AOL 2 Cálculo Vetorial 20212 B

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Pergunta 1 -- /1
As integrais podem representar diversos tipos de mensuração. Pode-se mensurar áreas, comprimentos e 
volumes com elas de maneira extremamente distinta. A seguinte integral dupla de uma função de duas variáveis 
efetua a mensuração de uma dessas medidas:
integral integral subscript R script capital f open parentheses x comma y close parentheses d x d y
Considerando essas informações e seus conhecimentos acerca de integrais, afirma-se que a integral 
supracitada mensura o volume de uma superfície, porque:
a função que compõe o integrando é uma função par.
o contradomínio dessa função faz parte dos reais R.
o diferencial de volume dv = dxdy.
o integrando dessa integral é uma função de duas variáveis.
Resposta corretaa região integrativa é uma região R retangular.
Pergunta 2 -- /1
Comumente, trabalha-se com as coordenadas cartesianas para resoluções de integrais, porém, nem todas as 
integrais têm seus limites de integração facilmente identificados nesse sistema de coordenadas. Existem outros 
sistemas de coordenadas que auxiliam no processo integrativo, tais como as coordenadas cilíndricas e 
esféricas, que se pautam em outros parâmetros diferentes das coordenadas cartesianas.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca das integrais triplas nesses sistemas de 
coordenadas, analise as afirmativas a seguir:
I. As coordenadas cilíndricas são comumente utilizadas quando há certa simetria do sólido em relação ao eixo z.
II. As coordenadas esféricas utilizam Error converting from MathML to accessible text.,0er como parâmetros.
III. As coordenadas cilíndricas utilizam 0 e r como parâmetros. O z se mantém o mesmo.
IV. As coordenadas cartesianas utilizam r e Error converting from MathML to accessible text. , como 
parâmetros. O z se mantém o mesmo.
Está correto apenas o que se afirma em:
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I e II.
Resposta correta I, II e III.
 I e IV.
I, II e IV.
II e IV.
Pergunta 3 -- /1
Integrais em uma ou mais variáveis são essencialmente somas que se faz em uma função de interesse. A soma 
possui certas propriedades, como, por exemplo, 
open parentheses a plus b close parentheses asterisk times c equals a asterisk times c plus b asterisk times c.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca das propriedades das integrais de várias 
variáveis, analise as afirmativas a seguir:
I. Dada as funções script capital f open parentheses x comma y close parentheses e 
g open parentheses x comma y close parentheses , temos que
integral integral open square brackets script capital f open parentheses x comma y close parentheses plus g 
open parentheses x comma y close parentheses close square brackets d x d y space equals space integral 
integral script capital f open parentheses x comma y close parentheses d x d y plus integral integral g open 
parentheses x comma y close parentheses d x d y
.
II. Sendo c uma constante, 
integral integral c f open parentheses x comma y close parentheses d x d y space equals space c space 
integral integral space script capital f open parentheses x comma y close parentheses d x d y
.
III. Se 
script capital f open parentheses x comma y close parentheses greater or equal than g open parentheses x 
comma y close parentheses
 , então 
double integral g open parentheses x comma y close parentheses d x d y greater or equal than double integral 
script capital f open parentheses x comma y close parentheses d x d y
.
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IV. Dada as funções script capital f open parentheses x comma y close parentheses e 
g open parentheses x comma y close parentheses , temos que 
double integral script capital f open parentheses x comma y close parentheses g open parentheses x comma y 
close parentheses d x d y space equals space double integral script capital f open parentheses x comma y close 
parentheses d x d y double integral g open parentheses x comma y close parentheses d x d y
.
Está correto apenas o que se afirma em:
I, II e IV.
II e III.
Resposta corretaI e II.
II e IV.
I, III e IV.
Pergunta 4 -- /1
As integrais variam sua utilidade conforme os objetos matemáticos que elas integram. Integrais de uma variável 
costumam mensurar áreas sob curvas, integrais duplas com funções de duas variáveis podem calcular volumes 
e integrais triplas também podem mensurar volumes.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integrais para funções de várias variáveis e 
integrais múltiplas, analise as afirmativas a seguir:
I. V subscript G space equals space integral integral integral subscript G d x d y d z é uma integral que 
mensura volume.
II. 
V space equals space integral integral subscript R script capital f open parentheses x comma y close 
parentheses d x d y
 , sendo uma integral em uma região retangular, tem a função de mensurar volume.
III. Um volume infinitesimal em três dimensões pode ser escrito da seguinte forma: 
d V equals space d x cross times space d y cross times d z.
IV. As coordenadas cartesianas são melhores para a resolução de integrais do que outras coordenadas.
Está correto apenas o que se afirma em:
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I, II e IV.
I e II.
Resposta corretaI, II e III.
I, III e IV.
II e IV.
Pergunta 5 -- /1
Vetor e campo vetorial são conceitos importantes para o estudo de Cálculo Vetorial. Ambos auxiliam, por 
exemplo, no entendimento do objeto matemático chamado integral de linha
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de campos vetoriais, vetores e integral de 
linha, analise as afirmativas a seguir:
I. A função 
F with rightwards arrow on top open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space 
script capital f open parentheses x comma y comma z close parentheses I with hat on top plus g open 
parentheses x comma y comma z close parentheses j with hat on top plus h open parentheses x comma y 
comma z close parentheses k with hat on top
 descreve um campo vetorial.
