Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Prof. Mauricio do Fanno UNIDADE III Estatística Definição. Suponha o lançamento de uma moeda viciada duas vezes, sendo que P(cara) = 42% e P(coroa) = 58%. Distribuições de probabilidades Ocorrências P ro b a b il id a d e N º c a ra s N º d e c o ro a s 0 2 33,64% 1 1 48,72% 2 0 17,64% Lançamento da moeda 0,42 0,42 0,42 0,58 0,58 0,58 cara cara cara coroa coroa coroa 0,42x0,58=0,2436 0,42x0,42=0,1764 0,58x0,42=0,2436 0,58x0,58=0,3364 Fonte: Autoria própria. Fonte: Autoria própria. Modelos matemáticos. Distribuições de probabilidades discretas. Binomial. Poisson. Etc. Distribuição de probabilidades contínuas. Normal. Etc. Distribuições de probabilidades Características. Variáveis discretas. Eventos complementares e mutuamente exclusivos. Eventos independentes e de probabilidade constante. Calcula exatamente uma das situações possíveis. Equacionamento matemático: 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝐶𝑛,𝑥 x 𝑝 𝑥 x (1−𝑝)(𝑛−𝑥) Em que: n = número de tentativas, ou seja, número de vezes em que o experimento aleatório é repetido. p = probabilidade de sucesso, ou seja, que ocorra aquilo que desejamos em uma única tentativa. x = número de sucessos que se deseja obter. Cn,x = número de combinações possíveis, ou seja, resultados em que ocorre o que desejamos. Distribuição binomial Exemplo: Jogamos uma moeda viciada (P(cara) = 0,42) duas vezes. Qual a probabilidade de que exatamente em uma das vezes apenas saia cara? n = (número de tentativas) p = (probabilidade de sucesso = ) x = (número de sucessos desejado = ) Distribuição binomial Exemplo: A inspeção de qualidade de uma empresa consiste em extrair amostras de 10 unidades da produção de uma determinada peça mecânica. Sabe-se que historicamente 8% das peças produzidas apresentam defeitos. Nessas condições, calcular a probabilidade de que, em uma amostra qualquer: a) Nenhuma das peças seja defeituosa. b) Apenas duas ou três delas sejam defeituosas. c) Pelo menos duas delas sejam defeituosas. Distribuição binomial Exemplo: A inspeção de qualidade de uma empresa consiste em extrair amostras de 10 unidades da produção de uma determinada peça mecânica. Sabe-se que, historicamente, 8% das peças produzidas apresentam defeitos. Nessas condições, calcular a probabilidade de que, em uma amostra qualquer: b) Apenas duas ou três delas sejam defeituosas. Distribuição binomial Exemplo: A inspeção de qualidade de uma empresa consiste em extrair amostras de 10 unidades da produção de uma determinada peça mecânica. Sabe-se que, historicamente, 8% das peças produzidas apresentam defeitos. Nessas condições, calcular a probabilidade de que, em uma amostra qualquer: c) Pelo menos duas delas sejam defeituosas. Distribuição binomial Uma moeda viciada (P(cara = 60%) foi jogada sucessivamente quatro vezes, qual a probabilidade de que, dessas quatro vezes, em exatamente três, tenha saído coroa? a) 15,36%. b) 18,27%. c) 25,37%. d) 7,85%. e) 25,0%. Interatividade Resposta Uma moeda viciada (P(cara = 60%) foi jogada sucessivamente quatro vezes, qual a probabilidade de que, dessas quatro vezes, em exatamente três, tenha saído coroa? a) 15,36%. b) 18,27%. c) 25,37%. d) 7,85%. e) 25,0%. Valor esperado. Desvio-padrão esperado. Exemplo: Uma máquina tem probabilidade constante de quebrar, em um dia qualquer, de 5%. Ela trabalha de segunda a sexta. Qual o número esperado de quebras semanais para essa máquina? Parâmetros da distribuição binomial Número de quebras semanais Probabilidade de ocorrer 0 77,38% 1 20,36% 2 2,14% 3 0,11% 4 0,00% 5 0,00% Somatório 100,00% Fonte: Autoria própria. Exemplo: Uma máquina tem probabilidade constante de quebrar, em um dia qualquer, de 5%. Ela trabalha de segunda a sexta. Qual o número esperado de quebras semanais para essa máquina? Parâmetros da distribuição binomial Número de quebras semanais Probabilidade de ocorrer Probabilidade multiplicada pelo número de quebras 0 77,38% 0,0000 1 20,36% 0,2036 2 2,14% 0,0429 3 0,11% 0,0034 4 0,00% 0,0001 5 0,00% 0,0000 Somatório 100,00% 0,2500 Fonte: Autoria própria. Exemplo: Uma máquina tem probabilidade constante de quebrar, em um dia qualquer, de 5%. Ela