Apostila-Geometria Analítica e Álgebra Linear

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GEOMETRIA ANALÍTICA E
ÁLGEBRA LINEAR
Antônio Fabiano Paiva
FACULMONTES
2
Antônio Fabiano Paiva
Possui graduação em Matemática pela Universidade Federal de Viçosa (1997), especiali-
zação em Matemática pela Universidade Federal de Viçosa (2001) e mestrado-
profissionalizante em ProfMat pela Universidade Federal de Viçosa (2015). Atualmente é
Professor da Secretaria Estadual de Educação de Minas Gerais, Professor da Faculdade
Única de Ipatinga, do Colégio Tiradentes de Ipatinga e Docente em conteúdos de cursos
EAD da Faculdade Única de Ipatinga.
GEOMETRIA ANALÍTICA
E ÁLGEBRA LINEAR
1ª edição
3
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Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão do conteúdo
aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar ícones ao lado dos textos.
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co (artigos, monografias, dissertações e teses), sites ou
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ca Pearson) relacionados com o conteúdo abordado.
Trata-se dos conceitos, definições ou afirmações impor-
tantes nas quais você deve ter um maior grau de aten-
ção!
São exercícios de fixação do conteúdo abordado em
cada unidade do livro.
São para o esclarecimento do significado de determi-
nados termos/palavras mostradas ao longo do livro.
Este espaço é destinado para a reflexão sobre questões
citadas em cada unidade, associando-o a suas ações,
seja no ambiente profissional ou em seu cotidiano.
4
SUMÁRIO
VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO......................................................... 7
1.1 INTRODUÇÃO.......................................................................................................... 7
1.2 VETORES NO PLANO............................................................................................... 7
1.3 NORMA DE UM VETOR NO PLANO ........................................................................ 8
1.4 OPERAÇÕES BÁSICAS COM VETORES NO PLANO............................................... 9
1.4.1 Multiplicação de um vetor por um escalar ...............................................9
1.4.2 Adição de vetores ..........................................................................................9
1.5 VETORES NO ESPAÇO ℝ ..................................................................................... 12
1.6 VETORES NO ℝ .................................................................................................... 13
FIXANDO OCONTEÚDO....................................................................................... 13
COMBINAÇÃO LINEAR........................................................................... 18
2.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................ 18
2.2 DISTÂNCIA ENTRE DOIS VETORES ........................................................................ 18
2.3 ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES............................................................................ 19
2.4 PRODUTO VETORIAL ............................................................................................. 21
FIXANDO O CONTEÚDO...................................................................................... 22
SISTEMAS LINEARES ................................................................................. 28
3.1 EQUAÇÕES LINEARES ........................................................................................... 28
3.2 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR ............................................................... 28
3.3 SISTEMA LINEAR .................................................................................................... 29
3.4 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR ...................................................................... 30
FIXANDO O CONTEÚDO....................................................................................... 34
ESPAÇO VETORIAL .................................................................................. 39
4.1 DEFINIÇÃO............................................................................................................ 39
4.2 PROPRIEDADES DE UM ESPAÇO VETORIAL ......................................................... 40
4.3 SUBESPAÇOS VETORIAIS ...................................................................................... 41
4.4 COMBINAÇÃO LINEAR ........................................................................................ 42
4.5 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR .......................................................... 42
4.6 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL .......................................................................... 44
FIXANDO O CONTEÚDO....................................................................................... 47
TRANSFORMAÇÕES LINEARES ................................................................ 52
5.1 DEFINIÇÃO............................................................................................................ 52
5.2 PROPRIEDADES DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES ........................................... 53
5.3 AUTOVALORES E AUTOVETORES .......................................................................... 55
FIXANDO O CONTEÚDO....................................................................................... 56
GEOMETRIA ANALÍTICA.......................................................................... 61
6.1 PLANO CARTESIANO E PONTOS .......................................................................... 61
6.1.1 Ponto no plano cartesiano..........................................................................61
6.2 NOÇÕES DA RETA NO PLANO ............................................................................. 67
6.3 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA ........................................................................ 70
6.4 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA............................................................................. 71
6.5 ESTUDO DAS CÔNICAS – ELIPSE .......................................................................... 73
6.6 ESTUDO DAS CÔNICAS – HIPÉRBOLE................................................................... 75
6.7 ESTUDO DAS CÔNICAS – PARÁBOLA.................................................................. 79
6.8 PLANOS NO ESPAÇO E QUÁDRICAS NO ℝ ...................................................... 82
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 86
UNIDADE
02
UNIDADE
03
UNIDADE
04
UNIDADE
01
UNIDADE
05
UNIDADE
06
5
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO........................................... 92
REFERÊNCIAS ...................................................................................... 93
APÊNDICES .............................................................................................. 94
APÊNDICE A – ESTUDO DAS MATRIZES E DETERMINANTES.......................................... 94
APÊNDICE B – NOTAÇÃO E REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ................................. 95
APÊNDICE C – CONSTRUÇÃO DE UMA MATRIZ .......................................................... 96
APÊNDICE D – MATRIZES ESPECIAIS ............................................................................. 98
APÊNDICE E – OPERAÇÕES COM MATRIZES ............................................................. 101
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CONFIRA NO LIVRO
Na primeira unidade, conceituaremos os vetores e representare-
mos os vetores de plano e no espaço.
Na segunda unidade, definiremos a Combinação Linear bem co-
mo o seu uso em exemplos com vetores no plano e no espaço.
Apresentaremos o cálculo da distância entre dois vetores e infor-
maremos a respeito do ângulo entre dois vetores.
Na terceira unidade iremos apresentar os conceitos básicos e
procedimentos necessários para o reconhecimento de uma
equação e um sistema linear, assim como definiremos e
apresentaremos um sistema linear bem como métodos resolutivospara os mesmos.
Na quarta unidade, abordaremos sobre os conceitos, propriedades
e aplicações importantes do espaço vetorial. Definiremos o espaço
vetorial, apresentando exemplos de espaços, assim como os su-
bespaços vetoriais, com sua definição e propriedades a serem
obedecidas por um subespaço. Por fim falaremos dos vetores line-
armente dependentes ou independente como base de um espa-
ço vetorial.
Na quinta unidade, discutiremos sobre as transformações lineares,
suas definições, propriedades das transformações lineares, aplica-
ções e exemplos importantes, autovalores e autovetores.
Na última unidade, falaremos sobre a Geometria analítica, que é o
ramo da geometria que estuda as formas geométricas através de
suas equações e estruturas algébricas e não necessariamente
através do desenho, ou seja, das figuras.
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VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
1.1 INTRODUÇÃO
Estudaremos nessa unidade, conceitos básicos a respeito de vetores, bem
como a aplicação desses em vários ramos da ciência além de trabalharmos as re-
presentações dos mesmos no plano e no espaço.
1.2 VETORES NO PLANO
Definimos como vetores no plano a segmentos orientados de reta que tem
origem e extremidade, como no exemplo mostrado a seguir.
Figura 1: Segmento de Reta AB⃗
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020)
Na figura, ⃗ representa o vetor v com origem em A e extremidade em B.
Vetor é uma palavra que vem de um radical latino e que significa “carregar”. Portanto
um vetor é formado quando um determinado ponto é deslocado ou carregado a uma
certa distância e em uma certa direção. De uma maneira mais usual, o vetor “carrega”
três informações: Módulo (valor absoluto), direção e sentido.
UNIDADE
01
8
Para efeito de estudo, trabalharemos como vetores os quais a sua origem
coincidirá com a origem do sistema de coordenadas cartesianas, ou seja, o ponto O
(0; 0) e sua extremidade será um ponto P (x; y). Isto acarretará que ao representar-
mos um vetor analiticamente apresentaremos apenas a sua extremidade.
Exemplo: Sendo dado um vetor v⃗ = (2 ; 4), dizemos que sua componente será o par
ordenado (2 ; 4). Veja na Figura abaixo a representação.
Figura 2: Representação do Vetor v⃗
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020)
1.3 NORMA DE UM VETOR NO PLANO
Definimos como norma de um vetor, também chamada de módulo do vetor,
ao seu comprimento e que será calculado através da equação (1):
‖v⃗‖ = x ⃗ + y ⃗ (1)
Graficamente, poderemos visualizar a aplicação da fórmula de um vetor es-
pecífico:
Um vetor é um segmento de reta ORIENTADO, ou seja, uma semirreta.
9
Figura 3: Vetor ⃗
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020)
Na Figura 3, observamos um vetor u⃗ de componentes ( 3; 4 ) e cuja norxma se-
rá igual a 5. Aplicando-se a equação (1):
‖u⃗‖ = √3 + 4 = √9 + 16 = √25 = 5
1.4 OPERAÇÕES BÁSICAS COM VETORES NO PLANO
Apresentaremos a seguir, as principais operações envolvendo vetores.
1.4.1 Multiplicação de um vetor por um escalar
Sendo dado um vetor v⃗, com componentes (x ⃗ ; y ⃗) e um escalar real k, defi-
nimos o produto k ∙ v⃗ (2) da seguinte maneira:
k ∙ v⃗ = ( k ∙ x ⃗ ; k ∙ y ⃗ ) (2)
Exemplo: Sendo dado o vetor v⃗ com componentes (2; -3), podemos então dizer que
4 ∙ v⃗ = (8; -12).
1.4.2 Adição de vetores
Considerando dois vetores u⃗ e v⃗ no plano cartesiano, podemos definir a
adição de u⃗ com v⃗ da seguinte forma:
Sendo os vetores u⃗ = ( x ⃗; y ⃗) e v⃗ = ( x ⃗; y ⃗), então a soma algébrica dos ve-
10
tores u⃗ + v⃗ é:
u⃗ + v⃗ = (x ⃗ + x ⃗ ; y ⃗ + y ⃗ ) (3)
Graficamente, podemos dizer qual a soma de dois vetores u⃗ e v⃗ pode ser
apresentada de duas formas:
 Regra da adição
Sendo dados dois vetores u⃗ e v⃗, verificamos a soma u⃗ + v⃗ como sendo
aquele vetor que “liga” a origem do vetor u⃗ com a extremidade do vetor v⃗, de
acordo com o desenho a seguir:
Figura 4: Representação gráfica da soma vetorial dos vetores ⃗ e ⃗
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020)
 Regra do paralelogramo
Consideramos o vetor soma, como sendo a diagonal de um paralelogramo.
Observação importante: Os vetores serão considerados na posição padrão,
ou seja, com origem ponto (0;0 ) e extremidade em um ponto qualquer do plano
cartesiano. Veja a seguir:
Figura 5: Vetor soma de ⃗ e ⃗
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Fonte: Elaborado pelo Autor (2020)
Exemplo: Considerando os vetores u⃗ e v⃗ de componentes (-3; 1) e (5; 2) respectiva-
mente, podemos dizer que o vetor soma u⃗ + v⃗ será representado algebricamente e
graficamente da seguinte forma:u⃗ + v⃗ = (2 ; 3)
 Produto escalar
O produto escalar, é aquele realizado entre dois vetores e é representado por
um número real e não um outro vetor.
12
u⃗ ∙ v⃗ = x ⃗ ∙ x ⃗ + y ⃗ ∙ ∙ y ⃗ (4)
O produto escalar tem como objetivo obter a medida do ângulo entre dois
vetores (assunto que estudaremos ainda).
