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Notas de Aula - Álgebra Linear

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uma matriz inversı́vel. Então, det(A) 6= 0 e
det(A−1) = 1det(A) .
Demonstração. A aplicação da fórmula no Teorema 1.3.5 à igualdade ma-
tricial AA−1 = In fornece
det(A)det(A−1) = det(AA−1) = det(In) = 1.
Em particular, det(A) 6= 0 e det(A−1) = 1det(A) .
Veremos, a seguir, que vale a recı́proca: toda matriz quadrada de deter-
minante não nulo é inversı́vel. Para isso, precisaremos, antes, de um lema.
Lema 1.3.7. Seja A uma matriz quadrada e seja R uma matriz obtida a partir de
A por meio da aplicação de uma sequência de operações elementares sobre linhas.
Então, det(A) 6= 0 se, e somente se, det(R) 6= 0.
Demonstração. Suponha que R seja uma matriz obtida a partir de A pela
aplicação de uma única operação elementar sobre as linhas de A. Vimos,
na página 27, qual é o efeito, no determinante, de operações elementares
sobre linhas. Lembremos que operações elementares do tipo II só podem
ser realizadas utilizando-se constantes não nulas. Assim, se det(A) 6= 0, o
determinante de R também será não nulo. Como A pode ser obtida a partir
de R pela aplicação da operação elementar “inversa”, vale a equivalência.
O argumento para uma sequência (finita) de operações elementares so-
bre linhas é indutivo: a condição sobre o determinante passa de uma matriz
para a seguinte na sequência.
Finalmente, podemos enunciar um resultado que relaciona invertibili-
dade de matrizes com sistemas lineares. Para tanto, observemos, primei-
ramente, que se AX = B é um sistema linear (em notação matricial) com
n variáveis e se (s1, s2, . . . , sn) é uma sequência de n números reais, então
(s1, s2, . . . , sn) é solução do sistema AX = B se, e somente se, AS = B, em
que S =

s1
s2
...
sn
 e AS denota o produto matricial. (É esse fato, aliás, que
justifica a adoção da notação matricial para sistemas lineares.) Se, de fato,
ocorrer AS = B, será comum, deste ponto em diante, referirmo-nos à ma-
triz S também como uma solução do sistema linear AX = B.
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O próximo resultado é extremamente útil e será utilizado diversas ve-
zes nessas notas como parte da argumentação em demonstrações de outros
resultados e em resoluções de exercı́cios.
Teorema 1.3.8. Seja A ∈ Mn(R). São equivalentes:
(a) A é inversı́vel.
(b) Para qualquer B ∈ Mn×1(R), o sistema linear AX = B é possı́vel determi-
nado.
(c) O sistema linear homogêneo AX = 0 é possı́vel determinado.
(d) det(A) 6= 0.
Antes de dar inı́cio à demonstração, é preciso esclarecer o que se en-
tende por dizer que as afirmações (a)–(d) são equivalentes. O que se deve
entender de enunciados desse tipo é que tomando-se qualquer uma das
quatro afirmações como hipótese pode se obter qualquer uma das outras
três como consequência dela. Na demonstração que veremos abaixo, trata-
remos de mostrar que existe uma sequência de implicações
(a) =⇒ (b) =⇒ (c) =⇒ (d) =⇒ (a),
o que, por certo, estabelecerá a equivalência entre as quatro afirmações.
Demonstração. Para ver que (a) implica (b), suponha que A é inversı́vel,
tome B ∈ Mn×1(R) e considere o sistema linear AX = B. Para mostrar que
esse sistema é possı́vel determinado, precisamos mostrar que ele tem uma
única solução. Considere a matriz S = A−1B. Mostremos que S é a única
solução de AX = B. Por um lado, S é, de fato, solução de AX = B, uma vez
que
AS = A(A−1B) = (AA−1)B = InB = B.
Vejamos por que S é a única solução de AX = B. Suponha que S′ ∈
Mn×1(R) seja uma solução de AX = B, isto é, que S′ satisfaça AS′ = B.
Multiplicando essa igualdade por A−1 à esquerda em ambos os lados, ob-
temos
A−1(AS′) = A−1B.
O lado esquerdo dessa igualdade é igual a S′, ao passo que o direito, a S. Ou
seja, S′ = S, o que prova que S é a única solução do sistema linear AX = B.
Isso quer dizer que ele é possı́vel determinado.
É claro que (b) implica (c), pois (c) é apenas o caso particular de (b) em
que a matriz B é a matriz nula.
