Slides de Aula Unidade III

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Prof. Mauricio do Fanno
UNIDADE III
Estatística
 Definição.
 Suponha o lançamento de 
uma moeda viciada duas 
vezes, sendo que P(cara) 
= 42% e P(coroa) = 58%.
Distribuições de probabilidades
Ocorrências
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
 
N
º 
c
a
ra
s
N
º
d
e
 c
o
ro
a
s
0 2 33,64%
1 1 48,72%
2 0 17,64%
Lançamento 
da moeda
0,42
0,42
0,42
0,58
0,58
0,58
cara
cara
cara
coroa
coroa
coroa
0,42x0,58=0,2436
0,42x0,42=0,1764
0,58x0,42=0,2436
0,58x0,58=0,3364
Fonte: Autoria própria.
Fonte: Autoria própria.
 Modelos matemáticos.
 Distribuições de probabilidades discretas.
 Binomial.
 Poisson.
 Etc.
 Distribuição de probabilidades contínuas.
 Normal.
 Etc. 
Distribuições de probabilidades
 Características.
 Variáveis discretas.
 Eventos complementares e mutuamente exclusivos.
 Eventos independentes e de probabilidade constante.
 Calcula exatamente uma das situações possíveis.
 Equacionamento matemático: 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝐶𝑛,𝑥 x 𝑝
𝑥 x (1−𝑝)(𝑛−𝑥)
Em que:
 n = número de tentativas, ou seja, número de vezes 
em que o experimento aleatório é repetido.
 p = probabilidade de sucesso, ou seja, que ocorra aquilo 
que desejamos em uma única tentativa.
 x = número de sucessos que se deseja obter.
 Cn,x = número de combinações possíveis, ou seja, resultados 
em que ocorre o que desejamos.
Distribuição binomial
 Exemplo: Jogamos uma moeda viciada (P(cara) = 0,42) duas vezes. Qual a probabilidade de 
que exatamente em uma das vezes apenas saia cara?
 n = (número de tentativas)
 p = (probabilidade de sucesso = )
 x = (número de sucessos desejado = )
Distribuição binomial
Exemplo: A inspeção de qualidade de uma empresa consiste em extrair amostras 
de 10 unidades da produção de uma determinada peça mecânica. Sabe-se que historicamente 
8% das peças produzidas apresentam defeitos. Nessas condições, calcular a probabilidade de 
que, em uma amostra qualquer:
a) Nenhuma das peças seja defeituosa.
b) Apenas duas ou três delas sejam defeituosas.
c) Pelo menos duas delas sejam defeituosas.
Distribuição binomial
Exemplo: A inspeção de qualidade de uma empresa consiste em extrair amostras de 10 
unidades da produção de uma determinada peça mecânica. Sabe-se que, historicamente, 
8% das peças produzidas apresentam defeitos. Nessas condições, calcular a probabilidade 
de que, em uma amostra qualquer:
b) Apenas duas ou três delas sejam defeituosas.
Distribuição binomial
Exemplo: A inspeção de qualidade de uma empresa consiste em extrair amostras de 10 
unidades da produção de uma determinada peça mecânica. Sabe-se que, historicamente, 
8% das peças produzidas apresentam defeitos. Nessas condições, calcular a probabilidade 
de que, em uma amostra qualquer:
c) Pelo menos duas delas sejam defeituosas.
Distribuição binomial
Uma moeda viciada (P(cara = 60%) foi jogada sucessivamente quatro vezes, qual 
a probabilidade de que, dessas quatro vezes, em exatamente três, tenha saído coroa?
a) 15,36%.
b) 18,27%.
c) 25,37%.
d) 7,85%.
e) 25,0%.
Interatividade
Resposta
Uma moeda viciada (P(cara = 60%) foi jogada sucessivamente quatro vezes, qual 
a probabilidade de que, dessas quatro vezes, em exatamente três, tenha saído coroa?
a) 15,36%.
b) 18,27%.
c) 25,37%.
d) 7,85%.
e) 25,0%.
