Livro IAVE MAT A 2018

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•• n .... .-. 
IAVE INSTITUTO DE AVALIAÇÃO EDUCATI VA1 1.P. 
estões de Exames Nacio 
e de Testes Inter , 
1997-2 
(10.0, 11.0 e 
ÍNDICE 
Apresentação . .. . . . . . . . .. . . . . .... . . . . . . .. .. . . . ... . . . .. . .. . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . .. . . . . 5 
Itens de seleção .. . . .. . . .. . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . ... . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . .. . .. .. . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 7 
Geometria no plano ........................................................................................................ 8 
Geometria no espaço ...................................... ............................................... ................. 11 
Cálculo combinatório. Problemas de contagem ............................................................. 17 
Triângulo de Pascal. Propriedades das combinações ...................................................... 21 
Binómio de Newton ........................................................................................................ 23 
Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace .................................................................. 24 
Definição axiomática de probabilidade. Propriedades das probabilidades .................... 27 
Probabilidade condicionada ........................................................................................... 29 
Funções exponenciais e logarítmicas .............................................................................. 33 
Limites, Assíntotas, Continuidade, Teorema de Bolzano-Cauchy .................................... 40 
Derivadas .................................................................................... .................................... 55 
Funções Trigonométricas .................................................................................... ............ 71 
Complexos ....................................................................................................................... 79 
Itens de construção . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . .. . . .. . . . . . . .. ... . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . 89 
Geometria no plano ........................................................................................................ 90 
Geometria no espaço ..................................................................................... ................. 94 
Cálculo combinatório. Problemas de contagem ............................................................. 105 
Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace .................................................................. 106 
Definição axiomática de probabilidade. Propriedades das probabilidades .................... 114 
Probabilidade condicionada ........................................................................................... 116 
Funções exponenciais e logarítmicas .............................................................................. 123 
Limites, Assíntotas, Continuidade, Teorema de Bolzano-Cauchy .................................... 131 
Derivadas ...................................................................................................................... .. 136 
Funções Trigonométricas ................................................................................................ 153 
Complexos . .............................................. ...................................... .................................. 177 
3 
Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 
Itens de seleção 
Geometria no plano 186 
Geometria no espaço ............... ........... ....................................................................... 188 
Cálculo combinatório. Problemas de contagem ......................................................... 192 
Triângulo de Pascal. Propriedades das combinações ................................................. 195 
Binómio de Newton ................................................................................................... 196 
Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace ............................................................. 197 
Definição axiomática de probabilidade. Propriedades das probabilidades ............... 200 
Probabilidade condicionada ....................................................................................... 201 
Funções exponenciais e logarítmicas ......................... ................................................ 203 
Limites, Assíntotas, Continuidade, Teorema de Bolzano-Cauchy ............................... 206 
Derivadas . . . . ............................ . . . ........ ......................................................................... 214 
Funções Trigonométricas ...... . . . .................................................................................. 220 
Complexos ........................... . . ............................... ...................................................... 226 
Itens de construção 
Geometria no plano 232 
Geometria no espaço ........... ............................... ....................................................... 239 
Cálculo combinatório. Problemas de contagem ......................................................... 263 
Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace ............................................................. 264 
Definição axiomática de probabilidade. Propriedades das probabilidades ............... 274 
Probabilidade condicionada .................... .................................. . . . . ............................. 276 
Funções exponenciais e logarítmicas ......................................................................... 282 
Limites, Assíntotas, Continuidade, Teorema de Bolzano-Cauchy ............................... 291 
Derivadas .............................. . . . . . . ....... ......................................................................... 299 
Funções Trigonométricas ........................................................................................... 329 
Complexos .................... . . . . .......................................................................................... 364 
Formulário ............ ......... ................................ .. ...... ...................... .......................................... 380 
4 
Apresentação 
Aos alunos 
Esta publicação apresenta uma seleção de questões incluídas em exames nacionais e testes 
intermédios. 
Para facilitar a organização do teu trabalho, as questões estão agrupadas por temas. 
