Resolução do Livro Vetores e Geometria Analítica - Paulo Winterle (cápitulo 1, TRATAMENTO GEOMÉTRICO)

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1º) A figura 1.29 apresenta um losango EFHG inscrito no retângulo ABCD, sendo O, o ponto de 
interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes 
afirmações: 
a) 𝑬𝑶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑮⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
b) 𝑨𝑭⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑪𝑯⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
c) 𝑫𝑶⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑯𝑮⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
d) IC – OI = IO – BI 
e) IH – OI = IH – DI 
f) H – E = O – C 
g) |𝑨𝑪|⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = |𝑩𝑫|⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
h) |𝑶𝑨⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = 
𝟏
𝟐
 |𝑫𝑩|⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
i) 𝑨𝑭⃗⃗⃗⃗ ⃗ // 𝑪𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
j) 𝑮𝑭⃗⃗⃗⃗ ⃗ // 𝑯𝑮⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
k) 𝑨𝑶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ // 𝑶𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
l) 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝑶𝑯⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
m) 𝑬𝑶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝑪𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
n) 𝑨𝑶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝑯𝑭⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
o) 𝑶𝑩⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = -𝑭𝑬⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
2º) Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações: 
a) Se �⃗⃗� = �⃗⃗� , então |𝒖|⃗⃗⃗⃗ = |𝒗⃗⃗ ⃗| 
b) Se |𝒖|⃗⃗⃗⃗ = |𝒗⃗⃗ ⃗|, então �⃗⃗� = �⃗⃗� 
c) Se �⃗⃗� // �⃗⃗� , então �⃗⃗� = �⃗⃗� 
RESOLUÇÃO DO LIVRO VETORES E 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
RESPOSTA 
a) V 
b) F 
c) V 
d) V 
e) F 
f) F 
g) V 
h) V 
i) V 
j) F 
k) V 
l) V 
m) V 
n) F 
o) V 
 
d) Se �⃗⃗� = �⃗⃗� , então �⃗⃗� // �⃗⃗� 
e) Se �⃗⃗⃗� = �⃗⃗� + �⃗⃗� , então |𝒘|⃗⃗ ⃗⃗ = |𝒖|⃗⃗⃗⃗ ⃗ + |𝒗|⃗⃗ ⃗ 
f) Se |𝒘|⃗⃗ ⃗⃗ = |𝒖|⃗⃗⃗⃗ ⃗ + |𝒗|⃗⃗ ⃗, então �⃗⃗� , �⃗⃗� e �⃗⃗⃗� são paralelos 
g) Se 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑫𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , então ABCD (vértices nessa ordem) é paralelogramo 
h) |𝟓 𝒗|⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = | − 𝟓�⃗⃗� | = 5 |𝒗|⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
i) Os vetores 3 �⃗⃗� e -4 �⃗⃗� são paralelos e de mesmo sentido 
j) Se �⃗⃗� // �⃗⃗� , |𝒖|⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2 e |𝒗|⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 4, então �⃗⃗� = 2 �⃗⃗� ou �⃗⃗� = -2 �⃗⃗� 
k) Se |𝒗|⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 3, o versor de -10 �⃗⃗� é - 
�⃗⃗� 
𝟑
 
a) V 
b) F 
c) F 
d) V 
e) V 
f) F 
g) F 
h) V 
i) F 
j) V 
k) V 
3º) Com base na figura 1.29, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: 
 
 
 
 
a) 𝑶𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑪𝑯⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
b) 𝑬𝑯⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑭𝑮⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
c) 2 𝑨𝑬⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 2 𝑨𝑭⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
d) 𝑬𝑯⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑬𝑭⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
e) 𝑬𝑶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑩𝑮⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
A 
E 
D 
H 
F B 
G 
C 
O 
 
f) 2 𝑶𝑬⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 𝑶𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
g) 
𝟏
𝟐
 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑬𝑯⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
h) 𝑭𝑬⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑭𝑮⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
i) 𝑶𝑮⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - 𝑯𝑶⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
j) 𝑨𝑭⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑭𝑶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑨𝑶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
a) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
b) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
c) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
d) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
e) 𝐴𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
f) 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
g) 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
h) 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
i) 𝐴𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
j) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
4º) O paralelogramo ABCD (figura 1.30) é determinado pelos vetores 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑨𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , sendo M e N 
pontos médios dos lados 𝑫𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , respectivamente. Determinar: 
a) 𝑨𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
b) 𝑩𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑫𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
c) 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗ - 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
d) 𝑨𝑵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
e) 𝑴𝑫⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝑴𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
f) 𝑩𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ - 
𝟏
𝟐
 𝑫𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
a) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
b) 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
c) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
d) 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
e) 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
A B 
C D M 
N 
 
f) 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
5º) Apresentar, graficamente, um representante do vetor �⃗⃗� - �⃗⃗� nos casos: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
�⃗� 𝑣 
�⃗� 
𝑣 
�⃗� 
𝑣 
𝑣 
�⃗� 
𝑣 �⃗� 
�⃗� - 𝑣 
−𝑣 
�⃗� 
�⃗� - 𝑣 
−𝑣 
�⃗� - 𝑣 �⃗� 
�⃗� 
 
d) 
 
