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1 3 1 1 MÓDULO 1 FRAÇÕES EXEMPLOS DE PROBLEMAS QUE SERÃO RESOLVIDOS NESTE MÓDULO: 254 − 33 + 2 = ? (12 − 3)(10 − 8) ∙ (8 + 4)(5 − 3) = ? 3 PLAY CÁLCULO – MÓDULO 1 (ESTUDO DAS FRAÇÕES) 1. FRAÇÕES Denomina-se fração um número inteiro dividido em finitas partes iguais, veja: ܽ ܾ Onde a parte ܽ é o numerador e ܾ é o denominador da fração. Exemplo 1: 62 35 −27 2. REGRAS DE SINAL PARA FRAÇÕES A) −ܽ ܾ = ܽ −ܾ = −ܽ ܾ Exemplo 1: −73 = 7−3 = − 73 B) −ܽ −ܾ = ܽ ܾ Exemplo 2: −2 −3 = 23 3. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES A) DENOMINADORES IGUAIS Para trabalhar com frações cujo denominadores são iguais, basta somar ou subtrair o numerador, mantendo o mesmo denominador.Veja: Exemplo1: 12 + 52 = 1 + 52 = 62 = 3 Teoria e Exemplos 4 Exemplo 2: 73 − 23 = 7 − 23 = 53 Exemplo 3: 25 − 75 − 95 + 45 = 2 − 7 − 9 + 45 = −105 = −2 B) DENOMINADORES DIFERENTES Caso os denominadores não sejam iguais, basta encontrar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC), transformar as frações para o mesmo denominador e, assim, efetuar a operação desejada (soma ou subtração). MMC é denominado como o menor múltiplo comum entre dois ou mais números diferentes de zero. Exemplo 1: Múltiplos de 4: 0, 4, 8 , 12, 16, … Múltiplos de 8: 0, 8 , 16, 24, 32, … Ou seja, para os números 4 e 8, o MMC entre eles é o 8. Exemplo 2: 76 + 53 Primeiramente, encontrar o MMC entre 3 e 6: Múltiplos de 3: 0, 3, 6 , 9, 12, … Múltiplos de 6: 0, 6 , 12, 18, … MMC = 6 Depois, transformar as frações com o mesmo MMC. Ou seja, o denominador de ambas deverá ser igual a 6: 76 + 53 = 76 + 5 ∙ 23 ∙ 2 = 76 + 106 = 7 + 106 = 176 Exemplo 3: 34 + 52 + 36 = 3 ∙ 3 + 6 ∙ 5 + 2 ∙ 312 = 9 + 30 + 612 = 4512 Observe que 12/4 é igual a 3, 12/2 é igual a 6 e 12/6 é igual a 2. Exemplo 4: − 32 − 53 + 14 = 6 ∙ (−3) + 4 ∙ (−5) + 3 ∙ 112 = − 3512 5 4. PRODUTO E QUOCIENTE DE FRAÇÕES Para efetuar o produto entre frações, basta multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador. A simplificação faz-se necessária para um melhor resultado. Exemplo 1: 56 ∙ 123 = 5 . 126 . 3 = 6018 = 60 ∶ 618 ∶ 6 = 103 Nesse caso, poderíamos simplificar antes mesmo de realizar a operação, veja: 56 ∙ 123 = 56 . 123 = 5 . 23 = 103 Para efetuar o quociente entre frações, basta multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, veja: ௗ = ܽ ܾ ∙ ݀ ܿ = ܽ ∙ ݀ ܾ ∙ ܿ Exemplo 2: ସ ଵଵ ଵସ = 47 : 1114 = 47 . 1411 = 47 . 1411 = 4 . 211 = 811 E1. Faça as operações seguintes: a) 16 + 46 b) 83 − 53 c) −48 + −58 d) 38 + 28 − 18 e) − 32 − 182 − 42 f) 1230 − 10(2 ∙ 15) g) − 17 − 53 h) 125 − 103 i) 28 − 51 j) 52 + 3125 − 55 k) 254 − 33 + 2 l) 26 + 162 − 3 Exercícios 6 E2. Faça as operações seguintes: a) 825 ∙ 51 b) 13(3 + 5) ∙ 68 c) 1510 ∙ 10100 d) (12 − 3)(10 − 8) ∙ (8 + 4)(5 − 3) e) 34 ∙ (12 + 1)(12 − 1) f) ൬ 210 ∙ 212 − 2൰ g) 14 ∙ 7(2 − 1) . 3 h) (−8)(−1) ∙ 10010 i) −൬2212 . 61൰ j) ଼ ଼ ଵ E1. a) ହ b) 1 c) ିଽ ଼ d) ଵ ଶ e) − ଶହ ଶ f) ଵ ଵହ g) − ଷ଼ ଶଵ h) − ଵସ ଵହ i) − ଵଽ ସ j) ଷ଼ଵ ଶହ k) ଶଽ ସ l) ଵ ଷ E2. a) ଼ ହ b) ଷଽ ଷଶ c) ଷ ଶ d) 27 e) ଷଽ ସସ f) ଵ ଶହ g) ଶଵ ସ h) 80 i) −11 j) ଵ Gabarito 7 MÓDULO 2 POTENCIAÇÃO EXEMPLOS DE PROBLEMAS QUE SERÃO RESOLVIDOS NESTE MÓDULO: 9଼9ହ ∙ 99ହ = ? 7ହ ∙ 77ହ ∙ (7଼)ସ = ? [(ݔ ∙ ݕହ)ସ]ଶ ∙ (ݕ ∙ ݔ)ହ ∙ ݔଶ ݔହ = ? Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 9 PLAY CÁLCULO – MÓDULO 2 (POTENCIAÇÃO) 1. POTENCIAÇÃO A potenciação ܽ (݊ = 1, 2, 3 … ) é calculada assim: ܽ = ܽ ∙ ܽ ∙ ܽ…ܽ ∙ ܽ ∙ ܽ , onde a parte ܽ é chamada de base e ݊ é o expoente. Exemplo: 5ସ = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 2. REGRAS E PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO A) ܽଵ = ܽ Exemplo 1: 7ଵ = 7 B) ܽ = 1, onde ܽ ≠ 0 Exemplo 2: 5 = 1 C) ܽ ∙ ܽ = ܽା Exemplo 3: 3ହ ∙ 3 = 3ହା = 3ଵଶ D) ܽି = 1ܽ ݊݀݁ ܽ ≠ 0 Exemplo 4: 2ିଷ = 12ଷ = 18 E) ܽ ܽ = ܽି, ݊݀݁ ܽ ≠ 0 Exemplo 5: 33ହ = 3ିହ = 3ଶ = 9 Teoria e Exemplos n vezes Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 10 Exemplo 6: 5ଷ5ହ = 5ଷିହ = 5ିଶ = 15ଶ = 125 F) (ܽ) = ܽ∙ Exemplo 7: (2ଷ)ସ = 2ଷ∙ସ = 2ଵଶ G) (ܽ ∙ ܾ) = ܽ ∙ ܾ Exemplo 8: (2 ∙ 3)ହ = 2ହ ∙ 3ହ H) ቀ ܽ ܾ ቁ = ܽ ܾ Exemplo 9: ൬ 35൰ଶ = 3ଶ5ଶ = 925 E1. Dê a resposta em potenciação: a) 2ସ ∙ 2଼ ∙ 2ଵ b) 4ସ4ଶ c) 5 ∙ 5ଶ ∙ 5଼ ∙ 5 d) 2ళమ2ହ ∙ 162ଶ e) 9ଷ3ଶ ∙ 27ଷ9ହ f) 5 ∙ 25 ∙ 5ଵ g) 9଼9ହ ∙ 99ହ h) 5 ∙ 25 ∙ 5 ∙ 625 i) 8 ∙ 4 ∙ 16 ∙ 32 j) 3 ∙ 9 ∙ 3 ∙ 27 ∙ 9 k) 8ଶ8ହ ∙ 64ଶ64ଷ l) ݕହ ∙ ݕି ∙ ݕଷ ∙ ݕଽ m) 1 ݔ ∙ ݔ଼ ݔ ∙ ݔ ݔହ n) 7ିଷ7ଷ ∙ 1ଶଽ7ିଽ o) 77ଷ ∙ 77ଶ ∙ 7 ∙ 7ିଷ Exercícios Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 11 E2. Dê a resposta em potenciação: a) 6ଽ ∙ 6଼ ∙ 36ଶ6ଵଶ ∙ 66ହ ∙ 36 ∙ 6 b) ݖ ݖ ∙ ݖ ∙ ݖ ݖହ ∙ ݖ ∙ 1 ݖ c) 23ିହ23 ∙ 23 ∙ 23ଵହ(23ଶ) d) 4ଵଶ ∙ 18 ∙ 2ି e) ݕ௫ ∙ ݕ ∙ (ݕ)ହ f) ܽଶ ∙ ܽଷ ∙ (ܽ)ହ g) 7ହ ∙ 77ହ ∙ (7଼)ସ h) ݕଶ ∙ ݔହ ∙ ݕଷ ∙ ݕ ݕହ ∙ ݔ଼ ݔଽ i) [(ݔ ∙ ݕହ)ସ]ଶ ∙ (ݕ ∙ ݔ)ହ ∙ ݔଶ ݔହ j) 55యఱ ∙ 5 య ఱ5ଶ k) ௫మ∙(௫య)ర ௫ ∙ ௫ఱ ௫∙௫ఴ ݔହ ∙ 1 ݔି଼ l) 9భల ∙ 3యఴ m) 8యళ2భయ n) 16యఱ ∙ 4మయ ∙ 2 భభఱ o) 2ସ ∙ 2మయ4భల ∙ 8ଷ E1. a) 2ଵଷ b) 2ସ c) 5ଵଵ d) 2భమ e) 3ଷ f) 5ଵଷ g) 9ହ h) 5଼ i) 2ଵସ j) 3ଽ k) 2ିଵହ l) ݕଵ m) ݔଶ n) 7ଷ o) 7ି E2. a) 1 b) ݖିହ c) 23ିଶ d) 2ଵସ e) ݕହା௫ାଵ f) ܽାଷ g) 7ଷଷ h) ݔସݕ i) ݔସ ∙ ݕସହ j) 5ିଵ k) ݔିସ l) 3భళమర m) 2మబమభ n) 2ఱళభఱ o) 2షభరయ Gabarito 13 MÓDULO 3 RADICIAÇÃO EXEMPLOS DE PROBLEMAS QUE SERÃO RESOLVIDOS NESTE MÓDULO: √45 √15 = ? ඨ൬ 342 . 417൰రయ = ? 1 ൫√3య − √2య ൯ = ? 32ିభమ(2భమ + 7) + 4(2భమ)ହ − 4 = ? Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 15 PLAY CÁLCULO – MÓDULO 3 (RADICIAÇÃO) 1. RADICIAÇÃO A radiciação é um caso particular da exponenciação com expoente fracionário, veja: ܽ ⁄ = √ܽ ,݊݀݁ ܽ > 0. Exemplo 1: 2ଵ ଶൗ = ඥ2ଵ = √2 Exemplo 2: 7ଷ ହൗ = ඥ7ଷఱ 2. REGRAS E PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO A) ൫√ܽ൯ = √ܽ,ܽ > 0 Exemplo 1: ൫√2൯ଷ = ඥ2ଷ Exemplo 2: ቆ √73ర √49య ቇଷ = ൫√73ర ൯ଷ൫√49య ൯ଷ = ඥ(73)ଷర 49 B) √ܽ ∙ √ܾ = √ܽ ∙ ܾ Exemplo 3: √3 ∙ √2 = √3 ∙ 2 = √6 C) √ܽ √ܾ = ටܽ ܾ Exemplo 1: √60 √30 = ඨ6030 = √2 Teoria e Exemplos Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 16 2. RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES A racionalização consiste em se obter uma fração equivalente com denominador racional, para substituir aquela com denominador irracional. A) QUANDO O DENOMINADOR É UMA RAIZ QUADRADA No caso de um radical √ܽ no denominador, fazemosa multiplicação por √ܽ/√ܽ. Exemplo 1: 1 √5 = 1√5 .√5√5 = √5√5ଶ = √55 B) QUANDO O DENOMINADOR É UMA RAIZ NÃO QUADRADA No caso de um radical √ܽ no denominador, fazemos a multiplicação por √ܽିଵ / √ܽିଵ . Exemplo 2: 2 √5య = 2√5య ∙ √5ଶయ√5ଶయ = 2√5ଶయ√5ଷయ = 2√5య5 C) QUANDO O DENOMINADOR É UMA SOMA OU DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS No caso de um radical √ܽ no denominador, fazemos a multiplicação por √ܽିଵ / √ܽିଵ . Exemplo 3: 1 √5 + √2 = 1√5 + √2 .√5 −√2√5 −√2 = √5 − √23 E1. Faça as operações a seguir: a) √8య + √49 b) √32ర . √2ర c) √45 √15 d) ඥ3ହళ . ඥ3ସభర e) ට7మయభయ √5ଷ .√5 f) ඨටඥ2ଵర g) ඥ32ିଶ h) ටඥ3ହయఱ i) ඥ7ళ .ට7మళ Exercícios Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 17 j) √45 + 83ళ √7య k) ඨ൬342 . 417൰రయ l) ඥ5ଵସ. 7ଶ . 10ଷయ E2. Transforme os expoentes em raízes, simplifique as operações e, se necessário, efetue a racionalização a) (12 − 4)ି భమ3ିଶ b) (12భమ + 4భమ)ିଵ2ିଷ c) (2 + 5భమ)ିଵ. 3 d) (3భమ − 4భమ)ିଵ. 4భయ e) 12 భమ + 3 ∙ 3 − 2 భ మ1 − 4 భర + 4 + 2 భ మ7(1 − 2భమ) f) 12భమ − (2ళయ + 5యఱ) g) 144భమ − (√8య .√81) h) 32ିభమ(2భమ + 7) + 4(2భమ)ହ − 4 i) ቀ2మఱቁ + 22లఱ − 8 − 66. 2ିଶቀ2ି మఱቁଶ − 2 j) ቀ√16 + 12భమቁିభమ k) 2 − 2భమ ∙ ቆ−2 ∙ ቀ−2భయ. 2మయቁቇ4 l) 1 ൫√3య − √2య ൯ E1. a) 9 b) 2√2 c) √3 d)3 e) ² ଶହ f) 2 √2భల g) ଵ ଷଶ h) √3య i) 7 j) 2√7య k) 2రయ l) 5ସ√25య . √49య . 10 E2. a) 9 √ଶ ସ b) 2√3 − 2 c) 3(√5 − 2) Gabarito Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 18 d) −√4య (√3 + 2) e) 1 f) 2√3 − 4√2య + √5ଷఱ g) -6 h) ଷ√ଶ(√ଶି ) ିସ + √2 + 1 i) 2లఱ + 8 j) ൫ସି √ଵଶ൯ඥସା√ଵଶ ସ k) ଵିଶ√ଶ ଶ l) √4య + √6య + √9య 19 MÓDULO 4 EXPRESSÕES NUMÉRICAS EXEMPLOS DE PROBLEMAS QUE SERÃO RESOLVIDOS NESTE MÓDULO: −14 + {−[4(−2) + (−5039)]} = ? 3 ∙ {2ଶ ∙ [(3 + 2 ∙ 3) ∙ (3ଷ + 3) − 4ଶ ∙ (5 ∙ 2ଶ)]} = ? Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 21 PLAY CÁLCULO – MÓDULO 4 (EXPRESSÕES NUMÉRICAS) 1.EXPRESSÕES NUMÉRICAS Expressão numérica é uma sequência de operações que devem obedecer as seguintes ordens de operação: 1: Potenciacão, radiciação e outras funções; 2: Multiplicação e divisão; 3: Adição e subtração. Exemplo 1: 3 + 3 ∗ 5 = 3 + 15 = 18 Exemplo 2: 1 + 2 ∗ 3 ∗ 3ଶ − 1 + 3ଶ ∗ 2ଶ = 6 ∗ 9 + 9 ∗ 4 = 54 + 36 = 90 Expressões numéricas que possuam parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }, resolvemos de dentro para fora, ou seja, efetuamos primeiro os parênteses, depois os colchetes e, por último, as chaves respeitando as prioridades de operações. Veja: Exemplo 3: (3² + 5²) ∙ 5 + 7ଶ ∙ 2 = (9 + 25) ∙ 5 + 49 ∙ 2 = 34 ∙ 5 + 98 = 170 + 98 = 268 Exemplo 4: 3 ∙ {2ଶ ∙ [(3 + 2 ∙ 3) ∙ (3ଷ + 3) − 4ଶ ∙ (5 ∙ 2ଶ)]} = 3 ∙ {4 ∙ [(3 + 6) ∙ (30) − 16(5 ∙ 4)]} = = 3 ∙ {4[270 − 360]} = 3 ∙ {4[−90] = 3 ∙ {−360} = 1080 E1. Resolva as expressões seguintes: a) −14 + {−[4(−2) + (−5039)]} b) 41 + {5 − [14 + (−17 + 28)] − 1} c) [−20 ∙ (4 − 9)]: (−5) d) 16 + 18 ∶ (−9) e) −(−5) + (12)– (−22) f) 12 + (+22)– (13)– (−12) g) 45 − [−(2 − 5) − (−4 − 5 − 6) h) 13 − ൬14 − 23൰ i) – (− 25) . (−13) + (−20) j) (2ଶ + 5)ଵ3 k) (2ଶ − 2³) l) [−2ଶ(3 ∙ 3)](−1) Teoria e Exemplos Exercícios Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 22 m) [(2 ∙ 3)(−3ଶ)](−1) + 5² n) 2 ∙ [4 ∙ 5(−4)]ଵ2 o) (−5)ଶ ∙ ൬ 125൰ − (3 + 2 + 4²) E1. a) 5033 b) 20 c) −20 d) 14 e) 39 f) 33 g) 27 h) 34 i) 345 j) 3 k) −4 l) 36 m) 79 n) −80 o) −20 Gabarito 23 MÓDULO 5 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS EXEMPLOS DE PROBLEMAS QUE SERÃO RESOLVIDOS NESTE MÓDULO: (60ݔ଼ݕ଼) ∙ (2ݔଷݕ) = ? Solução da inequação: ݔ3 − ݔ + 12 < 1 − ݔ4 Solução do sistema de inequações: 3 ≤ ݔଶ − 2ݔ + 8 < 8 Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 25 PLAY CÁLCULO – MÓDULO 5 (EXPRESSÕES ALGÉBRICAS) 1. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Expressões algébricas são expressões que contém letras e números: Exemplo 1: ܽ = 4ܾ + 3ܾ + 7ܿ Do mesmo modo que vimos no Módulo 4 para as expressões numéricas, nas expressões algébricas devemos obedecer a uma ordem para as operações: 1: Potenciacão, radiciação e outras funções; 2: Multiplicação e divisão; 3: Adição e subtração. E também devemos seguir a uma ordem para os sinais de associação: 1: Parênteses ( ); 2: Colchetes [ ]; 3: Chaves { }. Exemplo 2: 8ܽ ∙ (2 + 8) − 3ܽ = 8ܽ ∙ (10)− 3ܽ = 80ܽ − 3ܽ = 77ܽ A) POTENCIAÇÃO Para resolver potências literais, devemos aplicar as mesmas regras estudadas no Módulo 2, contudo, devemos simplificar os expoentes numéricos. Veja Exemplo 1: (4ݔଶݕ)³ = 4ଷ(ݔଶ)ଷ(ݕ)ଷ = 4³ݔଶ∙ଷݕଷ = 64 ݔݕ³ Exemplo 2: (−2ݔଷݕସ)³ = (−2)³(ݔଷ)ଷ(ݕସ)ଷ = −8ݔଽݕଵଶ Teoria e Exemplos Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 26 B) MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO Para efetuarmos multiplicações em expressões algébricas, devemos multiplicar os valores numéricos, observando os sinais, e multiplicar as variáveis de mesma base somando seus expoentes. Exemplo 1: −(4ݔଶݕ) ∙ (−2ݔݕ) = 8ݔ³ݕ² Já a divisão, devemos dividir os valores numéricos, observando os sinais, e dividir as variáveis conservando a base e subtraindo os expoentes. Exemplo 2: 4ݔଶݕଷ2ݔݕ = 2ݔݕଶ Exemplo 3: −4ݔ²ݕଷ6ݔହݕ = −23 ݔଶିହݕଷିଵ = − 23 ݔିଷݕଶ ou − 2ݕଶ3ݔଷ C) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Para somar ou subtrair os integrantes de expressões algébricas, devemos identificar parcelas que possuem o mesmo produto de potência de variáveis e realizar as operações, isto é, 7ݔ pode ser somado com 3ݔ; 4ݔଶ pode ser somado com 3ݔଶ; 2ݔହݕଶ pode ser somado com 6ݔହݕଶ; mas, 2ݔݕଶ não pode ser somado com 3ݔଶݕଶ. Veja: Exemplo 1: 7ݔ + 3ݔ + 5ݕ = (7 + 3)ݔ + 5ݕ = 10ݔ + 5ݕ Exemplo 2: 2ݔ − 4ݔଶ + ݕ + 2ݔݕ + ݔ + 1 + ݔଶ + 3ݕ + 5ݔݕ − 7 (2 + 1)ݔ + (−4 + 1)ݔଶ + (1 + 3)ݕ + (2 + 5)ݔݕ + (1 − 7) 3ݔ − 3ݔଶ + 4ݕ + 7ݔݕ − 6 2. INEQUAÇÕES As inequações são desigualdades que utilizam os seguintes sinais em sua estrutura: ≠, >, <, ≥, ≤. As técnicas de resolução são muito parecidas com as utilizadas nas equações, contudo, é importante ressaltar que as inequações respeitam as restrições de acordo com o sinal utilizado. Os intervalos das soluções podem ser abertos, semi-abertos ou fechados, dependendo do sinal da inequação. Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 27 Exemplo 1: 4ݔ + 12 > 2ݔ − 2 → 4ݔ − 2ݔ > −2 − 12 2ݔ > −14 → ݔ > −142 ݔ > −7 Logo, na reta real a inequação é representada por um intervalo aberto: Ou seja, todos os números maiores que -7 são soluções da inequação, excluindo o -7. Exemplo 2: 5 ≤ ݔ + 3 ≤ 7 5 − 3 ≤ ݔ ≤ 7 − 3 2 ≤ ݔ ≤ 4 Logo, A solução da inequação é ܵ = {ݔ߳ℝ/2 ≤ ݔ ≤ 4}, o que representa um intervalo fechado. E1. Encontre a forma mais simples das expressões algébricas: a) 2ݔ + 3ݔ + 8ݔ = b) 10ݔ³ + 5ݔ² + 5ݔ² − 10ݔଷ = c) 4ݔ²ݔଷ + 5ݔହ = d) 2ݔ ∙ (5ݔଷ + 9ݔ) = e) (60ݔ଼ݕ଼) ∙ (2ݔଷݕ) = f) ݔݕ భ మ ∙ (2ݔݕସ + ݕଶ) = g) (2ݔଶ)ଷ + 2ݔݕ ∙ [4ݔ + 5]ଶ = h) ((((ݔ)ଶ)ଷ)ହ)ଶ = i) (ݔଵ/ଶݕ)² ݕ² = j) ൫√ݖݓ൯² ݖݓ² = k) {2ݔ(35ݔݕݓ)(ݔଶ)} ∙ {6ݔݓ(ݕ)} = l) {ݔଷ ∙ [ݕݓ ቀݕయమቁ]}2(ݕଶ ∙ ݕଶ)భర + {−ݕ[(ݓݔ)ଶ/(ݓଶݔଶ)]} Exercícios Universidadede Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 28 E2. Encontre as soluções das seguintes inequações: a) 2ݔ + 1 < 0 b) 2 − 3ݔ > ݔ + 14 c) 3(1 − 2ݔ) < 2(ݔ + 1) + ݔ − 7 d) [1 − 2(ݔ − 1)] < 2 e) 8(ݔ + 3) > 12(1 − ݔ) f) ݔ3 − ݔ + 12 < 1 − ݔ4 E1. a) 13ݔ b) 10ݔଶ c) 9ݔହ d) 10ݔସ + 18ݔ² e) 120ݔ଼ଷݕଽ f) 2ݔ²ݕవమ + ݔݕఱమ g) 8ݔ + 50ݔݕ + 80ݔ²ݕ + 32ݔ³ݕ h) ݔ i) ݔ j) 1 k) 420ݓ²ݔହݕ² l) ݔଷݕଷ/ଶݓ E2. a) ݔ < − 12 b) ݔ < −3 c) ݔ > 89 d) ݔ > 12 e) ݔ > − 35 f) ݔ < 9 Gabarito 29 MÓDULO 6 EXPRESSÕES POLINOMIAIS EXEMPLOS DE PROBLEMAS QUE SERÃO RESOLVIDOS NESTE MÓDULO: Quanto vale ܲ(ݔ) = 2ݔଷ − 3ݔଶ + 2 para ݔ = 1 e ݔ = 2? Resolva: ݔଶ − 14ݔ + 48 = 0 Resolva: − ݔସ + 113ݔଶ − 3136 = 0 Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 31 PLAY CÁLCULO – MÓDULO 6 (EXPRESSÕES POLINOMIAIS) 1. POLINÔMIOS Um polinômio ou função polinomial P, na variável ݔ, é toda expressão do tipo: ܲ(ݔ) = ܽݔ + ܽଵݔିଵ + ⋯+ ܽିଵݔ + ܽ Onde ܽ, ܽଵ, ... ܽ são números reais, ݔ ∈ ℝ e ݊ ∈ ℕ. Exemplo 1: ܲ(ݔ) = 4ݔସ + 3ݔଷ + 2ݔଶ + ݔ + 2 Exemplo 2: ܲ(ݔ) = 3ݔଶ + 3ݔ + 3 Não são polinômios as expressões que contenham a variável com expoentes negativos ou fracionários, por exemplo: Exemplo 3: ܲ(ݔ) = ݔିଷ + ݔ − 1 A) VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO Seja ܲ(ݔ) = ܽݔ + ܽଵݔିଵ + ⋯+ ܽିଵݔ + ܽ um polinômio e ߙ um numero real qualquer, então o valor numérico do polinômio ܲ no ponto ݔ = ߙ é obtido substituindo ݔ por ߙ na expressão que define ܲ(ݔ), veja: Exemplo 1: Os valores numéricos do polinômio ܲ(ݔ) = ݔଶ + 3ݔ + 1 nos pontos ݔ = 1 e ݔ = 2 são respectivamente: ܲ(1) = 1ଶ + 3 ∙ 1 + 1 = 5 ܲ(2) = 2ଶ + 3 ∙ 2 + 1 = 11 B) GRAU DO POLINÔMIO O grau de um polinômio ܲ(ݔ) é o maior expoente da variável, com o coeficiente não nulo, que aparece na representação do polinômio ܲ(ݔ). Exemplo 1: ܲ(ݔ) = 3ݔହ + 4ݔସ − 7ݔଶ + 3ݔ + 2 O grau desse polinômio é cinco. Exemplo 2: Teoria e Exemplos Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 32 ܲ(ݔ) = 7ݔଷ + 6ݔଶ − 12 O grau desse polinômio é três. C) RAÍZES DO POLINÔMIO Quando ocorrer ܲ(ߙ) = 0, dizemos que o número ߙ é uma raiz ou um zero do polinômio ܲ. Exemplo 1: ܲ(ݔ) = ݔସ − 16 As raízes do polinômio são -2 e 2, pois ܲ(−2) = ܲ(2) = 0, veja: ܲ(2) = 2ସ − 16 = 16 − 16 = 0 ܲ(−2) = (−2)ସ − 16 = 16 − 16 = 0 D) RAÍZ DO POLINÔMIO DE 1° GRAU Para encontrar a raiz de um polinômio de 1°, basta igualar o polinômio a 0 e isolar a variável. Veja: Exemplo1: ܲ(ݔ) = 5ݔ − 10 5ݔ − 10 = 0 5ݔ = 10 ݔ = 102 = 5 E) RAÍZES DO POLINÔMIO DE 2° GRAU Para encontrar as raízes dos polinômios de 2° grau ܲ(ݔ) = ܽݔଶ + ܾݔ + ܿ, onde ܽ, ܾ e ܿ são números reais, podemos utilizar a fórmula de Bháskara: ݔ = −ܾ ± √Δ2ܽ , sendo Δ = ܾଶ − 4ܽܿ. O valor de ∆ identifica o número de raízes reais do polinômio: a) se ∆= 0, existem duas raízes reais iguais; se ∆> 0, existem duas raízes reais diferentes; e se ∆< 0, o polinômio não possui nenhuma raiz real. Exemplo 1: ܲ(ݔ) = ݔଶ − 3ݔ + 2 = 0 Nesse caso, temos ܽ = 1, ܾ = −3 e ܿ = 2. Com esses valores encontramos o valor de ∆: Δ = ܾଶ − 4ܽܿ Δ = 3ଶ − 4 ∙ 1 ∙ 2 = 1 Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 33 Depois substituímos o valor do ∆ na fórmula de Bháskara e encontramos as duas raízes do polinômio: ݔ = −ܾ ± √Δ2ܽ ݔ = 3 ± √12 ∙ 1 = 3 ± 12 As duas raízes, ݔଵ e ݔଶ, são: ݔଵ = 3 + 12 = 2 e ݔଵ = 3 − 12 = 1 Sempre que encontrar raízes, você pode conferir o resultado substituindo os valores no polinômio, veja: ܲ(ݔ) = ݔଶ − 3ݔ + 2 ܲ(1) = 1ଶ − 3 ∙ 1 + 2 = 0 ܲ(2) = 2ଶ − 3 ∙ 