ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA - TEORIA DE CONTROLE E SERVOMECANISMO - 20221.A

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UNINASSAU 
CURSO DE GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA 
TEORIA DE CONTROLE E SERVOMECANISMO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORTALEZA 
2022 
 
 
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1. ATIVIDADE PROPOSTA: 
 
 
No domínio do tempo, um sistema é avaliado de acordo com a progressão do seu 
estado no tempo. No domínio da frequência, um modelo é analisado conforme sua 
resposta para diferentes frequências. 
 
Diante do contexto exposto, elabore uma dissertação de até 30 linhas e desenvolva 
os seguintes tópicos: 
 
 Definição e exemplificação de sistemas modelados no domínio da frequência 
e no domínio do tempo. 
 Importância das transformadas de Laplace e de Fourier no contexto da Teoria 
de Controle. 
 Comparação entre modelos no domínio do tempo e no domínio da frequência, 
apresentando vantagens e desvantagens de cada um. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. DEFINIÇÃO E EXEMPLIFICAÇÃO DE SISTEMAS MODELADOS 
NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E NO DOMÍNIO DO TEMPO: 
 
 DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA: 
 
No domínio da frequência, separa-se conceitualmente as senóides que formam o 
sinal. 
 
O domínio da frequência designa a análise de funções matemáticas com respeito 
à frequência, em contraste com a análise no domínio do tempo. A representação no 
domínio da frequência pode também conter informação sobre deslocamentos 
de fase. 
 
 um analisador de espectro é uma ferramenta usada para visualizar sinais no 
domínio da frequência. Falando não tecnicamente, um gráfico no domínio do tempo 
mostra como um sinal varia ao longo do tempo; em contraste, um gráfico no domínio 
da frequência, comumente chamado de espectro de frequências, mostra quanto do 
sinal reside em cada faixa de frequência. 
 
 
 
 a transformada de Laplace: 
 
 
A Transformadas de Fourier: 
 
 
Na verdade as Transformadas de Laplace e as Transformadas de Fourier são 
representações que estão muito relacionadas uma com a outra. Em muitos casos, 
se substituirmos ‘s’ por ‘jω’, isto é, fazendo-se ‘s’ ser um número complexo com 
parte real nula e parte imaginária ‘ω’, 
 
s = 0 + jω = jω 
 
obtemos a Transformadas de Fourier a partir da Transformada de Laplace 
 
X(s) = X(0+jω) = X(jω), Y(s) = Y(0+jω) = Y(jω), etc. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Frequ%C3%AAncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Dom%C3%ADnio_do_tempo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fase_(f%C3%ADsica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Analisador_de_espectro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Espectro_(f%C3%ADsica)
 
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 DOMÍNIO DO TEMPO: 
 
 
A representação do domínio do tempo dá a amplitude do sinal no instante de tempo 
escolhido. 
 
Domínio do tempo é um termo usado em análise de sinais para descrever a análise 
de funções matemáticas com relação ao tempo. No domínio do tempo, o valor da 
função é conhecido em cada instante, no caso de tempo contínuo, ou em vários 
instantes separados, no caso de tempo discreto. 
 
O osciloscópio é uma ferramenta comumente usada para visualizar sinais do mundo 
real no domínio do tempo, enquanto um analisador de espectro é uma ferramenta 
usada para visualizar sinais no domínio da frequência. 
 
 
 
 
Uma onda triangular no domínio do tempo (topo) e o gráfico de espectro correspondente (embaixo). 
A freqüência fundamental é de 220 Hz. Cada linha vertical indica a amplitude de uma das 
freqüências componentes da onda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sinal_(teoria_da_informa%C3%A7%C3%A3o)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Tempo_cont%C3%ADnuo&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tempo_discreto
https://pt.wikipedia.org/wiki/Oscilosc%C3%B3pio
https://pt.wikipedia.org/wiki/Analisador_de_espectro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Dom%C3%ADnio_da_frequ%C3%AAncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Onda_triangular
https://pt.wikipedia.org/wiki/Freq%C3%BC%C3%AAncia_fundamental
 
