Apostila HP 12C

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HHPP1122CC 
Módulo I 
 
 
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Sumário 
 
APRESENTAÇÃO DA HP12C ........................................................................................................ 3 
Como faço para saber se minha calculadora está ok ? .................................................................... 3 
O que são os símbolos escritos acima e abaixo das teclas?............................................................. 3 
Como a HP faz contas ? Cadê o sinal de igual ?............................................................................. 4 
A HP12C possui memória? ........................................................................................................... 4 
O que é uma memória de uso geral ? ............................................................................................. 4 
E o que são stacks ou pilhas operacionais? .................................................................................... 5 
TECLAS PRINCIPAIS ..................................................................................................................... 5 
NOMENCLATURA ......................................................................................................................... 8 
CONVERSÃO DE DATAS............................................................................................................ 10 
INTRODUÇÃO .............................................................................................................................. 11 
LÓGICA RPN E PILHA DE REGISTRADORES .......................................................................... 12 
JUROS SIMPLES........................................................................................................................... 14 
CÁLCULOS BÁSICOS.................................................................................................................. 16 
MONTANTE (JUROS SIMPLES).................................................................................................. 17 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS........................................................................................................ 19 
DESCONTO COMERCIAL SIMPLES .......................................................................................... 20 
VALOR ATUAL / NOMINAL ....................................................................................................... 21 
TAXAS EQUIVALENTES............................................................................................................. 22 
Equivalência entre duas taxas no regime de juros simples: .......................................................... 22 
Equivalência entre duas taxas no regime de juros composto: ....................................................... 22 
 
3
 
 
 
A fim de apresentar a mais popular calculadora financeira no mercado brasileiro, 
foram efetuadas perguntas e respostas , do ponto de vista de uma pessoa que acabou de 
tirar a calculadora da caixa. 
 
Como faço para saber se minha calculadora está ok ? 
 
Com a calculadora desligada pressione X e segure , pressione ON e então solte 
X. 
Aparecerá running no visor e depois -8,8,8,8,8,8,8,8,8,8 . 
 
O que são os símbolos escritos acima e abaixo das teclas? 
 
Como há um número grande de funções e, para reduzir o tamanho da calculadora, 
cada tecla possui na verdade 3 funções. A principal, escrita em branco no corpo da tecla 
(chamada de flag) e duas secundárias, escritas em azul, na parte inferior da tecla, e em 
dourado, na parte superior. Assim, caso queira acessar uma dessas funções, você precisa 
primeiro, pressionar a tecla acionadora da função secundária desejada e depois a 
mesma. 
 
Onde f, com a cor da tecla dourada, acionará as funções grifadas em dourado e g, 
com a cor da tecla azul, acionará as funções grifadas em azul. Associando-se a cor da 
tecla de função a cor da função que será utilizada. 
APRESENTAÇÃO DA HP12C 
 
4
 
Como a HP faz contas ? Cadê o sinal de igual ? 
 
A HP12C usa a Notação Polonesa Invertida para efetuar as operações. O que isso 
quer dizer? Enquanto em outras calculadoras para realizar uma conta como 3+ 1 = 4 
você pressiona as teclas nessa ordem, na HP12C você digitará 3 ENTER 1+ e aparece o 
resultado 4 
 
A HP12C possui memória? 
 
A HP12C tem 5 tipos de memórias: 
 
1. pilha operacional, 
 
2. registradores de uso geral, 
 
3. registradores financeiros, 
 
4. memórias de programação 
 
5. memórias estatísticas. 
 
O que é uma memória de uso geral ? 
 
Como o próprio nome diz é um tipo de memória usado para arquivar dados. 
Quem utiliza a calculadora comum conhece esse tipo de registrador pelas teclas M+, M-
, M=. 
 
A HP12C possui 20 registradores disponíveis mas apenas os registradores 0 1 2 
3 e 4 aceitam acumulação, ou seja, mais de um número. Nos outros apenas um dado 
pode ser arquivado. 
 
 
 
5
 
E o que são stacks ou pilhas operacionais? 
 