trabalha de segunda a sexta. Qual o número esperado de quebras semanais para essa máquina? Valor esperado ou Média Populacional ou Esperança Matemática (µ ou E(x)) Parâmetros da distribuição binomial Número de quebras semanais Probabilidade de ocorrer Probabilidade multiplicada pelo número de quebras 0 77,38% 0,0000 1 20,36% 0,2036 2 2,14% 0,0429 3 0,11% 0,0034 4 0,00% 0,0001 5 0,00% 0,0000 Somatório 100,00% 0,2500 Fonte: Autoria própria. Desvio-padrão esperado ou Desvio-padrão populacional (σ) Ou então: Parâmetros da distribuição binomial Número de quebras semanais Probabilidade de ocorrer Desvio ao quadrado multiplicado pela probabilidade 0 77,38% 0,0484 1 20,36% 0,1145 2 2,14% 0,0656 3 0,11% 0,0085 4 0,00% 0,0004 5 0,00% 0,0000 Somatório 100,00% 0,2375 Fonte: Autoria própria. Exemplo: Uma gráfica tem seus lucros diretamente relacionados com a disponibilidade de operação de uma grande máquina impressora. Historicamente, a empresa sabe que a referida máquina tem 5% de probabilidade de quebrar e permanecer quebrada ao longo de todo o dia. A empresa opera cinco dias por semana e sabe-se que se a máquina não quebrar durante toda uma semana o lucro semanal da gráfica é de R$ 500.000,00; que se quebrar uma ou duas vezes o lucro cai para R$ 130.000,00 e que, nas demais vezes, a empresa tem um prejuízo de R$ 960.000,00 calcular o lucro semanal esperado pela gráfica a longo prazo. Esperança matemática Número de quebras semanais Probabilidade de ocorrer 0 77,38% 1 20,36% 2 2,14% 3 0,11% 4 0,00% 5 0,00% Fonte: Autoria própria. Esperança matemática – Exemplo de aplicação Número de quebras semanais Probabilidade de ocorrer Lucro Lucro provável multiplicado pela probabilidade 0 0,7738 R$ 500.000,00 R$ 386.900,00 1 ou 2 0,2250 R$ 130.000,00 R$ 29.250,00 3, ou 4, ou 5 0,0012 (R$ 960.000,00) (R$ 1.152,00) Somatório 1,0000 R$ 414.998,00 O uso da distribuição de Poisson deve satisfazer às seguintes condições: Número de vezes que determinado evento ocorre num intervalo de tempo ou espaço. A probabilidade de que o evento venha a ocorrer é a constante em cada intervalo. O número de ocorrências em um intervalo independe do número de ocorrências em outros intervalos. Equacionamento matemático: Em que: P(x) = probabilidade de ocorrer exatamente x sucessos. λ = número médio de sucessos em um determinado intervalo (de tempo ou espaço). t = intervalo de tempo ou espaço contínuo de observações. e = constante neperiana cujo valor aproximado é de 2,7183. x = número de sucessos no intervalo desejado. Distribuição de Poisson Em um centro de distribuição chegam em média 5 caminhões por dia, seguindo uma distribuição de Poisson, sabendo que o centro tem três docas e um caminhão leva meio dia para ser descarregado e liberado, qual a probabilidade de caminhões terem que esperar no pátio? Distribuição de Poisson O número de falhas mensais de um computador é uma variável que tem distribuição de Poisson com média de 3 defeitos. Nessas condições, a probabilidade de o computador apresentar exatamente duas falhas no período de 45 dias é igual a quanto? Distribuição de Poisson Em um hospital é realizada determinada cirurgia, na qual a probabilidade de se sobreviver é de 75%. Em determinado mês, 60 pacientes são submetidos a ela. Queremos estimar o número de mortos que ocorrerá. Qual o desvio-padrão esperado dessa estimação? a) 2,4 mortes aproximadamente. b) 3,4 mortes aproximadamente. c) 4,3 mortes aproximadamente. d) 4,4 mortes aproximadamente. e) 3,0 mortes aproximadamente. Interatividade RespostaEm um hospital é realizada determinada cirurgia, na qual a probabilidade de se sobreviver é de 75%. Em determinado mês, 60 pacientes são submetidos a ela. Queremos estimar o número de mortos que ocorrerá. Qual o desvio-padrão esperado dessa estimação? a) 2,4 mortes aproximadamente. b) 3,4 mortes aproximadamente. c) 4,3 mortes aproximadamente. d) 4,4 mortes aproximadamente. e) 3,0 mortes aproximadamente. Definição. Distribuição normal. Características. Distribuições para variáveis contínuas – Distribuição normal Fonte: Livro-texto. p ro b a b il id a d e s Número de ações em alta 0% 5% 10% 15% 20% 25% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 