É apresentada a chave de resposta para cada questão, acompanhada por uma breve justificação 
da escolha correta, assim como propostas de resolução para questões que implicam a elaboração 
de cálculos ou de justificações. Só deves consultar as soluções após teres tentado resolver as 
questões. 
Embora possas resolver as questões individualmente, sugerimos a possibilidade de trabalhares 
em conjunto com um ou mais colegas. Colaborando com outros colegas, podes debater as 
estratégias a adotar e avaliar a sua adequação à resposta pretendida. Podes também resolver 
cada questão individualmente e depois comparar os teus resultados e processos de resolução 
com os dos outros colegas. 
Recomendamos-te que uses esta publicação ao longo do ano, sendo a resolução das questões 
uma tarefa complementar de outras que realizes nas aulas ou em casa. Resolvendo as questões, 
ficarás mais familiarizado(a) com as provas que irás realizar. Também perceberásque se torna 
mais fácil consolidar o que já aprendeste, identificar as tuas dificuldades e fazer uma melhor 
autoavaliação do teu trabalho. 
A consulta atenta das propostas de resolução pode ajudar-te a compreender melhor como deves 
resolver cada questão, além de te permitir orientar o teu raciocínio e melhorar a linguagem 
utilizada nas respostas que implicam a expressão escrita, contribuindo para aumentar a tua 
confiança nos momentos em que serás avaliado(a). 
A resolução das questões ajuda-te a identificar as tuas dificuldades e a aprender com os teus 
erros, o que aumentará as tuas possibilidades de êxito na realização de testes ou de exames 
nacionais. 
Nas questões em que são apresentadas propostas de resolução, estas poderão não esgotar todas 
as possibilidades. Há outros processos alternativos igualmente válidos a que tu e os teus colegas 
podem recorrer. Se isso acontecer e não te sentires confiante com a validade da resolução por ti 
encontrada, pede ajuda a um professor. 
Bom trabalho! 
5 
Aos pais e encarregados de educação 
Como pai, mãe ou encarregado de educação, deve ter em atenção que esta publicação não se 
destina somente à preparação para testes ou para exames nacionais nos dias que antecedem 
a sua realização. Ou seja, esta é uma ferramenta de trabalho que deve ser consultada e usada 
regularmente ao longo do ano letivo. 
A resolução das questões proporciona momentos de verificação e de consolidação do que 
se aprendeu. Serve também para identificar e diagnosticar, atempadamente, lacunas na 
aprendizagem. Fazê-lo com a antecedência necessária, permitindo solicitar a intervenção 
do professor e garantir a possível superação dessas lacunas, constitui talvez uma das maiores 
vantagens de poder contar com esta publicação como auxiliar na aprendizagem do seu(sua) 
filho(a) ou educando(a), prevenindo insucessos indesejados num momento formal de avaliação. 
Aos professores 
O conjunto de coletâneas que o IAVE agora publica, visa principalmente constituir uma ferramenta 
de trabalho que complementa outros suportes de aprendizagem utilizados pelos alunos. 
Tal como referido nas mensagens aos alunos e aos pais e encarregados de educação, são inúmeras 
as oportunidades e os contextos de utilização desta publicação, dentro ou fora da sala de aula. 
Reitera-se a importância de o professor, enquanto figura incontornável na formação académica 
dos alunos, estimular a utilização regular desta publicação. Pode ainda ser realçada a opção pelo 
trabalho colaborativo entre alunos, contribuindo assim para minimizar a eventual tendência 
para um estudo predominantemente centrado na preparação para a realização de avaliações 
formais, que, como sabemos, não constitui a estratégia mais adequada para uma aprendizagem 
de qualidade, progressiva e sustentada. 
