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Notas de Aula - Álgebra Linear

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= 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
Ou seja, para cada j = 1, . . . , n, a j-ésima linha de Bt é a j-ésima coluna
de B. Por exemplo, [
1 2 3
4 5 6
]t
=
1 42 5
3 6
 .
A respeito da operação de transposição de matrizes, não é difı́cil de-
monstrar que
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(i) Int = In, para todo n ≥ 1;
(ii) se A e B são matrizes tais que o produto AB esteja definido, então o
produto BtAt está definido e vale (AB)t = BtAt;
(iii) se D é uma matriz inversı́vel, então Dt também é inversı́vel e vale
(Dt)−1 = (D−1)t.
Dada uma matriz quadrada A, vamos assumir, sem demonstração, que
sempre existe um número real, chamado determinante de A e denotado por
det(A), que goza das seguintes propriedades:
(1) Para qualquer inteiro positivo n, vale
det(In) = 1.
(2) Os efeitos das operações elementares sobre linhas de uma matriz qua-
drada A em seu determinante são os seguintes:
I. Se B é obtida de A por meio da permutação de duas linhas de A,
então
det(B) = −det(A).
II. Se B é obtida a partir de A por meio da multiplicação de uma das
linhas de A pelo número λ 6= 0, então
det(B) = λ det(A).
III. Se B é obtida a partir de A por meio da adição de uma linha mul-
tiplicada por um número a uma outra linha, então
det(B) = det(A).
(3) Para qualquer matriz quadrada A, vale
det(A) = det(At).
Segue, imediatamente, das propriedades (1) e (2-II), que se A = [a] é
uma matriz 1× 1, com a 6= 0, então det(A) = a. Seguirá da parte (i) da
Proposição 1.3.1, que veremos a seguir, que isso também vale se a = 0.
Algumas consequências imediatas dessas propriedades são enunciadas
a seguir.
Proposição 1.3.1. Seja A uma matriz quadrada.
(i) Se A tem uma linha (ou coluna) nula, então det(A) = 0.
(ii) Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0.
(iii) Se A tem tamanho n× n e λ ∈ R, então det(λA) = λn det(A).
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Demonstração. Para (i), suponha que A tenha uma linha nula. Então, A
pode ser obtida a partir de si mesma pela multiplicação de sua linha nula
por 2. Logo, da propriedade (2-II), obtemos det(A) = 2 det(A). Daı́, obtém-
se det(A) = 0.
Para (ii), suponha que A tenha duas linhas iguais. Utilizamos essas
linhas para produzir, por meio de uma operação elementar do tipo III, uma
nova matriz B que tem uma linha nula. Segue de (i) que det(B) = 0. Mas,
como, pela propriedade (2-III), det(A) = det(B), obtemos det(A) = 0.
Para as versões de (i) e (ii) em termos de colunas, basta, agora, utilizar
a propriedade (3), uma vez que as colunas de A são as linhas de At.
Finalmente, (iii) é obviamente verdadeiro se λ = 0. Se λ 6= 0, o re-
sultado segue da propriedade (2-II), uma vez que λA nada mais é do que a
matriz obtida a partir de A pela multiplicação de cada uma de suas n linhas
por λ.
Uma outra consequência das propriedades (1)–(3), e da proposição que
acabamos de ver, permitirá que utilizemos o processo de escalonamento
para calcular determinantes:
Proposição 1.3.2. Se A ∈ Mn(R) é uma matriz triangular superior, digamos
A =

a11 a12 a13 . . . a1n
0 a22 a23 . . . a2n
0 0 a33 . . . a3n
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . ann
 ,
então det(A) = a11a22 . . . ann.
Demonstração. Se todas as entradas aii da diagonal principal de A forem
não nulas, então pode-se obter, a partir de A, por meio de uma sequência
de operações elementares do tipo III, a matriz diagonal
D =