Exemplo: Sendo dados os vetores u⃗ e v⃗, tais que seus componentes serão (2 ; -2) e (5;
7) respectivamente. Veremos então, que o produto interno u⃗ ∙ v⃗ será calculado da
seguinte forma:
u⃗ ∙ v⃗ = 2 ∙ 5 + (−2) ∙ 7 = 10 – 14 = −4
1.5 VETORES NO ESPAÇO ℝ
No espaço, podemos transferir todas as operações e definições estudadas
para vetores no plano. Convém dizer, que no ℝ , temos três dimensões ( espaço ) e
portanto um vetor v⃗ será representado por uma terna ordenada v⃗ = ( x ⃗; y ⃗; z ⃗) ouv⃗ = x ⃗y ⃗z ⃗ e graficamente teríamos a seguinte representação:
Figura 6: Representação de um vetor qualquer no espaço ℝ
Podemos apresentar as componentes de um vetor ⃗ de duas menairas diferentes:
v⃗ = (x ⃗; y ⃗) ou v⃗ = x ⃗y ⃗
Dependendo da situação, usaremos uma ou outra notação.
13
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020)
O vetor apresentado acima, tem componentes (1; 1; 2)
1.6 VETORES NO ℝ
Podemos generalizar o estudo de vetores além do espaço, trabalhando assim
com vetores no ℝ . Não é possivel apresentar a representação gráfica de vetores noℝ , porém, podemos apresentá-los na forma algébrica.
Um vetor v⃗, no ℝ , pode ser descrito por suas componentes assim:
v⃗ = ( v ; v ; v ;… ; v ) ou v⃗ = v⋮v
FIXANDO OCONTEÚDO
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1. A grandeza força é considerada como vetorial, ou seja, para ficar bem definida,
necessitamos do seu módulo (valor absoluto), direção e sentido. Suponha que
queiramos representar a grandeza força no plano. O vetor u que representa uma
força aplicada em um determinado objeto está mostrado a seguir:
A alternativa que contém as componentes corretas de u é:
a) u = (2,5; -5)
b) u = (0; 2, 5)
c) u = (-2,5; 5)
d) u = (5; -2, 5)
e) u = (-5; 2,5)
2. Dois animais estão com cordas fixadas em um mesmo ponto e os vetores represen-
tam as forças de tensão estão apresentados a baixo:
As componentes do vetor soma u + v que é aquele no qual representamos a força
resultante nessas cordas seria:
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a) (3; 8)
b) (-3; 6)
c) (2; 8)
d) (-2 ; -4)
e) (0; 7)
3. Considere as afimações a seguir a respeito dos vetores no plano e no espaço:
I. Uma grandeza escalar é aquela que pode exclusivamente ser representada
por um vetor.
II. As componentes de um vetor no plano (ℝ ) podem ser expressas através de
um par ordenado.
III. Só podemos somar, algebricamente, dois ou mais vetores que tenham com-
ponentes com mesmo sinal, ou seja, não podemos somar componentes com
sinais diferentes.
IV. No espaço os vetores podem ser representados por ternas ordenadas comov⃗ = x ⃗y ⃗z ⃗ e cujas componentes podem ser números reais.
Podemos afirmar que:
a) as afirmativas I e III estão corretas e as demais falsas.
b) somente II e IV estão corretas.
c) apenas I e II são falsas.
d) apenas IV é falsa.
e) I e II são corretas e III e IV são falsas.
4. Considerando dois vetores u⃗ e v⃗, do plano, vamos supor que eles representam du-
as grandezas vetoriais. Para determinarmos a resultante da soma desses vetores,
temos a forma algébrica (somando as componentes) e a forma gráfica
(apresentando o vetor que seria a soma no plano). Se u⃗ e v⃗, são dados inicialmen-
te por pares de pontos que caracterizam origem e extremidade de cada um.
Como teria que proceder um estudante que desejasse apresentar o vetor soma
usando o método do paralelogramono plano de coordenadas cartesianas?
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a) Não seria possível apresentar o vetor soma pelo método do paralelogramo.
b) O estudante teria que efetuar apenas algebricamente a soma.
c) Ele deveria transladar os vetores para o primeiro quandrante, onde as componen-
tes seriam todas positivas e assim unir origem de u⃗ com extremidade de v⃗.
d) O estudante deveria transladar u⃗ e v⃗, de modo que a origem de ambos fosse a
origem do sistema de coordenadas cartesianas e assim traçarmos o vetor soma
como a diagonal de um paralelogramo.
e) O estudante poderia realizar a soma apenas pelo método da adição (unir a ori-
gem de um com a extremidade de outro).
5. Assinale a alternativa que apresenta o produto escalar entre os vetores abaixo:
a) 8
b) 10
c) 12
d) 26
e) 5
6. Sendo dados dois vetores do espaço (ℝ ), u⃗ e v⃗, considere então as seguintes
afirmativas a respeito do produto interno dos mesmos:
1ª afirmativa: O produto interno no ℝ é definido como sendo a soma dos produtos
das componentes das ternas ordenadas.
2ª afirmativa: Se u⃗ = −16−2 e v⃗ = 32−1 então o produto escalar ), u ∙⃗ v⃗ será negativo
pelo fato de termos 4 componentes negativas e apenas duas positivas.
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Assim, em relação ás afirmativas dadas, podemos garantir que:
a) Ambas estão corretas.
b) Ambas são falsas.
c) A 1ª afirmação é falsa e a 2ª é correta.
d) A 1ª afirmação é verdadeira e a 2ª é falsa.
e) A primeira afirmação está correta e a segunda está parcialmente correta.
7. Considerando o vetor u⃗ = (−3; 4; 0) do ℝ , vamos supor que ele represente uma
grandeza verificada em um fenômeno físico. O módulo desse vetor ou norma, re-
presenta na prática o seu tamanho. Assinale a alternativa que apresenta a norma
de u⃗ (‖u⃗‖).
a) 12
b) 14
c) 18
d) 10
e) 5
8. Se os vetores u⃗ = (−3; 7 ) e v⃗ = ( 2; 5) pertencem ao ℝ , a alternativa que contém o
valor correto da norma de u⃗ − v⃗ será:
a) 2
b) √29
c) √5
d) √2
e) √19
18
COMBINAÇÃO LINEAR
2.1 INTRODUÇÃO
Sendo dados os vetores u⃗ , u⃗ , u⃗ , ..., u⃗ , se existirem números reais r , r , r , ...,r tal que v⃗ também um vetor e v⃗ = r . u⃗ + r . u⃗ + r . u⃗ + ... + r . u ⃗, dizemos que v⃗ é
combinação linear de u⃗ , u⃗ , u⃗ , ..., u⃗ .
Importante: Temos então que, se um determinado vetor for combinação linear
de outros, quer dizer que esse vetor poderá ser obtido por outros através da opera-
ção de multiplicação por um escalar e pela soma algébrica de vetores.
Exemplo:
O vetor
2−2−1 é uma combinação linear dos vetores 10−1 , 2−31 e 5−40 , pois
temos a seguinte igualdade verificada:3 10−1 + 2 2−31 + (−1). 5−40 = 2−2−1
Como conseguir os números reais que formam a igualdade será o objetivo do
próximo capítulo a ser estudado.
2.2 DISTÂNCIA ENTRE DOIS VETORES
Sendo dados dois vetores u⃗ e v⃗ do plano (ℝ ), podemos considerar a distância
entre eles como sendo a distância entre dois pontos do plano, pois as suas extremi-
dades serão as componentes do vetor, sendo assim temos a seguinte apresentação
para o cálculo da distância entre dois vetores.
UNIDADE
02
19
Figura 7: Representação gráfica da distância entre dois vetores distintos
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020)
A distância entre u⃗ e v⃗ será representada por d(u⃗, v⃗) e será calculada por meio
da equação (5):
d(u⃗, v⃗) = ‖u⃗ − v⃗ ‖ (5)
Observação importante: essa expressão também é válida para qualquer par de ve-
tores u⃗ e v⃗ do ℝ .
Exemplo: Determine a distância entre os vetores u⃗ = √21−1 e v⃗ = 02−2 .
Primeiramente calcularemos u⃗ − v⃗ = √2−11
E logo a seguir, calculamos a distância, usando a equação (5). Assim temos:
d(u⃗, v⃗) = ‖u⃗ − v⃗ ‖ = √2 + (−1) + 1 = √4 = 2
2.3 ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES
Considerando u⃗ e v⃗ como dois vetores do plano, vamos deduzir a expressão
para encontrarmos a medida do ângulo entre eles, como mostra a Figura 8 a seguir:
Figura 8: Ângulo entre dois vetores
20
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020)
Assim então, teremos a equação (6), que nada mais é que a Lei dos cossenos
aplicada ao triângulo.
‖u⃗ − v⃗‖ = ‖u⃗‖ + ‖v⃗‖ − 2 ∙ ‖u‖ ∙ ‖v‖ ⋅ cos(α) (6)
Desenvolvendo a igualdade no primeiro membro, teremos:
‖u‖ − 2 ∙ ( u⃗ ∙ v⃗) + ‖v‖ = ‖u⃗‖ + ‖v⃗‖ − 2 ∙ ‖u‖ ∙ ‖v‖ ⋅ cos(α)
onde ( u⃗ ∙ v⃗) é o produto interno.
E assim, simplificando, tem-se a equação (7):
cos(α) = u⃗ ∙ v⃗‖u‖ ∙ ‖v‖ (7)
Exemplo: Determine o ângulo entre os vetores u⃗ = ( 2; 1; −2 ) e v⃗ = ( 1; 1; 1 ).
Solução:
Primeiramente iremos encontrar o produto escalar u⃗ ∙ v⃗ = 2 ∙ 1 + 1 ∙ 1 + (−2) ∙ 1 =1, em seguida iremos encontrar as normas de u⃗ e v⃗.
‖u⃗‖ = 2 + 1 + (−2) = 3‖v⃗‖ = 1 + 1 + 1 = √3
Logo:
21
cos(α) = 13√3
E assim = , °
2.4 PRODUTO VETORIAL
O produto vetorial, diferentemente do produto escalar, é aquele no qual ope-
ramos dois vetores e como resultado encontraremos um terceiro vetor. O produto
vetorial consideraremos como válido apenas para vetores do ℝ . Representaremos o
produto vetorial entre os vetores u⃗ e v⃗ da seguinte maneira:
u⃗ × v⃗ (8)
Definimos o produto vetorial entre u⃗ = x ⃗y ⃗z ⃗ e v⃗ = x ⃗y ⃗z ⃗ como sendo o vetoru⃗ × v⃗ tal que: u⃗ × v⃗ = y ⃗ ∙ z ⃗ − z ⃗ ∙ y ⃗z ⃗ ∙ x ⃗ − x ⃗ ∙ z ⃗x ⃗ ∙ y ⃗ − y ⃗ ∙ x ⃗
Exemplo: Sendo dados os vetores u⃗ = 011 e v⃗ = 3−12 , vamos determinar o vetoru⃗ × v⃗.
Solução:
u⃗ × v⃗ = 1 ∙ 2 − 1 ∙ (−1)1 ∙ 3 − 0 ∙ 20 ∙ (−1) − 1 ∙ 3 = 33−3
O ângulo entre dois vetores necessita exclusivamente do produto interno entre esses ve-
tores e está relacionado ao cosseno de tal ângulo.
O produto vetorial só será trabalhado como vetores do espaço ℝ .
