Permutação Simples

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PERMUTAÇÃO SIMPLESPERMUTAÇÃO SIMPLES
Rafael Asth - Professor de Matemática e Física
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A permutação é uma técnica de contagem utilizada para determinar quantas
maneiras existem para ordenar os elementos de um conjunto finito. Fazer
uma permuta é realizar uma troca e, nos problemas de combinatória,
significa trocar os elementos de lugar, considerando a ordenação desses.
Essas técnicas fazem parte de um campo da Matemática chamado, Análise
Combinatória, que se destina a conhecer e contar os diferentes modos de
organizar conjuntos e seus elementos. A permutação simples e a com
elementos repetidos tratam desta categoria de problemas.
 
Permutação simples
Uma permutação simples é a ordenação dos elementos de um conjunto finito, quando seus elementos
não se repetem, são distintos. É utilizada para determinar a quantidade dessas ordenações.
A quantidade de permutações de um conjunto de n elementos é igual a n! (lê-se n fatorial).
A fórmula para determinar a quantidade de permutações simples é
Considere um conjunto com n elementos. Para organizá-los em uma fila, precisamos escolher o primeiro
e, para isso, temos n possibilidades. Para escolher o segundo, temos (n-1) possibilidades, uma menos,
pois, já usamos uma opção ao escolher o primeiro. Esse processo continua até que só reste um
elemento.
Para determinar a quantidade total de permutações, multiplicamos a quantidade de
possibilidades existentes na escolha de cada elemento. Dessa forma:
A expressão acima é chamada fatorial de n e usamos o símbolo n!.
Exemplo:
Os diferentes modos de organizar as letras de uma palavra são chamados de anagramas. Quantos
anagramas existem para a palavra PATO?
Essas são as possibilidades:
Assim, como a palavra PATO possui 4 letras, temos que
Portanto, há 24 permutações simples para a palavra PATO.
Cada forma de ordenação é uma permutação simples, uma vez que os indivíduos são
únicos e não se repetem. Dessa forma, havendo seis pessoas, a resposta é uma
permutação com 6 elementos.
Questão 2
Considere uma fila de pessoas organizadas por ordem de chegada em que, em um determinado
momento, há seis pessoas. De quantas formas diferentes essas pessoas poderiam estar
ordenadas do primeiro ao último lugar?
Questão 3
Considere a palavra GARFO e responda as seguintes questões?
a) Quantos são os anagramas da palavra GARFO?
Como as letras não se repetem esse é um caso de permutação simples de 5 elementos.
b) Quantos são os anagramas que começam com a letra A?
Nesse caso, fixamos a letra A no início e calculamos as permutações com as letras GRFO, que
são permutações de 4 elementos.
1 possibilidade para a letra A x
c) Quantos são os anagramas no caso das vogais estarem sempre uma ao lado da outra?
Uma possibilidade seria G R F A O.
Consideramos AO como uma letra e fazemos fatorial de 4. P4 = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.
Depois multiplicamos por 2 fatorial. P2 = 2 x 1 = 2
Portanto, existem 48 anagramas no caso em que as vogais estão sempre juntas.