Vejamos, agora, por que (c) implica (d). Se o sistema AX = 0 é possı́vel
determinado e T ∈ Mn×(n+1)(R) é uma matriz obtida no processo de es-
calonamento da matriz aumentada [A | 0] do sistema AX = 0, então T
tem exatamente n pivôs, ou seja, T é da forma T = [R | 0], em que R é
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uma matriz quadrada de tamanho n× n que é triangular superior e cujas
entradas na diagonal principal — seus pivôs — são todas não nulas. As-
sim, det(R) 6= 0. Como R foi obtida a partir de A por meio de operações
elementares sobre linhas, segue, do Lema 1.3.7 que det(A) 6= 0.
Finalmente, tratemos de mostrar que (d) implica (a). Suponha que A
tenha determinante não nulo e seja R uma matriz escalonada obtida a partir
de A por operações elementares sobre linhas. Pelo Lema 1.3.7, det(R) 6=
0. Como R é triangular superior — toda matriz quadrada escalonada é
triangular superior —, R tem que ter pivôs em todas as entradas ao longo
de sua diagonal principal. Multiplicando cada uma das linhas de R pelo
inverso do pivô correspondente, que é uma operação elementar do tipo II,
e, em seguida, fazendo retroescalonamento, obteremos a matriz identidade
a partir de R, e, portanto, também a partir de A, por meio de operações
elementares sobre linhas. Mas isso implica, pelo Teorema 1.2.5, que A é
inversı́vel.
Logo, as quatro condições são equivalentes.
Em particular, da equivalência entre (a) e (d), temos, agora um critério
de invertibilidade de matrizes em termos de determinantes: dada uma ma-
triz quadrada A,
A é inversı́vel se, e somente se, det(A) 6= 0.
Esse critério será utilizado diversas vezes ao longo destas notas.
Note que segue, também, do resultado acima que se A ∈ Mn(R) é uma
matriz para a qual existe uma matriz B ∈ Mn(R) tal que AB = In, então A
é inversı́vel e A−1 = B. Isso, pois de AB = In, segue que det(A)det(B) =
det(AB) = det(In) = 1. Portanto, det(A) 6= 0, o que implica, como vimos,
que A é inversı́vel. Multiplicando a igualdade AB = In por A−1 à esquerda,
obtemos B = A−1. Ou seja, para demonstrar que uma matriz é inversı́vel,
basta exibir uma inversa à direita. Um argumento análogo mostra que uma
matriz quadrada que tem uma inversa à esquerda é inversı́vel.
Um outro comentário relevante retoma um tema deixado incompleto na
seção anterior. No Teorema 1.2.5, havı́amos visto que se há uma sequência
de operações elementares sobre linhas que produz a partir de uma matriz
quadrada A uma matriz escalonada com pivôs em todas suas linhas, então
a matriz A será inversı́vel.
Com o que temos, agora, nesta seção, é possı́vel mostrar que vale tam-
bém a recı́proca, e, portanto, essas duas condições são, de fato, equivalen-
tes. Vejamos por quê. Seja A uma matriz quadrada e seja R uma matriz
escalonada obtida a partir de A por meio de uma sequência de operações
elementares sobre linhas. Sabemos, pelo Teorema 1.3.8, que A é inversı́vel
se, e somente se, det(A) 6= 0. Mas, pelo Lema 1.3.7, isso é equivalente a ter-
mos det(R) 6= 0. Assim, A será inversı́vel se, e só se, det(R) 6= 0. Como R
é triangular superior, essa condição ocorrerá se, e somente se, R tiver pivôs
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em todas as suas linhas (já que, pela Proposição 1.3.2, seu determinante é
dado pelo produto dos elementos na diagonal principal).
Concluindo, o procedimento, visto no Teorema 1.2.5, de construção da
inversa de uma matriz quadrada A por meio de operações elementares so-
bre linhas só resultará na matriz identidade se A for inversı́vel.
Terminamos esta seção com uma ressalva importante. Apesar de a
função determinante ser multiplicativa, de acordo com o Teorema 1.3.5,
ela não é uma função aditiva, ou seja se A e B são matrizes quadradas de
mesmo tamanho, então não vale sempre que det(A + B) será igual à soma
dos números det(A) e det(B), como mostra, por exemplo, a conta a seguir:
det
([
1 2
1 1
]
+
[
1 0
0 1
])
= det
[
2 2
1 2
]
= 2,
ao passo que
det
[
1 2
1 1
]
+ det
[
1 0
0 1
]
= −1 + 1 = 0.
Observação. Há outros métodos conhecidos