22
FIXANDO O CONTEÚDO
23
1. Revendo o conceito de combinação linear e sabendo que alguns vetores podem
ser obtidos através de algumas operações envolvendo outrosvetores, considere:
u⃗ = ( 1; 0 ) e v⃗ = ( 0; 1) do plano cartesiano e então determine os valores das
constantes α e β que fazem com que a combinação linear abaixo realmente
exista α ∙ u⃗ + β ∙ v⃗ = ( −2; 3)
a) α = 1 e β = 2
b) α = −2 e β = 2
c) α = −1 e β = −2
d) α − 2 e β = 3
e) α = 1 e β = 3
2. Sendo dados os vetores do ℝ u⃗ = 1−3 e v⃗ = 21 , o vetor w⃗ que é resultante da
combinação linear abaixo:
w⃗ = 12 u⃗ + 3v⃗
a) w⃗ = ;
b) w⃗ = ;
c) w⃗ = ;
d) w⃗ = ;
e) w⃗ = ;
3. Dois vetores representam graficamente, no plano cartesiano, com suas
extremidades os deslocamentos de dois corpos ( deslocamento na unidade km )
feitos a partir de um ponto em comum ( origem do sistema de coordenadas
cartesianas ). Veja:
24
Podemos então afirmar que a distância entre esses dois corpos após o
deslocamento será de:
a) √13 km
b) 2√13 km
c) 2√26 km
d) 15√3 km
e) √15 km
4. Um grupo de vetores em ℝ pode ser apresentado sem necessariamente ter a
origem coincidindo com a origem do plano de coordenadas cartesianas, o que
pode acontecer quando, por exemplo estivermos representado vetores que são
na prática um grupo de grandezas estudadas em certas situações. Considere o
diagrama vetorial abaixo, onde temos relaconadas três grandezas coplanares:
A única igualdade correta a seu respeito será:
a) u⃗ − v⃗ = w⃗
b) u⃗ + v⃗ = w⃗
25
c) u⃗ + w⃗ = v⃗
d) −u⃗ + v⃗ = w⃗
e) w⃗ − v⃗ = u
5. Dois animais estão amarrados a cordas distintas e irão realizar um trabalho, onde
vão aparecer tensões em tais cordas. Estas tensões estão sendo representadas no
plano cartesiano abaixo:
Determine qual é então a medida do ângulo α, que é na verdade o ângulo
existente entre os vetores que estão representando as tensões nas cordas:
a) 92,8º
b) 100,1º
c) 85,2º
d) 12,7º
e) 106,3º
6. Considere as afirmações a seguir que são a respeito do ângluo formado entre dois
vetores e logo a seguir julgue-as em verdadeiras ou falsas.
I. Quando apresentamos dois vetores no ℝ e as suas componentes são tais que
esses vetores estão exatamante sobre os eixos coordenados. Podemos afirmar
que eles são necessariamente perpendiculares.
II. Dois vetores do ℝ são perpenciculares, o que acarreta de a norma de cada
26
um deles ser nula.
III. Ao calcularmos,segundo a fórmula apresentada, o valor do cosseno do ângulo
formado entre dois vetores do ℝ , se encontrarmos um valor negativo,resulta
em termos um ângulo também negativo
Podemos então concluir que:
a) as afirmativas I,II e III estão corretas.
b) as afirmativas I e II estão corretas.
c) todas as afirmativas estão incorretas.
d) somente as afirmativas II e III estão corretas.
e) somente a afirmativa I está incorreta.
7. Sabemos que o produto vetorial é aqule em que tomados dois vetores do ℝ ,
iremos obter um outro vetor também do ℝ . Importante afirmar que essa operção
é exclusiva do espaço ℝ . Sendo dessa operação dada, e lembrando que a
obtenção do vetor resultante é dado por:
u⃗ × v⃗ = y ⃗ ∙ z ⃗ − z ⃗ ∙ y ⃗z ⃗ ∙ x ⃗ − x ⃗ ∙ z ⃗x ⃗ ∙ y ⃗ − y ⃗ ∙ x ⃗ onde u⃗ = x ⃗y ⃗z ⃗ e v⃗ = x ⃗y ⃗z ⃗ ,
Determine o produto vetorial u⃗ × v⃗ quando u⃗ = ( −1; 2; 1 ) e v⃗ = y(u 2; −3; 0 )
a) (3; 2; −1)
b) (3; −2; −1)
c) (0; 2; 1)
d) (3; −1; 0)
e) (3; 0; −1)
8. Considere dois vetores u⃗ e v⃗ pertencentes ao espaço ℝ . Podemos encontrar a
norma de cada um deles, usando um raciocínio análogo ao usado para
encontrar no ℝ , ou seja se u⃗ = ( x ; y ; z ), podemos então determinar a sua
norma ( ou módulo) usando a seguinte fórmula: ‖u⃗‖ = x + y + z . Da mesma
forma podemos proceder para o encontro do produto escalar. De posse dessas
afirmações, encontre, aproximadamente, então o ângulo formado emtre os
27
vetores do espaço que têm as seguintes componentes u⃗ = ( 2; 1; −2) e v⃗ =( 0; 3; −1).
a) 36,8°
b) 58,2º
c) 24,9º
d) 69,2º
e) 108,3
28
SISTEMAS LINEARES
3.1 EQUAÇÕES LINEARES
Definimos uma equação linear (9) como sendo a seguinte igualdade:
a ∙ x + a ∙ x + a ∙ x +⋯+ a ∙ x = b (9)
Onde a , a , a , . ., a e b são os coeficientes da equação que está defini-
da com variáveis x , x , x , … , x .
Exemplo de equações lineares:
2x + 5y − 8z + 10w = 0−1x + 2y – 4z = −1
Mas que poderíamos apresentar as variáveis também assim:
4x + 2x − 10x = 0
As primeiras notações são mais comuns de serem usadas.
3.2 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR
Sendo dada uma equação linear a ∙ x + a ∙ x + a ∙ x +⋯+ a ∙x = b, afirmamos que n-upla ordenada (α ; α ; α ; … ; α ) quando ao substituír-
mos, na ordem, cada um dos termos e a igualdade for estabelecida.
Exemplo: Considerando a equação linear 2x + 4y – z = 0, poderíamos afirmar
que a tripla ordenada (1; 1 ; 6) seria uma solução para a equação, porém a tripla (2;
1; 8) também seria uma solução para a equação linear dada.
UNIDADE
03
29
3.3 SISTEMA LINEAR
A definição teórica de um sistema linear seria:
O sistema linear é um conjunto formado por equações lineares.
De forma genérica, poderíamos apresentar essa definição da seguinte forma:
a ∙ x + a ∙ x +⋯+ a ∙ x = ba ∙ x + a ∙ x +⋯+ a ∙ x = b⋮ ⋮ ⋮ ⋮a ∙ x + a ∙ x +⋯+ a ∙ x = b
Uma solução do sistema apresentado seria nula de números reais(α ; α ; α ; … ; α ) que satisfaça simultaneamente todas as m equações.
Observação importante: Podemos escrever um sistema linear, usando a forma matri-
cial. Teremos três matrizes que multiplicadas resultarão na forma convencional apre-
sentada inicialmente.
a aa a ⋯ a⋯ a⋮ ⋮a a … ⋮… a ∙
xx⋮x =
bb⋮b
O produto apresentado acima pode ser generalizado assim
A ∙ X = B onde A é amatriz dos coeficientes das variáveis do sistema, também
chamada de matriz ampliada do sistema, B é a matriz das variáveis e B é a matriz
dos termos independentes.
Toda equação linear possui uma infinidade de n-uplas ordenadas que serão possíveis
soluções da mesma.
30
3.4 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Iremos apresentar a solução de um sistema através do método do escalona-
mento que também é conhecido como método de Gauss-Jordan. Esse método con-
siste em aplicar operações elementares sucessivamente a fim de escrevermos o sis-
tema na forma escada.
Operações elementares: São operações que poderemos realizar com as
equações de um sistema dado a fim de conseguirmos um outro equivalente ao inici-
al.
Principais operações elementares:
Podemos apresentar um sistema apenas pelas suas matrizes ampliadas, em que cada
linha seria uma forma abreviada da equação correspondente do sistema.
A ordem de um sistema é o respectivamente o número de equações e quantas variáveis
estão presentes em cada equação.
Exemplo: Um sistema de ordem 2 x 2, tem duas equações e em cada uma dessas equa-
ções teremos duas variáveis.
Um sistema na forma escada é aquele que em que o número de variáveis nulas antes na
primeira variável não nula, aumenta progressivamente de uma equação para a outra.
Sistemas equivalentes: São aqueles que têm a mesma solução, porém com equações
não idênticas.
31
 Quaisquer equações de um sistema podem ser trocadas de posição.
 Podemos multiplicar qualquer equação de um sistema por um número real.
 Podemos trocar qualquer equação de um sistema pela soma dela mesma
com outra.
 Podemos então trocar também qualquer equação de um sistema pela soma
de uma equação múltipla dessa com outra.
A aplicação dessas operações (não necessariamente todas e nessa ordem )
em um determinado sistema, fará com que consigamos escrevê-lo na forma escalo-
nada e assim sendo, podemos resolvê-lo.
Vamos tomar um sistema de ordem 3 x 3 para podermos exemplificar esse mé-
todo de resolução.
Exemplo: Considerando o sistema linear
2x + 2y + 3z = 23x − y − 6z = 48x + 4y + 3z = 8, Vamos usar o méto do do
escalonamento para determinar a sua solução.
2 2 33 −1 −68 4 3 248 Essa é a matriz estendida do sistema apresentado.
Vamos agora multiplicar a primeira linha ( equivalente à primeira equação )
por .
Teremos então: 1 1 323 −1 −68 4 3
148
Agora vamos substituir a segunda linha pela soma dela mesma com a primeira
linha multiplicada por -3 (com o objetivo de zerar o primeiro termo dessa segunda
linha).
Assim fazendo, teremos:
⎝⎛
1 1 320 −4 − 2128 4 3
118⎠⎞
32
A seguir, substituiremos a terceira equação pela soma dela mesma com a
primeira multiplicada por -8 (com o objetivo de zerar o primeiro elemento dessa linha
).
⎝⎛
1 1 320 −4 − 2120 −4 −9
110⎠⎞
Logo a seguir vamos substituir a terceira equação por ela mesma adicionada
à segunda multiplicada por -1. E assim então teremos:
⎝⎜
⎛1 1 320 −4 − 2120 0 32
11−1⎠⎟
⎞
Finalmente, podemos então encontrar a solução do sistema e escrever o sis-
tema na forma escalonada, multiplicamos a segunda linha por − e a terceira linha
por e assim obteremos o seguinte:
⎝⎛
1 1 320 1 2180 0 1
1− 14− 23⎠⎞
Fazendo com que após mais algumas operações elementares, consigamos o
seguinte sistema:
⎝⎜
⎛1 0 00 1 00 0 1
1232− 23⎠⎟
⎞
E assim então a tripla ou terna ordenada que representa a solução do sistema
será: 12 ; 32 ; − 23
33
Uma observação importante a ser feita a respeito dos sistemas de equação li-
near é a respeito da sua ordem. Nem todos os sistemas serão considerados sistemas
“quadrados”. Somente nomeamos de quadrados aqueles os quais o número de
equações é igual ao número de variáveis em cada equação.
Passemos então a observar um sistema não quadrado, ou seja, aquele em
que o número de equações e variáveis em cada equação são diferentes. Todo sis-
tema com essa classificação terá alguma particularidade, por exemplo, sistemas que
têm mais variáveis que equações não poderão ter um número finito de soluções, ou
seja, jamais serão sistemas SPD, poderão ser SPI oi SI. Agora sistemas que têm mais
equações que variáveis poderão ter solução finita, dependendo do sistema.
Exemplo: Considere o sistema linear a seguir e verifiquemos a sua solução através do
método do escalonamento. x + 3y − 2z = 12x + 5y + z = 0
Vamos encontrar a sua solução.
x + 3y − 2z = 10x − y + 5z = −2
Isolando na 2ª equação a variável y, teremos:
y = 5z + 2
Substituindo esse valor na primeira equação teremos:
Um sistema linear pode ter as seguintes classificações conforme a solução do mesmo:
 Sistema Possível e Determinado (SPD): O sistema possui uma única solução que
atende às equações do mesmo.
 Sistema Possível e Indeterminado (SPI): O sistema possui infinitas soluções que
atendem às equações do mesmo.
 Sistema Impossível (SI ): O sistema não possui nenhuma solução que atendeàs
equações.