A HP12C utiliza 4 memórias, sendo 1 principal (X) e 3 auxiliares (Y, Z e T). 
Falaremos muito em registrador X, registrado em Y, números em Z, etc... sempre se 
referindo aos números armazenados nessas memórias. Estas memórias são "colocadas" 
uma em cima da outra , na seguinte ordem, de baixo para cima: X, Y, Z, T. Formando 
um "stack" ou seja, uma pilha. 
 
Vamos supor que você está utilizando pela primeira vez a HP12C e você digita 
um número e depois outro número. No visor você vê apenas o que está digitando mas a 
HP vai "empurrando " para as memórias secundárias os números digitados 
anteriormente. Isso é uma característica muito útil como veremos adiante. 
 
Como Limpar sua calculadora 
 
 
TECLAS PRINCIPAIS 
 
Entenda-se por teclas principais, aquelas cujos símbolos estão nos corpos das 
teclas ou flags, em branco: 
 
ON Liga/desliga e sai do programa, mas mantêm a memória permanente. 
 
Teclas Significado 
f CLEAR REG (f 
CLX) 
Limpa “tudo”, exceto a memória de programação 
f CLEAR ΣΣΣΣ Limpa os registros estatísticos, os registros da pilha 
operacional e o visor 
f CLEAR FIN Limpa os registros financeiros 
f CLEAR PRGM Limpa a memória de programação (quando no modo PRGM) 
CLX Limpa os valores contidos no Visor 
 
6
 
f Pressione essa tecla quando necessitar: 
 
- acessar as funções escritas em dourado 
 
- especificar o número de casas decimais a trabalhar. Suponhamos que 
você deseja trabalhar com 3 casa decimais . Pressione f e em seguida 3 e 
todos os números aparecerão no formato XX,000. 
 
- usar notação exponencial. Pressione f e em seguida . (ponto decimal). 
 
O que é notação exponencial? É uma forma de representar, de forma 
graficamente curta, um número "grande". Por exemplo, 17 bilhões ficaria 
17.000.000.000; em forma exponencial fica 1,7 X 1010. No visor os dois 
zeros à direita representam o expoente. 
 
g Pressione essa tecla quando necessitar acessar as funções escritas em azul. 
 
ENTER Coloca o número mostrado na pilha. 
 
CHS CHange Signal. Muda o sinal do número ou expoente atual. 
 
EEX Entrar EXpoente. Após pressionar essa tecla, o próximo número será 
considerado como um expoente de base 10. 
 
O que é a base de um número? De forma simplificada seria a maneira de 
"contar" uma cadeia de números. Quando trabalhamos com base 10 significa 
dizer que temos 10 números básicos e todos os outros são derivados deles. 
Por exemplo: 50 é 5 vezes 10; 75 é 5 vezes 10 mais 5; 11 é 10 mais 1. 
 
0-9 Números inteiros. 
 
. Ponto decimal. 
 
 
7
 
CLX Limpa a tela. 
 
+ - x / Operadores aritméticos.STO STOre n. Seguido por um número, armazena na memória o valor desejado 
para posterior utilização. 
 
Vamos supor que você deseja efetuar uma conta e quer guardar o resultado. 
Ao invés de escrever num pedaço de papel você digita STO 1 e arquiva na 
memória 1 o valor. 
 
RCL ReCaL n. Seguido por um número, recupera da memória n e apresenta na tela 
o valor armazenado naquele registro. 
 
% Percent, ou Percentil, utilizado nos cálculos de porcentagens. Armazena 
também o resultado numa seção da memória que vamos chamar de Registro - 
Y. O que será muito útil. 
 
∆∆∆∆ % Compara a diferença percentual entre o valor armazenado no Registro Y e o 
valor mostrado no visor. 
 
%T Calcula a porcentagem que x é do número armazenado no Registro Y. 
 
i Armazena ou calcula os juros. 
 
n Armazena ou calcula a quantidade de períodos. 
 
PV Armazena ou calcula o valor presente. 
 
PMT Armazena ou calcula pagamentos. 
 
