REVISÃO - FUNÇÃO EXPONENCIAL, LOGARÍTIMICA, TRIGONOMÉTRICA E TRIGONOMÉTRICA INVERSA

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REVISÃO – FUNÇÃO EXPONENCIAL, LOGARÍTIMICA, 
TRIGONOMÉTRICAS E TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
 
 
 FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Sendo 𝛼  0 e a > 1 um número real. A função : ℛ → ℛ+
∗ dada por (x) = 
𝛼 x é chamada de função exponencial. 
 
 
 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL NATURAL 
 
 
A função : ℛ → ℛ+
∗ dada por (x) = e, é chamada de função exponencial 
natural. “ℯ” é chamado de Euler, é irracional tal que ℯ ≃ 2,71. 
 
 
 
 
 
 LOGARÍTMOS 
 
Sendo a e b números reais tais que : a, b > 0, a ≠ 1. Chamamos de 
logaritmo de b na base a, a um número x tal que: 
 
ax = b 
 
Notação: log𝑎 𝑏 = x. Em resumo: 
 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 = x ⟺ ax = b 
 
Onde a é a base, b é o logaritmando e x é logaritmo. 
 
Exemplos: 
 
1) log3 9 = 2 pois 32 = 9 
 
2) log9 3 = 
1
2
 pois 9
1
2 = 3 
 
 
 
3) log5 2 é representado dessa forma, pois não é possível encontrar um x 
tal que 5x = 2. 
 
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS 
 
1) 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒃𝒄) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 + 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒄 
 
2) 𝐥𝐨𝐠𝒂(
𝒃
𝒄
) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 - 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒄 
 
3) 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃
𝒑 = p . 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 
 
4) 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒂 = 1 
 
5) 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟏 = 0 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
Sendo 𝛼 ≠ 0 e 𝛼 > 1 um número real. A função : ℛ → ℛ+
∗ dada por (x) = 
𝑙𝑜𝑔𝑎
𝑥 é chamada de função logarítmica. 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO LOGARITMICA NATURAL 
 
O logaritmo log𝑒 𝑥 é denotado por ln(x) e chamado de logaritmo natural, 
ou seja, log𝑒 𝑥 = ln(x). Podemos então definir a função : ℛ+
∗ → ℛ dada 
por (x) = ln(x) = log𝑒 𝑥 . Tal função é chamada de função logarítmica 
natural. 
 
 
 
 
Note que as funções (x) = ex e g(x) = ln(x) são inversas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
CICLO TRIGONOMÉTRICO 
 
 
 
 
Assim identificaremos os eixos da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, o eixo OX é o eixo dos cossenos, o eixo OY é o eixo dos senos e a reta 
paralela a OY que intercepta a origem do ciclo é o eixo das tangentes. 
 
Note que |sen x| ≤ 1 ⟺ -1 ≤ sen x ≤ 1 e -1 ≤ cos x ≤ 1 
 
AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
 
Secante → sec x = 
𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝒙
 
 
Cossecante → csc x = 
𝟏
𝐬𝐞𝐧 𝒙
 
 
Cotangente → cotg x = 
𝟏
𝐭𝐚𝐧 𝒙
 = 
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝐬𝐞𝐧 𝒙
 
 
Cos2  + sen2  = 1 
 
Relações importantes: 
1) Cos2  + Sen2  = 1 
 
𝐶𝑜𝑠2 +𝑆𝑒𝑛2
𝐶𝑜𝑠2 
 = 
1
𝐶𝑜𝑠2 
 → 
𝐶𝑜𝑠2
𝐶𝑜𝑠2 
 + 
𝑆𝑒𝑛2
𝐶𝑜𝑠2 
 = 
1
𝐶𝑜𝑠2 
 
1 + tan2  = Sec2  
 
 
2) Cos2  + Sen2  = 1 
 
𝐶𝑜𝑠2 +𝑆𝑒𝑛2
𝑆𝑒𝑛2 
 = 
1
𝑆𝑒𝑛2 
 = 
𝐶𝑜𝑠2
𝑆𝑒𝑛2 
 + 
𝑆𝑒𝑛2
𝑆𝑒𝑛2 
 = 
1
𝑆𝑒𝑛2 
 
 
Cot2  + 1 = Cossec2  
 
As razões trigonométricas dos arcos notáveis são: 
 
 
 
EXEMPLO: Sabendo que Sen 
𝟏𝟏
𝟔
 = - 
𝟏
𝟐
, calcule csc 

𝟔
. 
Csc 

6
 = 
𝟏
𝑺𝒆𝒏

𝟔
 = 
𝟏
− 
𝟏
𝟐
 = -2 
EXEMPLO: sabendo que sen(x) = 
𝟏
𝟑
 com 0 ≤ x < 

𝟐
. Calcule as demais 
razões trigonométricas. 
Sen2x + Cos2x = 1 ⟺ cos2x = 1 - 
1
9
 ⇔ cos2x = 
8
9
 ⇔ cos x = √
8
9
 = ± 
2√2
3
 
Como 0 ≤ x < 

2
, temos cos x = 
2√2
3
 
 
 
tan x = 
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥 
 = 
1
3
2√2
3
 = 
1
2√2 
 = 
√2
4 
 
 
Cot x = 
1
𝑡𝑎𝑛 𝑥 
 = 
1
√2
4
 = 
4
√2 
 = 2√2 
 
Sec x = 
1
𝐶𝑜𝑠 𝑥 
 = 
1
2√2
3
 = 
3
2√2 
 = 
3√2
4 
 
 
Csc x = 
1
𝑆𝑒𝑛 𝑥 
 = 
1
1
3
 = 3 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
São as funções definidas no ciclo trigonométrico. 
Função Seno – é a função : ℛ → [-1, 1] definida por :  (x) = sen x 
 
 
 
 
Função Cosseno – é a função : ℛ → [-1, 1] definida por:  (x) = cos x 
 
 
Função Tangente – sendo D = {x  ℛ: x ≠ 

2
 + k com k  ℤ} 
A função : 𝐷 → ℛ definida por: 
(x) = tan x = 
𝑺𝒆𝒏
𝑪𝒐𝒔
 
 
 
Outras funções trigonométricas não menos importantes são: 
 
 
 
1)  (x) = csc x = 
1
𝑆𝑒𝑛 𝑥 
 cujo domínio é D = { x  ℛ: x ≠ k com k  ℤ} 
 
2)  (x) = sec x = 
1
𝑐𝑜𝑠 𝑥 
 cujo domínio é D = { x  ℛ: x ≠ 

2
 com k  ℤ} 
 
3)  (x) = cot x = 
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 cujo domínio é D = { x  ℛ: x ≠ k com k  ℤ}