34
x = −13z − 5
Observamos então que os “valores” de x e de y estão dependentes do valor
de z, logo z será considerada então a variável livre e a solução escrita de uma ma-
neira formal seria:
S = { (−13z − 5; 5z + 2; z ), com z ∈ ℝ }
FIXANDO O CONTEÚDO
1. A resolução de um sistema de equações lineares, consiste em encontrar soluções
simultâneas para todas as equações que compõem o mesmo. Sendo assim,
usando o método do escalonamento, determine o conjunto solução do sistema
linear apresentado a seguir:
35
x + 2y + 3z = 02x + y + 3z = 03x + 2y + z = 0
a) S= { ( 1; 2; 3 )}
b) S ={ ( -1; 0 ; 1 ) }
c) S = { ( 0; 0; 0 ) }
d) S= { ( 0; -2 ; 1 ) }
e) S= { (0;-2;-3 )}
2. Sabe-se que, na compra de uma caixa de lenços, dois bonés e três camisetas,
gasta-se um total de R$127,00. Se três caixas de lenços, quatro bonés e cinco
camisetas, dos mesmos tipos que os primeiros, custam juntos R$241,00, a quantia a
ser desembolsada na compra de um boné, uma camiseta e uma caixa de lenço
é:
a) R$72,00.
b) R$65,00.
c) R$60,00.
d) R$57,00.
e) R$49,00.
3. (Fuvest 2020) Uma agência de turismo vendeu um total de 78 passagens para os
destinos: Lisboa, Paris e Roma. Sabe‐se que o número de passagens vendidas para
Paris foi o dobro do número de passagens vendidas para os outros dois destinos
conjuntamente. Sabe‐se também que, para Roma, foram vendidas duas
passagens a mais que a metade das vendidas para Lisboa. Qual foi o total de
passagens vendidas, conjuntamente, para Paris e Roma?
a) 26.
b) 38.
c) 48.
d) 62.
e) 68.
36
4. (Cp2 2019) - Jorge, Marcos e Paulo são três irmãos que adoram colecionar
figurinhas e também adoram charadas. Como eles têm uma prima, Lavínia, que
também adora decifrar enigmas, propuseram a ela o seguinte problema:
- Jorge e Marcos têm, juntos, 110 figurinhas.
- Jorge e Paulo têm, juntos, 73figurinhas.
- Marcos e Paulo têm, juntos, 65 figurinhas.
Quem tem mais figurinhas e quantas são elas?
Se Lavínia conseguir decifrar o enigma, sua resposta será:
a) Paulo, com 14 figurinhas.
b) Marcos, com 56 figurinhas.
c) Jorge, com 59 figurinhas.
d) Jorge e Marcos, ambos com 55 figurinhas.
e) Marcos, com 90 figurinhas.
5. Em relação às soluções de um sistema de equações lineares lineares, considere
as seguintes afirmações apresentadas a seguir e logo após classifique-as em
verdadeiras ou falsas.
I. Todo sistema linear quadrado, possui um número finito de soluções.
II. Um sistema linear não quadrado obrigatoriamente terá infinitas soluções.
III. Em um sistema linear quadrado o nuúmero de equações será sempre igual ao
número de variáveis em cada equação.
IV. Em um sistema qualquer, sempre teremos uma solução que seja comum a
todas às equações.
a) Todas as afirmativas são verdadeiras.
b) Todas as afirmativas são falsas.
c) Somente a afirmativa I é verdadeira.
d) Somente a afirmativa I é falsa.
e) Somente a afirmativa III é verdadeira.
37
6. (Espm 2019 - Modificada) – Usando os conceitos a respeito de equações e
sistemas lineares, monte e resolva o sistema que dê a solução da seguinte
situação apresentada: Um menino possui 29 moedas de 10 centavos e 15 moedas
de 25 centavos.número de maneiras diferentes que ele tem para formar 5 reais é
igual a:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
7. (Espm 2019) Daqui a 3 anos, a idade de um pai será a soma das idades que terão
sua esposa e seu filho. Quando a esposa nasceu, a idade do pai era:
a) igual à idade atual do seu filho.
b) o dobro da idade atual do seu filho.
c) menor que a idade atual do seu filho.
d) 3 anos a menos que a idade atual do seu filho.
e) igual à idade que terá seu filho daqui a 3 anos.
8. Chamamos de sistema homogêneo de n equações e m variáveis aquele sistema
qual os termos independentes são todos nulos ( iguais a zero ). Um sistema homo-
gêneo admite pelo menos uma solução. Essa solução é chamada de solução tri-
vial de um sistema homogêneo. De acordo com todas as informações apresenta-
das anteriormente, determine o valor de k no sistema abaixo de forma que ele te-
nha solução distinta da solução trivial (x = 0, y = 0 e z= 0).
38
2x − 5y + 2z = 0x + y + z = 02x + 0y + kz = 0
a) k = 1
b) k = 2
c) k = −2
d) k = −1
e) k = 3
39
ESPAÇO VETORIAL
4.1 DEFINIÇÃO
Um espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, que está definido com duas
operações:
Soma: Sendo u e v são dois elementos pertencentes a V, a soma de u com v
ser denotada por u + v.
Multiplicação por escalar: Sendo um número real qualquer e u um elemento
de V, a multiplicação de u com denotada por ∙ u.
O importante é salientarmos que usaremos a apalavra vetor para representar
um elemento do espaço V.
Exemplo 1: O conjunto formado por todas as matrizes de ordem 2x2 (V = M ) será
um espaço vetorial, pois ele é fechado para as operações de soma e produto por
escalar, veja:
Sendo u = α βγ θ e v = δ πμ σ Então teremos:
u + v = α + δ β + πγ + μ θ + σ
c ∙ u = c ∙ α βγ θ = c ∙ α c ∙ βc ∙ γ c ∙ θ
E assim verificamos o fechamento do conjunto para a soma e o produto por
escalar.
Exemplo 2: O conjunto V = P (x), formado por todos os polinômios de grau 2, tam-
bém é um espaço vetorial, pois é fechado para a soma e para a multiplicação por
escalar.
Sendo u = ax + bx + t e v = dx + ex + f, então teremos:u + v = (a + d)x + (b + e)x + t + f
UNIDADE
04
40
c ∙ u = c ∙ ax + c ∙ bx + c ∙ t
E assim verificamos o fechamento do conjunto para a soma e para o produto
por escalar.
Exemplo 3 : Considere V, o conjunto dos vetores do espaço ℝ . Sendo assim:
V =ℝ = {( ; ; ); ∈ ℝ}
Podemos observar facilmente que V é um espaço vetorial e, portanto, será
fechado para operações de soma e produto por escalar.
4.2 PROPRIEDADES DE UM ESPAÇO VETORIAL
Além das condições de existência para o conjunto V ser um espaço vetorial,
vamos verificar também as seguintes propriedades nesse conjunto:
Em um espaço amostral V, considere verdadeira as propriedades a seguir pa-
ra todo u, v e w pertencentes a V e para todos os escalares e pertencentes ao
conjunto dos números reais.
I – Propriedade comutativa
u + v = v + u
II – Propriedade associativa da adição
( u + v ) + w = u + ( v + w )
III – Elemento neutro
Existe um elemento 0 em V, denominado vetor nulo, tal que u + 0 = u.
IV – Elemento oposto
41
Para cada elemento u pertencente a V, existe um elemento -u também pertencen-
te a V de modo de que u + ( − u ) = ( − u ) + u = 0.
V – Distributividade da multiplicação em relação à adição
∙ ( u + v ) = ∙ u + ∙ v ou ( u + v ) ∙ = ∙ u + ∙ v
VI – Propriedade associativa da multiplicação por escalar
∙ ( ∙ v ) = ( ∙ ) ∙ v
VII – Elemento neutro da multiplicação
Chamamos de elemento neutro da multiplicação ao número 1, tal que 1 ∙ u = u
4.3 SUBESPAÇOS VETORIAIS
Seja V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Então, W é um
subespaço de V se, e somente, se as seguintes condições se verificam:
- Se u e v estão em W, então u + v também a multiplicação por um escalar.
Está em W.
- Se v está em W e c é um escalar, então c ∙ v também está em W.
Ou seja: W é fechado para a soma e para a multiplicação por um escalar e é
importante frisarmos que se W é um espaço vetorial também e não precisaríamos de
verificar a veracidade de todas as propriedades para W, visto que elas são válidas
para V que contém W.
Exemplo: Considere V = ℝ e W = { (x ; 0; x ); com cada x pertencente aℝ }.
Podemos então observar que W é um conjunto de vetores de ℝ , cuja segun-
da componente é nula. Vamos então observar o fechamento em relação às opera-
ções de soma e produto por um escalar para W.
Consideremos dois vetores u⃗ = ( u ; 0; u ) e v⃗ = ( v ; 0; v ) pertencentes a W.
42
Então u⃗ + v⃗ = ( u + v ; 0; u + v ) que também pertence a W, pois tem a se-
gunda componente nula e as outras resultam da soma de dois números reais ( o que
resulta em um outro número real).
Considerando o vetor u⃗ = ( u ; 0; u ) pertencente a W e t um número real
qualquer, t ∙ u⃗ = ( t ∙ u ; 0; t ∙ u ) que também irá pertencer a W.
Portanto W é um subespaço deℝ .
4.4 COMBINAÇÃO LINEAR
O conjunto U formado por todos os vetores v⃗ que são combinação linear deu⃗ , u⃗ , u⃗ , ..., u⃗ é denominado subespaço vetorial gerado por u⃗ , u⃗ , u⃗ , ..., u⃗ e será
denotado por U = {v⃗ ∈ U/ v⃗ = r . u⃗ + r . u⃗ + r . u⃗+ . . . + r . u ⃗ , com r ∈ ℝ e onde 0 <i ≤ n}
Exemplo: Os vetores u⃗ = ( 1; 0; 0 ), u⃗ = ( 0; 1; 0 ) e u⃗ = ( 0; 0; 1 ) são do ℝ e
além disso, podemos verificar que se considerarmos V = ℝ observaremos que V = [u⃗ , , u⃗ , u⃗ , ou seja, V é gerado por u⃗ , u⃗ e u⃗ .
Observe que V será gerado pelos três vetores da seguinte maneira:
Consideremos um vetor qual quer v⃗ = (x; y; z) com x e y reais, pertencente a
V, logo, podemos verificar que: (x; y) = x ∙ (1; 0; 0) + y ∙ (0; 1; 0) + z ∙ (0; 0; 1).v⃗ = x ∙ u⃗ + y ∙ u⃗ + z ∙ u⃗ .v⃗ é combinação linear de u⃗ , u⃗ e u⃗ .
4.5 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
Vamos relembrar a definição de um vetor como combinação linear de outros:
Sendo dados os vetores u⃗ , u⃗ , u⃗ , ..., u⃗ , se existirem números reais r , r , r , ..., r tal quev⃗ também um vetor e v⃗ = r . u⃗ + r . u⃗ + r . u⃗ + ... + r . u ⃗, dizemos que v⃗ é combinação
linear de u⃗ , u⃗ , u⃗ , ..., u⃗ .
43
Vamos chamar um conjunto de vetores {u⃗ , u⃗ , u⃗ , ..., u⃗ } de um espaço vetori-
al V como linearmente independente ( LI ) quando a seguinte igualdade:
α ∙ u⃗ + α ∙ u⃗ +⋯+ α ∙ u⃗ = 0
For verificada para valores de α , α , … , α iguais a zero, ou sejaα = α = … = α = 0.
Caso a igualdade seja verificada para algum valor de α , α , … , α diferente de
zero, o conjunto de vetores {u⃗ , u⃗ , u⃗ , ..., u⃗ } será classificado como linearmente de-
pendente (LD).