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3. IMPORTÂNCIA DAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE E DE 
FOURIER NO CONTEXTO DA TEORIA DE CONTROLE: 
 
 TRANSFORMADA FOURIER 
 
Em matemática, a transformada de Fourier é uma transformada integral que 
expressa uma função em termos de funções de base sinusoidal. Existem diversas 
variações diretamente relacionadas desta transformada, dependendo do tipo de 
função a transformar. A transformada de Fourier, epônimo a Jean-Baptiste Joseph 
Fourier, decompõe uma função temporal (um sinal) em frequências, tal como um 
acorde de um instrumento musical pode ser expresso como a amplitude (ou volume) 
das suas notas constituintes. A transformada de Fourier de uma função temporal é 
uma função de valor complexo da frequência, cujo valor absoluto representa a soma 
das frequências presente na função original e cujo argumento complexo é a fase de 
deslocamento da base sinusoidal naquela frequência. 
A transformada de Fourier é chamada de representação do domínio da 
frequência do sinal original. O termo transformada de Fourier refere-se à ambas 
representações do domínio frequência e a operação matemática que associa a 
representação domínio frequência a uma função temporal. A transformada de 
Fourier não é limitada a funções temporais, contudo para fins de convenção, o 
domínio original é comumente referido como domínio do tempo. Para muitas funções 
de interesse prático, pode-se definir uma operação de reversão: a transformada 
inversa de Fourier, também chamada de síntese de Fourier, de um domínio de 
frequência combina as contribuições de todas as frequências diferentes para a 
reconstituição de uma função temporal original. 
Operações lineares aplicadas em um dos domínios(tempo ou frequência) resultam 
em operações correspondentes no outro domínio, o que, em certas ocasiões, podem 
ser mais fáceis de efetuar. A operação de diferenciação no domínio do tempo 
corresponde à multiplicação na frequência, o que torna mais fácil a análise de 
equações diferenciais no domínio da frequência. Além disso, a convolução no 
domínio temporal corresponde à multiplicação ordinária no domínio da frequência. 
Isso significa que qualquer sistema linear que não varia com o tempo, como um filtro 
aplicado a um sinal, pode ser expressado de maneira relativamente simples como 
uma operação nas frequências. Após realizar a operação desejada, a transformação 
do resultado alterna para o domínio do tempo. A Análise harmônica é o estudo 
sistemático da relação entre os domínios de tempo e frequência, incluindo os tipos 
de funções ou operações que são mais "simples" em um ou em outro, e possui 
ligações profundas a muitas áreas da matemática moderna. 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_integral
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Fun%C3%A7%C3%A3o_de_base&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_trigonom%C3%A9trica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ep%C3%B3nimo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Joseph_Fourier
https://pt.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Joseph_Fourier
https://pt.wikipedia.org/wiki/Convolu%C3%A7%C3%A3o
 
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 TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 
Oliver Heaviside, quando estudava processos simples para obter soluções de 
Equações Diferenciais, vislumbrou um método de Cálculo Operacional que leva ao 
conceito matemático da Transformada de Laplace, que é um método simples para 
transformar um Problema com Valores Iniciais (PVI)1 , em uma equação algébrica, 
de modo a obter uma solução deste PVI de uma forma indireta, sem o cálculo de 
integrais e derivadas para obter a solução geral da Equação Diferencial. Pela 
utilidade deste método em Matemática, na Computação, nas Engenharias, na Física 
e outras ciências aplicadas, o método representa algo importante neste contexto. As 
transformadas de Laplace são muito usadas em diversassituações, porém, aqui 
trataremos de suas aplicações na resolução de Equações Diferenciais Ordinárias 
Lineares. 
 
