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Notas de Aula - Álgebra Linear

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na demonstração de
221
(6.16) é que as duas transformações compostas representadas nesse dia-
grama coincidem, pois ambas são iguais a T. Como a composta no canto
superior direito é IV ◦T e a no canto inferior esquerdo, T ◦ IU , segue
IV ◦T = T ◦ IU .
Aplicando a fórmula para a matriz da composta, obtida na Proposição 6.6.2,
obtemos
[IV ]CC ′ [T]BC = [T]B′C ′ [IU ]BB′ ,
donde (6.16) é facilmente obtida.
Em segundo lugar, observe que, como IV também é uma transformação
linear bijetora, a matriz P também é inversı́vel. Assim, (6.16) poderia ter
sido apresentada na seguinte forma alternativa:
[T]BC = P
−1[T]B′C ′Q. (6.17)
(Enquanto (6.16) fornece [T]B′C ′ a partir de [T]BC , (6.17) faz o oposto, dá uma
expressão para [T]BC em função de [T]B′C ′ . Claro que uma das fórmula pode
ser obtida a partir da outra, e ambas a partir do diagrama acima.)
O Teorema 6.7.3 será mais frequentemente utilizado para o estudo de
operadores lineares. O corolário a seguir é uma consequência imediada do
teorema (na forma (6.17), com U = V, B = C e B′ = C ′).
Corolário 6.7.4. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita, seja T : V → V
um operador linear e sejam B e C bases ordenadas de V. Então,
[T]C = P
−1[T]BP, (6.18)
em que P = [IV ]CB .
Aqui, o diagrama também ajuda:
VB VB
VC VC
T
T
IV IV
As matrizes dos operadores identidade que aparecem nas fórmula vis-
tas acima são chamadas matrizes de mudança de base. Elas, além de relaci-
onarem [T]BC e [T]B′C ′ , também servem para “mudar coordenadas”, como
mostra o próximo resultado.
Proposição 6.7.5. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e sejam B e C
bases ordenadas de V. Então, para todo u ∈ V, temos
[u]B = P[u]C ,
em que P = [IV ]CB .
222
Demonstração. Sabemos, do Teorema 6.5.6 (aplicado ao operador linear i-
dentidade IV : V → V, usando as bases C no domı́nio e B no contradomı́-
nio), que
[u]B = [IV(u)]B = [IV ]CB [u]C ,
que é o que desejávamos.
Note que, como IV(u) = u, para todo u ∈ V, as colunas de [IV ]CB
são precisamente as coordenadas, em relação à base B dos vetores que
compõem a base C, na ordem em que eles estão listados em C.
Mais um comentário a respeito de matrizes de mudança de base merece
registro. Sabemos que uma matriz de mudança de base é sempre inversı́vel
(já que é a matriz do operador identidade, que é bijetor), mas vale mais.
Proposição 6.7.6. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e sejam B e C
bases ordenadas de V. Então, [IV ]CB = [IV ]
−1
BC .
Demonstração. Basta aplicar a Proposição 6.7.1 ao operador identidade IV
e lembrar do fato óbvio que (IV)−1 = IV .
Observação. O conceito de matriz de mudança de base já havia surgido no
contexto de vetores de V3, mais especificamente, na ocasião em que vimos
o Teorema 2.6.1. Veja que a notação que foi utilizada então se expressa,
agora, da seguinte maneira: MCB = [IV3 ]CB , de sorte que há uniformidade
na nomenclatura. ♦
Exemplo 6.7.7. Considere o operador linear de R2 definido por
T : R2 −→ R2
(x, y) 7−→ (x− y, x + 2y).
Encontre as matrizes [T]B e [T]C , em que B denota a base canônica de R2 e
C = {(1, 3), (−1, 0)}.
Solução. Temos T(1, 0) = (1, 1) e T(0, 1) = (−1, 2), o que acarreta
[T]B =
[
1 −1
1 2
]
.
Agora, usaremos (6.18) para determinar [T]C . Para tanto, é preciso encon-
trar P = [IR2 ]CB . Como
IR2(1, 3) = (1, 3) = 1(1, 0) + 3(0, 1),
IR2(−1, 0) = (−1, 0) = (−1)(1, 0) + 0(0, 1),
223
segue que P =
[
1 −1
3 0
]
. Logo4,
[T]C = P
−1[T]BP =
[
1 −1
3 0
]−1 [1 −1
1 2
] [
1 −1
3 0
]
=
1
3
[
0 1
−3 1
] [
1 −1
1 2
] [
1 −1
3 0
]
=
1
3
[
7 −1
13 2
]
.
Obviamente, uma outra solução seria calcular diretamente
T(1, 3) = (−2, 7) = 7
3
(1, 3) +
13
3
(−1, 0),
T(−1, 0) = (−1,−1) =
(
−1
3
)
(1, 3) +
2
3
(−1, 0),
e montar a matriz com esses dados. ♦
Exemplo 6.7.8. (Prova 2, Álgebra Linear II, 2015) Sabendo que a matriz da
transformação linear T : P2(R) → R2 em relação às bases ordenadas B =
{1, x + x2, x2} e C = {(1,−1), (1, 1)} de P2(R) e de R2, respectivamente, é[
3 0 1
1 2 −1
]
, o vetor T(x2 − x + 1) é
(A) (5,−3)
(B) (2,−8)
(C) (5, 3)
(D) (−2,−8)
(E) (−5,−5)
Solução. Seja v = x2 − x + 1. Sabemos, pelo Teorema 6.5.6, que
[T(v)]C = [T]BC [v]B . (6.19)
A matriz [T]BC , ocorrendo no produto do lado direito dessa igualdade, é
dada no enunicado da questão:
[T]BC =
[
3 0 1
1 2 −1
]
.
4Aqui usaremos a utilı́ssima fórmula[
a b
c d
]−1
=
1
ad− bc
[
d −b
−c a
]
,
que vale sempre que det
[
a b
c d
]
= ad− bc 6= 0.
224
Tratemos de determinar o outro fator do produto, a matriz [v]B . Temos,
pela Proposição 6.7.5,
[v]B = P[v]D,
em que D = {1, x, x2} denota a base canônica de P2(R), e
P = [IP2(R)]DB .
É fácil ver que
[v]D =
 1−1
1
 .
Resta determinar P. Sabemos, da Proposição 6.7.6, que
P = [IP2(R)]DB = [IP2(R)]
−1
BD,
e essa segunda matriz é fácil de descrever:
[IP2(R)]BD =
1 0 00 1 0
0 1 1
 .
(O que foi feito aqui foi escrever as coordenadas dos vetores deB em relação
à base D, o que é fácil, pois D é a base canônica.) Procedemos, agora, à
inversão dessa matriz: 1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 0
0 1 1 0 0 1
→
 1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 0
0 0 1 0 −1 1