Demonstração do teorema:
Sejam o conjunto de vetores {u⃗ , u⃗ , u⃗ , ..., u⃗ } LD. Podemos então considerar
que existem α + α +⋯+ α tais que:
α ∙ u⃗ + α ∙ u⃗ +⋯+ α ∙ u⃗ = 0 = 0
Tais que existe algum α ≠ 0, com 1 ≤ i ≤ n
E assim então poderíamos tomar um termo α ∙ u⃗
Qualquer e assim trabalhar com seu isolamento, procedendo da seguinte for-
ma: u⃗ = − 1a ∙ (α ∙ u⃗ + α ∙ u⃗ +⋯+ α ∙ u⃗ )
E assim, portanto, verificamos um dos vetores sendo combinação linear dos
Um teorema é uma informação, propriedade ou dado que necessita ser provado, para
assim ser usado como referência na solução de problemas.
Apresentamos um teorema: O conjunto de vetores {u⃗ , u⃗ , u⃗ , ..., u⃗ } será classificado de
LD (linearmente dependente) se, e somente se um desse vetores for combinação linear
dos outros.
44
demais.
Agora, se tivermos um vetor como combinação linear dos demais, temos que
provar que o grupo todo é linearmente dependente. Vejamos então:
α ∙ u⃗ + α ∙ u⃗ +⋯+ α ∙ u⃗ = v⃗
E assim, podemos usar um artifício algébrico e reescrever a igualdade da se-
guinte forma:
α ∙ u⃗ + α ∙ u⃗ +⋯+ α ∙ u⃗ − 1 ∙ v⃗ = 0
E assim verificamos que tal igualdade ocorre quando um dos coeficientes dos
vetores é diferentes de zero, ou seja, existe um dos α , α , … , α não é nulo.
E assim provamos então teorema.
Exemplo: Considere o espaço amostral V = ℝ e os vetores v⃗ = ( 1; 0 ) e v⃗ =( 0; 1 ) pertencentes a V. Verificaremos que o conjunto formado por v⃗ e v⃗ são LI,
pois: α ∙ v⃗ + α ∙ v⃗ = 0 ⇒ α ∙ (1; 0) + α ∙ (0 ; 1) = (0; 0) ⇒ (α ; α ) = (0 ; 0), logoα = 0
e α = 0 .
4.6 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL
Definição: Sendo dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, formado pe-
los vetores {w⃗ ; w⃗ ; w⃗ } será chamado de base do espaço V se:
{w⃗ ; w⃗ ; … ; w⃗ } for LI;{w⃗ ; w⃗ ; … ; w⃗ } gerar V ou seja, V = [w⃗ ; w⃗ ; … ; w⃗ ]
O que quer dizer que qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação
linear de w⃗ ; w⃗ ; … ; w⃗ .
Exemplo: O subconjunto do ℝ formado pelo vetores w⃗ = (1; 1) e w⃗ = (0; 1) é uma
base de ℝ . Vejamos a verificação:
45
α ∙ w⃗ + α ∙ w⃗ = (0; 0) ⇒ α ∙ (1; 1) + α ∙ (0; 1) = (0; 0)
De onde podemos verificar que α = α = 0 e assim então o subconjunto é
LI.
Podemos ainda observar que o os dois vetores geram o ℝ . Considerando um
vetor genérico v⃗ = ( x; y ), com x e y pertencente ao conjunto dos números reais
(ℝ), temos que :
(x; y) = x ∙ ( 1; 1) + (y − x) ∙ ( 0; 1), o que comprova serem geradores.
Definição importante:
Considere β uma base de um espaço vetorial V de tal maneira que β ={v , v , v , … , v } e v ∈ V um vetor tal que v = α ∙ v + α ∙ v + α ∙ v +⋯+ α ∙ v .Vamos
chamar estes coeficientes numéricos α , α , α , … , α de coordenadas de v em rela-
ção à base β. Podemos denotar da seguinte maneira:
[v] = αα⋮α
Exemplo: Sendo dado o espaço vetorial V = ℝ . Considere então a base β ={(1; 0), (0; 1)} como uma base de V. O vetor (4;3) = 4(1,0) + 3(0,1) e assim então pode-
ríamos dizer que [(4; 3)] = 43 .
Dimensão de um espaço vetorial , é o número de elementos (vetores) da base que
gera esse espaço.
46
 BOULOS, P. Pré Cálculo. 2. ed. São Paulo: Perason, 2011. 118 p. Disponível em:
https://bit.ly/2Uj9MQh.
47
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Vamos nos lembrar que para efetivamente um conjunto ser considerado como
espaço vetorial, algumas operações devem ser observadas em seu fechamento
(um conjunto é fechado para uma operação quando dois elementos quaisquer
resultam em um outro elemento que também pertence obrigatoriamente a esse
conjunto). Considere então o conjunto W formado por todas as matrizes de ordem
3. Sobre tal conjunto, podemos afirmar corretamente que:
a) Não pode ser considerado um espaço vetorial, pois existem matrizes de ordem 3
que quando somadas resultam em uma matriz de ordem 2 que por sua vez não
pertencem a W.
b) Não pode ser considerado um espaço vetorial pois a propriedade do elemento
neutro não pode ser verificada, uma vez que se somarmos duas matrizes opostas
vamos obter um número real e não uma outra matriz de ordem três.
c) O conjunto W admite como um subespaço o conjunto formado por todas as ma-
trizes de ordem 3 do tipo
x 0 yw 0 tv 0 z , com x, y, w, t, v e z sendo números reais.
d) O conjunto W não admite nenhum subespaço.
e) O conjunto W não pode ser considerado um espaço vetorial pois a propriedade
do elemento oposto não pode ser verificada.
2. Em relação ao conjunto V formado pelas matrizes quadradas de ordem 2 (
M(2,2)), podemos verificar que afirmação correta em relação e esse conjunto se-
rá:
a) O conjunto V não será um espaço vetorial, pois não será “fechado” para a ope-
ração usual de adição.
b) O elemento neutro da operação de adição será a matriz identidade de ordem 2,
ou seja: 1 00 1 .
c) O conjunto V é gerado por 1 00 1 ; 0 11 0 , ou seja esse subconjunto apresentado
é uma base de V.
d) O conjunto 1 00 0 ; 0 10 0 ; 0 01 0 ; 0 00 1 é uma base de V.
48
e) O conjunto V não é um espaço vetorial, pois não obedece à propriedade do
elemento oposto, ou seja, não existe uma matriz que somada a um original, resulta
em uma matriz nula.
3. Considere as afirmações a seguir:
Afirmação 1:
O vetor (2; -3; 2; 2) pertencente ao ℝ é tambem pertencente ao subespaço ge-
rado por v = (1; −1; 0; 0 ), v = ( 0; 0; 1; 1 ), v = ( −2; 2, 1, 1 ) e v = ( 1; 0; 0; 0 ).
Afirmação 2:
O subespaço gerado por v , v , v e v , ou seja [v , v , v , v ] = ℝ .
Em relação às afirmações acima, podemos dizer que:
a) Ambas estão corretas.
b) Ambas estão incorretas.
c) Somente a primeira afirmação é correta.
d) Somente a segunda afirmação é correta.
e) não podemos afirmar nada no ℝ .
4. Com base na definição de vetores ou grupo de vetores LI ( linearmente indepen-
dentes ) e LD ( vetores linearmente dependentes ), considere o seguinte conjunto
de vetores do espaço ℝ : { (1; 0) , (-1; 1), (3; 5) }. Podemos afirmar corretamente
que:
a) O conjunto formado é LI e gera ℝ .
b) O conjunto é LI e não é uma base de ℝ .
c) O conjunto é LD, portanto é uma base de ℝ .
d) O conjunto é LD e não pode portanto ser uma base de ℝ .
e) O conjunto de vetores apresentado não pode ser LI ou LD.
5. Ao verificar o conjunto de vetores pertencentes ao espaço vetorial V ( M(2,2) ),
que é o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2, 1 01 0 , 1 10 0 , 2 −10 , de-
termine o valor de k para que o conjunto seja LD (linearmente dependente).
49
a) K = 0
b) K =-1c) K = -3
d) K = 3
e) K = 2
6. Um conjunto de vetores LI ou LD, pode ser visualizado graficamente, por exemplo
se o espaço vetorial a ser considerado for o plano ℝ . Observe a seguir dois con-
juntos de vetores do ℝ , apresentados graficamente:
Conjunto I
Conjunto II
Em relação aos conjuntos de vetores apresentados a seguir, podemos afirmar que:
a) O conjunto I é LI e o conjunto II é LD.
b) Ambos os conjuntos de vetores são LI.
c) Ambos os conjuntos de vetores são LD.
Conjunto formado pelos vetores u = (1;
1 ) e v = ( -1; 2 ).
Conjunto formado pelos vetores u = ( 1; 1 ) e v
= ( -1; 2 ).
Conjunto formado pelos vetores u = ( -
1; 1), v = ( 1; 2 ) e w = ( 1; 1).
Conjunto formado pelos vetores u = ( -1; 1 ), v
= ( 1; 2 ) e w = ( 1; 1).
50
d) O conjunto I é LD e o conjunto II é LI.
e) Não podemos classificar em LI e LD dois vetores do plano ℝ .
7. A base de um espaço vetorial é formada por um conjunto de vetores aos quais
todos os outros vetores desse espaço podem ser obtidos por uma combinação li-
near desses. Definimos como coordenadas de um vetor em relação a uma de-
terminada base, aos números reais que são os coeficientes da combinação linear
que “gera” um determinado vetor do espaço vetorial. Baseando-se nas informa-
ções dadas, determine então ao coordenadas do vetor v⃗ = ( 1; 0; 0 ) em relação à
base β = {( 1; 1; 1 ), ( −1 ; 1; 0 ), ( 1; 0 ; −1)}.
a) ⎣⎢⎢⎢
⎡− ⎦⎥⎥⎥
⎤
d) ⎣⎢⎢⎢
⎡
⎦⎥⎥⎥
⎤
b) ⎣⎢⎢⎢
⎡−− ⎦⎥⎥⎥
⎤
e) ⎣⎢⎢⎢
⎡
⎦⎥⎥⎥
⎤
c) ⎣⎢⎢⎢
⎡
⎦⎥⎥⎥
⎤
8. Em relação à classificação dos vetores como LI ou como LD, são apresentadas as
afirmativas a seguir. Faça a análise de cada uma delas e logo a seguir assinale a
alternativa correta.
I. O conjunto de vetores do ℝ , { v⃗ =( 1;0;0 ), v⃗ = (2; 3; 0 ), v⃗ = (5;1; 1)} é LI, pois
a “resolvermos” a igualdade (0; 0; 0 ) = a ∙ v⃗+ b ∙ v⃗+ c ∙ v⃗, encontraremos so-
mente e exclusivamente a= 0, b= 0 e c= 0.
II. O trio de vetores do ℝ apresentado por v⃗ = (2; 3),v⃗ = (5; 4) e v⃗ = (1; 1) é
LD, pois se resolvermos a igualdade (0; 0; 0 ) = a ∙ v⃗ + b ∙ v⃗ + c ∙ v⃗ , vamos en-
contrar infinitos valores para a, b e c que a satisfazem.
III. Os vetores v⃗ = ( 1; −1; −2 ), v⃗ = ( 2; 1; 1 ) e v⃗ = ( −1; 0; 3 ) pertencentes ao ℝ
formam um grupo LI.
IV. Quando no ℝ , tivermos um conjunto unitário de vetores, onde o vetor presen-
51
te for diferente do vetor nulo, ele será obrigatoriamente LI.
Em relação às afirmativas acima, podemos dizer que:
a) São todas falsas.
b) Somente I e III são falsas.
c) Todas são verdadeiras.
d) Somente I, II e IV são verdadeiras.
e) Somente III é verdadeira.