FV Armazena ou calcula o valor futuro de pagamento. 
 
 
8
 
SUM+ Acumuladores de estatísticas que usam números de X e Y, registram e 
armazenam nos registradores R1 ao R6. Tecle o valor y. Pressione ENTRA. 
Tecle o valor x. Aperte SUM+. Cada vez você pressionar SUM+, a 
calculadora faz a seguinte operação: O número em R1 é aumentado antes por 
1, e o resultado é copiado no visor. O valor x é acrescentado ao número em 
R2. O quadrado do valor x é acrescentado ao número em R3. O valor y é 
acrescentado ao número em R4. O quadrado do valor y é acrescentado ao 
número em R5. O produto de x e y serão acrescentados ao número em R6. 
 
yx Eleva o número no registrador Y pelo registrador X 
 
1/x Divide 1 pelo número mostrado no registrador X 
 
x><y Troca o conteúdo dos registradores x e y entre si 
 
R Baixa o conteúdo das pilhas e mostra-as no visor. 
 
SST Single STep mostra o numero da linha e o conteúdo do programa. Se 
utilizado em modo Programação (tecla PRGM - função secundária dourada) 
mostra o número e o conteúdo de todas as linhas, uma por vez. No modo 
Execução (RUN) executa as instruções, mostra o resultado e move para a 
próxima linha. 
 
NOMENCLATURA 
 
A fim de poupar tempo e facilitar a aprendizagem, optou-se por agrupar todas as 
definições dos termos usados neste documento de matemática financeira nesta sessão, 
ao invés de ficar enunciando-as a cada lição. 
 
i Do inglês Interest, é usado para representar os juros envolvidos em quaisquer 
operações financeiras. 
 
 
9
 
C Do inglês Capital, é usado para representar o Capital utilizado numa 
aplicação financeira. 
 
M Do inglês aMount, é usado para representar o Montante, que é o resultado da 
soma do Capital com os juros. 
 
n Nesse caso é uma incógnita (quem aprendeu equações do segundo grau usou 
muitas incógnitas. Todos aqueles x, y, z são incógnitas.) referente ao período 
de tempo (dias, semanas, meses, anos...) de uma aplicação financeira. 
Lembre-se da expressão : "levou n dias para devolver o dinheiro..." 
 
a.d. Abreviação usada para designar ao dia 
 
a.m Abreviação usada para designar ao mês 
 
a.a. Abreviação usada para designar ao ano 
 
d Do inglês Discount, é usado para representar o desconto conseguido numa 
aplicação financeira. 
 
N Do inglês Nominal, é usado para representar o valor Nominal ou de face de 
um documento financeiro. 
 
A Do inglês Actual , é usado para representar o valor real ou atual de um 
documento financeiro em uma determinada data. 
 
V Incógnita usada para representar o Valor Atual em casos de renda certa ou 
anuidades 
 
T Incógnita usada para representar o Valor Nominal em casos de renda certa ou 
anuidades 
 
an¬i Expressão que representa o fator de valor atual de uma série de pagamentos. 
 
10
 
Sn¬i Expressão que representa o fator de acumulação de capital de uma série de 
pagamentos. 
 
CONVERSÃO DE DATAS 
 
Suponha que você adquira um crediário no dia 10 e, precisa calcular quantos 
dias restam até o final do mês. É necessário verificar qual dia termina o mês (se dia 28, 
30 ou 31) e subtrair a diferença. 
 
Você estará, na verdade, 50% certo. Na verdade, existem 2 métodos para 
calcular um intervalo entre duas datas: 
 
Tempo exato: É o referido acima. Você verifica em que dia, exato, termina o 
prazo que você tem e calcula a diferença. Por exemplo, entre 25 de abril e 27 de 
setembro você tem 155 dias. 
 
Tempo aproximado ou comercial: É aquele no qual assumimos que cada mês 
possui 30 dias. 
Assim, pegando o intervalo de datas acima temos decorridos 5 meses de 25 de abril a 25 
de setembro (ou seja 150 dias) mais 2 dias até 27 de setembro e temos como total 152 
dias. 
 