2 + 2 = 0 Exemplo 2: ܲ(ݔ) = −ݔଶ + 2ݔ − 2 = 0 Encontrando o ∆ com base em ܽ = −1, ܾ = 2 e ܿ = −2: Δ = 2ଶ − 4 ∙ (−1) ∙ (−2) = 0 Como Δ = 0, o polinômio possui duas raízes reais iguais. Para encontrá-las utilizamos Bháskara: ݔ = −ܾ ± √Δ2ܽ = −2 ± √02 ∙ (−1) ݔଵ = ݔଶ = −2 −2 = 1 F) RAÍZES DO POLINÔMIO DE 2° GRAU (CASOS ESPECIAIS) Em qualquer problema de raízes de polinômio de 2° grau podemos utilizar a fórmula de Bháskara, contudo, o desafio de encontrar as raízes é facilitado se ܾ = 0 ou ܿ = 0. No caso de ܾ = 0, basta isolarmos a variável. Veja: Exemplo 1: ܲ(ݔ) = 2ݔଶ − 18 = 0 2ݔଶ − 18 = 0 2ݔଶ = 18 Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 34 ݔଶ = 182 = 9 ݔ = ±√9 = ±3 As raízes são ݔଵ = −3 e ݔଶ = 3 No caso de ܿ = 0, uma das raízes será sempre igual a 0. Para encontrar a outra, colocamos a variável e o seu coeficiente em evidência (essa é uma das técnicas de fatoração e será vista em maior detalhes no módulo 8). Veja: Exemplo 2: ܲ(ݔ) = 2ݔଶ − 6ݔ = 0 2ݔଶ − 6ݔ = 0 2ݔ ∙ (ݔ − 3) = 0 Para o produto entre 2ݔ e ݔ − 3 ser igual a 0, basta que um dos dois seja igual a 0. Sendo assim, fazemos: 2ݔ = 0 → ݔ = 0 ݔ − 3 = 0 → ݔ = 3 Sendo assim, as raízes são ݔଵ = 0 e ݔଶ = 3 . E1. Encontre os valores numéricos para os seguintes polinômios nos pontos ݔ = 0, ݔ = 1 e ݔ = 2: a) ܲ(ݔ) = ݔଷ + 3ݔଶ − 2ݔ + 1 b) ܲ(ݔ) = ݔଶ − 2ݔ + 5 c) ܲ(ݔ) = ݔଷ − 4ݔଶ + ݔ d) ܲ(ݔ) = ݔହ − ݔସ + 3ݔ e) ܲ(ݔ) = 2ݔଷ − 3ݔଶ + 2 f) ܲ(ݔ) = 3ݔସ − 2ݔଷ + 1 E2. Encontre as raízes dos polinômios de primeiro grau: a) 2ݔ − 6 = 0 b) ݔ + 12 = 0 c) −3ݔ + 6 = 0 d) 6ݔ + 2 = 0 e) -14ݔ + 7 = 0 f) 12 − 5ݔ = 0 E3. Encontre as raízes dos polinômios, observando a existência de casos especiais: a) ݔଶ + 2ݔ − 3 = 0 b) 2ݔଶ − 10ݔ + 12 = 0 c) 5ݔଶ − 3ݔ − 2 = 0 d) (2ݔ + 5)ଶ + 3ݔ − 25 = 0 e) ݔଶ − 14ݔ + 48 = 0 f) ݔଶ − 6ݔ = 0 Exercícios Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 35 g) ݔଶ − 10ݔ + 25 = 0 h) ݔଶ − ݔ − 20 = 0 i) ݔଶ − 8ݔ + 7 = 0 j) (ݔ + 2) ∙ (ݔ − 1) = 0 k) (ݔ + 3) ∙ (ݔ − 1) = 0 l) ݔଶ − 3ݔ − 4 = 0 m) 3ݔଶ − 36 = 0 n) 4ݔଶ − 16 = 0 o) −ݔସ + 113ݔଶ − 3136 = 0 E1. a) ܲ(0) = 1,ܲ(1) = 3,ܲ(2) = 17 b) ܲ(0) = 5,ܲ(1) = 4,ܲ(2) = 5 c) ܲ(0) = 0,ܲ(1) = −2,ܲ(2) = −6 d) ܲ(0) = 0,ܲ(1) = 3,ܲ(2) = 22 e) ܲ(0) = 2,ܲ(1) = 1,ܲ(2) = 6 f) ܲ(0) = 1,ܲ(1) = 2,ܲ(2) = 33 E2. a) ݔ = 3 b) ݔ = −12 c) ݔ = 2 d) ݔ = − 13 e) ݔ = 12 f) ݔ = 125 E3. a) ݔଵ = −3, ݔଶ = 1 b) ݔଵ = 3, ݔଶ = 2 c) ݔଵ = 1, ݔଶ = − 25 d) ݔଵ = 0, ݔଶ = − 234 e) ݔଵ = 8, ݔଶ = 6 f) ݔଵ = 0, ݔଶ = 6 g) ݔଵ = ݔଶ = 5 h) ݔଵ = 5, ݔଶ = −4 i) ݔଵ = 7, ݔଶ = 1 j) ݔଵ = −2, ݔଶ = 1 k) ݔଵ = −3, ݔଶ = 1 l) ݔଵ = 4, ݔଶ = −1 m) ݔଵ = √12, ݔଶ = −√12 n) ݔଵ = 2, ݔଶ = −2 o) ݔଵ = 7, ݔଶ = −7, ݔଷ = 8, ݔସ = −8 Gabarito 37 MÓDULO 7 DIVISÃO DE POLINÔMIOS EXEMPLOS DE PROBLEMAS QUE SERÃO RESOLVIDOS NESTE MÓDULO: 48ݔସ– 4ݔ³ + ݔ – 14ݔ³ + 1 = ? (ݔ − 9)(ݔ − 2)(ݔ + 2) ݔ − 1 = ? Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 39 PLAY CÁLCULO – MÓDULO 7 (DIVISÃO DE POLINÔMIOS) 1. DIVISÃO DE POLINÔMIOS Para exemplificarmos o processo de divisão de dois polinômios, começaremos com um exemplo da divisão de dois números inteiros positivos. Exemplo 1: Onde: Note que o primeiro passo foi encontrar um número que ao multiplicar por 4 se aproxima de 22. O valor encontrado foi 5, que ao multiplicar por 4, resulta em 20. Contudo, colocamos esse resultado com sinal trocado, −20. Depois, efetuamos a operação (22 − 20) que resulta em 2, que é o resto.Na divisão de polinômios fazemos passos bem parecidos como veremos mais adiante. Na divisão entre dois polinômios ܲ(ݔ) e ܦ(ݔ) aparecem os mesmos elementos: ܲ(ݔ) ܦ(ݔ) ܴ(ݔ) ܳ(ݔ) Onde ܲ(ݔ) é o dividendo, ܦ(ݔ) é o divisor, ܳ(ݔ) é o quociente e ܴ(ݔ) é o resto da divisão. Do mesmo modo que podemos escrever 22 = 4 ∙ 5 + 2, podemos escrever ܲ(ݔ) = ܦ(ݔ)ܳ(ݔ) + ܴ(ݔ). Veja algumas considerações importantes sobre a divisão de polinômios: O grau do dividendo deve ser sempre maior ou igual ao grau do divisor; O grau do resto será sempre menor que o grau do quociente; O grau do quociente será sempre o grau do dividendo menos o grau do divisor; Quando o dividendo for divisível pelo divisor, o resto será igual a zero. Exemplo 2: 2ݔସ + ݔଷ – 7ݔଶ + 9ݔ − 1 ݔଶ + 3ݔ − 