 
 
Se f = f(t) é uma função real ou complexa, definida para todo t ≥ 0 e o parâmetro z é 
um número complexo da forma z = s + iv de modo que para cada para s > 0, ocorre 
a convergência da integral imprópria 
 
 
 
 
então a função F = F(z) definida pela integral acima, recebe o nome de transformada 
de Laplace da função f = f(t). Se o parâmetro z é um número real, isto é, a parte 
imaginária v = 0, usamos z = s > 0 e a definição fica simplesmente na forma 
 
 
 
 
 
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A transformada de Laplace depende de s, é representada por uma letra maiúscula F 
= F(s), enquanto que a função original que sofreu a transformação depende de t é 
representada por uma letra minúscula f = f(t). Para representar a transformada de 
Laplace da função f, é comum usar a notação 
 
 
 
Exemplo: A função degrau unitário é muito importante neste contexto e é definida por 
 
 
 
Para a função degrau unitário e considerando s > 0, temos que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS NO DOMÍNIO DO TEMPO E 
NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA, APRESENTANDO 
VANTAGENS E DESVANTAGENS DE CADA UM. 
 
 
Uma das principais razões para usar uma representação do domínio da frequência 
de um problema é para simplificar a análise matemática. Para sistemas matemáticos 
governados por equações diferenciais lineares, uma classe de sistemas muito 
importante com várias aplicações reais, convertendo a descrição do sistema de 
domínio do tempo para domínio de frequência, converte-se as equações 
diferenciais em equações algébricas, que são bem mais fáceis de resolver. 
Além disso, olhar para o sistema pelo ponto de vista da frequência pode te dar um 
entendimento do comportamento qualitativo do sistema, e uma nomenclatura 
científica reveladora se adequou para descrevê-lo, caracterizando o comportamento 
sistemas físicos com variáveis de tempo usando os termos como largura de 
banda, resposta em frequência, ganho, mudança de fase, frequências de 
ressonâncias, constante do tempo, largura de ressonância, fator de amortecimento, 
fator Q, harmônicos, espectro, densidade espectral de potência, autovalores, polos e 
zeros. 
Um exemplo de campo em que a análise do domínio da frequência oportuniza um 
melhor entendimento que o domínio do tempo é a música, a teoria de operação de 
instrumentos musicais, a notação musical que costumava ser gravada e a discutir de 
partes da música que é implicitamente baseada na quebra de sons complexos nas 
frequências dos seus componentes separados (notas musicais). 
 
 FASE E MAGNITUDE 
 
Um sinal, seja ele uma onda sonora ou eletromagnética, um perfil de vibração 
qualquer, ou mesmo uma sequência de sinais eletrônicos, é sempre descrito no 
domínio da frequência como uma função complexa. Isto é, possui uma parte real e 
uma parte imaginária. Isso pode ser interpretado da seguinte forma: A amplitude do 
sinal, em dada frequência do domínio, é dada pela magnitude do número 
complexo correspondente, enquanto a fase do sinal é dado pelo ângulo desse 
número com o eixo real. Aplicando-se as transformadas mais usuais, como Laplace, 
Z- ou Fourier, o sinal no tempo se desdobra em dois espectros de frequência. Um 
correspondente às magnitudes e outro às fases para cada frequência. 
Uma onda sonora, por exemplo, pode ser transformada em um sinal na frequência 
utilizando a transformada de Fourier. Neste caso, cada frequência que compõe a 
onda sonora é representada por uma função senoidal com amplitude e fase. Para 
grande parte das aplicações dos espectros de frequência, a fase não é importante. 
Mas, por outro lado, se o sinal no tempo precisa ser reconstruído a partir do domínio 
da frequência, o conhecimento do diagrama de fases do espectro é essencial. 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_linear
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_alg%C3%A9brica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Largura_de_banda
https://pt.wikipedia.org/wiki/Largura_de_banda
https://pt.wikipedia.org/wiki/Resposta_em_frequ%C3%AAncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ganho_(eletr%C3%B4nica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fase_(f%C3%ADsica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Resson%C3%A2ncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Resson%C3%A2ncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Constante_de_tempo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Resson%C3%A2ncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Harm%C3%B4nica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Espectro_(f%C3%ADsica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Densidade_espectral
https://pt.wikipedia.org/wiki/Autovalores_e_autovetores
https://pt.wikipedia.org/wiki/Polo_(an%C3%A1lise_complexa)
https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%BAsica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Nota%C3%A7%C3%A3o_musical
https://pt.wikipedia.org/wiki/Nota_musical
https://pt.wikipedia.org/wiki/Onda_sonora
https://pt.wikipedia.org/wiki/Eletromagnetismo
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace
 