A diferença, é claro, acaba sendo mínima mas quando altas quantias estão 
envolvidas um dia faz muita diferença. 
 
Lembre-se que, para fins de equivalência/proporcionalidade, um ano tem 12 
meses e um mês tem 30 dias. 
 
Como você percebeu nem tudo é como parece logo de início. Sempre preste 
atenção nesses pequenos detalhes. 
 
 
11
 
Outro detalhe: as boas calculadoras financeiras possuem opções para ambos os 
métodos. 
Já nas planilhas eletrônicas você consegue calcular, diretamente, apenas o tempo 
exato. O tempo comercial só através de um pequeno truque. 
 
INTRODUÇÃO 
 
A HP-12C é uma calculadora financeira, que facilitará nossos cálculos. Aqueles 
que queiram se familiarizar com a HP, damos algumas dicas: esta calculadora possui 
até três funções por tecla: brancas, amarelas e azuis. As funções brancas são 
automáticas. As funções amarelas e azuis aparecem acima e abaixo das teclas, e é 
necessário que se aperte antes a tecla f ou g, respectivamente,para ativá-las. 
Relembrando as operações básicas: 
 
• ligar a calculadora - [ ON ] 
 
• apagar o que tem no visor - [ CLX ] 
• apagar o que tem nas memórias financeiras - [ f ] [ 
REG ] 
 
• introduzir um número - [ número ] [ENTER ] 
 
• fazer um cálculo simples - [ número ] [ ENTER ] 
[ número ] [ operação ] 
 
• Cálculo percentual - [ número ] [ ENTER ] [ 
percentual ] [ % ] 
 
• potenciação - [ número ] [ ENTER ] [ potência ] [ 
] 
 
 
12
 
• radiciação - [ número ] [ ENTER ] [ raiz ] [ 1 / X 
] [ ] 
• armazenar na memória - [ número ] [ ENTER ] [ 
STO ] [ Número qualquer] 
 
• buscar um número na memória - [ RCL ] [ 
número onde foi armazenado ] 
 
• fixar quantidade de casa decimais - [ f ] [ número 
de casas decimais ] 
 
Exemplos Calculadora 
Soma: 45 + 63 = 108 45 [ ENTER ] 63 [ + ] 
Multiplicação: 37 x 14 = 518 37 [ ENTER ] 14 [ x ] 
Cálculos contínuos: ( 28 + 54 ) / 8 = 
10.25 
28 [ ENTER ] 54 [ + ] 8 [ / ] 
Percentual: 12% de 1500 = 180 1500 [ ENTER ] 12 [ % ] 
Potenciação: = 50.625 15 [ ENTER ] 4 [ ] 
Radiciação: = 5 625 [ ENTER ] 4 [ 1 / X ] [ ] 
Radiciação: = 3.34 
5 [ ENTER ] 3 [ ENTER ] 4 [ / ] 
[ ] 
 
LÓGICA RPN E PILHA DE REGISTRADORES 
 
Note que a HP12C não possui uma das principais teclas de calculadoras 
algébricas comuns que é a tecla de igualdade. A razão dessa inexistência consiste no 
fato da HP trabalhar com uma lógica matemática diferente : a lógica RPN. Enquanto em 
uma operação algébrica comum, os operandos devem ser intercalados por operadores, 
 
13
 
na lógica RPN os operandos devem ser colocados primeiramente e, depois, devem ser 
colocados os operadores. 
Outra característica da HP é representada pela pilha de registradores. Embora 
apenas um dos registradores da máquina seja sempre exibido (o visor, também 
denominado registrador X), existem outros, dispostos em forma de "pilha", que 
permitem e facilitam a realização de cálculos sucessivos. 
 
Veja abaixo como se comporta a pilha de registradores em uma soma de 5 + 4 
 
Seqüências de teclas : 
 
1. Limpa a pilha de registradores com a função [f] [REG]. Esta função será descrita 
mais detalhadamente 
a seguir. 
 
2. Digita-se o valor do primeiro operando : 5. Nota-se que o valorfoi armazenado no 
registrador X. 
 
3. Separa-se a entrada dos operandos 5 e 4 com a tecla [ENTER]. Nota-se que o 
registrador X foi 
duplicado sendo copiado no registrador Y. 
 
