Slides de Aula Unidade III-1

Prof. Mauricio do Fanno
UNIDADE III
Estatística
 Definição.
 Suponha o lançamento de 
uma moeda viciada duas 
vezes, sendo que P(cara) 
= 42% e P(coroa) = 58%.
Distribuições de probabilidades
Ocorrências
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
 
N
º 
c
a
ra
s
N
º
d
e
 c
o
ro
a
s
0 2 33,64%
1 1 48,72%
2 0 17,64%
Lançamento 
da moeda
0,42
0,42
0,42
0,58
0,58
0,58
cara
cara
cara
coroa
coroa
coroa
0,42x0,58=0,2436
0,42x0,42=0,1764
0,58x0,42=0,2436
0,58x0,58=0,3364
Fonte: Autoria própria.
Fonte: Autoria própria.
 Modelos matemáticos.
 Distribuições de probabilidades discretas.
 Binomial.
 Poisson.
 Etc.
 Distribuição de probabilidades contínuas.
 Normal.
 Etc. 
Distribuições de probabilidades
 Características.
 Variáveis discretas.
 Eventos complementares e mutuamente exclusivos.
 Eventos independentes e de probabilidade constante.
 Calcula exatamente uma das situações possíveis.
 Equacionamento matemático: 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝐶𝑛,𝑥 x 𝑝
𝑥 x (1−𝑝)(𝑛−𝑥)
Em que:
 n = número de tentativas, ou seja, número de vezes 
em que o experimento aleatório é repetido.
 p = probabilidade de sucesso, ou seja, que ocorra aquilo 
que desejamos em uma única tentativa.
 x = número de sucessos que se deseja obter.
 Cn,x = número de combinações possíveis, ou seja, resultados 
em que ocorre o que desejamos.
Distribuição binomial
 Exemplo: Jogamos uma moeda viciada (P(cara) = 0,42) duas vezes. Qual a probabilidade de 
que exatamente em uma das vezes apenas saia cara?
 n = (número de tentativas)
 p = (probabilidade de sucesso = )
 x = (número de sucessos desejado = )
Distribuição binomial
Exemplo: A inspeção de qualidade de uma empresa consiste em extrair amostras 
de 10 unidades da produção de uma determinada peça mecânica. Sabe-se que historicamente 
8% das peças produzidas apresentam defeitos. Nessas condições, calcular a probabilidade de 
que, em uma amostra qualquer:
a) Nenhuma das peças seja defeituosa.
b) Apenas duas ou três delas sejam defeituosas.
c) Pelo menos duas delas sejam defeituosas.
Distribuição binomial
Exemplo: A inspeção de qualidade de uma empresa consiste em extrair amostras de 10 
unidades da produção de uma determinada peça mecânica. Sabe-se que, historicamente, 
8% das peças produzidas apresentam defeitos. Nessas condições, calcular a probabilidade 
de que, em uma amostra qualquer:
b) Apenas duas ou três delas sejam defeituosas.
Distribuição binomial
Exemplo: A inspeção de qualidade de uma empresa consiste em extrair amostras de 10 
unidades da produção de uma determinada peça mecânica. Sabe-se que, historicamente, 
8% das peças produzidas apresentam defeitos. Nessas condições, calcular a probabilidade 
de que, em uma amostra qualquer:
c) Pelo menos duas delas sejam defeituosas.
Distribuição binomial
Uma moeda viciada (P(cara = 60%) foi jogada sucessivamente quatro vezes, qual 
a probabilidade de que, dessas quatro vezes, em exatamente três, tenha saído coroa?
a) 15,36%.
b) 18,27%.
c) 25,37%.
d) 7,85%.
e) 25,0%.
Interatividade
Resposta
Uma moeda viciada (P(cara = 60%) foi jogada sucessivamente quatro vezes, qual 
a probabilidade de que, dessas quatro vezes, em exatamente três, tenha saído coroa?
a) 15,36%.
b) 18,27%.
c) 25,37%.
d) 7,85%.
e) 25,0%.
 Valor esperado.
 Desvio-padrão esperado.
 Exemplo: Uma máquina tem probabilidade constante de quebrar, em um dia qualquer, 
de 5%. Ela trabalha de segunda a sexta. Qual o número esperado de quebras semanais 
para essa máquina?
Parâmetros da distribuição binomial
Número de quebras semanais Probabilidade de ocorrer
0 77,38%
1 20,36%
2 2,14%
3 0,11%
4 0,00%
5 0,00%
Somatório 100,00%
Fonte: Autoria própria.
Exemplo: Uma máquina tem probabilidade constante de quebrar, em um dia qualquer, 
de 5%. Ela trabalha de segunda a sexta. Qual o número esperado de quebras semanais 
para essa máquina?
