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Notas de Aula - Álgebra Linear

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é
também inversı́vel e vale
A−1 = (M−1)−1 = M = MIn = ErEr−1 . . . E2E1 In,
que é a matriz obtida a partir de In pela aplicação da mesma sequência de
operações elementares que produziu In a partir de A.
Costumamos registrar o método obtido na demonstração do teorema
acima da seguinte maneira:
[A | In] −→ [In | A−1].
22
Essa notação quer dizer que a concatenação, à direita, da matriz identidade
In à matriz A origina uma matriz n× 2n que, após ser sido submetida a uma
sequência (apropriada) de operações elementares sobre linhas, produz uma
matrix n× 2n que tem, na sua metade esquerda, a matriz identidade In e na
direita, precisamente a matriz inversa de A. Ou seja, ao se realizar simul-
taneamente na matriz identidade In a sequência de operações elementares
sobre linhas que produz In a partir de A, obtém-se A−1. É esse o conteúdo
do Teorema 1.2.5. Em breve, veremos exemplos. É preciso, porém, fazer
alguns comentários preliminares.
Quando se vai aplicar o Teorema 1.2.5 é relevante notar que se existe
uma sequência de operações elementares sobre linhas que conduz uma ma-
triz quadrada A a uma matriz escalonada R com pivôs em todas suas linhas,
então essa sequência pode ser estendida a uma que termina na matriz iden-
tidade. Para tanto, basta transformar todos os pivôs de R em 1 (por meio de
operações elementares do tipo II) e, em seguida, proceder a um “retroesca-
lonamento”, isto é, “escalonamento de baixo para cima”, a fim de se zerar
todas as entradas acima dos pivôs.
Em resumo, o Teorema 1.2.5 se aplica a qualquer matriz quadrada A
que, após o processo de escalonamento, origina uma matriz escalonada com
pivôs em todas suas linhas. E, assim, a sequência de operações elementares
à qual a matriz A deve ser submetida a fim de produzir a matriz identidade
pode, sempre, ser realizada na seguinte ordem:
1. Por escalonamento, produz-se uma matriz escalonada a partir de A.
2. Em seguida, por operações elementares do tipo II, transformam-se to-
dos os pivôs em 1.
3. Finalmente, por “retroescalonamento”, zeram-se todas as entradas aci-
ma dos pivôs.
Realizando-se exatamente essa mesma sequência de operações elementares
mas começando pela matriz identidade, obtemos, segundo o Teorema 1.2.5,
a matriz inversa de A.
Vejamos dois exemplos. O primeiro é de uma matriz 2× 2.
Exemplo 1.2.6. Encontre a inversa da matriz A =
[
2 −3
2 1
]
.
Solução. Realizaremos operações elementares simultâneas sobre as linhas de
A e da matriz identidade I2 com o intuito de obter, a partir de A, a matriz
identidade I2.
Para manter controle do processo, concatenamos a matriz identidade I2
à direita da matriz A, obtendo, assim, a matriz 2× 4
[A | I2] =
[
2 −3 1 0
2 1 0 1
]
,
23
e realizamos operações elementares sobre linhas tendo em mente o obje-
tivo de obter na metade da esquerda dessa matriz 2 × 4 a matriz identi-
dade. Procedendo dessa maneira, as operações elementares utilizadas es-
tarão, automaticamente, sendo realizadas na metade da direita, que iniciou
o processo sendo ocupada pela matriz I2.
A sequência de operações elementares sobre linhas será aquela descrita
acima, qual seja, começamos por escalonar A, em seguida transformamos
os pivôs da escalonada em 1 e, finalmente, por retroescalonamento, zera-
mos as entradas acima dos pivôs.
Para a matriz em questão, uma única operação elementar já produz uma
matriz escalonada:[
2 −3 1 0
2 1 0 1
]
L2←L2+(−1)L1−→
[
2 −3 1 0
0 4 −1 1
]
A matriz da metade esquerda é escalonada; tem um pivô na primeira linha
e um na segunda. Passemos, agora, à transformação de seus pivôs em 1,
realizando duas operações elementares do tipo II:
[
2 −3 1 0
0 4 −1 1
] L1←( 12 )L1
L2←( 14 )L2−→
[
1 − 32
1
2 0
0 1 − 14
1
4
]
Finalmente, trabalhando de baixo para cima, zeramos a entradas acima do
pivô da segunda linha, por meio de uma operação elementar do tipo III:[
1 − 32
1
2 0
0 1 − 14
1
4
]
L1←L1+( 32 )L1−→
[
1 0 18
3
8
0 1 − 14
1
4
]
A matriz da metade esquerda é a matriz identidade I2. A matriz da me-
tade direita foi obtida a partir da matriz identidade I2 por meio da mesma
sequência de operações elementares sobre linhas que produziu I2 a partir
de A. Segue, do Teorema 1.2.5, que a matriz da metade direita é a inversa
de A. Ou seja, A−1 =
[
1
8
3
8
− 14
1
4
]
. ♦
Nosso próximo exemplo é de uma matriz 3× 3.
Exemplo 1.2.7. Encontre a inversa da matriz A =
1 2 32 5 3
1 0 8
.
Solução. Procederemos como acima: primeiramente, escalonamos A, em se-
guida, transformamos os pivôs da matriz escalonda em 1, e, finalmente,
zeramos as entradas acima dos pivôs por retroescalonamento.
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Uma sequência completa de operações elementares sobre linhas que re-
aliza esse procedimento é: 1 2 3 1 0 02 5 3 0 1 0
1 0 8 0 0 1