4. Digita-se o valor do segundo operando : 4. Nota-se que o valor foi armazenado no 
registrador X. No registrador Y continua armazenado o valor do primeiro operando : 5. 
 
5. Solicita-se a operação desejada : soma mediante o operador [+]. Note-se que o 
registrador Y foi 
adicionado ao registrador X. No visor (Registrador X) é fornecido o resultado : 9. 
 
14
 
 
Uma conseqüência do sistema RPN é que não existem parênteses nos cálculos. Por 
exemplo, faça o cálculo na HP12C da express:ão 2 x (12 + 10). 
 
Para calculá-lo, basta utilizar o sistema de registradores mostrado acima e digitar: 
2 [ENTER] 12 [ENTER] 10 [+] [x] Visor: 44,00 
 
Veja que ao apertar 2 [ENTER] e em seguida 12[ENTER], a HP12C sabe que 
nenhuma operação será feita com esses números agora, então “empilha” o número 2 e 
deixa o 12 no topo. Ao digitar o 10 [+], ela retira o número do topo (12) e soma com o 
10. Ao retirar o 12 do topo, o topo passa a ser o 2. Quando digitamos o [x] ela retira o 2 
do topo e multiplica com o resultado corrente, totalizando 44. 
 
JUROS SIMPLES 
 
O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a 
maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por 
isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para 
adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, 
menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e 
risco, que a operação envolver. 
 
O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para 
empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de 
juros. 
 
O governo quando quer diminuir o consumo, tentando com isso conter a 
inflação, diminui quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos. 
Assim, a remuneração deste empréstimo fica muito alta para quem paga, desmotivando-
o a consumir imediatamente e atraente para quem tem o dinheiro, estimulando-o a 
poupar. 
 
 
15
 
Na época de inflação alta, quando a caderneta de poupança pagava até 30% ao 
mês, alguns tinham a falsa impressão de que logo ficariam ricos, com os altos juros 
pagos pelo banco. O que não percebiam é que, dependendo do desejo de consumo, ele 
poderia ficar cada vez mais distante, subindo de preço numa proporção maior que os 
30% recebidos. 
 
A taxa de juros que o banco cobra e paga inclui além de itens como o risco e o 
tempo de empréstimo, a expectativa de inflação para período. 
 
Esta taxa, quando vem expressa por um período que não coincide com o prazo 
de formação dos juros (capitalizações), é chamada de taxa nominal. Ex.: 15% ao ano, 
cujos juros são pagos mensalmente. Nestes casos precisamos calcular a taxa efetiva, 
que será a taxa nominal dividida pelo número de capitalizações que inclui, acumulada 
pelo prazo de transação. Veremos com mais detalhes mais adiante. 
 
A remuneração real, ou taxa real de uma aplicação será calculada excluindo-se 
o percentual de inflação que a taxa efetiva embute. 
 
 
A boa notícia a respeito do cálculo de juros simples é que este é, a forma mais 
simples forma de cálculo na Matemática Financeira. É composto da seguinte fórmula : 
 
j = C * i * n 
 
Exemplo: Você pediu a seu chefe um empréstimo de R$10.000,00 e ele, vai lhe 
cobrar uma taxa de juros de 5% ao mês, sobre o capital inicial 6 meses depois você 
quitar sua dívida. Quanto a mais você terá de pagar, a título de juros? Aplicando a 
fórmula: 
 
j: o que você quer descobrir 
C: 10.000,00 
i: 5% a.m. 
n: 6 meses 
 
16
 
 
Logo: j = 10000 * 0,05 * 6 = R$3.000,00 
Cuidado com as taxas mensais supostamente baixas. Pelo exemplo acima, fica 
evidenciado que mesmo taxas pequenas, se forem aplicadas por um período mais ou 
menos longo, pode causar um verdadeiro prejuízo ao bolso. Um grande exemplo do dia-
a-dia é o Crediário. 
 
