Quadro Resumo | Critérios de Convergência de Séries Resumo com todos os testes de convergência para as séries

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QUADRO RESUMO – CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA 
 
CRITÉRIO 
 
SÉRIE 
 
CONVERGE/DIVERGE 
 
OBSERVAÇÕES 
 
 
Teste do Termo Geral 
 
 
∑ 𝑎𝑛 
 
 
Diverge se lim 𝑎𝑛 ≠ 0 ou não existe 
 
Se lim 𝑎𝑛 = 0 nada se pode afirmar 
sobre a série. Ela pode tanto convergir 
quanto divergir 
 
 
 
Teste da Série 
Geométrica 
 
 
 
∑ 𝑎𝑟𝑛−1
=∞
𝑛=1
= ∑ 𝑎𝑟𝑛
=∞
𝑛=1
 
 
i) Converge para 𝑆 =
𝑎
1−𝑟
 se |r|<1 
 
ii) Diverge se |r|≥1 
 
 
 
Usado bastante em testes de 
comparação 
 
 
Teste da Série p 
 
 
 
∑
1
𝑛𝑝
=∞
𝑛=1
 
 
i) Converge se p>1 
 
ii) Diverge se p≤1 
 
 
Critério específico da série geométrica. 
Também muito usado em testes de 
comparação. 
 
 
 
 
Teste da Comparação 
 
 
 
 
∑ 𝑎𝑛 , ∑ 𝑏𝑛 
 
𝑎𝑛 > 0 𝑒 𝑏𝑛 > 0 
 
 
 
As séries precisam ser de termos positivos! 
Seja 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 para todo 𝑛 ≤ 𝑛0: 
 
i) ∑ 𝑏 converge então ∑ 𝑎 converge 
 
ii) ∑ 𝑎 diverge então ∑ 𝑏 diverge 
 
 
- Esse critério só é válido quando as 
séries são de termos positivos; 
 
- Em geral, a série comparada é 
geométrica ou série p; 
 
- Esse teste é melhor para ser aplicado 
em último caso, quando os outros não 
funcionam/são inconclusivos. 
 
 
 
Teste da Comparação 
por Limites 
 
 
 
∑ 𝑎𝑛 , ∑ 𝑏𝑛 
 
𝑎𝑛 > 0 𝑒 𝑏𝑛 > 0 
 
As séries precisam ser de termos positivos! 
i) Se lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= 𝑐 > 0, então ambas as 
séries convergem ou ambas divergem; 
 
 
 
- Esse critério só é válido quando as 
séries são de termos positivos; 
 
- Em geral, a série comparada é 
geométrica ou série p; 
 
Continuação... 
 
Teste da Comparação 
por Limites 
 
 
 
 
 
ii) Se lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= 0 𝑒 ∑ 𝑏 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒, 
então ∑ 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒. 
 
iii) Se lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= ∞ 𝑒 ∑ 𝑏 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒, 
então ∑ 𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teste da Integral 
 
 
 
 
∑ 𝑎𝑛 
 
𝑎𝑛 > 0 
 
 
Supondo que exista uma função f(x) > 0 
contínua e decrescente em (1 [ou onde 
começa o n] ,+∞) tal que f(n) = an : Então: 
 
i) Se ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
+∞
1
 for convergente, a 
série é convergente 
 
ii) Se ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
+∞
1
 for divergente, a 
série é divergente 
 
 
- A série precisa ser de termos positivos 
 
 
 
 
 
Teste da Raiz 
 
 
 
∑ 𝑎𝑛 com 𝑎𝑛 ≠ 0 
 
 
 
 
 
Seja lim
𝑛→∞
√|𝑎𝑛|
𝑛 = 𝐿: 
i) Se L < 1 , então a série converge 
absolutamente 
ii) Se L > 1, a série diverge 
iii) Se L = 1 o teste é inconclusivo! 
 
- A série não precisa ser de termos 
positivos e nem alternada para 
aplicação desse teste. 
 
- Se L=1 o teste falha, logo precisa 
aplicar outro teste; 
 
- Teste útil se a série envolve fatoriais ou 
potências de grau n; 
 
 
 
 
Teste das Séries 
Alternadas 
 
∑ (−1)𝑛𝑎𝑛
+∞
𝑛=1 
 
Ou 
 
 
Se {𝑎𝑛} é uma sequência que: 
i) 𝑎𝑛 > 0; 
ii) {𝑎𝑛} é estritamente 
decrescente, ou seja: 
 
- Este teste aplica-se apenas para séries 
alternadas 
 
(Teste de Leibniz) 
 
 ∑ (−1)𝑛+1𝑎𝑛
+∞
𝑛=1 
 
𝑎𝑛 > 0 
 
 𝑎𝑛+1 < 𝑎𝑛 
iii) lim 𝑎 = 0 
 
Então as séries convergem 
- Este teste conclui somente sobre a 
convergência de uma série alternada, se 
as hipóteses forem satisfeitas (TODAS). 
 
- Caso não satisfeitas, o teste é 
inconclusivo, não se pode dizer nada 
sobre a divergência das séries. 
 
 
 
Teste da Convergência 
Absoluta 
 
 
 
 
∑ 𝑎𝑛 
 
 
 
∑ |𝑎𝑛| converge então ∑ 𝑎𝑛 também 
converge! 
 
O contrário não pode-se afirmar nada. 
 
- Toda série absolutamente 
convergente é também convergente; 
 
- Porém, nem toda série convergente é 
absolutamente convergente 
 
- Teste útil em séries de termos 
negativos e positivos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teste da Razão 
 
 
 
 
 
∑ 𝑎𝑛 
 
 
 
 
Seja ∑ 𝑎𝑛 uma série de termos não 
nulos. 
 
i) Se lim
𝑛→+∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = 𝐿 < 1, então a 
série é absolutamente convergente; 
 
ii) Se lim
𝑛→+∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = 𝐿 > 1 ou 
lim
𝑛→+∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = + ∞, então a série é 
divergente; 
 
 
iii) Se lim
𝑛→+∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = 1 o teste é 
inconclusivo! 
 
 
 
 
- A série não precisa ser de termos 
positivos e nem alternada para 
aplicação desse teste; 
 
- Se L=1 o teste falha, logo precisa 
aplicar outro teste; 
 
- Teste útil se a série envolve fatoriais ou 
potências de grau n; 
 
- Se an > 0 para todo n, pode-se 
desprezar o módulo!