a11 0 0 . . . 0
0 a22 0 . . . 0
0 0 a33 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . ann
 .
Para tanto, basta proceder de baixo para cima, utilizando, primeiramente, a
entrada ann para zerar todas as entradas acima dela na n-ésima coluna; em
seguida, utilizar an−1,n−1 para zerar as entradas acima dela na n− 1-ésima
coluna; e assim por diante. (Dito de outra forma, basta realizar “retroesca-
lonamento”, como vı́nhamos chamando, na matriz D.)
Como apenas operações elementares do tipo III foram utilizadas, segue,
da propriedade (2-III), que det(D) = det(A).
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Agora, utilizando a propriedade (2-II) em cada uma das linhas de D,
obtemos
det(D) = a11a22 . . . ann det(In) = a11a22 . . . ann.
Nessa última igualdade, utilizamos a propriedade (1). Logo, no caso de
todas as entradas na diagonal principal de A serem não nula, obtemos
det(A) = a11a22 . . . ann.
Vejamos, agora, como argumentar no caso em que alguma das entra-
das na diagonal principal de A é nula. Nesse caso, considere, de baixo
para cima, a primeira linha de A que contém uma entrada nula na diagonal
principal, digamos que essa linha seja a i-ésima. O mesmo processo des-
crito acima resultará em uma matriz B (agora não necessariamente diago-
nal) com a i-ésima linha nula. Pela parte (i) da Proposição 1.3.1, det(B) = 0.
Como det(A) = det(B), teremos, também, det(A) = 0, coincidindo, por-
tanto, com o produto das entradas em sua diagonal principal.
Essa proposição, conjugada com a propriedade (3), acarreta o fato de
que o determinante de uma matriz triangular inferior (ou seja, uma matriz
cujas entradas acima da diagonal principal são todas nulas) também é dado
pelo produto dos elementos ao longo da diagonal principal, já que a trans-
posta de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular superior
com a mesma diagonal.
Além disso, a propriedade (3) também nos proporciona um método de
cálculo do determinante fazendo uso de “operações elementares sobre colu-
nas” (ou seja, valem as afirmações da propriedade (2) com cada ocorrência
de “linha” trocada por “coluna”).
De posse da propriedade (2) e da Proposição 1.3.2, obtemos um método
para calcular o determinante de qualquer matriz quadrada fazendo uso do
processo de escalonamento, uma vez que toda matriz quadrada escalonada
é triangular superior, desde que, em cada aplicação de uma operação ele-
mentar sobre linhas, se registre o efeito acarretado no determinante.
Vejamos dois exemplos, um, primeiro, numérico, e outro contendo uma
fórmula familiar.
Exemplo 1.3.3. Calcule o determinante da matriz A =

3 5 −2 6
1 2 −1 1
2 4 1 5
3 7 5 3
.
Solução. Vamos escalonar A:
A =

3 5 −2 6
1 2 −1 1
2 4 1 5
3 7 5 3
→

0 −1 1 3
1 2 −1 1
0 0 3 3
0 1 8 0
 = B.
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Aqui, fizemos uso de operações elementares do tipo III utilizando a se-
gunda linha para zerar três entradas na primeira coluna. Como foram usa-
das apenas operações do tipo III, segue det(B) = det(A). Agora,
B =

0 −1 1 3
1 2 −1 1
0 0 3 3
0 1 8 0
→

1 2 −1 1
0 −1 1 3
0 0 3 3
0 1 8 0
 = C.
Nessa passagem, realizamos uma operação elementar do tipo I, permu-
tando a primeira e segunda linhas. Assim, det(C) = −det(B); portanto,
como det(B) = det(A), segue que det(A) = −det(C). Aplicando mais
uma operação elementar do tipo III, que não altera o determinante, obte-
mos:
C =

1 2 −1 1
0 −1 1 3
0 0 3 3
0 1 8 0
→

1 2 −1 1
0 −1 1 3
0 0 3 3
0 0 9 3
 = D.
Logo, det(A) = −det(C) = −det(D). Finalmente, um último uso de uma
operação elementar do tipo III:
D =

1 2 −1 1
0 −1 1 3
0 0 3 3
0 0 9 3
→

1 2 −1 1
0 −1 1 3
0 0 3 3
0 0 0 −6
 = E.
Como det(E) = 1 · (−1) · 3 · (−6) = 18, uma vez que E é triangular superior,
concluı́mos que det(A) = −det(D) = −det(E) = −18. ♦
Exemplo 1.3.4. Mostre, usando o que vimos sobre o efeito no determiante de
operações elementares sobre linhas de uma matriz, que
det
[
a b
c d
]
= ad− bc.
Solução. Consideremos, primeiramente, o caso em que a = 0. Temos
det
[
0 b
c d
]
= −det
[
c d
0 b
]
= −cb,
o que comprova a fórmula neste caso. Suponha, agora, que a 6= 0. Neste
caso,
det
[
a b
c d
]
= det
[
a b
0 d− bca
]
= ad− bc.
Ou seja, a fórmula vale quaisquer que sejam a, b, c, d. ♦
Uma das propriedades mais importantes do determinante de uma ma-
triz será enunciada no resultado a seguir, apresentado sem demonstração.
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Teorema 1.3.5. Sejam A e B matrizes quadradas de mesmo tamanho. Então,
det(AB) = det(A)det(B).
Esse teorema tem a seguinte consequência imediata.
Corolário 1.3.6. Seja A ∈ Mn(R)