Questão resolvida - 6 Questão - Use integração por partes para resolver as seguintes integrais - Letras g) e h) - Cálculo II - UFBA

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Use integração por partes para resolver as seguintes integrais:
 
g) x ln x dx
2
1
∫ 3 ( )
 
Resolução:
 
Vamos aplicar integral por partes, a definição de integral por partes é;
 
udv = uv - vdu∫ ∫
 
Primeiro, vamos resolver a integral em sua forma indefinida. Temos que:
 
udv = x ln x dx = ln x x dx∫ ∫ 3 ( ) ∫ ( ) 3
 
 assim, temos que;
 
u = ln x du = dx( ) →
1
x
 
dv = x dx v = xdx v =3 → ∫ → x
4
4
Com isso, a integral na forma indefinida fica;
 
x ln x dx = ln x - dx = ln x - x dx = ln x - = ln x - + c∫ 3 ( ) ( )x
4
4
∫x
4
4 1
x
( )
x
4
2 1
4
∫ 3 ( )x
4
2 1
4
x
4
4
( )
x
4
2 x
16
4
 
Agora, vamos, usando o resultado, substituir os limites de integração e resolver;
 
xln x dx = ln x - = ln 2 - - ln 1 -
2
1
∫ ( ) ( )x
4
4 x
16
4 2
1
( )
2
4
( )4 2
16
( )4
( )
1
4
( )4 1
16
( )4
 
xln x dx = ln 2 - - 0 ⋅ - = 4ln 2 - 1 + = ln 2 +
2
1
∫ ( ) ( )16
4
16
16
1
4
1
16
( )
1
16
( )4
-16 + 1
16
 
 
 
xln x dx = ln 16 -
2
1
∫ ( ) ( ) 15
16
 
 
h) 12xcos 2x dx
0
∫
𝜋
4
( )
 
Resolução:
 
Sabemos que a definição de integral por partes é;
 
udv = uv - vdu∫ ∫
 
Primeiro, vamos resolver a integral em sua forma indefinida. 
 
Empregando a integral por partes, fica;
 
udv = 12xcosx 2x dx = 12 xcos 2x dx∫ ∫ ( ) ∫ ( )
 
u = x du = dx→
 
dv = cos 2x dx v = cos 2x dx; u = 2x du = 2dx = dx( ) → ∫ ( ) → → du
2
v = cos 2x dx v = cos u v = sen 2x ∫ ( ) → ∫ ( )du
2
→
1
2
( )
 
Assim, temos que;
 
12xcosx 2x dx = 12x sen 2x - 12 sen 2x dx = 6xsen 2x - 6 sen 2x dx∫ ( ) 1
2
( ) ∫1
2
( ) ( ) ∫ ( )
 
Resolvendo a integral que apareceu separadamente, fica;
 
sen 2x dx; t = 2x dt = 2dx = dx∫ ( ) → → dt
2
 
 
 
(Resposta )
sen t = - cos t = - cos 2x∫ ( )dt
2
1
2
( )
1
2
( )
 
Com isso;
12xcosx 2x dx = 6xsen 2x - 6 - cos 2x = 6xsen 2x + 3cos 2x + c∫ ( ) ( ) 1
2
( ) ( ) ( )
 
Voltando para a integral definida, fica;
 
12xcos 2x dx = 6xsen 2x + 3cos 2x = 6 sen 2 + 3cos 2 - 0 ⋅ sen 0 + 3cos 0
0
∫
𝜋
4
( ) ( ( ) ( ))
0
𝜋
4 𝜋
4
𝜋
4
𝜋
4
[ ( ) ( )]
 
12xcos 2x dx = sen + 3cos - 3 ⋅ 1 = + 3 ⋅ 0 - 3 = - 3
0
∫
𝜋
4
( )
3𝜋
2
𝜋
2
𝜋
2
3𝜋
2
3𝜋
2
 
12xcos 2x dx = 3 - 1
0
∫
𝜋
4
( )
𝜋
2
 
 
(Resposta )