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Notas de Aula - Álgebra Linear

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para o cálculo de determinan-
tes, como, por exemplo, as fórmulas de Sarrus (para determinantes de ma-
trizes 3× 3) e de Laplace (também conhecida como expansão em cofatores).
No Apêndice A, o leitor interessado encontra uma descrição, não acompa-
nhada de demonstrações, dessas fórmulas.
Ainda, no que tange ao uso de determinates para resolução de sistemas
lineares, deve-se mencionar a fórmula de Cramer (que não será tratada nes-
sas notas, mas que é apresentada com detalhes, por exemplo, em [5].) ♦
Exercı́cios. Lista 1 - Álgebra Linear I: Exs. 17–34.
34
2
Vetores
Neste capı́tulo, será definido o conjunto dos vetores no espaço tridimensi-
onal e serão introduzidas operações envolvendo os elementos desse con-
junto.
Será preciso assumir, no que segue, alguns conhecimentos de geome-
tria euclidiana no plano e no espaço, usualmente vistos nas disciplinas de
matemática no Ensino Médio.
O conjunto formado por todos os pontos do espaço tridimensional, am-
biente familiar aos alunos de Ensino Médio, onde se dá o estudo da geome-
tria espacial, será denotado por E3.
A referência principal para este capı́tulo e o próximo é o livro [3].
2.1 Vetores e operações entre vetores
Dados dois pontos A, B ∈ E3, o par ordenado (A, B) será denominado seg-
mento orientado de extremidade inicial A e extremidade final B.
Ao segmento orientado (A, B) de E3 associamos um vetor, denotado
por
# »
AB. No conjunto dos vetores, está definida a seguinte relação de igual-
dade: se A, B, C, D ∈ E3, então # »AB = # »CD se, e somente se, as seguinte três
condições estiverem satisfeitas:
(i) Os segmentos de reta AB e CD têm o mesmo comprimento.
(ii) Os segmentos de reta AB e CD são paralelos.
(iii) Os segmentos orientados (A, B) e (C, D) têm o mesmo sentido.
Sejam (A, B) e (C, D) segmentos orientados tais que os segmentos de reta
AB e CD sejam pararelos. Dizemos que (A, B) e (C, D) têm o mesmo sentido
35
se AC ∩ BD = ∅. Caso contrário, dizemos que (A, B) e (C, D) têm sentidos
opostos.1
A
B
C
D
mesmo sentido
A
B
C
D
sentidos opostos
Por convenção, os segmentos de reta de comprimento nulo, isto é, aqueles
da forma AA, são paralelos a qualquer outro segmento de reta. Ainda,
convenciona-se também que os segmentos orientados (A, A) e (C, D) têm
o mesmo sentido, quaisquer que sejam A, C, D ∈ E3.
Se #»v é um vetor e A, B ∈ E3 são tais que #»v = # »AB, dizemos que o
segmento orientado (A, B) é um representante do vetor #»v .
Para todos A, B ∈ E3, # »AA = # »BB. Esse vetor será chamado vetor nulo e
será denotado por
#»
0 .
O conjunto de todos os vetores será denotado por V3.
Dado #»v ∈ V3, sejam A, B ∈ E3 tais que #»v = # »AB. Define-se o com-
primento (ou norma) de #»v como sendo o comprimento do segmento de reta
AB. O comprimento de #»v será denotado por ‖ #»v ‖. É claro que
∥∥∥ #»0 ∥∥∥ = 0 e
que o vetor nulo é o único vetor de V3 com comprimento igual a 0.
Dado #»v ∈ V3 tal que #»v = # »AB, com A, B ∈ E3, define-se o vetor oposto
de #»v , denotado por − #»v , como sendo o vetor # »BA. (Isto é, se #»v = # »AB, então
− #»v = # »BA).
Dados dois vetores #»u , #»v , dizemos que eles são paralelos se tiverem re-
presentantes paralelos, isto é, se, escrevendo #»u =
# »
AB e #»v =
# »
CD, com
A, B, C, D ∈ E3, os segmentos de reta AB e CD forem paralelos. Por con-
venção, o vetor nulo é paralelo a qualquer vetor.
A próxima observação será crucial no que segue.
Observação. Dados A ∈ E3 e #»v ∈ V3, existe um único B ∈ E3 tal que
#»v =
# »
AB. (Ou seja, fixado um ponto e um vetor, existe um representante
desse vetor com extremidade inicial naquele ponto.) ♦
1Essa é a definição de segmentos orientados de mesmo sentido quando os segmentos
de reta suporte são paralelos, mas não estão contidos em uma mesma reta. Se (A, B) e (C, D)
são segmentos orientados com AB e CD contidos em uma mesma reta, tome pontos C′, D′
fora dessa reta de forma que CD e C′D′ sejam segmentos de reta paralelos e (C, D) e (C′, D′)
sejam segmentos orientados de mesmo sentido. Assim (A, B) e (C, D) terão mesmo sentido
se (A, B) e (C′, D′) tiverem mesmo sentido.