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 ANALISADOR DE ESPECTRO E AS DIFERENÇAS DE DOMÍNIO E 
FREQUÊNCIA 
 
O analisador de espectro é um aparelho que, recebendo um sinal no tempo, 
disponibiliza ao usuário informações sobre o sinal no domínio da frequência. É o 
correspondente no domínio da frequência ao osciloscópio no domínio do tempo. 
Usualmente é de vasta utilização na física e na engenharia. Analisadores de 
espectro eletromagnético são utilizados, por exemplo, para avaliação das 
frequências da luz emitidas por corpos celestes para posterior determinação de sua 
composição química e velocidade relativa (Ver Efeito Doppler). Na engenharia 
elétrica, eletrônica e de computação, por outro lado, estes equipamentos são muito 
úteis no projeto e avaliação de equipamentos de transferência de dados, como 
antenas receptoras e transmissoras. 
 
Segue abaixo a visualização gráfica de como é feita a passagem do domínio do 
tempo para a frequência 
 
 
 
 
 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Analisador_de_espectro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Oscilosc%C3%B3pio
https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_Doppler
 
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 TRANSFORMAÇÃO E DIFERENÇAS DO DOMINIO DE TEMPO PARA 
FREQUÊNCIA 
 
Uma função pode ser convertida do domínio do tempo para o da frequência através 
de um operador matemático chamado genericamente de transformada integral. Um 
exemplo é a transformada de Fourier, que decompõe uma função na soma de um 
(potencialmente infinito) número de componentes senoidais, produzindo um espectro 
de frequências.[2] A transformada inversa correspondente converte esse espectro de 
volta para o domínio do tempo, ou seja, para a função original. Existem ainda 
transformadas que permitem a conversão para um domínio misto do tempo e da 
frequência ao mesmo tempo, como é o caso da transformada de wavelet. 
Ao aplicar-se a transformada de Fourier, passa-se do domínio do tempo para o 
domínio da frequência real; neste domínio, a informação a respeito de 
deslocamentos de fase do sinal em função da frequência desaparece. Em contraste, 
ao aplicar-se a transformada de Laplace, passa-se ao domínio da frequência 
complexa , no qual a informação a respeito de deslocamentos de fase do sinal é 
preservada. Devido a isso, no domínio da frequência real é possível prever o 
comportamento de um sistema apenas em regime estacionário; no domínio da 
frequência complexa, é possível prever o comportamento também em regime 
transitório. 
Outra diferença entre as diversas transformadas é que algumas trabalham a partir 
do domínio do tempo contínuo; outras, a partir do tempo discreto. As primeiras são 
adequadas para a análise de sinais analógicos, e as últimas, para a análise de sinais 
digitais. São exemplos do primeiro tipo a transformada de Fourier e a transformada 
de Laplace citadas acima;exemplos do segundo tipo são a transformada Z e 
a transformada discreta de Fourier. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Operador
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_integral
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier
https://pt.wikipedia.org/wiki/Onda_senoidal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Dom%C3%ADnio_da_frequ%C3%AAncia#cite_note-2
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_wavelet
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace
https://pt.wikipedia.org/wiki/Frequ%C3%AAncia_complexa
https://pt.wikipedia.org/wiki/Frequ%C3%AAncia_complexa
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Regime_estacion%C3%A1rio&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Regime_transit%C3%B3rio&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Regime_transit%C3%B3rio&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tempo_discreto
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sinal_anal%C3%B3gico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sinal_digital
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sinal_digital
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_Z
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier
 
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5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Dom%C3%ADnio_do_tempo 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Dom%C3%ADnio_da_frequ%C3%AAncia 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace 
 
http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pdfs/laplace.pdf 
 
 
 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier
https://pt.wikipedia.org/wiki/Dom%C3%ADnio_do_tempo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Dom%C3%ADnio_da_frequ%C3%AAncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace
http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pdfs/laplace.pdf