52
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
5.1 DEFINIÇÃO
Sendo dados dois espaços vetoriais V e W, definimos uma transformação line-
ar de V e W, representada por T: V → W, como sendo uma aplicação T(v⃗) que asso-
cia a cada vetor v⃗ pertencente ao espaço V um único vetor w⃗ pertencente ao es-
paço W. Além disso uma transformação linear preserva as seguintes propriedades:
Adição: T (v⃗ + w⃗ ) = T (v⃗) + T (w⃗)
Multiplicação por um escalar: T (k ∙ v⃗ ) = k ∙ T(v⃗)
Exemplo: Consideremos os espaço vetoriais V = ℝ e W = ℝ . Vamos apresentar a
aplicaçãoT: V → W , tal que T(x; y) = (−x ; x + y, 0 e verificar que se trata de uma trans-
formação linear.
Verificação:
Considere dois vetores de ℝ , u⃗ = ( x ; y ) e v⃗ = ( x ; y ), vamos verificar
que T(u⃗ + v⃗) = T(u⃗) + T(v⃗) ⟹ observemos que u⃗ + v⃗ = ( x + x ; y + y )
Logo,
T(u⃗ + v⃗) = T ( x + x ; y + y )( −( x + x ); x + x + y + y ; 0 ) ( −x + ( −x ); x +y + x + y ; 0 + 0 ) = ( −x ; x + y ; 0 ) + ( −x ; x + y ; 0 ) = T(u⃗)+ T(v⃗)T(α ∙ u⃗) = (α ∙ x ; α ∙ y ) = ( −α. x ; α ∙ x + α ∙ y ; 0 ) = α ∙ ( −x ; x + y ; 0 ) = α ∙ T(u⃗ )
E assim então verificamos a aplicação como uma transformação linear.
Uma transformação linear sempre levará vetores de um espaço a vetores de um outro
espaço. Vetores de um certo espaço vetorial “gerando” vetores de um outro espaço.
UNIDADE
05
53
5.2 PROPRIEDADES DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Considerando T como uma transformação linear de V em W, sendo V e W dois
espaços vetoriais (T: V → W), podemos estabelecer as seguintes propriedades:
 T(0) = 0
 T(−v⃗) = −T( v⃗), para qualquer v⃗ ∈ V.
 T( u⃗ − v⃗) = T (u⃗) − T(v⃗)
Exemplo de aplicação das propriedades apresentadas e da definição de
transformação linear:
Considere a seguinte transformação linear: T: V → W onde V = ℝ e W = P e
que T (1; 1) = 2 – 3x + x e T (2; 3) = 1 – x , vamos então determinar T (− 2 ; 1).
Resolução:
Os vetores (1; 1) e (2; 3) são base para ℝ , logo, todos os outros vetores do ℝ
podem ser escritos como uma combinação linear deles.
α ∙ ( 1; 1 ) + β ∙ ( 2; 3 ) = ( −2 ; 1 ) e assim encontraremos α = −8 e β = 3 e assim:
−8 ∙ (1; 1) + 3 ∙ ( 2; 3 ) = (−2 ; 1)
T(−2; 1) = T( −8 ∙ (1; 1 ) + 3 ∙ (2; 3)
T −8. ( 1; 1 ) + T 3 ∙ ( 2; 3 ) = −8 ∙ T(1; 1 ) + 3 ∙ T( 2; 3 )
−8 ∙ ( 2 − 3x + x ) + 3 ∙ ( 1 − x )
T(−2; 1 ) = −11x + 24x − 13
Importante:
Em algumas situações temos alguns “valores” das aplicações de vetores es-
pecíficos em uma transformação linear, mas não temos a “equação”, a lei de for-
54
mação dessa transformação linear. Para realizar o encontro dessa lei teremos que
realizar alguns procedimentos e algumas operações com os vetores e valores apre-
sentados.
Primeiramente temos que verificar se os vetores os quais calculamos os valores
da transformação para eles são linearmente independentes (LI). Assim sendo, todos
os outros vetores desse conjunto podem ser escritos como combinação linear daque-
les dados.
Assim então podemos através dessa informação deduzir que se temos um ve-
tor genérico do ℝ , chamado de v, a lei da transformação linear T:ℝ → ℝ T(v), co-
nhecidas algumas imagens de alguns vetores v , v , … , v conhecidos será:
T(v) = a T(v ) + a T(v ) + a T(v ) +⋯+ a T(v )
Exemplo de aplicação:
Considere T, uma transformação linear tal que T:ℝ → ℝ e que T(−1; 1 ) =(3; 2; 1) e que T(0; 1) = ( 1; 1; 0 ). Vamos encontrar então a lei de formação da trans-
formação, ou seja T(v), sendo v um vetor genérico do ℝ , ou seja v = ( x; y ).
Resolução:
Considerando que os vetores ( −1; 1) e ( 0; 1) são linearmente independentes,
podemos então escrever que o vetor genérico v = ( x; y) pode ser excrito como uma
combinação linear dos mesmos, ou seja:
v = a(−1; 1 ) + b(0; 1 ) ⟹ (x; y) = a(−1; 1) + b(0; 1)
Desenvolvendo, podemos chegar à conclusão que = − e que = + e
portanto:T(v) = a ∙ T(−1; 1) + b ∙ T(0; 1) e assim teremos que :
T(v) = (−x) ∙ (3; 2; 1 ) + (x + y) ∙ (1; 1; 0)
Logo, a lei de formação da transformação linear será:
55
T(x; y) = ( −2x + y; = x + y; −x )
5.3 AUTOVALORES E AUTOVETORES
Definição: Considere um espaço vetorial V e uma transformação linear tal queT: V → V. Quando tivermos um vetor v⃗ pertencente ao espaço V, com v⃗ não sendo
o vetor nulo e de tal forma que T(v⃗) = λ ∙ v⃗, definiremos que λ é um autovalor da
transformação e v⃗ um autovetor que está associado a λ.
Exemplo: Sendo dada a transformação linear T:ℝ → ℝ com T(v⃗) = 2 ∙ v⃗, podemos
verificar que considerando v⃗ = ( x ; y ) teremos então T(v⃗) = (2x ; 2y ) = 2 ∙ v⃗ e assim,
2 é um autovalor de T e v⃗ é um autovetor associado a 2.
Propriedade importante: Se T: U → V e S: V → W são tranformações lineares, com U, Ve W
sendo espaços vetoriais, podemos então afirmar que T: U → W também é uma transfor-
mação linear.
Propriedade importante: Sendo dada uma transformação linear T: V → V e um autovetorv⃗ associado a um autovalor λ, podemos dizer que qualquer outro vetor w⃗ também per-
tencente ao espaço vetorial V e tal que w⃗ = α ∙ v⃗ , também será um autovetor da trans-
formação T associado ao autovalor λ.
Leia mais em:
 DANESI, M. M.; SILVA, A. R. R. D.; PEREIRA JR., S. A. A. Álgebra linear. Porto Alegre:
SAGAH, 2019. Dispónível em: https://bit.ly/2IsHsIN. Acesso em: 15 abr. 2020.
 FERNANDES, D. B. Álgebra Linear. São Paulo: Person, 2014. 146 p. Disponível em:
https://bit.ly/2GPIQVd. Acesso em: 15 abr. 2020.
56
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Lembrando-se que uma transformação linear é uma aplicação que leva elemen-tos de um espaço vetorial a outro espaço vetorial, considere a seguinte transfor-
mação linear:T:ℝ →: ℝ tal que T(x; y; z ) = ( 2x + y; y − z )
Considere as seguintes considerações a respeito de tal transformação linear:
I. Ao tomarmos o vetor w⃗ = (1; 0; 0) pertencente ao ℝ , a transformação linear
dada o aplicará a (2; 0), ou seja T( 1; 0; 0 ) = (2; 0).
II. O vetor v⃗, pertencente ao espaço vetorial ℝ tal que T(v⃗)=(3; 2) é da seguinte
forma: (x; 3 − 2x; 1 − 2x).
III. Podemos verificar, através da transformação linear dada que T(0; 0; 1) = (1; 1).
Fazendo a análise das afirmativas dadas, podemos concluir que:
a) Todas são falsas.
b) Todas são verdadeiras.
c) Somente I e III são veradeiras.
d) Somente I e III são falsas.
e) Somente II é falsa.
2. Determine a transformação linear T:ℝ → : ℝ , tal que T(1; 1) =( 2; 0; 2 ) e T(0; −2) = ( −2; 2; 0 ).
a) T( x + y; 4x; 2x)
b) T( x + y; x − y; 2x)
c) T( x + y; 4x; −x )
d) T( x − y; −2x; 2x)
e) T( 2x + y; −x; x)
3. As transformações lineares podem ser muito úteis em vários campos do conheci-
mento, inclusive na Física, envolvendo deslocamento de vetores no plano cartesi-
ano. Vamos tomar uma situação a respeito desse deslovcamento, veja:
57
O deslocamento de um vetor do ℝ segundo um ângulo α pode ser observado
graficamente da seguinte forma:
A transformação linear que realiza essa rotação é dada por T:ℝ → ℝ tal que a
sua lei de formação será: T(x; y ) = (x ∙ cosα − y ∙ senα; y ∙ cosα+ x ∙ senα). Baseando-se
nessa informação, ao rotacionarmos o vetor ( 1; 3) por um ângulo de 90º, encontr-
riamos quais componentes do vetor rotacionado?
a) (1; -3)
b) (2 ; 0)
c) (-3 ; 1)
d) (0 ; 3)
e) (-1; -3)
4. Considerando a transformação linear T:ℝ → ℝ tal que T(v) = −2 ∙ v, vamos fazer
as seguintes considerações a respeito da mesma:
I. A tranformação linear realiza apenas uma rotação de 180º com o vetor v.
II. A transformação linear realiza apenas uma duplicação do vetor v.
III. A transformação linear realiza uma rotação de 180º com a sua duplicação.
IV. A transformação linear realiza uma rotação de 270º com o vetor oposto ao
vetor v.
V. Tomando um vetor com componentes positivas, de uma maneira genérica,
podemos representar a aplicação da transformação da seguinte maneira:
58
Em relação as afirmativas apresentadas acima, podemos dizer que:
a) Apenas I e III estão corretas.
b) Todas estão corretas.
c) Todas estão incorretas.
d) Apenas V está correta.
e) Apenas III e V estão corretas.
5. Observando a transformação linear dada abaixo:T: M → M tal que T x yz w = x + y 00 z + w
Onde M representa o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 ( duas linhas
e duas colunas ).
Podemos dizer que T 32 − acarretará na seguinte matriz:
a)
0 −2
c)
02 e) 00 −
b)
00 d) 00
6. Consideremos uma transformação linear T:ℝ → ℝ de tal forma que T(1; 0 ) =( 1; 2; −1)
59
T(0; 1) = (3; 0; 4 )
Determine então o vetor resultante de T( 2; 5)
a) (1; 0; 0)
b) (15; 0; 12)
c) (17; 0; -2)
d) (9; -3; 7)
e) (17; 4; 18)
7. Uma transformação linear do tipo :ℝ → ℝ tem como característica tomar um
vetor do plano ℝ e transforma-lo, rotacionando, aumentando-o, diminuindo-o ou
fazendo simultameatente as informações anteriores além de também poder levá-
lo a um outro qualquer. De acordo com as informações apresentadas, verificamos
a importância de uma transformação linear em vários campos de estudo, como
por exemplo na Física, onde se pode aplicar esse estudo em movimentos de bra-
ços de forma linear. Observando o esquema gráfico a seguir, determine qual den-
tre as transformações apresentadas poderia representá-lo.
a) T( x; y ) = ( x; y ) c) T( x; y ) = ( -x; -y ) e) T(x; y ) = ( y; x )
b) T( x; y) = ( -x; y ) d) T( x; y ) = ( x; -y )
60
8. Considere a seguinte transformação linear:T:ℝ → P tal que que T(x; y) = − x + x Onde P representa o con-
junto de todos os polinômios de ordem 2.