µ+σµ+σ µ Cálculo das probabilidades. Suponha que saibamos que um determinado tipo de pneu dura em média 42.000 km, com desvio-padrão de 5.800 km. Qual a probabilidade de que um pneu qualquer dure mais do que 50.000 km? Distribuição normal Fonte: Livro-texto. d e n s id a d e 0 5 20 35 50 65 42 Área na qual estão localizados os pneus que têm vida útil maior ou igual a 50.000 km Vida útil Em milhares de km Distribuição Normal Reduzida. Características. Relação com situação real. , em que: z = variável reduzida x = variável real µ = média populacional σ = desvio-padrão populacional Distribuição normal Fonte: Livro-texto. Distribuição normal reduzida -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 z P(z) At z = -1,65 Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294 -1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367 -1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 -1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559 -1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681 Fonte: Livro-texto. Fonte: Livro-texto. Exemplo 1: Suponha que a produção mensal de um determinado produto siga a distribuição normal, com média de 12.500 unidades e desvio-padrão de 1.200 unidades. Qual a probabilidade de que, em determinado mês, a produção seja inferior a 11.000 unidades? Distribuição normal P(z) Ap Ap = At 11.000 12.500 -4 -3 -2 -1 10 2 3 4 Z = 1,25 z Produção mensal Fonte: Livro-texto. z = −1,25→𝐴𝑡 = 0,1056 𝑜𝑢 10,56% 𝑁𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜: 𝐴𝑝 = 𝐴𝑡 = 10,56% 𝑃(𝑥<11.000)=10,56% Distribuição normal Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681 -1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823 -1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985 -1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170 -1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379 Fonte: Livro-texto. Suponha que a produção mensal de um determinado produto siga a distribuição normal com média de 12.500 unidades e desvio-padrão de 1.200 unidades. Qual a probabilidade de que, em determinado mês, a produção seja superior a 13.800 unidades? Distribuição normal P(z) Ap Ap = 1 - At 13.00012.500 -4 -3 -2 -1 10 2 3 4 Z = 1,08 z Produção Mensal Fonte: Livro-texto. z = 1,08 → 𝐴𝑡 = 0,8599 ou 85,99% Nesse caso: 𝐴𝑝 = 1 − A𝑡 = 1 − 0,8599 = 0,1401 ou 14,01% P(x > 13.800) = 14,01% Distribuição normal Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5819 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7642 0,7673 0,7704 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8865 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8401 0,8485 0,8508 0,8554 0,8577 0,8577 0,8599 0,8621 Fonte: Livro-texto. Suponha que a produção mensal de um determinado produto siga a distribuição normal com média de 12.500 unidades e desvio-padrão de 1.200 unidades. Qual a probabilidade de que, em determinado mês, a produção esteja entre 12.000 e 13.500? Distribuição normal P(z) Ap Ap = At1 –At2 12.500 -4 -3 -2 -1 10 2 3 4 Z = 0,42 z Produção Mensal12.000 13.500 Z = 0,83 -4 -3 -2 -1 10 2 3 4 Z = 0,42 z Z = 0,83 P(z) At2 At1 -4 -3 -2 -1 10 2 3 4 Z = 0,42 z Z = 0,83 P(z) Fonte: Livro-texto. 𝐴𝑝 = 𝐴𝑡2 − 𝐴𝑡1 = 0,7987 − 0,3372 = 0,4615 ou 46,15% P (12.000 < x < 13.500) = 46,15% Distribuição normal Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7987 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 Fonte: Livro-texto. As notas dos aluno de uma turma de Estatística foi 6,2, com desvio-padrão de 0,5, normalmente distribuídas. Sabendo que a média para ser aprovado sem exame é 7,0, qual a probabilidade de um aluno dessa turma estar nessa condição? a) 5,48%. b) 6,52%. c) 4,75%. d) 5,75%. e) 6,90%. Interatividade As notas dos aluno de uma turma de Estatística foi 6,2, com desvio-padrão de 0,5, normalmente distribuídas. Sabendo que a média para ser aprovado sem exame é 7,0, qual a probabilidade de um aluno dessa turma estar nessa condição? a) 5,48%. b) 6,52%. c) 4,75%. d) 5,75%. e) 6,90%. Resposta Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 Fonte: Livro-texto. Uma oficina automotiva efetua seus consertos no tempo médio de 45 minutos com desvio-padrão de 8 minutos, normalmente