Questão resolvida - 6 Questão_ Use integração por parte para resolver as seguintes integrais_ Letras e) e f) - Cálculo II - UFBA

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Use integração por parte para resolver as seguintes integrais:
 
e) xln x dx
2
1
∫ ( )
 
Resolução:
 
Vamos aplicar integral por partes, a definição de integral por partes é;
 
udv = uv - vdu∫ ∫
Primeiro, vamos resolver a integral em sua forma indefinida. Temos que:
 
udv = xln x dx = ln x xdx∫ ∫ ( ) ∫ ( )
 
 assim, temos que;
 
u = ln x du = dx( ) →
1
x
 
dv = xdx v = xdx v =→ ∫ → x
2
2
Com isso, a integral na forma indefinida fica;
 
xln x dx = ln x - dx = ln x - xdx = ln x - = ln x - + c∫ ( ) ( )x
2
2
∫x
2
2 1
x
( )
x
2
2 1
2
∫ ( )x
2
2 1
2
x
2
2
( )
x
2
2 x
2
2
 
Agora, vamos, usando o resultado, substituimos os limites de integração e resolvemos;
 
xln x dx = ln x - = ln 2 - - ln 1 -
2
1
∫ ( ) ( )x
2
2
x
4
2 2
1
( )
2
2
( )2 2
4
( )2
( )
1
2
( )2 1
4
( )2
 
xln x dx = ln 2 - - 0 ⋅ - = 2ln 2 - 1 + = ln 2 +
2
1
∫ ( ) ( )4
2
4
4
1
2
1
4
( )
1
4
( )2
-4 + 1
4
 
 
 
xln x dx = ln 4 -
2
1
∫ ( ) ( ) 3
4
 
 
f) xsec² x dx
0
∫
𝜋
4
( )
 
Resolução:
 
Sabemos que a definição de integral por partes é;
 
udv = uv - vdu∫ ∫
 
Primeiro, vamos resolver a integral em sua forma indefinida. 
 
Empregando a integral por substituição, fica;
 
udv = xsec² x dx∫ ∫ ( )
 
u = x du = dx→
 
dv = sec² x dx v = sec² x dx v = tan x( ) → ∫ ( ) → ( )
Assim, temos que;
 
xsec² x dx = xtan x - tan x dx = xtan x - dx∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫sen x
cos x
( )
( )
Resolvendo a integral que apareceu, fica;
 
dx = sen x dx; u = cos x du = -sen x dx -du = sen x dx∫sen x
cos x
( )
( )
∫ 1
cos x( )
( ) ( ) → ( ) → ( )
Substituindo;
 
dx = - du = - ln u = - ln cos x∫sen x
cos x
( )
( )
∫1
u
( ) ( ( ))
 
Com isso, o resultado da integral indefinida é;
 
 
(Resposta )
 
xsec² x dx = xtan x - -ln cos x + c = xtan x + ln cos x + c∫ ( ) ( ) ( ( ( ))) ( ) ( ( )
 
Voltando para a integral definida, fica;
 
xsec² x dx = xtan x + ln cos x = tan + ln cos - 0 ⋅ tan 0 + ln cos 0
0
∫
𝜋
4
( ) ( ( ) ( ( ))
0
𝜋
4 𝜋
4
𝜋
4
𝜋
4
[ ( ) ( ( ))]
 
xsec² x dx = ⋅ 1 + ln = + ln
0
∫
𝜋
4
( )
𝜋
4 2
2 𝜋
4 2
2
 
 
(Resposta )