Assim,
P = [IP2(R)]DB = [IP2(R)]
−1
BD =
1 0 00 1 0
0 1 1
−1 =
1 0 00 1 0
0 −1 1
 .
Concluı́mos, portanto, que
[v]B = P[v]D =
1 0 00 1 0
0 −1 1
 1−1
1
 =
 1−1
2
 .
Logo, voltando a (6.19),
[T(v)]C = [T]BC [v]B =
[
3 0 1
1 2 −1
]  1−1
2
 = [ 5−3
]
.
Assim, T(v) = 5(1,−1) + (−3)(1, 1) = (2,−8). Resposta: (B)
225
Poderı́amos ir além e encontrar a expressão para T(a + bx + cx2). Basta
fazer
[a + bx + cx2]B = P[a + bx + cx2]D =
1 0 00 1 0
0 −1 1
ab
c
 =
 ab
−b + c
 ,
donde obtemos
[T(a + bx + cx2)]C = [T]BC [a + bx + cx
2]B =
[
3 0 1
1 2 −1
]  ab
−b + c

=
[
3a− b + c
a + 3b− c
]
.
Portanto,
T(a + bc + cx2) = (3a− b + c)(1,−1) + (a + 3b− c)(1, 1)
= (4a + 2b,−2a + 4b− 2c),
para todos a, b, c ∈ R. ♦
Exercı́cios. Lista 2 - Álgebra Linear II (2020): Exs. 44–48.
226
7
Diagonalização de operadores
Neste capı́tulo, procedemos a uma análise mais aprofundada de operado-
res lineares em espaço de dimensão finita a fim de descrevê-los da maneira
mais simples possı́vel, em um sentido que ficará claro à medida que pro-
gredirmos.
Os resultados obtidos neste capı́tulo têm diversas aplicações relevantes.
Em particular, eles originarão um método para encontrar soluções para sis-
temas de equações diferenciais (abordado na Seção 7.5) e um procedimento
para reconhecer superfı́cies quádricas (tema da Seção 8.3).
Para introduzir o conceito principal deste capı́tulo, o de autovetor de
um operador linear, comecemos por um exemplo simples, aparentemente
não diretamente relacionado com o estudo de operadores lineares.
Seja n um inteiro positivo. Dizemos que uma matriz D = (dij) ∈ Mn(R)
é diagonal se dij = 0 para todos i, j = 1, . . . , n tais que i 6= j. Em outras
palavras, D é diagonal se apenas as entradas em sua diagonal principal são
eventualmente não nulas, isto é, se D tem o seguinte formato:
D =

λ1 0 . . . 0 0
0 λ2 . . . 0 0
...
...
. . .
...
...
0 0 . . . λn−1 0
0 0 . . . 0 λn

Em algumas ocasiões, quando for conveniente, a matriz diagonal D ∈
Mn(R) cujas entradas na diagonal principal são λ1, λ2, . . . , λn, nessa ordem,
será denotada por D = diag(λ1, λ2, . . . , λn).
227
De acordo com a definição do produto entre matrizes, fica claro que as
potências da matriz diagonal D são também matrizes diagonais, dadas por
Dr =

λr1 0 . . . 0 0
0 λr2 . . . 0 0
...
...
. . .
...
...
0 0 . . . λrn−1 0
0 0 . . . 0 λrn
 ,
para todo inteiro positivo r. Usando a notação introduzida acima, se D =
diag(λ1, λ2, . . . , λn), então Dr = diag(λr1, λ
r
2, . . . , λ
r
n).
Em geral, calcular a potência de uma matriz quadrada é muito custoso,
pois são muitas as operações envolvendo suas entradas a serem efetua-
das.