II. A integral de linha mensura o efeito geral de um campo ao longo de uma curva específica.
III. integral subscript c script capital f d s é uma representação de uma integral de linha.
IV. Um vetor possuí dois parâmetros básicos: sentido e módulo.
Está correto apenas o que se afirma em:
Resposta corretaI, II e III.
II e IV.
II, III e IV.
I e II.
I, III e IV.
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Pergunta 6 -- /1
O resultado de uma derivada ou integral deve independer da escolha de coordenadas para representar o 
espaço. Isso faz sentido pois, dado um problema, resolvê-lo por um método ou outro não o altera.
Acerca dos seus conhecimentos de coordenadas espaciais, pode-se afirmar que é conveniente utilizar 
coordenadas cilíndricas ou esféricas em alguns problemas porque:
permite integrar em qualquer ordem as coordenadas.
reduz uma integral tripla em um produto de três integrais.
reduz o número de coordenadas e integrais.
só é possível resolver algumas integrais em uma coordenada específica.
Resposta correta
a simetria do problema, sendo cilíndrica ou esférica, torna a resolução da integral 
mais simples nessas coordenadas.
Pergunta 7 -- /1
Para se calcular integrais duplas de funções de duas variáveis é necessário conhecer as regiões de integração. 
Além das regiões retangulares, existem dois tipos de regiões específica, as do Tipo I, limitadas funcionalmente 
no eixo y, e as do Tipo II, limitadas funcionalmente no eixo x. 
Com seus conhecimentos acerca dessas regiões de integração, associe os gráficos a seguir com suas 
respectivas afirmativas:
1) 
2)
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão03_01_v1(1).png
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3)
4)
( ) Região retangular [0,6]x[0,10]
( ) Região do tipo I limitada em y por pelas funções g(x) = x e h(x)=x+2.
( ) Região retangular [3,6]x[5,10].
( ) Região do tipo I, limitada em y pelas funções m(x) = x² e n(x) = x.
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão03_02_v1(1).pngCálculo Vetorial_BQ02 - Questão03_03_v1(1).png
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão03_04_v1(1).png
3, 1, 4, 2.
2, 3, 4, 1.
1, 4, 3, 2.
4, 3, 1, 2.
Resposta correta3, 2, 4, 1.
Pergunta 8 -- /1
Ao descrever uma função em um dado sistema de coordenadas e fazer a mudança de um sistema de 
coordenadas para outro, é necessário ter cautela para escrever corretamente os elementos de área ou volume, 
caso contrário, o resultado da integração pode ficar comprometido.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de sistemas de coordenadas, analise as 
afirmativas a seguir:
I. O elemento de área em coordenadas polares é d A space equals space r d r d theta.
II. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é d V space equals space r d r d theta d z.
III. O elemento de volume em coordenadas esféricas é d V space equals space r sin phi d r d phi d theta.
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IV. Dada uma função script capital f open parentheses x comma y comma z close parentheses em 
coordenadas cartesianas. Em coordenadas esféricas, ela é escrita como f.
Está correto apenas o que se afirma em:
II e IV.
I, III e IV.
I e II.
Resposta corretaI, II e IV.
II e III.
Pergunta 9 -- /1
Assim como na derivada, em funções de várias variáveis, ao se integrar em x considera-se y constante e vice-
versa.
De acordo com essas informações e seus conhecimentos de integração, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Dada a função 
script capital f open parentheses x comma y close parentheses equals 2 x plus 3 x squared y temos que 
integral subscript 0 superscript 3 script capital f open parentheses x comma y close parentheses d x equals 9 
plus 27 y
.
II. ( ) Dada a função 
script capital f open parentheses x comma y close parentheses space equals space fraction numerator y over 
denominator x plus 2 end fraction
 temos que 
integral subscript 0 superscript 4 script capital f open parentheses x comma y close parentheses d x d y 
equals fraction numerator 8 over denominator x plus 2 end fraction
.
III. ( ) Dada a função 
script capital f open parentheses x comma y close parentheses equals x squared plus y squared temos que 
integral subscript 2 superscript 4 integral subscript negative 1 end subscript superscript 1 script capital f open 
parentheses x comma y close parentheses d y d x space equals space 1
.
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IV. ( ) Dada a função 
script capital f open parentheses x comma y close parentheses space equals space 1 plus 4 x y temos que 
integral subscript 1 superscript 3 integral subscript 0 superscript 1 script capital f open parentheses x comma y 
close parentheses d y d x space equals space 10
.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Resposta corretaV, V, F, V.
F, F, V, V.
V, F, F, V.
F, F, V, F.
V, V, F, F.
Pergunta 10 -- /1
Quando se faz a integral em uma função de uma variável, é suficiente dois pontos para definir uma região de 
integração. Ao ir para duas variáveis por exemplo, para definir as regiões no plano xy utiliza-se curvas. Porém, 
há uma possibilidade que não existe no caso de uma variável, que é a integração de 
f open parentheses x comma y close parentheses ao longo de uma curva no plano xy. Isso se chama integral 
de linha.
 Acerca dos seus conhecimentos de integral de caminho, é correto afirmar que a parametrização é necessária 
porque:
a parametrização representa a variável dependente 
f open parentheses x comma y close parentheses ao longo da linha.
representa o elemento de comprimento é d s space equals space d x space plus space d y .
não é possível derivar a função sem parametrizar.
Resposta correta
uma curva, mesmo que no plano xy, possui apenas um parâmetro livre e para se 
integrar é necessário escrever x e y em função desse parâmetro integrável.
g y ç p g
sem parametrizar a curva o resultado da integral seria diferente.