Parâmetros da distribuição binomial
Número de quebras 
semanais
Probabilidade 
de ocorrer
Probabilidade 
multiplicada pelo
número de quebras
0 77,38% 0,0000
1 20,36% 0,2036
2 2,14% 0,0429
3 0,11% 0,0034
4 0,00% 0,0001
5 0,00% 0,0000
Somatório 100,00% 0,2500
Fonte: Autoria própria.
Exemplo: Uma máquina tem probabilidade constante de quebrar, em um dia qualquer, 
de 5%. Ela trabalha de segunda a sexta. Qual o número esperado de quebras semanais 
para essa máquina?
 Valor esperado ou Média 
 Populacional ou Esperança 
 Matemática (µ ou E(x))
Parâmetros da distribuição binomial
Número de quebras 
semanais
Probabilidade 
de ocorrer
Probabilidade 
multiplicada pelo
número de quebras
0 77,38% 0,0000
1 20,36% 0,2036
2 2,14% 0,0429
3 0,11% 0,0034
4 0,00% 0,0001
5 0,00% 0,0000
Somatório 100,00% 0,2500
Fonte: Autoria própria.
 Desvio-padrão esperado ou 
 Desvio-padrão populacional (σ)
Ou então:
Parâmetros da distribuição binomial
Número de 
quebras 
semanais
Probabilidade 
de ocorrer
Desvio ao quadrado 
multiplicado pela 
probabilidade
0 77,38% 0,0484
1 20,36% 0,1145
2 2,14% 0,0656
3 0,11% 0,0085
4 0,00% 0,0004
5 0,00% 0,0000
Somatório 100,00% 0,2375
Fonte: Autoria própria.
 Exemplo: Uma gráfica tem seus lucros diretamente relacionados com a disponibilidade de 
operação de uma grande máquina impressora. Historicamente, a empresa sabe que a 
referida máquina tem 5% de probabilidade de quebrar e permanecer quebrada ao longo 
de todo o dia. A empresa opera cinco dias por semana e sabe-se que se a máquina não 
quebrar durante toda uma semana o lucro semanal da gráfica é de R$ 500.000,00; que se 
quebrar uma ou duas vezes o lucro cai para R$ 130.000,00 e que, nas demais vezes, 
a empresa tem um prejuízo de R$ 960.000,00 calcular o lucro semanal esperado pela 
gráfica a longo prazo.
Esperança matemática
Número de quebras semanais Probabilidade de ocorrer
0 77,38%
1 20,36%
2 2,14%
3 0,11%
4 0,00%
5 0,00%
Fonte: Autoria própria.
Esperança matemática – Exemplo de aplicação
Número de quebras 
semanais
Probabilidade de 
ocorrer
Lucro 
Lucro provável 
multiplicado pela 
probabilidade
0 0,7738 R$ 500.000,00 R$ 386.900,00
1 ou 2 0,2250 R$ 130.000,00 R$ 29.250,00
3, ou 4, ou 5 0,0012 (R$ 960.000,00) (R$ 1.152,00)
Somatório 1,0000 R$ 414.998,00
O uso da distribuição de Poisson deve satisfazer às seguintes condições:
 Número de vezes que determinado evento ocorre num intervalo de tempo ou espaço.
 A probabilidade de que o evento venha a ocorrer é a constante em cada intervalo.
 O número de ocorrências em um intervalo independe do número de ocorrências em 
outros intervalos.
 Equacionamento matemático:
Em que: 
 P(x) = probabilidade de ocorrer exatamente x sucessos.
 λ = número médio de sucessos em um determinado intervalo 
(de tempo ou espaço).
 t = intervalo de tempo ou espaço contínuo de observações.
 e = constante neperiana cujo valor aproximado é de 2,7183.
 x = número de sucessos no intervalo desejado.
Distribuição de Poisson
Em um centro de distribuição chegam em média 5 caminhões por dia, seguindo uma distribuição 
de Poisson, sabendo que o centro tem três docas e um caminhão leva meio dia para ser 
descarregado e liberado, qual a probabilidade de caminhões terem que esperar no pátio? 
Distribuição de Poisson
O número de falhas mensais de um computador é uma variável que tem distribuição de 
Poisson com média de 3 defeitos. Nessas condições, a probabilidade de o computador 
apresentar exatamente duas falhas no período de 45 dias é igual a quanto?
Distribuição de Poisson
Em um hospital é realizada determinada cirurgia, na qual a probabilidade de se sobreviver é de 
75%. Em determinado mês, 60 pacientes são submetidos a ela. Queremos estimar o número 
de mortos que ocorrerá. Qual o desvio-padrão esperado dessa estimação?
a) 2,4 mortes aproximadamente.
b) 3,4 mortes aproximadamente.
c) 4,3 mortes aproximadamente.
d) 4,4 mortes aproximadamente.
e) 3,0 mortes aproximadamente.
Interatividade
Resposta