 Valor esperado.
 Desvio-padrão esperado.
 Exemplo: Uma máquina tem probabilidade constante de quebrar, em um dia qualquer, 
de 5%. Ela trabalha de segunda a sexta. Qual o número esperado de quebras semanais 
para essa máquina?
Parâmetros da distribuição binomial
Número de quebras semanais Probabilidade de ocorrer
0 77,38%
1 20,36%
2 2,14%
3 0,11%
4 0,00%
5 0,00%
Somatório 100,00%
Fonte: Autoria própria.
Exemplo: Uma máquina tem probabilidade constante de quebrar, em um dia qualquer, 
de 5%. Ela trabalha de segunda a sexta. Qual o número esperado de quebras semanais 
para essa máquina?
Parâmetros da distribuição binomial
Número de quebras 
semanais
Probabilidade 
de ocorrer
Probabilidade 
multiplicada pelo
número de quebras
0 77,38% 0,0000
1 20,36% 0,2036
2 2,14% 0,0429
3 0,11% 0,0034
4 0,00% 0,0001
5 0,00% 0,0000
Somatório 100,00% 0,2500
Fonte: Autoria própria.
Exemplo: Uma máquina tem probabilidade constante de quebrar, em um dia qualquer, 
de 5%. Ela trabalha de segunda a sexta. Qual o número esperado de quebras semanais 
para essa máquina?
 Valor esperado ou Média 
 Populacional ou Esperança 
 Matemática (µ ou E(x))
Parâmetros da distribuição binomial
Número de quebras 
semanais
Probabilidade 
de ocorrer
Probabilidade 
multiplicada pelo
número de quebras
0 77,38% 0,0000
1 20,36% 0,2036
2 2,14% 0,0429
3 0,11% 0,0034
4 0,00% 0,0001
5 0,00% 0,0000
Somatório 100,00% 0,2500
Fonte: Autoria própria.
 Desvio-padrão esperado ou 
 Desvio-padrão populacional (σ)
Ou então:
Parâmetros da distribuição binomial
Número de 
quebras 
semanais
Probabilidade 
de ocorrer
Desvio ao quadrado 
multiplicado pela 
probabilidade
0 77,38% 0,0484
1 20,36% 0,1145
2 2,14% 0,0656
3 0,11% 0,0085
4 0,00% 0,0004
5 0,00% 0,0000
Somatório 100,00% 0,2375
Fonte: Autoria própria.
 Exemplo: Uma gráfica tem seus lucros diretamente relacionados com a disponibilidade de 
operação de uma grande máquina impressora. Historicamente, a empresa sabe que a 
referida máquina tem 5% de probabilidade de quebrar e permanecer quebrada ao longo 
de todo o dia. A empresa opera cinco dias por semana e sabe-se que se a máquina não 
quebrar durante toda uma semana o lucro semanal da gráfica é de R$ 500.000,00; que se 
quebrar uma ou duas vezes o lucro cai para R$ 130.000,00 e que, nas demais vezes, 
a empresa tem um prejuízo de R$ 960.000,00 calcular o lucro semanal esperado pela 
gráfica a longo prazo.
Esperança matemática
Número de quebras semanais Probabilidade de ocorrer
0 77,38%
1 20,36%
2 2,14%
3 0,11%
4 0,00%
5 0,00%
Fonte: Autoria própria.
Esperança matemática – Exemplo de aplicação
Número de quebras 
semanais
Probabilidade de 
ocorrer
Lucro 
Lucro provável 
multiplicado pela 
probabilidade
0 0,7738 R$ 500.000,00 R$ 386.900,00
1 ou 2 0,2250 R$ 130.000,00 R$ 29.250,00
3, ou 4, ou 5 0,0012 (R$ 960.000,00) (R$ 1.152,00)
Somatório 1,0000 R$ 414.998,00
O uso da distribuição de Poisson deve satisfazer às seguintes condições:
 Número de vezes que determinado evento ocorre num intervalo de tempo ou espaço.