distribuído. Nessas circunstâncias, qual é a previsão de tempo de trabalho que a oficina deve passar ao cliente para que tenha 90% de probabilidades de efetuar o trabalho dentro do prazo? Distribuição normal Ad = At = 90% ou 0,9000 -4 -3 -2 -1 10 2 3 4 Z = ? z P(z) Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8900 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 Fonte: Livro-texto. Exemplo 3 – Uma oficina automotiva efetua seus consertos no tempo médio de 45 minutos, com desvio-padrão de 8 minutos, normalmente distribuído. Nessas circunstâncias, qual é a previsão de tempo de trabalho que a oficina deve passar ao cliente para que tenha no máximo 30% de risco de efetuar o trabalho dentro do prazo? Distribuição normal -4 -3 -2 -1 10 2 3 4 Z = ? At = 1- Ad = 1 – 0,3000 = 0,7000 P(z) Ad = 30% ou 0,3000 Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 Fonte: Livro-texto. Uma empresa produz componentes eletrônicos cuja vida útil é normalmente distribuída com média de 25.000 horas e desvio-padrão de 1.600 horas. É oferecida para esse componente uma garantia de 20.000. Nestas condições, pede-se: a) Qual a probabilidade de um componente deste tipo ter que ser substituído na garantia? b) Cada componente substituído custa em média, para a empresa, R$ 55,00, nas diversas despesas decorrentes. Considerando que sejam produzidas e vendidas 120.000 unidades deste componente ao ano, qual o custo anual com garantia? c) A empresa deseja reduzir os gastos com garantia pela metade. Qualdeveria ser a nova garantia estabelecida? Distribuição normal – Aplicações Uma empresa produz componentes eletrônicos cuja vida útil é normalmente distribuída com média de 25.000 horas e desvio-padrão de 1.600 horas. É oferecida para esse componente uma garantia de 20.000. Nestas condições, pede-se: a) Qual a probabilidade de um componente deste tipo ter que ser substituído na garantia? Distribuição normal – Aplicações Fonte: Livro-texto. Uma empresa produz componentes eletrônicos cuja vida útil é normalmente distribuída com média de 25.000 horas e desvio-padrão de 1.600 horas. É oferecida para esse componente uma garantia de 20.000. Nestas condições, pede-se: b) Cada componente substituído custa em média, para a empresa, R$ 55,00, nas diversas despesas decorrentes. Considerando que sejam produzidas e vendidas 120.000 unidades deste componente ao ano, qual o custo anual com garantia? Distribuição normal – Aplicações Uma empresa produz componentes eletrônicos cuja vida útil é normalmente distribuída com média de 25.000 horas e desvio-padrão de 1.600 horas. É oferecida para esse componente uma garantia de 20.000. Nestas condições, pede-se: c) A empresa deseja reduzir os gastos com garantia pela metade. Qual deveria ser a nova garantia estabelecida? Distribuição normal – Aplicações Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002 -3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 -3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 Fonte: Livro-texto. Uma empresa produz e comercializa um determinado produto cujas vendas mensais são normalmente distribuídas com média de 10.500 unidades e desvio-padrão de 2.700 toneladas. As quantidades mensais produzidas também se distribuem normalmente, com média de 11.800 unidades e desvio-padrão de 3.200 unidades. Considerando que não sejam feitas limitações externas de qualquer tipo, qual a probabilidade de que, ao final do mês, tenham sobrado unidades do produto? Distribuição normal – Aplicações Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121 -0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483 -0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 Fonte: Livro-texto. As notas de Estatística numa determinada universidade são normalmente distribuídas com média de 5,2 e desvio-padrão de 0,9. Nestas condições, qual a nota máxima dos 22% piores alunos? a) 4,0. b) 5,5. c) 4,5. d) 4,2. e) 3,8. Interatividade As notas de Estatística numa determinada universidade são normalmente distribuídas com média de 5,2 e desvio-padrão de 0,9. Nestas condições, qual a nota máxima dos 22% piores alunos? a) 4,0. b) 5,5. c) 4,5. d) 4,2. e) 3,8. Resposta ATÉ A PRÓXIMA!
Compartilhar