CÁLCULOS BÁSICOS 
 
É importante relembrar e entender alguns conceitos da 
matemática, que serão muito úteis, quando trabalharmos com taxas: 
 
 
Para calcular: 
 
Pela HP: 
49 [ENTER] 3 [ENTER] 4 [/] [ ] 
Visor: 
18.52 
 
 
 
17
 
 
 
 
Pela HP: 
64 [ENTER] 2 [CHS] [ENTER] 3 [/] [ ] 
Visor: 
0.0625 
 
MONTANTE (JUROS SIMPLES) 
 
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, 
para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em 
seguida da especificação do período de tempo a que se refere: 
 
• 10 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 
 
• 15 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). 
 
 Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa 
percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 
 
• 0,12 a.m. - (a.m. significa ao mês ). 
 
• 0,10 a.q. - ( a.q. significa ao quadrimestre ) 
 
Utilizaremos esta notação para cálculos. 
 
 O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas 
sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos 
juros. 
 
 
18
 
Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou 
aplicado, antes de somarmos os juros. 
 
Transformando em fórmula: 
 
 
Exemplo 1: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com 
juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 
meses. Os juros que pagarei serão: 1000 x 0.08 x 2 = 160 
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Assim, 
Montante = Principal + Juros 
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de 
períodos ) 
 
 
 
Exemplo 2: Quanto receberei em três anos por um empréstimo de R$ 
2500,00 a uma taxa de 12 % a.a. pelo regime de juros simples? R: R$ 
3400,00 
M = 2500 x ( 1 + ( 0.12 x 3 ) ) 
M = 2500 x 1.36 
M = 3400 
 
 
 
 
 
 
 
 
19
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1. Calcule a taxa quadrimestral equivalente às seguintes taxas: 
18 % a.s.= ( 0.18 / 6 ) x 4 = 12 % a.q. 
 
Pela HP: 
0.18 [ENTER] 6 [/] 4 [x] 100 [x] 
Visor: 
12.00 
 
2. Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 
 
Os juros são de 13% ao trimestre, ou veja, em 3 meses. Vamos fazer uma 
divisão de 0.13 por 6 para descobrir quanto de juros há em 15 dias. 
 
0.13 / 6 = 0.02167 
 
Ou seja, a taxa de juros em 15 dias é de 0.02167, ou 2,167%. 
 
Como 4 meses e 15 dias possuem 9 períodos de 15 dias, vamos multiplicar o 
resultado encontrado por 9. Desta forma chegaremos nos juros de 4 meses e 15 
dias. 
 
logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195 
 
j = 1200 x 0.195 = 234 
 
Pela HP: 
0.13 [ENTER] 6 [ / ] 9 [X] 1200 [X] 
Visor: 
234.00 
 
 
20
 
3. Para um principal de R$ 5050,00, calcular as taxas de juros 
simples mensais, se o montante é de R$ 5600,00 aplicado em 2 meses. 
 
 
5600 = 5050 x ( 1+ ( i x 2 ) ) 
5600 / 5050 = 1 + 2i 
1.10891 - 1 = 2i 
i = 0.10891 / 2 
i = 0.0545 ou 5.45 % 
 
Pela HP: 
5600 [ENTER] 5050 [/] 1 [-] 2 [/] 100 [x] 
Visor: 
5.45 
 
DESCONTO COMERCIAL SIMPLES 
 
O desconto é aplicado quando um empréstimo é saldado antes do vencimento 
previsto e, claro, desde que esse desconto esteja previsto em contrato. Assim, não vá 
correndo pagar todas suas contas com um mês de antecedência, pensando que com isso 
você irá conseguir altos descontos. Mesmo porque se você tiver algum dinheiro 
sobrando com quase um mês de antecedência, o melhor é colocar numa aplicação 
rendendo até o vencimento. 
A fórmula é: 
 
d = N * i * n 
 
Exemplo: Qual o desconto de um título no valor de R$50.000,00, se ele for pago 2 
meses antes do vencimento à uma taxa de 5,5 % a.m.? Aplicando a fórmula: 
 