 
6º) Determinar o valor de x nas figuras: 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
 
a) �⃗⃗� - �⃗⃗� 
b) - �⃗⃗� - �⃗⃗� 
c) �⃗⃗� - �⃗⃗� 
d) �⃗⃗� + �⃗⃗� 
7º) Dado três pontos A, B, e C não colineares, como na figura 1.31, representar o vetor �⃗⃗� nos casos: 
a) �⃗⃗� = 𝑩𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
b) �⃗⃗� = 2 𝑪𝑨⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 2 𝑩𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
−𝑣 
�⃗� - 𝑣 
�⃗� 𝑥 
𝑣 
�⃗� 𝑣 
𝑥 
𝑥 �⃗� 
𝑣 
𝑣 
�⃗� 𝑥 
A 
B 
C 
 
c) �⃗⃗� = 3 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
d) �⃗⃗� = 
𝟏
𝟐
 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 2 𝑪𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
8º) Dados os vetores �⃗⃗� e �⃗⃗� da figura 1.32, mostrar, em um gráfico, um representante do vetor: 
a) �⃗⃗� - �⃗⃗� 
b) �⃗⃗� - �⃗⃗� 
𝑩𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −𝟐 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
A 
B 
C 
−�⃗⃗� 
B 
C 
A 
𝟐 𝑩𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
𝟐 𝑪𝑨⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
�⃗⃗� 
−𝟐 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
𝟐 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
�⃗⃗� 
−𝟐 𝑪𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
�⃗⃗� 
𝟏
𝟐
 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
 
c) - �⃗⃗� - 2 𝒖⃗⃗ ⃗ 
d) 2 �⃗⃗� – 3 �⃗⃗� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9º) No triângulo ABC (figura 1.33), seja 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = �⃗⃗� e 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗ = �⃗⃗� . Construir um representante de cada 
um dos vetores. 
a) 
�⃗⃗� + �⃗⃗� 
𝟐
 
b) 
�⃗⃗� − �⃗⃗� 
𝟐
 
c) 
�⃗⃗� − �⃗⃗� 
𝟐
 
d) �⃗⃗� + 
𝟏
𝟐
 �⃗⃗� 
e) 2 �⃗⃗� - 
𝟏
𝟐
 �⃗⃗� 
f) 
𝟏
𝟑
 𝒂 - 2 �⃗⃗� 
�⃗⃗� 
-2 𝒖⃗⃗ ⃗ - �⃗⃗� �⃗⃗� 2 �⃗⃗� 
 - �⃗⃗� 
 -3 �⃗⃗� 
 �⃗⃗� - �⃗⃗� 
2 �⃗⃗� - 3 �⃗⃗� 
 - 𝒗 - 𝟐 �⃗⃗� 
 �⃗⃗� - �⃗⃗� 
𝑨 
�⃗⃗� 
𝑩 
𝑪 �⃗⃗� 
 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
𝑨 
�⃗⃗� 
𝑩 
𝑪 �⃗⃗� 
𝑨 
�⃗⃗� 
𝑩 
𝑪 �⃗⃗� 
𝑨 
�⃗⃗� 
𝑪 �⃗⃗� 
𝑩 
𝑨 
𝑪 
𝑩 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
a⃗ + 
1
2
 b⃗ 
1
2
 b⃗ 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
10º) Dados os vetores �⃗⃗� , �⃗⃗� , �⃗� (figura 1.34), apresentar, graficamente, um representante do 
vetor �⃗⃗� tal que: 
a) �⃗⃗� = 4 𝒂⃗⃗ ⃗ – 2 �⃗⃗� - �⃗� 
b) (�⃗⃗� + �⃗⃗� + �⃗� ) + �⃗⃗� = �⃗⃗� 
c) �⃗⃗� + �⃗� + �⃗⃗� = 2 �⃗⃗� 
 
𝑨 
𝑪 
𝑩 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
 
1
2
 b⃗ 
𝟐 �⃗⃗� 
𝑨 𝐵 
𝐶 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
−𝟐 �⃗⃗� 
 