 A probabilidade de que o evento venha a ocorrer é a constante em cada intervalo.
 O número de ocorrências em um intervalo independe do número de ocorrências em 
outros intervalos.
 Equacionamento matemático:
Em que: 
 P(x) = probabilidade de ocorrer exatamente x sucessos.
 λ = número médio de sucessos em um determinado intervalo 
(de tempo ou espaço).
 t = intervalo de tempo ou espaço contínuo de observações.
 e = constante neperiana cujo valor aproximado é de 2,7183.
 x = número de sucessos no intervalo desejado.
Distribuição de Poisson
Em um centro de distribuição chegam em média 5 caminhões por dia, seguindo uma distribuição 
de Poisson, sabendo que o centro tem três docas e um caminhão leva meio dia para ser 
descarregado e liberado, qual a probabilidade de caminhões terem que esperar no pátio? 
Distribuição de Poisson
O número de falhas mensais de um computador é uma variável que tem distribuição de 
Poisson com média de 3 defeitos. Nessas condições, a probabilidade de o computador 
apresentar exatamente duas falhas no período de 45 dias é igual a quanto?
Distribuição de Poisson
Em um hospital é realizada determinada cirurgia, na qual a probabilidade de se sobreviver é de 
75%. Em determinado mês, 60 pacientes são submetidos a ela. Queremos estimar o número 
de mortos que ocorrerá. Qual o desvio-padrão esperado dessa estimação?
a) 2,4 mortes aproximadamente.
b) 3,4 mortes aproximadamente.
c) 4,3 mortes aproximadamente.
d) 4,4 mortes aproximadamente.
e) 3,0 mortes aproximadamente.
Interatividade
RespostaEm um hospital é realizada determinada cirurgia, na qual a probabilidade de se sobreviver é de 
75%. Em determinado mês, 60 pacientes são submetidos a ela. Queremos estimar o número 
de mortos que ocorrerá. Qual o desvio-padrão esperado dessa estimação?
a) 2,4 mortes aproximadamente.
b) 3,4 mortes aproximadamente.
c) 4,3 mortes aproximadamente.
d) 4,4 mortes aproximadamente.
e) 3,0 mortes aproximadamente.
 Definição.
 Distribuição normal.
 Características.
Distribuições para variáveis contínuas – Distribuição normal
Fonte: Livro-texto.
p
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
s
Número de ações em alta
0%
5%
10%
15%
20%
25%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
µ+σµ+σ µ
 Cálculo das probabilidades.
 Suponha que saibamos que 
um determinado tipo de pneu 
dura em média 42.000 km, com 
desvio-padrão de 5.800 km. 
Qual a probabilidade de que 
um pneu qualquer dure mais 
do que 50.000 km?
Distribuição normal
Fonte: Livro-texto.
d
e
n
s
id
a
d
e
0 5 20 35 50 65
42
Área na qual 
estão localizados os 
pneus que têm vida 
útil maior ou igual 
a 50.000 km
Vida útil
Em milhares de km
 Distribuição Normal Reduzida.
 Características.
 Relação com situação real. 
 , em que:
 z = variável reduzida
 x = variável real
 µ = média populacional
 σ = desvio-padrão populacional
Distribuição normal
Fonte: Livro-texto.
Distribuição normal reduzida
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
z
P(z)
At
z = -1,65
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294
-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559
-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
Fonte: Livro-texto.
Fonte: Livro-texto.
 Exemplo 1: Suponha que a produção 
mensal de um determinado produto siga 
a distribuição normal, com média de 
12.500 unidades e desvio-padrão de 
1.200 unidades. Qual a probabilidade de 
que, em determinado mês, a produção 
seja inferior a 11.000 unidades?
