Atvidade 4 Calculo avançado

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1)- Entende-se a importância da transformada de Laplace para o cálculo avançado por sua utilidade na resolução de equações diferencias lineares, além de, em alguns casos, fazer parte do método da solução de outros problemas.
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre Laplace, determine y” - y’ - 6y = 0, sendo y = y(t), em que y(0) = 2 e y’(0) = -1.
Resposta () e Resolução.
Vamos aplicar a transformação de Laplace à solução y(t)
e às suas derivadas:
 
 
Substituindo esses valores na equação diferencial dada, temos:
 
2)- A transformada de Laplace recebeu esse nome em homenagem ao seu descobridor Pierre-Simon Laplace, um matemático e astrônomo, que curiosamente utilizou os conceitos dessa importante transformação em seus trabalhos sobre Teoria da Probabilidade.
 
Considerando essa informação e os conteúdos estudados sobre a transformada de Laplace, calcule .
Resposta e Resolução 
Resposta correta! Veja uma sugestão de resolução:
 
3)- As transformações são muito utilizadas nas resoluções de problemas. Basicamente, uma transformação transforma uma função em outra mais apropriadas ou adequadas à situação, a fim de facilitar a resolução. Uma importante transformada é a de Laplace, que ajuda muito na resolução de problemas lineares.
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre Laplace, determine 
· Resposta ( .) e Resolução:
Resposta correta! Essa questão podemos resolver por meio da definição da transformada de Laplace e integrando por partes, conforme apresentado a seguir:
 
 
 
 
4)- Cada conteúdo que aprendemos no campo da Matemática, funciona como uma “ferramenta” para solucionarmos os problemas. São nossos aliados como recursos essenciais, para facilitar o processo e oferecer resultados mais precisos. Uma dessas ferramentas é a transformada de Laplace, que possui muitas aplicações na engenharia, sendo capaz de transformar uma função, por exemplo, em outra.
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre transformação inversa de Laplace, calcule y - 5y = 0, sendo y(0) = 2.
Resposta e Resolução.
Parabéns! Tomando as transformadas de Laplace de ambos os membros da equação diferencial e aplicando o teorema da linearidade, temos
 
L{y’} – 5L{y} = L{0}
 
Considerando c0 = 2, tem-se [sY(s) – 2] – 5Y(s) = 0, em que.
 
Agora, aplicando à transformada, teremos:
 
5)- No âmbito da matemática aplicada, uma transformação ou transformada de Laplace consegue converter uma equação diferencial em uma equação algébrica, o que é muito conveniente na resolução de algumas situações problemas.
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre transformação de Laplace,
calcule y’ - y = 0, sendo y = y(t) em que y(0) = 1.
Resposta e Resolução:
Parabéns! Essa é uma situação que podemos aplicar a transformada de Laplace na solução y(t) e na sua derivada. Substituindo-as na equação dada, teremos uma equação algébrica. Veja a resolução:
 
 
Então:
 
6)- Na resolução de problemas, podemos nos deparar com integrais desconhecidas e devemos transformá-las em integrais que possamos reconhecer, para assim, resolvê-las. Uma integral conhecida é a integral imprópria, cujo integrando pode não ser limitado ao longo do intervalo de integração ou o intervalo em si pode não ser mais finito.
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre integral imprópria, determine a integral imprópria .
· Resposta   e Resolução:
Oba! Você acertou! Veja uma maneira rápida de calcularmos essa integral imprópria:
 
7)- 
“A função  é a fronteira entre as integrais impróprias convergentes e divergentes impróprias com integrandos da forma
 
 
A integral imprópria converge se p > 1 e diverge se p 1.”
Fonte: THOMAS, G. B. Cálculo. 11. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2008. v. 1. p. 614.
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre integral imprópria, analisando a integral imprópria , analise as afirmativas a seguir.
 
I. A integral imprópria converge.
II. O valor da integral é .
III. A integral imprópria diverge.
IV. O valor da integral é 2.
 
Está correto apenas o que se afirma em:
 
~Parabéns! Para conseguirmos identificar a alternativa correta, precisamos primeiramente determinar o valor da integral dada. Vamos ver um exemplo de resolução:
 
 
a integral imprópria converge para o valor 
Resposta ( I e II) e Resolução.
8)- As propriedades da transformada de Laplace também são úteis na resolução de equações diferenciais em problemas de valor inicial, escrevendo uma equação algébrica para a transformada de Laplace da solução, denominada equação subsidiária. Para encontrar a solução do problema, basta calcular a transformada inversa da equação algébrica.
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre a aplicação da transformada inversa de Laplace, resolva o problema de valor inicial:
 
y” (t) + y(t) = 2t
                                                   y(0) = 2
                                                       y’(0) = 1
· Resposta (.) e Resolução>
Resposta correta! Veja uma sugestão detalhada de resolução. Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace na equação diferencial:
 
F{y”(t)} + F{y(t) = F{2t}
 
Em seguida, usaremos nossos conhecidos sobre transformação de Laplace
 
 
Sendo, temos:
 
 
Obtemos uma equação subsidiária quando substituímos y(0) = 2 e y’(0) = 1:
 
 
Agora, vamos resolver a equação algébrica para Y(s):
 
 
A solução do problema de valor inicial pode ser escrita como:
 
 
Calculando as transformadas inversas, temos:
 
 
Considerando a propriedade da linearidade, temos:
 
· .
9) - A transformada de Laplace é alternativa adequada de aplicação, pois, muitas vezes, consegue reduzir a complexidade do processo de análise ou sintetiza um novo sistema baseado em características específicas nos estudos das engenharias.
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre a transformada de Laplace, calcule 
Resposta e resolução:
Muito bom! Saber determinar uma transformada de Laplace é ótimo. Veja uma proposta de resolução:
 
10)- Integrais que não obedecem às propriedades das integrais definidas são consideradas como integrais impróprias. Essas integrais precisam de outro método de resolução, calculadas por limites e, assim, podemos calcular áreas.
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre integral imprópria, determine a área de uma região localizada no primeiro quadrante, que seja estabelecida pelo gráfico da função , com o eixo dos x e à direita do eixo dos y.
 
~Parabéns pela resposta! O enunciado da situação-problema nos sugere calcular utilizando o limite dessa integral, assim teremos:
 
· Resposta e Resolução