Determine então o polinômio resultante de T(−7; 9 )
a) P(x) = 3 - 5x + 6x2
b) P(x) = 5 - 14x + 8x2
c) P(x) = -2 + 4x + 9x2
d) P(x) = 7 - 15x - 7x2
e) P(x) = 1 + 13x + 18x2
61
GEOMETRIA ANALÍTICA
6.1 PLANO CARTESIANO E PONTOS
Iremos apresentar alguns elementos geométricos através de suas equações,
equaçãos e estruturas algébricas. Começaremos pela origem de toda a geometria:
o ponto.
6.1.1 Ponto no plano cartesiano
No plano cartesiano o ponto é representado por um par ordenado. Essa é a
forma analítica de apresentarmos um ponto no ℝ . De uma maneira geral temos:
Figura 9: Ponto P no plano cartesiano
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020)
Estamos definindo a ideia de ponto no plano cartesiano ℝ eassim é que iremos traba-
lhar durante todo o capítulo, motivo pelo qual o ponto é apresentado por um par or-
dendo. No espaço, o ponto será representado algebricamente por um terno, ou terna
ordenada.
UNIDADE
06
62
Em relação ao plano cartesiano, vale apresentar as suas posições em relação
aos quadrantes:
Devemos ainda apresentar as seguintes características de pontos que estão
em cada um dos quadrantes:
Figura 10: Quadrantes
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020)
Cálculo da distância entre dois pontos: Dados dois pontos A = ( x ; y ) e B =(x ; y ), podemos encontrar uma expressão matemática que nos permita determinar
O ponto, representado por um par ordenado, tem suas características que devem ser
observadas:
Primeiro quadrante: x > 0 e y > 0
Segundo quadrante: x < 0 e y > 0
Terceiro quadrante: x < 0 e y < 0
Quarto quadrante: x > 0 e y < 0
Primeiro quadrante: x > 0 e y > 0
Segundo quadrante: x < 0 e y > 0
Terceiro quadrante: x < 0 e y < 0
Quarto quadrante: x > 0 e y < 0
63
a distância entre A e B.
Usaremos o teorema de Pitágoras no triângulo apresentado a seguir:
d = (x − x ) + (y − y ) = (x − x ) + (y − y )
Exemplo: Sendo dados os pontos A (x; 3), B (−1; 4) e C (5; 2), obtenha o valor de x de
modo que o ponto A seja equidistante de B e C.
Resolução:d = d (x − 1) + (3 − 4) = (x − 5) + (3 − 2)
x − 2x + 1 + (−1) = x − 10x + 25 + 1
Pontos equidistantes são aqueles que estão a uma mesma distância. O prefixo e que nos
diz respeito à igualdade.
Teorema de Pitágoras aplicado
ao triângulo retângulo obtido no
plano cartesiano
64
x − 2x + 2 = x − 10x + 26
Elevando os dois membros ao quadrado, teremos:
x − 2x + 2 = x − 10x + 26
E assim, simplificando, teremos:
8x = 24 ⇒ x = 3
 Coordenadas do ponto médio de um segmento:
Considere um segmento com extremidades nos pontos de coordenadas A =(x ; y ) e B = (x ; y ). Vamos encontrar então, as coordenadas do ponto M =(x ; y ), que é o ponto médio de tal segmento (ponto que divide o segmento em
duas partes iguais).
Figura 11: Esquematização do ponto médio M do segmento de reta AB
Fonte: Saber Matemática (2017, online)
Usando semelhança de triângulos, podemos determinar a equação para o
encontro das coordenadas de M, em função das coordenadas de A e de B.x = e y =
65
Exemplo: Determine o tamanho da mediana relativa ao vértice A de um triângulo
que tem todos os seus vértices com as seguintes coordenadas:A (2; − 6), B ( −3; 2) e C (3; 4)
Resolução:
Primeiramente, iremos encontrar o ponto médio, M, do lado BC, que é o lado
m oposto a o vértice A.x = = 0 e y = = 3
M (0;3)
A seguir, iremos determinar a distância de M ao ponto A.d = 2 + (−9) = √85 , que é o tamanho da mediana.
 Condição de alinhamento de três pontos no plano
Quaisquer pares de pontos no plano sempre estão alinhados, porém quando
nos deparamos com um trio de pontos no plano, verificamos que eles não estarão
necessariamente alinhados.
Se um trio de pontos corresponder a três pontos não alinhados, podemos afir-
mar que eles serão vértices de um triângulo no plano.
Mediana de um triângulo: É uma das cevianas que parte de um vértice até o ponto mé-
dio do lado oposto a esse vértice.
Ceviana: É um segmento que “liga” um vértice de um triângulo a um lado oposto a esse
vértice.
Ao observarmos três pontos não alinhados no espaço, estaremosobservando então a
formação de um plano.
66
A condição para observarmos três pontos alinhados no plano:
Sendo A = (x ; y ), B = (x ; y ) e C = (x ; y ) afirmamos que eles são colinea-
res ou que estão alinhados se a igualdade for estabelecida:
(x − x ) ∙ ( y − y ) = ( x − x ) ∙ ( y − y )
Uma outra forma de apresentarmos a condição de alinhamento de três pon-
tos, é igualando a zero a expressão dada acima:
(x − x ) ∙ ( y − y ) − ( x − x ) ∙ ( y − y ) = 0
E assim, desenvolvendo e simplificando teremos:
x ∙ (y − y ) − y ∙ ( x − x ) + ( x ∙ y − x ∙ y ) = 0
O que equivale a igualdade:
x y 1x y 1x y 1 = 0
Exemplo: Determine o valor da variável x de modo que os pontosA (x; −2 ), B ( 2; 5) e C ( −3; 1) sejam colineares.
Resolução:
Verificando a condição de alinhamento de três pontos, teremos:
−2 12 5 1−3 1 1 = 0
Usando a regra de Sarrus, teremos:
(5x + 6 + 2) – (−15 + x − 4) = 04x + 27 = 0
67
x = −
6.2 NOÇÕES DA RETA NO PLANO
Uma reta é formada por um conjunto de infinitos pontos alinhados. De acordo
com a definição formal de uma reta, como foi apresentada acima, podemos então
obter a equação geral de uma reta, usando também a condição de alinhamento.
Se uma reta é formada por infinitos pontos, tomemos um desses pontos como
sendo um genérico o qual chamaremos de P( x ; y ). Todos os pontos três a três esta-
rão alinhados, portanto se conhecermos dois específicos, poderemos construir uma
expressão geral para a reta.
Portanto, conhecendo os pontos A = ( x ; y ) e B = ( x ; y ) pertencentes a
uma reta r, vamos considerar um ponto genérico P = ( x; y ) e assim constrir a equa-
ção geral de r, usando o fato de que os três pontos estão alinhados, logo:
x y 1x y 1x y 1 = 0
Desenvolvendo segundo Sarrus, teremos:
(y − y ) ∙ x + (x − x ) ∙ y + x ∙ y − x ∙ y = 0
Chamando (y − y ) de a, (x − x ) de b e x ∙ y − x ∙ y de c teremos a
equação geral da reta assim apresentada:
ax + by + c = 0
Exemplo importante: Vamos obter a equação geral de uma reta r a qual passa pelos
pontos A ( −1 ; 2 ) e B ( 3; −1 ).
Resolução:
Organizando o determinante teremos:−1 2 13 −1 11 = 0
68
Desenvolvendo o determinante pela regra de Sarrus, vamos ter:
(1 + 2x + 3y) – (−x − y + 6 ) = 02x + 3y + 1 + x + y − 6 = 03x + 4y − 5 = 0 ⇒ EQUAÇÃO GERAL DA RETA QUE PASSA PELOS PONTOS A E B.
Temos alguns casos especiais de algumas retas no plano:
Reta paralela ao eixo x.
Uma reta r: x + y + = 0 paralela ao eixo x, terá seu coeficiente a neces-
sariamente igual a zero ( = 0).
Exemplo: y + 2 = 0 ou isolando a variável y, teremos y = −2.
Verificamos na representação gráfica que a reta y = -2 não toca o eixo x e as-
sim sendo será paralela ao mesmo, o que indica que para qualquer valor de x, y será
sempre igual a -2.
Reta paralela ao eixo y.
Uma reta s: x + y + = 0 paralela ao eixo y, terá seu coeficiente b neces-
sariamente igual a zero ( = 0).
69
Exemplo: x – 3 = 0 ou isolando a variável x, teremos x = 3.
Observando a representação gráfica da reta x = 3, verificamos que não existe
intersecção com o eixo y e assim paralela ao mesmo. Para = 3, y pode assumir
qualquer valor real.
 Bissetriz dos quadrantes ímpares e bissetriz dos quadrantes pares
Toda reta da forma x − y = 0 é denominada bissetriz dos quandrantes ímpa-
res (x = y) e toda reta da forma x + y = 0 é denominada bissetriz dos quadrantes
pares (x = −y). Veja a representação no plano cartesiano da figura abaixo:
70
6.3 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Sendo dada uma reta r de equação geral ax + by + c = 0 , e um pontoP ( ; ) do plano cartesiano. A menor distância entre P e r é dado por ():
= ∙ + ∙ ++ (10)
Exemplo: Considere a reta r de equação geral 3x + 4y – 1 = 0 e o ponto A de coor-
denadas (-1; 3). Vamos então encontrar a menor distância entre A e a reta r.
Resolução:
= ∙ (− ) + ∙ + (− )+ = − + − = =
Portanto, a menor distância será unidades de comprimento.
71
6.4 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
Definição: Considere um ponto O ( ; ) do plano. Definimos como circunfe-
rência ao conjunto dos infinitos pontos P, também do plano que estão a uma distân-
cia constante r de O.
Em termos de estrutura algébrica temos:
Considerando P (x; y) um ponto genérico que vale por todos os pontos da cir-
cunferência.
=
Usando a equação de distância entre dois pontos, vamos verificar que:
= ( − ) + ( − ) =
Elevando os dois membros ao quadrado, teremos a equação reduzida de
uma circunferência:
(x − x ) + (y − y ) = r (11)
Podemos escrever essa equação na forma geral, o que seria obtido, após o
desenvolvimento dos produtos notáveis que estão aparecendo na forma reduzida.
x − 2x x + x + y − 2y y + y = r
Isolando o primeiro membro, vamos obter:
x − 2x x + x + y − 2y y + y − r = 0
Centro no ponto
O(x ; y ) e raio
medindo r unidades
de comprimento.
72
Organizando a igualdade e chamando 2x de A , −2y de B e x + y = − r
de C , teremos a equação geral da circunferência descrita assim:
x + Ax + y + By + C = 0
Organizando melhor:
x + y + Ax + By + C = 0
Lembrando sempre que:
A = −2x ; B = −2y e C = x + y = − r
Exemplo: Considere uma circunferência com equação geral x + y − 6x + 10y − 30 =0. Determine então:
a) As coordenadas do centro O;
b) A medida do raio r.
Resolução:
a) −2x0 = −6x0 = 3−2y0 = 10y0 = −5
Portanto as coordenadas do centro são O (3; −5 )
b) x + y − r = −309 + 25 − r = −3034 − r = −30r = 30 + 34r = 64r = 8
Vale lembrar que a solução algébrica da equação apresentada acima seria
composta por dois valores r = 2 ou r = −2, porém desconsideramos o valor negati-
73
vo por se tratar de uma medida de raio e que não pode ser considerada como ne-
gativa (medida de comprimento).
6.5 ESTUDO DAS CÔNICAS – ELIPSE
Definição: Considerando dois pontos distintos do plano F e F e 2c a distância
entre eles (d = 2c). Definiremos como elipse ao conjunto dos infinitos pontos
do plano cuja soma das distâncias a F e F é igual a uma constante 2a ( com 2a >2c ).