2 Note que o grau do dividendo, 2ݔସ + ݔଷ – 7ݔଶ + 9ݔ − 1, é igual a 4 (maior expoente) e do divisor, ݔଶ + 3ݔ – 2, é 2. Como o grau do dividendo é maior que o do divisor, podemos prosseguir com o processo de divisão de polinômios. Para encontrarmos o primeiro termo do quociente, que será multiplicado pelo divisor, devemos dividir o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor: 2ݔସ ÷ ݔଶ = 2ݔଶ . Logo em seguida, o resultado 2ݔଶ será multiplicado pelo polinômio (ݔଶ + 3ݔ − 2). Teoria e Exemplos 22 4 20 5 2 45 222 2 Divisor Quociente Resto Dividendo 20 Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 40 O resultado dessa multiplicação deve ser subtraído pelo polinômio (2ݔସ + ݔଷ − 7ݔଶ + 9ݔ − 1), como pode ser visto abaixo: 2ݔସ + ݔଷ − 7ݔଶ + 9ݔ − 1 ݔଶ + 3ݔ – 2 2ݔସ + 6ݔଷ − 4ݔଶ 2ݔଶ − 5ݔ³ − 3ݔ² + 9ݔ − 1 Utilizamos o polinômio resultante da etapa anterior para dividir o seu primeiro termo pelo dividendo: − 5ݔଷ ÷ ݔଶ = − 5ݔ. O resultado encontrado deverá ser multiplicado pelo divisor e subtraído do polinômio (− 5ݔ³ − 3ݔ² + 9ݔ – 1): 2ݔସ + ݔଷ − 7ݔଶ + 9ݔ − 1 ݔଶ + 3ݔ – 2 2ݔସ + 6ݔଷ − 4ݔଶ 2ݔଶ − 5ݔ − 5ݔ³ − 3ݔ² + 9ݔ − 1 − 5ݔଷ − 15ݔଶ + 10ݔ 12ݔ² − ݔ − 1 Adotando o mesmo raciocínio e seguindo os mesmo passos chegamos ao final da divisão: 2ݔସ + ݔଷ − 7ݔଶ + 9ݔ − 1 ݔଶ + 3ݔ – 2 2ݔସ + 6ݔଷ − 4ݔଶ 2ݔଶ − 5ݔ + 12 − 5ݔ³ − 3ݔ² + 9ݔ − 1 − 5ݔଷ − 15ݔଶ + 10ݔ 12ݔ² − ݔ − 1 12ݔ² + 36ݔ − 24 − 37ݔ + 23 Logo, a divisão do polinômio 2ݔସ + ݔଷ − 7ݔଶ + 9ݔ − 1 pelo polinômio ݔଶ + 3ݔ − 2 é igual a 2ݔଶ − 5ݔ + 12 com resto −37ݔ + 23. Podemos escrever: 2ݔସ + ݔଷ − 7ݔଶ + 9ݔ − 1 = (ݔଶ + 3ݔ − 2)(2ݔଶ − 5ݔ + 12) + (−37ݔ + 23) ou então: 2ݔସ + ݔଷ − 7ݔଶ + 9ݔ − 1 ݔଶ + 3ݔ − 2 = 2ݔଶ − 5ݔ + 12 + −37ݔ + 23ݔଶ + 3ݔ − 2 Veja outros exemplos de divisão de polinômios: Exemplo 3: 10ݔଶ + 4ݔ − 7 2ݔ − 2 −(10ݔଶ − 10ݔ) 5ݔ − 3 − 6ݔ − 7 −(−6ݔ + 6) −13 Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 41 Exemplo 4: ݔଷ − 2ݔଶ − 5ݔ + 2 ݔଶ + ݔ − 2 −(ݔଷ + ݔଶ − 2ݔ) ݔ − 3 −3ݔଶ − 3ݔ + 2 −(−3ݔଶ − 3ݔ + 6) −4 Uma boa dica para facilitar a divisão de polinômios é escrever o polinômio do maior para o menor expoente completando com coeficientes nulos os termos inexistentes. Veja: Exemplo 5: 10ݔସ − 2ݔ + 1 ݔଶ − 2 = 10ݔସ + 0ݔଷ + 0ݔଶ − 2ݔ + 1ݔଶ + 0ݔ − 2 O processo de divisão fica assim: 10ݔସ + 0ݔଷ + 0ݔଶ − 2ݔ + 1 ݔଶ + 0ݔ − 2 −(10ݔସ + 0ݔଷ − 20ݔଶ) 10ݔଶ + 20 20ݔଶ − 2ݔ + 1 −(20ݔଶ + 0ݔ − 40) 41 E1. Faça as divisões: a) ݔଶ + ݔଷ + 2ݔ ݔଶ b) 3ݔଷ − 7ݔଶ + 14ݔ − 12 ݔଶ − 4 c) 3ݔଷ − 2ݔଶ + ݔ + 1 ݔଶ − ݔ + 2 d) ݔଷ − 7ݔଶ + 16ݔ − 12 ݔଶ − 3 e) ݔଷ − 3ݔଶ + 3ݔ − 1 ݔଷ − 1 f) 4ݔଽ + 7ݔ + 4ݔଷ + 3 ݔଷ + 1 g) ݔସ ݔଶ − 1 h) 2ݔସ + 5ݔଷ– 12ݔ + 7 ݔଶ − 1 i) ݔଷ − 5ݔଶ + 7ݔ − 2 ݔଶ − 3ݔ + 1 j) 3ݔ³ − 2ݔ² + 4 ݔଶ − 4 k) 150ݔଷ − 10ݔଶ5ݔଶ l) 48ݔସ − 4ݔଷ + ݔ − 14ݔଷ + 1 E2. Faça as divisões: a) (4ݔ– 1)(ݔ– 4)(ݔ + 2) ݔ – 3 b) 2(ݔ – 1)(ݔ – 5)(ݔ + 2) ݔ – 3 c) (ݔ – 3)(ݔ – 2)(ݔ + 2) ݔ – 4 Exercícios Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 42 d) (ݔ – 9)(ݔ – 2)(ݔ + 2) ݔ – 1 e) 4(2ݔ – 3)(ݔ – 2)(ݔ + 2)ݔ − 1 f) (2ݔ– 3)(ݔ– 2)(ݔ + 2)ݔ − 1 g) (2ݔ – 3)(2ݔ – 2)(2ݔ + 2) ݔ − 3 h) (2ݔ – 3)(2ݔ – 2)(2ݔ + 2)ݔ – 1 i) ݔଵହ + 5ݔଶ + ݔ– 20ݔଷ + 2 j) 3ݕଷ + 6ݕଶ3ݕଶ + 3 k) 12ݔଶ − 8ݔ2ݔ + 1 l) −18ݔଶ + 6ݔ2ݔ + 3 E1. a) 1 + ݔ + 2 ݔ b) 3ݔ − 7 + 26ݔ − 40 ݔଶ − 4 c) 3ݔ + 1 + −4ݔ − 1ݔଶ − ݔ + 2 d) ݔ − 7 + 19ݔ − 33 ݔଶ − 3 e) 1 + −3ݔଶ + 3ݔݔଷ − 1 f) 4ݔ³ + 7ݔ² + 7ݔଶ + 3 ݔଷ + 1 g) ݔଶ + 1 + 1 ݔଶ − 1 h) 2ݔ² + 5ݔ + 2 + −7ݔ + 9ݔଶ − 1 i) ݔ + 2 j) 3ݔ − 2 + 12ݔ − 4 ݔଶ − 4 k) 30ݔ − 2 l) 12ݔ − 1 + −11ݔ4ݔଷ + 1 E2. a) 4ݔ² + 3ݔ − 21 + −55 ݔ − 3 b) 2ݔ² − 2ݔ − 20 + −40 ݔ − 3 c) ݔ² + ݔ + 12 ݔ − 4 d) ݔ² − 8ݔ − 12 + 24 ݔ − 1 e) 8ݔ² − 4ݔ − 36 + 12ݔ − 1 f) 2ݔ² − ݔ − 9 + 3 ݔ − 1 g) 8ݔ² − 12ݔ + 28 + 96 ݔ − 3 h) 8ݔ² − 4ݔ − 12 i) ݔଵଶ − 2ݔଽ + 4ݔ − 8ݔଷ + 16 + −52 + ݔ + 5ݔଶ ݔଷ + 2 j) ݕ + 2 + −3ݕ − 63ݕ² + 3 k) 6ݔ − 7 + 72ݔ + 1 l) 332 − 9ݔ − 99/22ݔ + 3 Gabarito 43 MÓDULO 8 FATORAÇÃO EXEMPLOS DE PROBLEMAS QUE SERÃO RESOLVIDOS NESTE MÓDULO: Escreva as expressões seguintes na forma fatorada: 18ݔ − 24ݔଶ − 36ݔݕ ݔଶ + 6ݔ + 9 ܽଶ + 2ܾܽ + ܾଶ + ܽܿ + ܾܿ Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 45 PLAY CÁLCULO – MÓDULO 8 (FATORAÇÃO) 1. FATORAÇÃO A fatoração é a decomposição de uma expressão algébrica