d: o que você quer saber 
N: 50.000,00 
i: 5,5% = 0,055 
 
21
 
n: 2Logo: d= 50000 * 0,055 * 2 = R$5.500,00 de desconto 
 
 
Pela HP: 
50000 [ENTER] 0.055 [x] 2 [x] 
Visor: 
5500,00 
 
VALOR ATUAL / NOMINAL 
 
O cálculo do valor atual está para o Desconto Simples como o Montante para o 
cálculo de Juros Simples, ou seja, é o valor final após calcular o desconto. Pegando o 
exemplo da seção anterior, o Valor Nominal do título era de R$50.000,00 e o desconto 
incidente foi de R$5.500,00. (ou seja, A=N-d). Logo, o Valor Atual é de R$44.500,00. 
A fórmula para o cálculo direto do Valor Atual é: 
 
A = N * (1 – i * n) 
 
Exemplo: Após receber sua devolução do I.R., você resolve quitar de uma vez as 
suas parcelas restantes do seu consórcio, num valor total de R$70.000,00. Faltam 5 
parcelas mensais e o desconto será de um 1% a.m.. Quanto você terá de pagar em 
dinheiro? Aplicando a fórmula: 
 
A: o que você quer descobrir 
N: 70.000,00 
i: 1% a.m. 
n: 5 meses 
 
Logo: A = 70000 * (1 – 0,01 * 5) = R$66.500,00. 
 
 
 
22
 
Pela HP: 
70000 [ENTER] 1 [ENTER] 0.01 [ENTER] 5 [x] [-] [x] 
Visor: 
66500,00 
 
TAXAS EQUIVALENTES 
 
Antes vamos definir o que quer dizer "taxas equivalentes". Em linguagem 
simples, é quando você quer verificar se duas taxas quando aplicadas em determinado 
espaço de tempo em determinada quantia têm como resultado o mesmo valor. E isso é 
fundamental, só que há diferentes formas de avaliar uma equivalência de taxas 
conforme o regime. Assim, vamos por partes ou regime, como preferir: 
 
Equivalência entre duas taxas no regime de juros simples: 
 
Pegar a taxa e multiplicá-la (ou dividi-la) pelo período correspondente ao que se 
deseja descobrir. 
 
Exemplo: Você tem uma taxa de 5% a.m. e quer saber quanto é equivalente ao ano. 
Um ano tem 12 meses então é só multiplicar 5% por 12 e você tem 60% a.a. O inverso 
também é verdadeiro: você tem uma taxa de 15% a.m. e quer saber quanto é ao dia. É só 
dividir 15% por 30 dias e você tem 0,5% a.d. 
 
Equivalência entre duas taxas no regime de juros composto: 
 
Se você quer passar de uma unidade de tempo "menor" para uma "maior", como 
de mês para ano, você eleva a taxa de juros pelo número de períodos correspondente. Se 
for o contrário, como por exemplo de ano para mês, você eleva ao inverso do período. 
Abaixo uma tabela com as conversões necessárias: 
 
 
 
 
23
 
 
 
 
 
 
DE PARA FÓRMULA 
a.m. a.a. ia = (1 + im) ^ 12 - 1 
a.d. a.m. im = (1 + id) ^ 30 – 1 
a.d. a.a. ia = (1 + id) ^360 – 1 
a.a. a.m. im = (1 + ia) ^ (1 / 12) – 1 
a.m. a.d. ia = (1 + im) ^ (1 / 30) – 1) 
a.a. a.d. id = (1 + ia) ^ (1 / 360) – 1 
 
Exemplo: Você tem uma taxa de 24% a.a. e quer saber quanto é equivalente ao 
mês. 
Usando a fórmula dá aproximadamente 1,81% a.m. 
Ainda descrente? Então faça uma prova de confirmação: Utilize as duas taxas sobre um 
valor simples como R$1.000,00 e veja se o resultado é igual. (Na verdade há uma 
pequena diferença porque ocorreu um arredondamento da casa decimal no momento de 
calcular)