Portanto:
A elipse = P ∈ plano/d + d = 2a
Apresentamos a seguir, os principais elementos de uma elipse. Tomemos como
referência, inicialmente, uma elipse com centro na origem e eixo sobre o eixo das
abscissas.
 F e F são os focos da elipse;
 C é o centro da elipse;
 A A eixo maior da elipse;
 B B eixo menor da elipse;
 2c é a distância focal da elipse;
 2a é a medida do eixo maior;
 2b é a medida do eixo menor.
Relação notável em uma elipse: = +
Vamos agora comprovar que o eixo maior A A mede 2a:
A F + A F = A F + A F
A A = A F + F F + A F
Como A F = A F , teremos:
A A = A F + A F
74
Que obedece à definição da elipse e portanto igual a 2a.
 Equação reduzida de uma elipse
Considere um ponto P, qualquer do plano que tenha coordenadas P(x; y). Se
esse ponto pertence à elipse então podemos afirmar que:
d + d = 2a
E assim, usando a equação de distância e alguns “algebrismos”, chegaremos
à equação de uma elipse com centro na origem.
xa + yb = 1
Onde a está relacionado ao eixo maior e b ao eixo menor.
Exemplo: Vamos verificar a representação no plano cartesiano da seguinte elipse:9x + 25y = 225.
Vamos, inicialmente, reescrever a elipse na sua forma reduzida:
Dividindo ambos os membros por 225, teremos:
9x225 + 25y225 = 1
Simplificando: x25 + y9 = 1
E então, graficamente:
75
6.6 ESTUDO DAS CÔNICAS – HIPÉRBOLE
Definição: Dados dois pontos distintos F1 e F2, pertencentes a um plano, seja 2c
a distância entre eles. Chamamos de hipérbole ao conjunto de pontos do plano cuja
diferença (em módulo) das distâncias a F1 e F2 é constante e igual a 2a ( sendo res-
peitada a seguinte desigualdade 0 < 2a < 2c).
Em resumo, uma hipérbole será assim apresentada:
Hipérbole = P ∈ − d = 2a
Apresentamos a seguir, os elementos de uma hipérbole
 F e F são os focos da hipérbole.
 C é o centro da hipérbole.
 A A eixo real da hipérbole.
 B B eixo imaginário.
 2c é a distância focal da hipérbole.
 2a é a medida do eixo real.
 2b é a medida do eixo imaginário.
Relação notável da hipérbole: = +
Equação reduzida de uma hipérbole (12):
76
− = 2a (12)
Aplicando a definição da distânciaentre pontos e alguns “algebrismos”, va-
mos encontrar a equação reduzida da hipérbole com centro C na origem do siste-
ma de coordenadas cartesianas.
xa − yb = 1
Onde o termo positivo está associado ao eixo real e o termo negativo ao eixo
imaginário
Exemplo: Vamos verificar então a representação no plano cartesiano de uma hipér-
bole com centro na origem e eixo real sobre o eixo x − = 1
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Exemplo 1: A elipse apresentada a seguir, tem centro no ponto O (2; −1 ), eixo maior
vertical com tamanho igual a 10 unidades de comprimento e eixo menor horizontal
com 8 unidades de comprimento.
( − 2)16 + ( + 1)25 = 1
Podemos representar essa elipse de uma outra maneira, denominada forma
geral. Para isso iremos simplesmente desenvolver os quadrados da equação reduzida
e assim simplificar e agrupar termos semelhantes quando necessário.
x − 4x + 416 + y + 2y + 125 = 1
25x − 100x + 100 + 16y + 32y + 16400 = 1
25x + 16y − 100x + 32y + 116400 = 1
25x + 16y − 100x + 32y − 284 = 0
Graficamente:
Observaremos que uma elipse e uma hipérbole podem ser apresentadas com centro
“fora” da origem. As equações reduzidas serão diferentes daquelas com o centro na
origem.
Elipse com centro no ponto O( x ; y )(x − x )a + (y − y )b = 1
Hipérbole com centro no ponto O( x ; y )(x − x )a − (y − y )b = 1
78
Exemplo 2: Apresentaremos a seguir uma hipérbole com centro “fora” da origem e
logo em seguida iremos obter a sua equação na forma reduzida e também na forma
geral, além de apresentá-la graficamente no plano cartesiano.
( − 2)9 − ( + 1)4 = 1
Equação reduzida da hipérbole com centro no ponto (−1; 2) e eixo real y e ei-
xo imaginário x. Desenvolvendo os quadrados e realizando algumas operações
esimplificações, vamos então obter a equação geral.
− 4 + 49 − + 2 + 14 = 14 − 16 + 16 − 9 − 18 + 936 = 14 − 16 + 16 − 9 − 18 + 9 = 36
4 − 9 − 18 − 16 + 25 = 36
4 − 9 − 18 − 16 − 11 = 0
79
6.7 ESTUDO DAS CÔNICAS – PARÁBOLA
Definição: sendo dado um ponto F do plano cartesiano, uma reta d do pla-
no, com F ∉ d e seja também d a distância entre a reta d e o ponto F. Definimos
como uma parábola, o conjunto de pontos do plano cartesiano que estão à mesma
distância de F e d, ou seja:
Parábola = {P ∈ plano cartesiano/ d = d }
Apresentamos então, os principais elementos de uma parábola.
 F é o foco da parábola;
 d é a reta diretriz da parábola;
 p é o parâmetro;
 V é o vértice da parábola;
 A reta que passa pelos pontos;
 F e V é o eixo de simetria.
Relação notável em uma parábola: =
80
Inicialmente apresentaremos uma parábola com eixo de simetria localizado
sobre um dos eixos coordenados, vértice na origem e diretriz paralela a outro eixo,
posteriormente poderemos observar e apresentar parábolas com eixos de simetria
“fora” dos eixos, vértice “fora” da origem, porém com diretriz ainda paralela a um
dos eixos.
Equação reduzida de uma parábola com eixo de simetria localizado exata-
mente sobre o eixo das abscissas.
Considere um ponto F ; 0 e uma reta d com equação geral x + = 0.
Sendo um ponto P(x; y) qualquer na parábola, podemos, pela definição es-
crever que: d = d
Usando a definição de distância entre pontos, a distância entre ponto e reta e
alguns “algebrismos” podemos chegar na equação da parábola da seguinte manei-
ra:
y = 2px
Exemplo: Uma parábola com equação y = 4x tem parâmetro p = 2 e vérti-
ce na origem do plano cartesiano. Veja a sua representação no plano cartesiano:
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 Parábolas com vértice “fora” da origem
Consideremos então uma parábola com vértice em um ponto qualquer, dife-
rente da origem do sistema de coordenadas cartesianas, ou seja, V ( x ; y ) com x ey não nulos. Vamos agora considerar uma parábola com diretriz horizontal, do tipoy = k , com k sendo um número real.
A equação reduzida dessa parábola seria então do tipo ():
(y − y ) = 2p ∙ (x − x ) (13)
Exemplo de uma parábola com vértice “fora” da origem.
Figura 12: Parábola “fora” da origem
Fonte: Elaborado pelao Autor (2020)
Considere a parábola apresentada no plano cartesiano a seguir:
Uma parábola pode ter eixo de simetria vertical, horizontal ou eixo oblíquo (não sendo
assim nem horizontal e nem vertical). Para trabalhar com uma parábola com eixo oblí-
quo, necessitaríamos de uma mudança de eixos, a qual não trabalharemos nesse mate-
rial.
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Vamos observar que p = 4 e consequentemente = 2. Portanto as coordena-
das do vértice serão (7; 5 ) e assim a equação reduzida da parábola será:
(x − 7) = 8 ∙ (y − 5 )
Podemos também, escrever uma parábola na forma geral, basta desenvolver
os quadrados na igualdade.
x − 14x + 49 = 8y − 40x − 14x + 49 + 40 = 8y18 x − 74 x + 498 + 5 = y
Ou da forma mais usual:
y = x8 − 7x4 + 498 + 5
Que assimilado ao estudo de função, fazemos a verificação de uma função
quadrática.
6.8 PLANOS NO ESPAÇO E QUÁDRICAS NO ℝ
Vamos inicialmente apresentar a definição de um plano. Definição: No espa-
ço ℝ , o plano é um conjunto de pontos que satisfaz a seguinte estrutura algébrica
(14):
Ax + By + Cz + D = 0 (14)
Nem toda a parábola pode ser a representação gráfica de uma função. Somente aque-
las em que a diretriz é paralela ao eixo das abscissas é que podem ser a representação
de uma função quadrática.
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A equação (14) é denominada equação geral de um plano.
Exemplo: A equação 2x – 3y + z – 3 = 0 é a equação de um plano no ℝ .
Veja abaixo, a representação de um plano no espaço:
O plano apresentado tem equação com as seguintes características:
−6,6x + 6y − 4,4z + 13,2 = 0 (equação geral do plano).
Definição: Considerando o espaço ℝ , vamos definir como uma quádrica, ao
conjunto de pontos que satisfazem a seguinte equação:
Ax + By + Cx + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0
Com A, B, C, D, E e F não nulos.
Apresentaremos a seguir, alguns exemplos de quádricas com sus respectivas
estruturas algébricas:
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 Elipsóde
Um elipsóde com centro na origem pode apresentar a seguinte estrutura al-
gébrica (15):
xa + yb + zc = 1 (15)
Graficamente, podemos apresentar um elipsoide da seguinte maneira:
 Hiperbolóide de uma folha
Um hiperbolóide de uma folha com centro na origem apresenta a seguinte es-
trutura algébrica (16):
xa + yb − zc = 1 (16)
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 Hiperbolóide de duas folhas
A equação reduzida (representação algébrica) de um hiperbolóide de duas
folhas é a seguinte (17):
− xa + yb − zc = 1 (17)
Livros importantes para enriquecimento:
 BORIN JR, A. M. S. Geometria Analítica. São Paulo: Person, 2014. Disponível em:
https://bit.ly/36oM377. Acesso em: 18 abr. 2020
 FERNANDES, L. F. D. Geometria Analítica. Curitiba: InterSaberes, 2016. Disponível em:
https://bit.ly/38y2Ua8. Acesso em: 18 abr. 2020
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FIXANDO O CONTEÚDO
1. A observarmos uma parábola que representa um determinado fenômeno físico,
verificamos que sua equação geral é representada da seguinte maneira:
2x + 4x + 3y − 4 = 0
Podemos então afirmar que as coordenadas do vértice, as quais indicam o ponto
máximo desse fenômeno serão:
a) (0; 3)
b) (0; 0)
c) (-1; 2)
d) (3; 0 )
e) (2 ; -1)
2. O estudo da geometria analítica possibilita a análise de estruturas geometricas
através de equações e normas algébricas, não excluindo totalmente a visualiza-
ção de tais estruturas geométricas pela sua forma. Com base nessas informações
e observando a figura abaixo, julgue as afirmativas a seguir em verdadeiras ou fal-
sas.
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I. A circunferência apresentada tem centro no ponto C (2; 1).
II. A equação geral da circunfência é dada por x + y + 2x + y – 3 = 0.
III. A distância do centro da circunferência apresentada até a origem do sistema
de coordenadas cartesianas é igual a √ .
IV. Ao traçarmos uma reta que passa pelo centro da circunferência e pelo ponto
A (-1; 3), a sua equação geral será dada por 2x + 3y − 7 = 0.
Em relação às afirmativas apresentadas acima, podemos dizer que:
a) Todas são incorretas.
b) Todas estão corretas.
c) Somente I e IV estão incorretas.
d) Somente as afirmativas I, III e IV estão corretas.
e) Somente IV está correta.
3. Sendo dada uma reta r do