Análise Combinatória

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Prof. Rivelino – Matemática Básica 
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ANÁLISE COMBINATÓRIA I 
 INTRODUÇÃO 
Nosso curso de Análise Combinatória 
tratará de problemas que envolvam a contagem de 
certos tipos de subconjuntos de um conjunto finito, 
sem que seja necessário enumerar seus 
elementos: são os arranjos, as permutações e as 
combinações. 
 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
O princípio fundamental da contagem 
diz que se há x modos de tomar uma decisão 1D e, 
tomada a decisão 1D , há y modos de tomar a 
decisão 2D , então o número de modos de tomar 
sucessivamente as decisões 1 2D e D é x.y. 
 EXEMPLOS 
1. Com 5 homens e 4 mulheres, de quantos 
modos se pode formar um casal? 
1D : escolha do homem – 5 possibilidades 
2D : escolha da mulher – 4 possibilidades 
Há 5 x 4 = 20 modos de formar um casal 
2. Uma bandeira é formada por 4 listras que 
devem ser coloridas usando apenas as cores 
verde, azul e branca. Se cada listra deve ter 
apenas uma cor e não se pode usar cores 
iguais em listras adjacentes, de quantos 
modos se pode colorir a bandeira? 
1D : escolher a cor da 1ª listra – 3 modos 
2D : escolher a cor da 2ª listra – 2 modos 
3D : escolher a cor da 3ª listra – 2 modos 
4D : escolher a cor da 4ª listra – 2 modos 
Há 33 2 = 24× modos de colorir a bandeira. 
 
3. Quantos são os números de três dígitos 
distintos? 
1D : escolher o dígito das centenas – 9 modos 
2D : escolher o dígito das dezenas – 9 modos 
3D : escolher o dígito das unidades – 8 modos 
Há 9 x 9 x 8 = 648 números de três dígitos 
distintos. 
 ESTRATÉGIA A SER UTILIZADA 
a) Devemos sempre nos colocar no papel da 
pessoa que deve fazer a ação solicitada pelo 
problema e ver que decisões vamos tomar; 
b) Devemos, sempre que possível, dividir as 
decisões a serem tomadas em decisões mais 
simples. 
c) Se uma das decisões a serem tomadas for 
mais restrita que as demais, essa é a decisão 
que deve ser tomada em primeiro lugar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 EXERCÍCIOS 
1) Oito caminhos conduzem ao cume de uma 
montanha. Quantos modos uma pessoa 
dispõe para subir e descer usando caminhos 
diferentes? 
a) 15 
b) 16 
c) 56 
d) 64 
 
2) Oito cavalos disputam uma corrida. Quantas 
são as possibilidades de chegada para os três 
primeiros lugares? 
a) 28 
b) 56 
c) 336 
d) 512 
 
3) Quantos números de quatro algarismos 
distintos podem ser formados usando-se os 
algarismos 3, 4, 5, 7, 8 e 9? 
a) 15 
b) 30 
c) 180 
d) 360 
 
4) Em uma prova de atletismo, há 10 
competidores. De quantos modos distintos 
podem ser conquistadas as medalhas de ouro, 
prata e bronze? 
a) 90 
b) 180 
c) 360 
d) 720 
 
5) As atuais placas de licenciamento de 
automóveis constam de sete símbolos, sendo 
três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguidas 
de quatro algarismos. Quantas são as placas 
distintas formadas? 
a) 175.760.000 
b) 158.184.000 
c) 121.670.000 
d) 88.583.040 
 
6) Quantos inteiros há entre 1000 e 9999 cujos 
algarismos são distintos? 
a) 5040 c) 2.520 
b) 4536 d) 2.268 
7) (ESAF) A quantidade de números ímpares 
entre 100 e 999, com todos os algarismos 
distintos é: 
a) 320 
b) 360 
c) 405 
d) 450 
e) 500 
 
8) (ESAF) Uma placa de automóvel é composta 
por três letras e quatro algarismos, nessa 
ordem. O número de placas que podem ser 
formadas com as letras K, Q ou L e cujos dois 
últimos algarismos são 2 e 6, nessa ordem, é: 
a) 540 
b) 600 
c) 2430 
d) 2700 
e) 3000 
 
9) Quantos números múltiplos de 5 existem entre 
100 e 1000, de modo que o algarismo das 
centenas seja múltiplo de quatro e o das 
dezenas seja um número par? 
a) 5 
b) 10 
c) 15 
d) 20 
e) 25 
 
10) (ESAF) Ana possui em seu closed 90 pares de 
sapatos, todos devidamente acondicionados 
em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede 
emprestado à Ana quatro pares de sapatos. 
Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do 
closed quatro caixas de sapatos. O número de 
retiradas possíveis que Ana pode realizar de 
modo que a terceira caixa retirada seja a de 
número 20 é igual a: 
a) 681.384 
b) 382.426 
c) 43.262 
d) 7.488 
e) 2.120 
 
11) (VUNESP) Há 4 caminhos para se ir de X a Y, 
e 6 caminhos para se ir de Y a Z. O número de 
caminhos de X a Z que passam por Y é: 
a) 10 c) 18 e) 32 
b) 12 d) 24 
 
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12) (ESAF) Em uma cidade, os números dos 
telefones têm 7 algarismos e não podem 
começar por zero. Os três primeiros números 
constituem o prefixo. Sabendo-se que, em 
todas as farmácias, os quatro últimos dígitos 
são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos, 
então o número de telefones que podem ser 
instalados nas farmácias é igual a: 
a) 540 
b) 720 
c) 684 
d) 648 
e) 842 
 
13) (ESAF) A senha para um programa de 
computador consiste em uma sequência 
LLNNN, onde “L” representa uma letra 
qualquer do alfabeto normal de 26 letras e “N” 
é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como 
algarismos podem ou não ser repetidos, mas é 
essencial que as letras sejam introduzidas em 
primeiro lugar, antes dos algarismos. Sabendo 
que o programa não faz distinção entre letras 
maiúsculas e minúsculas, o número total de 
diferentes senhas possíveis é dado por: 
a) 26 102 . 3 
b) 2 326 . 10 
c) 26 102 . 2 
d) 26! . 10! 
e) 26,2 10,3C . C 
 
14) (ESAF) Para ter acesso a um arquivo, um 
operador de computador precisa digitar uma 
sequência de 5 símbolos distintos, formados 
de duas letras e três algarismos. Ele se lembra 
dos símbolos, mas não da seqüência em que 
aparecem. O maior número de tentativas 
diferentes que o operador pode fazer para 
acessar o arquivo é: 
a) 115 
b) 120 
c) 150 
d) 200 
e) 249 
 
 
 
 
 
15) (CESPE) Uma prova de Matemática é formada 
por 15 questões de múltipla escolha, com 
cinco alternativas por questão. De quantos 
modos diferentes um candidato pode 
responder às questões desta prova? 
a) 20 
b) 75 
c) 15,5C 
d) 515 
e) 155 
 
16) (Desafio) O código Morse usa duas letras, 
ponto e traço, e as palavras têm de 1 a 4 
letras. Quantas são as palavras do código 
Morse? 
a) 8 
b) 16 
c) 30 
d) 32 
 
GABARITO 
 
01 02 03 04 05 06 07 08 
C C D D A B A D 
09 10 11 12 13 14 15 16 
D A D D B B E C 
 
 “Sem saber que era impossível, ele foi lá e fez.” 
 (Jean Cocteau)