda operação elementar sobre as linhas de uma matriz pode
ser desfeita por uma operação elementar do mesmo tipo. Logo, toda matriz
elementar é inversı́vel, e sua inversa é também elementar: se E é obtida a
partir de In por uma operação elementar, seja F a matriz obtida a partir de
In pela operação elementar que a desfaz. Então FE = In = EF.
A seguir, introduziremos um resultado que dará origem a um método
prático para encontrar a inversa de uma matriz, quando existir.
Teorema 1.2.5. Se existe uma sequência de operações elementares sobre linhas que
a partir de uma matriz A ∈ Mn(R) produz a matriz identidade In, então A é
inversı́vel. Além disso, a mesma sequência de operações elementares sobre linhas
que produziu In a partir de A produz A−1 a partir de In.
Demonstração. Como toda operação elementar sobre linhas pode ser rea-
lizada por multiplicação à esquerda por matrizes elementares, dizer que
existe uma sequência de operações elementares que produz In a partir de A
é dizer que existem matrizes elementares E1, E2, . . . , Er ∈ Mn(R) tais que
ErEr−1 . . . E2E1A = In. (1.16)
Como, pelo item (i) da Proposição 1.2.3, o produto de matrizes inversı́veis
é uma matriz inversı́vel, a matriz M = ErEr−1 . . . E2E1 é inversı́vel. Agora,
A = In A = (M−1M)A = M−1(MA) = M−1 In = M−1,
em que (1.16) foi utilizada na penúltima igualdade. Portanto, A, sendo
a inversa de uma matriz inversı́vel, pela parte (ii) da Proposição 1.2.3,