Distribuição normal
P(z)
Ap
Ap = At
11.000 12.500
-4 -3 -2 -1 10 2 3 4
Z = 1,25
z
Produção mensal
Fonte: Livro-texto.
 z = −1,25→𝐴𝑡 = 0,1056 𝑜𝑢 10,56%
 𝑁𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜: 𝐴𝑝 = 𝐴𝑡 = 10,56%
 𝑃(𝑥<11.000)=10,56%
Distribuição normal
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
Fonte: Livro-texto.
 Suponha que a produção mensal de um 
determinado produto siga a distribuição 
normal com média de 12.500 unidades e 
desvio-padrão de 1.200 unidades. Qual a 
probabilidade de que, em determinado 
mês, a produção seja superior a 13.800 
unidades?
Distribuição normal
P(z)
Ap
Ap = 1 - At
13.00012.500
-4 -3 -2 -1 10 2 3 4
Z = 1,08
z
Produção Mensal
Fonte: Livro-texto.
 z = 1,08 → 𝐴𝑡 = 0,8599 ou 85,99%
 Nesse caso: 𝐴𝑝 = 1 − A𝑡 = 1 − 0,8599 = 0,1401 ou 14,01%
 P(x > 13.800) = 14,01%
Distribuição normal
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5819 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7642 0,7673 0,7704 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8865 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8401 0,8485 0,8508 0,8554 0,8577 0,8577 0,8599 0,8621
Fonte: Livro-texto.
 Suponha que a produção mensal de um determinado produto siga a distribuição normal com 
média de 12.500 unidades e desvio-padrão de 1.200 unidades. Qual a probabilidade de que, 
em determinado mês, a produção esteja entre 12.000 e 13.500?
Distribuição normal
P(z)
Ap
Ap = At1 –At2
12.500
-4 -3 -2 -1 10 2 3 4
Z = 0,42
z
Produção Mensal12.000 13.500
Z = 0,83
-4 -3 -2 -1 10 2 3 4
Z = 0,42
z
Z = 0,83
P(z)
At2
At1
-4 -3 -2 -1 10 2 3 4
Z = 0,42
z
Z = 0,83
P(z)
Fonte: Livro-texto.
 𝐴𝑝 = 𝐴𝑡2 − 𝐴𝑡1 = 0,7987 − 0,3372 = 0,4615 ou 46,15%
 P (12.000 < x < 13.500) = 46,15%
Distribuição normal
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7987 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
Fonte: Livro-texto.
As notas dos aluno de uma turma de Estatística foi 6,2, com desvio-padrão de 0,5, 
normalmente distribuídas. Sabendo que a média para ser aprovado sem exame 
é 7,0, qual a probabilidade de um aluno dessa turma estar nessa condição?
a) 5,48%.
b) 6,52%.
c) 4,75%.
d) 5,75%.
e) 6,90%.
Interatividade
As notas dos aluno de uma turma de Estatística foi 6,2, com desvio-padrão de 0,5, 
normalmente distribuídas. Sabendo que a média para ser aprovado sem exame 
é 7,0, qual a probabilidade de um aluno dessa turma estar nessa condição?
a) 5,48%.
b) 6,52%.
c) 4,75%.
d) 5,75%.
e) 6,90%.
Resposta
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
Fonte: Livro-texto.
 Uma oficina automotiva efetua seus 
consertos no tempo médio de 45 
minutos com desvio-padrão de 8 
minutos, normalmente distribuído. 
Nessas circunstâncias, qual é a 
previsão de tempo de trabalho que a 
oficina deve passar ao cliente para que 
tenha 90% de probabilidades de efetuar 
o trabalho dentro do prazo?
Distribuição normal
Ad = At = 90% ou 0,9000
-4 -3 -2 -1 10 2 3 4
Z = ?
z
P(z)
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8900 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
Fonte: Livro-texto.