L2←L2+(−2)L1
L3←L3+(−1)L1−→
 1 2 3 1 0 00 1 −3 −2 1 0
0 −2 5 −1 0 1

L3←L3+2L2−→
 1 2 3 1 0 00 1 −3 −2 1 0
0 0 −1 −5 2 1

L3←(−1)L3−→
 1 2 3 1 0 00 1 −3 −2 1 0
0 0 1 5 −2 −1

L2←L2+3L3
L1←L1+(−3)L3−→
 1 2 0 −14 6 30 1 0 13 −5 −3
0 0 1 5 −2 −1

L1←L1+(−2)L2−→
 1 0 0 −40 16 90 1 0 13 −5 −3
0 0 1 5 −2 −1

Note que, neste exemplo, na terceira etapa do processo (retroescalona-
mento), é preciso, primeiramente, zerar as entradas acima do pivô da ter-
ceira linha e, em seguida, zerar a entrada acima do pivô da segunda. O re-
troescalonamento procede de baixo para cima e da direita para a esquerda.
A matriz na metada da direita ao final da sequência acima foi obtida
a partir da matriz identidade I3 pela mesma sequência de operações ele-
mentares sobre linhas que produziu I3 a partir de A. Segue que A−1 =−40 16 913 −5 −3
5 −2 −1
. ♦
Neste ponto, um comentário é devido. Veja que só se pode aplicar
esse método de inversão de matrizes se se sabe, de antemão, que existe uma
sequência de operações elementares sobre linhas que produz a matriz iden-
tidade a partir da matriz A (ou, equivalentemente, como acabamos de ver,
que existe uma sequência de operações elementares sobre linhas que pro-
duz uma matriz escalonada com pivôs em todas suas linhas).
Veremos, na próxima seção, que uma matriz A será inversı́vel se, e so-
mente se, o processo de escalonamento conduzi-la a uma matriz escalonada
com pivôs em todas as linhas. Isso garantirá que o procedimento descrito
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no Teorema 1.2.5 pode ser aplicado a qualquer matriz. Mais precisamente,
dada uma matriz quadrada A, produz-se, a partir dela, por meio do pro-
cesso de escalonamento, uma matriz escalonada R. Se R tiver pivôs em to-
das suas linhas, continuamos operando com linhas até obter a matriz iden-
tidade e a inversa de A; se não, A não é inversı́vel.
Na próxima seção veremos, também, um outro critério simples para
determinar se uma matriz é inversı́vel ou não e que independe do processo
de escalonamento.
Exercı́cios. Lista 1 - Álgebra Linear I: Exs. 12–16.
1.3 Determinantes
Nesta seção, seremos menos rigorosos em nossos argumentos. Muitos dos
resultados serão enunciados sem demonstração. Recomendamos, ao lei-
tor interessado em maiores detalhes, a leitura de [7, Seções 2.1 e 2.2] ou
[1, Capı́tulo 2]. Para um tratamento rigoroso da teoria de determinantes,
recomendamos [5, Capı́tulo 7].
O determinante de uma matriz quadrada A é um número real associado
a ela que contém informação relevante a respeito de sua invertibilidade.
Antes de defini-lo, porém, vamos introduzir um conceito que será utilizado
no que segue.
Uma matriz quadrada A = (aij) ∈ Mn(R) é chamada triangular superior
se aij = 0 sempre que i > j, ou seja, se a matriz tiver o formato
A =

a11 a12 a13 . . . a1n
0 a22 a23 . . . a2n
0 0 a33 . . . a3n
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . ann

Também faremos uso da seguinte definição.
Definição. Dada uma matriz B = (bij) ∈ Mm×n(R) (não necessariamente
quadrada), define-se a matriz transposta de B como sendo a matriz Bt =
(cij) ∈ Mn×m(R), em que cji = bij, para todos i