36
Soma de vetores. Dados #»u , #»v ∈ V3, se #»u = # »AB, com A, B ∈ E3, seja
C ∈ E3 tal que #»v = BC. Define-se a soma #»u + #»v como sendo o vetor dado
por #»u + #»v =
# »
AC.
A
B
C
#»u
#»v
#»u + #»v
A proprosição a seguir reúne propriedades da soma entre vetores, que
podem ser verificadas por meio de argumentos geométricos no plano.
Proposição 2.1.1. Para quaisquer #»u , #»v , #»w ∈ V3, valem:
(i) ( #»u + #»v ) + #»w = #»u + ( #»v + #»w);
(ii) #»u + #»v = #»v + #»u ;
(iii) #»u +
#»
0 = #»u ;
(iv) #»u + (− #»u ) = #»0 .
Uma questão notacional: se #»u , #»v ∈ V3, utilizaremos a abreviação #»u −
#»v para significar o vetor #»u + (− #»v ). Assim, dados os vetores #»u e #»v , pode-
mos identificar os vetores #»u + #»v e #»u − #»v como as diagonais do paralelo-
gramo definido por #»u e #»v , como na figura:
#»u
#»v
#»u − #»v
#»u + #»v
Para ver isso, chame de #»x o vetor destacado em vermelho. Esse vetor satis-
taz #»v + #»x = #»u . Somando − #»v a ambos os lados dessa igualdade, obtemos
#»x = #»u − #»v .
Multiplicação de um escalar por um vetor. A partir deste ponto, usa-
remos o termo escalar para nos referirmos a um número real.
Dados um vetor #»u ∈ V3 e um escalar λ ∈ R, define-se a multiplicação do
escalar λ pelo vetor #»u como sendo o vetor λ #»u que tem comprimento |λ| ‖ #»u ‖,
é pararelo a #»u e é tal que #»u e λ #»u têm o mesmo sentido se λ > 0 e sentidos
opostos se λ < 0. Se λ = 0, define-se λ #»u =
#»
0 .
37
#»u
2 #»u
1
2
#»u
−2 #»u
Segue, imediatamente da definição, que para qualquer vetor #»u , temos
(−1) #»u = − #»u .
Aqui, também, argumentos de natureza geométrica permitem a de-
monstração das seguintes propriedades.
Proposição 2.1.2. Para quaisquer #»u , #»v ∈ V3 e λ, µ ∈ R, valem:
(i) λ( #»u + #»v ) = λ #»u + λ #»v ;
(ii) (λ + µ) #»u = λ #»u + µ #»u ;
(iii) 1 #»u = #»u ;
(iv) (λµ) #»u = λ(µ #»u ).
Vejamos, em um exemplo, como utilizar a linguagem de vetores para
fazer argumentos sobre problemas geométricos.
Exemplo 2.1.3. (Lista 1 - Álgebra Linear I, ex. 38) Mostre que o segmento que
une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro
lado e tem metade de sua medida.
Solução. Sejam A, B, C os vértices do triângulo. Seja M o ponto médio do
lado AB e seja N o ponto médio do lado BC. Consideremos o vetor
# »
MN.
A
B
C
N
M
Como M é o ponto médio de AB, segue que
# »
MB = 12
# »
AB, e, como N é o
ponto médio de BC, segue que
# »
BN = 12
# »
BC. Assim,
# »
MN =
# »
MB +
# »
BN =
1
2
# »
AB +
1
2
# »
BC =
1
2
(
# »
AB +
# »
BC
)
=
1
2
# »
AC.
Segue, portanto, que o segmento MN é paralelo ao segmento AC (uma vez
que, por definição, o vetor 12
# »
AC é paralelo ao vetor
# »
AC) e a medida do
segmento MN é igual a
∥∥∥ # »MN∥∥∥ = ∥∥∥ 12 # »AC∥∥∥ = | 12 | ∥∥∥ # »AC∥∥∥ = 12 ∥∥∥ # »AC∥∥∥, que é a
metade da medida do segmento AC. ♦
38
Observação. Podemos utilizar o conceito de multiplicação de um escalar por
um vetor para representar a noção de paralelismo entre vetores. Mais pre-
cisamente, dados #»u , #»v ∈ V3, com #»u 6= #»0 , os vetores #»u e #»v serão paralelos
se, e somente se, existir λ ∈ R tal que #»v = λ #»u .
Com efeito, se #»v = λ #»u , então #»v é paralelo a #»u , por definição. Para a
recı́proca, suponha que #»u e #»v sejam vetores paralelos. Então, #»v = λ #»u , com
λ = ‖
#»v ‖
‖ #»u ‖ , se
#»u e #»v tiverem o mesmo sentido, e λ = − ‖
#»v ‖
‖ #»u ‖ , se
#»u e #»v tiverem
sentidos opostos, como o leitor pode facilmente verificar. ♦
A construção do conjunto V3 e a definição das operações de soma e
multiplicação por escalar pode ser replicada para dar origem ao conjunto
V2, dos vetores bidimensionais, partindo de segmentos orientados