 Exemplo 3 – Uma oficina automotiva 
efetua seus consertos no tempo médio 
de 45 minutos, com desvio-padrão 
de 8 minutos, normalmente distribuído. 
Nessas circunstâncias, qual é a 
previsão de tempo de trabalho que a 
oficina deve passar ao cliente para que 
tenha no máximo 30% de risco de 
efetuar o trabalho dentro do prazo?
Distribuição normal
-4 -3 -2 -1 10 2 3 4
Z = ?
At = 1- Ad = 1 – 0,3000 = 0,7000
P(z)
Ad = 30% ou 0,3000
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
Fonte: Livro-texto.
Uma empresa produz componentes eletrônicos cuja vida útil é normalmente distribuída com 
média de 25.000 horas e desvio-padrão de 1.600 horas. É oferecida para esse componente 
uma garantia de 20.000. Nestas condições, pede-se:
a) Qual a probabilidade de um componente deste tipo ter que ser substituído na garantia?
b) Cada componente substituído custa em média, para a empresa, R$ 55,00, nas diversas 
despesas decorrentes. Considerando que sejam produzidas e vendidas 120.000 unidades 
deste componente ao ano, qual o custo anual com garantia?
c) A empresa deseja reduzir os gastos com garantia pela metade. Qualdeveria ser a nova 
garantia estabelecida?
Distribuição normal – Aplicações
Uma empresa produz componentes eletrônicos cuja vida útil é normalmente distribuída com 
média de 25.000 horas e desvio-padrão de 1.600 horas. É oferecida para esse componente 
uma garantia de 20.000. Nestas condições, pede-se:
a) Qual a probabilidade de um componente deste tipo ter que ser substituído na garantia?
Distribuição normal – Aplicações
Fonte: Livro-texto.
Uma empresa produz componentes eletrônicos cuja vida útil é normalmente distribuída com 
média de 25.000 horas e desvio-padrão de 1.600 horas. É oferecida para esse componente 
uma garantia de 20.000. Nestas condições, pede-se:
b) Cada componente substituído custa em média, para a empresa, R$ 55,00, nas diversas 
despesas decorrentes. Considerando que sejam produzidas e vendidas 120.000 unidades 
deste componente ao ano, qual o custo anual com garantia?
Distribuição normal – Aplicações
Uma empresa produz componentes eletrônicos cuja vida útil é normalmente distribuída com 
média de 25.000 horas e desvio-padrão de 1.600 horas. É oferecida para esse componente 
uma garantia de 20.000. Nestas condições, pede-se:
c) A empresa deseja reduzir os gastos com garantia pela 
metade. Qual deveria ser a nova garantia estabelecida?
Distribuição normal – Aplicações
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002
-3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003
-3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005
Fonte: Livro-texto.
 Uma empresa produz e comercializa um determinado produto cujas vendas mensais 
são normalmente distribuídas com média de 10.500 unidades e desvio-padrão de 2.700 
toneladas. As quantidades mensais produzidas também se distribuem normalmente, com 
média de 11.800 unidades e desvio-padrão de 3.200 unidades. Considerando que não sejam 
feitas limitações externas de qualquer tipo, qual a probabilidade de que, ao final do mês, 
tenham sobrado unidades do produto?
Distribuição normal – Aplicações
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
Fonte: Livro-texto.
As notas de Estatística numa determinada universidade são normalmente distribuídas 
com média de 5,2 e desvio-padrão de 0,9. Nestas condições, qual a nota máxima 
dos 22% piores alunos?
a) 4,0.
b) 5,5.
c) 4,5.
d) 4,2.
e) 3,8.
Interatividade
As notas de Estatística numa determinada universidade são normalmente distribuídas 
com média de 5,2 e desvio-padrão de 0,9. Nestas condições, qual a nota máxima 
dos 22% piores alunos?
a) 4,0.
b) 5,5.
c) 4,5.
d) 4,2.
e) 3,8.
Resposta 
ATÉ A PRÓXIMA!