1
3
 a⃗ 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
�⃗� 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
11º) Na figura 1.35 estão representados os vetores coplanares �⃗⃗� , �⃗⃗� , �⃗⃗⃗� . Indicar, na própria figura, os 
vetores: 
a) a �⃗⃗� e b �⃗⃗⃗� tal que �⃗⃗� = a �⃗⃗� + b �⃗⃗⃗� 
− �⃗� 
− 𝟐𝒃⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝟒𝒂⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 �⃗⃗� 
 �⃗� 
 �⃗⃗� 
 �⃗⃗� 
 �⃗⃗� 
 �⃗⃗� 
− �⃗� − �⃗⃗�
 
 𝟐 𝒃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
�⃗⃗⃗� 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
 
b) α �⃗⃗� e  �⃗⃗⃗� tal que �⃗⃗� = α �⃗⃗� +  �⃗⃗⃗� 
Teria sido possível realizar esse exercício no caso de os vetores �⃗⃗� , �⃗⃗� e �⃗⃗⃗� serem não-coplanares? 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
Não, pois a direção de um dos vetores mudaria e para realização deste exercício, precisamos da 
igualdade de vetores, que como regra define que para que dois vetores sejam iguais, precisam possuir 
o mesmo módulo, direção e sentido. 
12º) Sabendo que o ângulo entre os vetores �⃗⃗� e �⃗⃗� é de 60º, determinar o ângulo formado pelos 
vetores: 
a) �⃗⃗� e - �⃗⃗� 
b) - �⃗⃗� e 2 �⃗⃗� 
c) - �⃗⃗� e - �⃗⃗� 
d) 3 �⃗⃗� e 5 �⃗⃗� 
 
a) 120º 
b) 120º 
�⃗⃗⃗� 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
b �⃗⃗⃗� 
a �⃗⃗� 
�⃗⃗⃗� 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
𝜶 �⃗⃗� 
𝜶 �⃗⃗� 
b �⃗⃗⃗� 
 
c) 60º 
d) 60º 
13º) Dados os vetores coplanares �⃗⃗� , �⃗⃗� e �⃗⃗⃗� representados na figura 1.36, determinar: 
a) Um representante do vetor �⃗⃗� + �⃗⃗� , sendo �⃗⃗� = �⃗⃗� + 2 �⃗⃗� e �⃗⃗� = �⃗⃗� – 2 �⃗⃗� 
b) O ângulo entre os vetores – 3 �⃗⃗� e �⃗⃗⃗� 
c) O ângulo entre os vetores - 2 𝒖⃗⃗ ⃗ e - �⃗⃗⃗� 
 
a) 
 
 
 
 
b) 75º 
c) 105º 
14º) Demonstrar que pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer são vértices de um 
paralelogramo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
�⃗⃗⃗� 
𝟐 �⃗⃗� 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
60 
�⃗⃗� 
𝟐 𝒗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
�⃗⃗⃗� 
𝟔𝟎 
45 
𝑫 
A B 
C 
H 
E 
F 
G 
𝑫 
A B 
C 
H 
E 
F 
G 
 
 
 
𝐸𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐷𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
𝐸𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 
1
2
 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 
1
2
 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝑬𝑯⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = E + H 
 
𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
1
2
 𝐷𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 
1
2
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝑬𝑭⃗⃗⃗⃗ ⃗ = E + F 
 
 
15º) Demonstrar que o segmento de extremos nos pontos médios dos lados não paralelos de um 
trapézio é paralelo às bases e igual a sua semi-soma. 
 
 
 
 
 
 
 
𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
1
2
 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 
1
2
 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
1
2
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 
1
2
 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝑭𝑮⃗⃗⃗⃗ ⃗ = F + G 
 
𝐻𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐻𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗+ 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝐻𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 
1
2
 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 
1
2
 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝑯𝑮⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = H + G 
D 
A B 
C 
E F 
 
𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ = = 
1
2
 (𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗) + 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
1
2
 (𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗) + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
1
2
 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
1
2
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
Logo, como no paralelogramo a base menor é paralela a base maior e 𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
1
2
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, portanto paralelo 
a 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ esse segmento é respectivamente paralelo a 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
16º) No triângulo ABC, tem-se 𝑩𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
𝟏
𝟐
 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑩𝑵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 
𝟏
𝟑
 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Expressar os vetores 𝑨𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝑨𝑵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ em função 
de 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
 
 
 
- 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 
1
2
 (- 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗) 
𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 
1
2
 (- 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗) + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 
− 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗+ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗+ 2 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
2
 
𝑨𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
𝟏
𝟐
 (𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗) 
 
- 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 
1
3
 (- 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗) 
𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 
1
3
 (- 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗) + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
A 
B C N M 
 
𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 
− 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗+ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗+ 3 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
3
 
𝑨𝑵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 
𝟐
𝟑
 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 
𝟏
𝟑
 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