em um produto de outras expressões, as quais multiplicadas retomam àquela original. Existem alguns tipos comuns de fatoração de expressões algébricas que serão exemplificadas abaixo. A) FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA Em expressões algébricas que possuem em cada um de seus termos um mesmo fator, é possível colocá-lo em evidência. Exemplo 1: 8ݔଶ + 4ݔݕଶ = 4ݔ ∙ 2ݔ + 4ݔ ∙ ݕଶ = 4ݔ(2ݔ + ݕଶ) Exemplo 2: 12ܽݔଶݖ − 4ܽݔݖଶ + 36ݔܽଶݖ = 4ܽݔݖ ∙ 3ݔ − 4ܽݔݖ ∙ ݖ + 4ܽݔݖ ∙ 9ܽ = 4ܽݔݖ(3ݔ − ݖ + 9ܽ) B) AGRUPAMENTO Consiste em aplicar o caso do fator comum duas, ou mais, vezes em algumas expressões especiais. Exemplo 1: 2ܽݖ − 2ܽ − ܾݖ + ܾ = 2ܽ ∙ ݖ − 2ܽ ∙ 1 − ܾ ∙ ݖ + ܾ ∙ 1 = 2ܽ(ݖ − 1) − ܾ(ݖ − 1) = (2ܽ − ܾ) ∙ (ݖ − 1) Exemplo 2: 3ܽ − 3ܾ − ܽଷ + ܽଶܾ = 3 ∙ ܽ − 3 ∙ ܾ − ܽଶ ∙ ܽ + ܽଶ ∙ ܾ = 3(ܽ − ܾ) − ܽଶ(ܽ − ܾ) = (3 − ܽଶ) ∙ (ܽ − ܾ) C) DIFERENÇA DE QUADRADOS Expressões algébricas na forma ܽଶ − ܾଶ são fatoradas na forma ܽଶ − ܾଶ = (ܽ + ܾ) ∙ (ܽ − ܾ). Exemplo 1: Efetuando o produto entre as expressões a + b e a − b, tem-se (ܽ + ܾ) ∙ (ܽ − ܾ) = ܽଶ − ܽ ∙ ܾ + ܾ ∙ ܽ − ܾଶ como ܽ ∙ ܾ = ܾ ∙ ܽ, então = ܽଶ − ܾଶ Teoria e Exemplos Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 46 Exemplo 2: ܽଶ − 4 = ܽଶ − 2ଶ = (ܽ + 2) ∙ (ܽ − 2) Exemplo 3: 3 − (ݔݕ)ଶ = ൫√3൯ଶ − (ݔݕ)ଶ = (√3 + ݔݕ) ∙ (√3 − ݔݕ) Exemplo 4: 16ݕସ − ݖସ = (4ݕଶ + ݖଶ)(4ݕଶ − ݖଶ) = (4ݕଶ + ݖଶ) ∙ (2ݕ − ݖ) ∙ (2ݕ + ݖ) D) QUADRADO PERFEITO Expressões algébricas na forma ܽଶ ± 2 ∙ ܽ ∙ ܾ + ܾଶ são fatoradas na forma (ܽ ± ܾ)ଶ. Exemplo 1: Efetuando o produto entre as expressões ܽ + ܾe ܽ + ܾ, tem-se (ܽ + ܾ)ଶ = (ܽ + ܾ) ∙ (ܽ + ܾ) = ܽଶ + ܽ ∙ ܾ + ܾ ∙ ܽ + ܾଶ como ܽ ∙ ܾ = ܾ ∙ ܽ, segue que (ܽ + ܾ)ଶ = ܽଶ + 2ܾܽ + ܾଶ Exemplo 2: ݔଶ − 4ݔ + 4 = ݔଶ − 2 ∙ 2 ∙ ݔ + 2ଶ = (ݔ − 2)ଶ Exemplo 3: 2ݔଶ − 6√2ݔܽଶ + 9ܽସ = ൫√2ݔ൯ଶ − 2 ∙ ൫√2ݔ൯ ∙ (3ܽଶ)ଶ + (3ܽଶ)ଶ = (√2ݔ − 3ܽଶ)ଶ Exemplo 4: (6ݔ − 2ݕ)(72ݔଶ − 48ݔݕ + 8ݕଶ) =2(3ݔ − ݕ) ∙ 8(9ݔଶ − 6ݔݕ + ݕଶ) = 16(3ݔ − ݕ)(3ݔ − ݕ)ଶ = 16(3ݔ − ݕ)ଷ E) TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU Expressões algébricas na forma ݔଶ + (ܽ + ܾ)ݔ + ܽ ∙ ܾ são fatoradas na forma (ݔ + ܽ)(ݔ + ܾ). Exemplo 1: Efetuando o produto entre as expressões ݔ + ܽ e ݔ + ܾ, tem-se (ݔ + ܽ) ∙ (ݔ + ܾ) = ݔଶ + ݔ ∙ ܾ + ܽ ∙ ݔ + ܽ ∙ ܾ como ݔ ∙ ܾ = ܾ ∙ ݔ, então é possível colocar ݔ em evidência nas duas expressões intermediárias resultando em Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 47 ݔଶ + (ܽ + ܾ)ݔ + ܾܽ Exemplo 2: ݔଶ − 2ݔ + 1 = ݔଶ − (1 + 1)ݔ + 1 ∙ 1 = ݔଶ + [(−1) + (−1)]ݔ + (−1) ∙ (−1) = (ݔ − 1)(ݔ − 1) = (ݔ − 1)ଶ Exemplo 3: ݔଶ − 5ݔ + 6 = ݔଶ − (2 + 3)ݔ + 2 ∙ 3 = ݔଶ + [(−2) + (−3)]ݔ + (−2) ∙ (−3) = (ݔ − 2)(ݔ − 3) Exemplo 4: (9 − ݕଶ)(3ݕଶ + 21ݕ + 36) = (3 − ݕ)(3 + ݕ).3(ݕଶ + 7ݕ + 12) = 3(3 − ݕ)(3 + ݕ)(ݕ + 3)(ݕ + 4) = 3(3 − ݕ)(ݕ + 4)(ݕ + 3)ଶ E1. Fatore as expressões seguintes: a) 3ݔ − 3ݕ b) 12ܽ + 36ܾ − 144ܿ c) 18ݔ − 24ݔଶ − 36ݔݕ d) ܾܽ + 2ܽ − 3ܾ − 6 e) ݔݕ + 3ݔ + ݕ + 3 f) ܾܽ + ܽݕ + ܾݔ + ݔݕ g) 4ܽଶ − 1 h) 1 − ݔଶ i) ݔଶ − 9ݕଶ j) ݔଶ + 6ݔ + 9 k) 4ܽଶ − 12ܾܽ + 9ܾଶ l) 4ܽଶ − 4ܾܽܿ + ܾଶܿଶ m) ݔଶ + 5ݔ + 4 n) ݔଶ + ݔ − 6 o) ܽଶ − ܽ − 12 E2. Fatore as seguintes expressões: a) 32ܽସ − 16ܽସܾ + 16ܽଷܿଶ b) 3 ݖସ ݓ − 3 ݖଶ ݓ + 12 ݖଷ ݓ c) 4ܽଶ√ܿ + 20ܾܽ√ܿ + 28ܽଷ ܿଷ/ଶ ܽ d) ݔଶ − 5ݔ + ݖݔ − 5ݖ e) 2ܾଶ + 2ܿଷ + ܾܽଶ + ܽܿଷ f) ܽଶ + 2ܾܽ + ܾଶ + ܽܿ + ܾܿ Exercícios Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 48 g) 4 − 16ݖଶ h) ଼ܽ − ଼ܾ i) ݔଶ + ݕଶ j) 5ݔଶ + 10ݔ + 5 k) (4 − ܿଶ)(ܿଶ − 4ܿ + 4) l) ݖସ − 8ݓଶݖଶ + 16ݓସ m) ݏଶ + 8ݏ + 15 n) (ݏ − 3)(6ݏଶ + 12ݏ − 90) o) 4ݏସ + 16ݏଷ − 48ݏଶ − 128ݏ + 256 E1. a) 3(ݔ − ݕ) b) 12(ܽ + 3ܾ − 12ܿ) c) 6ݔ(3 − 4ݔ − 6ݕ) d) ܽ − 3)(ܾ + 2) e) (ݔ + 1)(ݕ + 3) f) (ܽ + ݔ)(ܾ + ݕ) g) (2ܽ − 1)(2ܽ + 1) h) (1 − ݔ)(1 + ݔ) i) (ݔ + 3ݕ)(ݔ − 3ݕ) j) (ݔ + 3)ଶ k) (2ܽ − 3ܾ)ଶ l) (2ܽ + ܾܿ)ଶ m) (ݔ + 1)(ݔ + 4) n) (ݔ − 2)(ݔ + 3) o) (ܽ + 3)(ܽ − 4) E2. a) 16ܽଷ(2ܽ − ܾܽ + ܿଶ) b) 3 ݖଶ ݓ (ݖଶ − 1 + 4ݖ) c) 4ܽ√ܿ(ܽ + 5ܾ + 7ܽܿ) d) (ݖ − 5)(ݔ + ݖ) e) (2 + ܽ)(ܾଶ + ܿଷ) f) (ܽ + ܾ)(ܽ + ܾ + ܿ) g) (2 − 4ݖ)(2 + 4ݖ) h) (ܽସ + ܾସ)(ܽଶ + ܾଶ)(ܽ + ܾ)(ܽ − ܾ) i) ൫ݔ + ݕ + ඥ2ݔݕ൯(ݔ + ݕ − ඥ2ݔݕ) j) 5(ݔ + 1)ଶ k) – (ܿ + 2)(ܿ − 2)ଷ l) (ݖ + 2ݓ)ଶ(ݖ − 2ݓ)ଶ m) (ݏ + 3)(ݏ + 5) n) 6(ݏ − 3)ଶ(ݏ + 5) o) 4(ݏ − 2)ଶ(ݏ + 4)ଶ Gabarito 49 MÓDULO 9 FUNÇÕES RACIONAIS EXEMPLOS DE PROBLEMAS QUE SERÃO RESOLVIDOS NESTE MÓDULO: 1 ݔ + 7 + 5ݔݔ + 3 = ? ݔଷ − 2 ݔ + 1 − 5ݔଷ + 2ݔଶ − ݔ − 2 = ? ݔ − 3 ݔଶ − 16 ∙ ݔ + 4ݔ − 3 = ? Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 51 PLAY CÁLCULO – MÓDULO 9 (FUNÇÕES RACIONAIS) 1. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS A) MESMO DENOMINADOR Em expressões com o mesmo denominador, faz-se do mesmo modo com a soma de frações. Desse modo, basta repetir o denominador e somar (ou subtrair) os numeradores, veja: Exemplo 1: ݔ ݔ + 1 + 2ݔ − 1ݔ + 1 = (ݔ) + (2ݔ − 1)ݔ + 1 = ݔ + 2ݔ − 1ݔ + 1 = 3ݔ − 1ݔ + 1 Exemplo 2: 3ݔ + 1 ݔଶ − 4 − ݔଶ − ݔ + 3ݔଶ − 4 = (3ݔ + 1) − (ݔଶ − ݔ + 3)ݔଶ − 4 = 3ݔ + 1 − ݔଶ + ݔ − 3ݔଶ − 4 = −ݔଶ + 4ݔ − 2ݔଶ − 4 B) DENOMINADORES DIFERENTES No caso de denominadores diferentes, deve-se encontrar um polinômio (em forma fatorada ou não) que seja divisível pelos denominadores originais das funções que serão somadas (ou subtraídas). Uma forma fácil de encontrar esse polinômio é multiplicar os polinômios dos denominadores, veja: Exemplo 1: 7ݔ ݔ + 1 + 2ݔ − 5ݔ − 3 = ?(ݔ + 1)(ݔ − 3) Após encontrado o denominador, deve-se fazer a operação com os numeradores. Para isso, deve-se dividir o polinômio encontrado (ݔ + 1)(ݔ − 3) pelo denominador original (ݔ + 1) e multiplicar pelo numerador (7ݔ). Faça o mesmo com a segunda fração. O resultado é o seguinte: 7ݔ ݔ + 1 + 2ݔ − 5ݔଶ − 1 = (7ݔ)(ݔ − 3) + (2ݔ − 5)(ݔ + 1)(ݔ + 1)(ݔ − 3) = 7ݔଶ − 21ݔ + 2ݔଶ + 2ݔ − 5ݔ − 5(ݔ + 1)(ݔ − 3) = = 9ݔଶ − 19ݔ − 5(ݔ + 1)(ݔ − 3) É possível encontrar fatores em comum nos denominadores, veja: Exemplo 2: ݔ ݔଶ − 4 − ݔ + 1ݔ − 2 = ݔ(ݔ − 2)(ݔ + 2) − ݔ + 1ݔ − 2 Desse modo, fica mais fácil encontrar o resultado final que é o seguinte: Teoria e Exemplos Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 52 ݔ ݔଶ − 4 − ݔ + 3ݔ − 2 = ݔ(ݔ − 2)(ݔ + 2) − ݔ + 3ݔ − 2 = ݔ ∙ 1 − (ݔ + 3)(ݔ + 2)(ݔ − 2)(ݔ + 2) = ݔ − (ݔଶ + 2ݔ + 3ݔ + 6)(ݔ − 2)(ݔ + 2) = ݔ − ݔଶ − 2ݔ − 3ݔ − 6(ݔ − 2)(ݔ + 2) = −ݔଶ − 4ݔ − 6(ݔ − 2)(ݔ + 2) = −ݔଶ − 4ݔ − 6ݔଶ − 4 2. PRODUTO E QUOCIENTE DE FUNÇÕES RACIONAIS Basta seguir as mesmas regras utilizadas para operações com frações (estudada no Módulo 1). Exemplo 1: 5ݔ ݔଶ − 1 ∙ ݔ + 3ݔ + 2 = (5ݔ)(ݔ + 3)(ݔଶ − 1)(ݔ + 2) = 5ݔଶ + 15ݔݔଷ + 2ݔଶ − ݔ − 2 Em alguns casos é possível simplificar antes de realizar a operação, veja: Exemplo 2: 5ݔ ݔଶ − 1 ∙ ݔ + 1ݔ + 2 = 5ݔ(ݔ − 1)(ݔ + 1) ∙ (ݔ + 1)ݔ + 2 = 5ݔ(ݔ − 1)(ݔ + 2) = 5ݔݔଶ + ݔ − 2 Exemplo 3: ଶ௫ ௫మିସ ହ௫ ௫మା௫ିଶ = 2ݔ ݔଶ − 4 ∙ ݔଶ + ݔ − 25ݔ = 2ݔ(ݔ − 2)(ݔ + 2) ∙ (ݔ + 2)(ݔ − 1)5ݔ = 2(ݔ − 1)5(ݔ − 2) = 2ݔ − 25ݔ − 10 E1. Faça as operações seguintes: a) 1 ݔ + 7 + 5ݔݔ + 7 b) 6ݔ − 32ݔ + 17 + 1 − 5ݔ2ݔ + 17 c) 4ݔଷ − 12ݔ + 1 ݔ + 1 − 5ݔଷ − 15ݔ + 2ݔ + 1 d) 1 ݔ + 7 + 5ݔݔ + 3 e) 3 ݔ + 5 − ݔ2ݔ − 1 f) 3ݔ ݔ + 1 − ݔ + 23ݔ + 5 g) 3ݔ ݔଶ − 1 + ݔଷ + 2ݔ + 1 h) 6ݔ − 3 ݔ + 5 + 1 − 5ݔ2ݔ − 1 i) ݔଷ − 2 ݔ + 1 − 5ݔଷ + 2ݔଶ − ݔ − 2 j) 1 ݔ − 2 + 3ݔ − 2ݔ + 1 + 5ݔ k) 5 ݔ − 5 − 3ݔ − 2ݔ + 1 + 2 l) 32ݔ + 2 + ݔ − 6ݔ + 1 − 3 E2. Faça as operações seguintes: Exercícios Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 53 a) 1 ݔ + 7 ∙ 5ݔݔ + 7 b) 6ݔ − 33ݔ + 2 ∙ 1 − 5ݔ3ݔ + 1 c) ݔଷ + 1 ݔ + 1 ∙ 5ݔସ − 2ݔ − 1 d) ݔ − 3 ݔଶ − 16 ∙ ݔ + 4ݔ − 3 e) 33ݔ + 1 ∙ ݔ + 1ݔ − 1 f) 2ݔ ݔ + 1 − ݔଶ + 2ݔݔଶ − 1 ∙ ݔ − 1ݔ g) (ݔ + 1) ݔ ݔ + 3 + 1ݔ ∙ ݔ − 22 − ݔ h) (ݔ − 2) ∙ (4ݔ − 12) ݔ − 3 ∙ ݔݔ − 1 i) ݔଷ − 2ݔଶ + 1 − 5ݔଷ + 2ݔ + 1 j) ௫ାଵ௫ିଶ + 1 ݔ + 1 ∙ 3ݔ + 1 k) ቀݔ − 2 ∙ ൫ݔ − 2 ∙ (ݔ − 2)൯ቁ ݔ − 2 + 1 l) ௫మିଵ ௫ିଶ ∙ ௫మିସ ௫ାଷ ݔ − 1 + 1ݔ E1. a) 5ݔ + 1 ݔ + 7 b) ݔ − 22ݔ + 17 c) −ݔଷ + 3ݔ − 1 ݔ + 1 d) 5ݔଶ + 36ݔ + 3 ݔଶ + 10ݔ + 21 e) −ݔଶ + ݔ − 32ݔଶ + 9ݔ − 5 f) 8ݔଶ + 12ݔ − 23ݔଶ + 8ݔ + 5 g) ݔସ − ݔଷ + 5ݔ − 2 ݔଶ − 1 h) 7ݔଶ − 36ݔ + 82ݔଶ + 9ݔ − 5 i) ݔସ − 7ݔଷ − 2ݔ + 2 ݔଶ − ݔ − 2 j) 3ݔଷ − 2ݔଶ − 10 ݔ(ݔ − 2)(ݔ + 1) k) −3ݔଶ + 2ݔଶ + 14ݔ − 15 ݔଶ − 4ݔ − 5 l) − ݔ + 7 ݔ + 1 E2. a) 5ݔ(ݔ + 7)ଶ b) −3 ∙ 10ݔଶ − 7ݔ + 19ݔଶ + 9ݔ + 2 c) 5ݔ + 5ݔସ − 2ݔଷ − 2 ݔଶ − 1 d) ݔ − 4 e) 3ݔ + 33ݔଶ − 2ݔ − 1 f) 2ݔ(ݔ + 2)(ݔ + 1)ଶ g) h) i) Gabarito Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 54 ݔଷ + ݔଶ − ݔ − 3 ݔ(ݔ + 3) 4ݔଶ − 4ݔ ݔ − 1 −5ݔହ + ݔସ − 4ݔଷ − 2ݔଶ − 2ݔ − 4(ݔଶ + 1)(ݔ + 1) j) 6ݔ − 3(ݔ − 2)(ݔ + 1)ଶ k) 8ݔ − 10 ݔ − 2 l) ݔଷ + 3ݔଶ + 3ݔ + 3ݔଶ + 3ݔ
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