Aula 3 - Mapa de Veitch-Karnaugh

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Mapas de Karnaugh
Mapa de Karnaugh
 Mapa de Karnaugh é um método de simplificação gráfico criado por Edward Veitch (1952) e 
aperfeiçoado pelo engenheiro de telecomunicações Maurice Karnaugh. Chamamos esse diagrama 
de mapa, visto este ser um mapeamento a partir de uma tabela verdade da função que está a ser 
analisada.
 Ele é utilizado para simplificar uma equação lógica ou para converter uma tabela verdade no seu 
circuito lógico correspondente.
 O método de leitura por "mapa de Karnaugh" é considerado mais simples que a “álgebra 
booleana", pois elimina o problema de erro nas simplificações. Porém quando utilizado mais de 6 
entradas, esse método se torna complicado, pois fica difícil identificar as células adjacentes no 
mapa. Para esse caso são utilizados soluções algorítmicas computacionais.
Mapa de Karnaugh para duas variáveis
Vamos considerar a seguinte tabela da verdade, para montar o Mapa de Karnaugh, onde A 
e B são as entradas e F a saída de um sistema qualquer.
O que faz mudar de estado é o nível lógico 1 (por convenção), logo a expressão 
correspondente à saída do circuito lógico é:
http://1.bp.blogspot.com/-NvO_C7EpZk4/VsBhIevduqI/AAAAAAAAEbs/SRZWQx1ztjI/s1600/Dig01.bmp
http://2.bp.blogspot.com/-sdRZenkZOIg/VsBiBCb3NNI/AAAAAAAAEb4/2IwJOmJX96M/s1600/Dig01a.bmp
Simplificando pelo mapa de Karnaugh:
O Mapa de Karnaugh apresenta a seguinte configuração. Sendo que cada espaço é completado 
com seu nível lógico equivalente (de acordo com a tabela da verdade.
Com mapa pronto, devemos destacar os termos, em outras 
palavras, considerar somente os campos que possuem 1 
como solução final. Devem ser agrupados em pares, para 
isso ocorrer, os elementos devem estar lado-a-lado 
(adjacentes); poder ser tanto horizontal, como na vertical:
 
Notamos que os campos selecionados com a cor vermelha, estão na 
coluna B (barrado, negado). E os campos selecionados com a cor azul 
estão na linha A. Portanto, assim formando a expressão simplificada:
 
http://2.bp.blogspot.com/-n4SosYC_i7Y/VsBi1GBLbBI/AAAAAAAAEcE/CO4n27VtXwQ/s1600/Dig02.bmp
http://4.bp.blogspot.com/-CzIr3O2R_NU/VsBjzMypEWI/AAAAAAAAEcQ/ZHTtdaQjVY8/s1600/Dig03.bmp
http://4.bp.blogspot.com/-CzIr3O2R_NU/VsBjzMypEWI/AAAAAAAAEcQ/ZHTtdaQjVY8/s1600/Dig03.bmp
http://4.bp.blogspot.com/-f_Agf8WVOVM/VsBkFqgrY3I/AAAAAAAAEcY/2hrF2hmkcTY/s1600/Dig03a.bmp
http://4.bp.blogspot.com/-f_Agf8WVOVM/VsBkFqgrY3I/AAAAAAAAEcY/2hrF2hmkcTY/s1600/Dig03a.bmp
Outro método para duas variáveis
Mapa de Karnaugh para três variáveis
Vamos pegar a tabela da verdade, a seguir, onde A, B e C são entradas e F é a saída:
A Expressão da saída antes da Simplificação é:
http://4.bp.blogspot.com/-NrJkuF_K10A/VsBqveCUHcI/AAAAAAAAEc0/CLY203ijc-I/s1600/Dig05.bmp
O mapa de Karnaugh fica:
Os agrupamentos ficam dessa forma: Observamos que os campos com a cor azul, estão na 
coluna da variável C e linha da variável A (barrado). 
Já os elementos com a cor verde pertencem à coluna da 
variável C (barrado) e linha da variável A. 
Os elementos com a cor vermelha são da coluna B 
(barrado) e C. Então, a expressão de saída simplificada é:
Outro método para três variáveis
Idem anterior:
Observamos que os campos com a cor azul, estão na coluna da variável C e linha da variável A 
(barrado). Já os elementos com a cor verde pertencem à coluna da variável C (barrado) e linha da 
variável A. Os elementos com a cor vermelha são da coluna B (barrado) e C.
Então, a expressão de saída simplificada é:
Mapa de Karnaugh para quatro variáveis
Uma das formas é utilizar a matriz 4x4 da seguinte maneira:
Cada entrada (sendo elas A, B, C, D), ou suas respectivas 
negações, correspondem a 8 campos cada. 
Vamos considerar a seguinte tabela da verdade, como exemplo, para montar o Mapa de Karnaugh, 
onde A, B, C, D são as entradas e F a saída de um sistema qualquer.
 
http://2.bp.blogspot.com/-XNhzzNpzjuE/VsBv52gc87I/AAAAAAAAEeU/x0kzlllPi4Q/s1600/Dig13.bmp
http://2.bp.blogspot.com/-XNhzzNpzjuE/VsBv52gc87I/AAAAAAAAEeU/x0kzlllPi4Q/s1600/Dig13.bmp
Mapeando a tabela verdade temos:
Lembrando que os enlaces (agrupamentos) devem ser quadrados, ou retângulos e, também, 
devem conter quantidades baseadas em potências de 2, (ou seja: 2, 4, 8).
http://1.bp.blogspot.com/-plihkVGFvMU/VsBwckH8OuI/AAAAAAAAEeg/glpgzHAwOBw/s1600/Dig14.bmp
Sendo assim, a expressão simplificada para este exemplo é a seguinte:
 
http://2.bp.blogspot.com/-PuR-eVzb-To/VsBw8SyuPCI/AAAAAAAAEe0/IjUjWiOl6Zw/s1600/Dig18.bmp
http://2.bp.blogspot.com/-PuR-eVzb-To/VsBw8SyuPCI/AAAAAAAAEe0/IjUjWiOl6Zw/s1600/Dig18.bmp
Outro método para quatro variáveis
Portanto, a expressão simplificada para este exemplo é a seguinte:
 
http://4.bp.blogspot.com/--TFiTLZOG3I/VsBx_1Gm5aI/AAAAAAAAEfU/chuF96OOeHY/s1600/Dig18.bmp
http://4.bp.blogspot.com/--TFiTLZOG3I/VsBx_1Gm5aI/AAAAAAAAEfU/chuF96OOeHY/s1600/Dig18.bmp