A criação de hábitos de trabalho que levem os alunos a explicitar e a registar as operações 
mentais desenvolvidas na procura da resposta correta ajuda a promover a metacognição e a 
desenvolver uma consciência mais profunda das suas dificuldades e potencialidades. Do mesmo 
modo, a valorização do erro como uma oportunidade para a reflexão e para a consolidação de 
uma aprendizagem alicerçada num processo cognitivo mais rico constitui uma opção facilitadora 
da integração de diferentes aprendizagens, do recurso a raciocínios críticos ou da reconstrução e 
reutilização do que se aprendeu nos mais diversos contextos. 
Muitos outros exemplos e sugestões de utilização poderiam aqui ser aflorados, mas, no essencial, 
espera-se que esta publicação possa constituir um contributo adicional para a melhoria da 
aprendizagem dos alunos, que é o grande objetivo de todos quantos participam, direta ou 
indiretamente, no processo educativo. 
6 
Helder Diniz de Sousa 
Outubro de 2017 
ITENS 
DE 
SELEÇÃO 
Geometria no plano 
1. De dois vetores p e q sabe-se que têm ambos norma igual a 3 e que p. q = -9 
(p. q designa o produto escalar de p por q) 
Indique qual das afirmações seguintes é verdadeira. 
(A) p +q = 0 (B) p - q = Õ 
(C) p J_ q (D) O ângulo dos vetores p e q é agudo 
2. Na figura, estão representados dois vetores, AD e AÊ, 
de normas 12 e 15, respetivamente. 
No segmento de reta [AD] está assinalado um ponto B 
No segmento de reta [ AE] está assinalado um ponto C 
O triângulo [ABC] é retângulo e os seus lados têm 
3, 4 e 5 unidades de comprimento. 
. D 
Indique o valor do produto escalar AD. AÊ 
+------- 15 -----+ 
{A) 108 (B) 128 (C) 134 {D) 144 
3. Considere, num referencial o.n. xOy, as retas r e s, definidas, respetivamente, por: 
r:(x,y)=(1,3)+k(2,0), kElR s:y = � x+l 
Qual é a amplitude, em graus, do ângulo destas duas retas (valor arredondado às unidades)? 
(A) 37° (B) 39° {C) 41 o (D) 43° 
4. Considere, num referencial o.n. xOy, a reta r de equação y = - � x + � 
Seja s a reta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas (1, 4) 
Qual é a equação reduzida da reta s? 
8 
(A) y = 2x + 2 
(C) y = -Zx + � 
3 
(B) y = -2x + 6 
{D) y = 2x + � 
ITENS DE SELEÇÃO 
5. Considere a condição (x+1)2+(y -1)2:o;2 /\ x2'0 
Em qual das opções seguintes está representado, em referencial o.n. xOy, o conjunto de pontos 
definido por esta condição? 
(A) (B) 
y 
o X 
(C) (D) 
y 
o X 
6. De um triângulo isósceles [ABC] sabe-se que: 
y 
y 
0 X 
X 
• os lados iguais são [AB] e [AC], tendo cada um deles 8 unidades de comprimento; 
• cada um dos dois ângulos iguais tem 30° de amplitude. 
Qual é o valor do produto escalar AÊ. Aê? 
(A) -3213 
(B) -32 
(C) 64 
(D) 6413 
9 
GEOMETRIA NO PLANO 
7. Considere, num referencial o.n. xOy , a circunferência definida pela equação 
Esta circunferência intersecta o eixo Ox em dois pontos. Destes pontos, seja A o que tem abcissa 
positiva. 
Seja r a reta tangente à circunferência no ponto A 
Qual é a equação reduzida da reta r? 
(A) y =X+ 1 (B) y = x-1 (C) y = 2x + 2 
8. Considere, num referencial o.n. xOy, o quadrado definido pela condição 
O:<'.x:<'.4 li 1:<'.y:<'.5 
(D) y = 2x-2 
Qual das condições seguintes define a circunferência inscrita neste quadrado? 
(A) (x-4)2+(y-5)2=16 (B) (x -4 )2 + (y -5 )2 = 4 
(C) (x-2)2 + (y-3)2 = 4 {D) (x -2)2+(y-3)2=16 
9. Considere, num referencial o.n. xOy, a região definida pela condição 
(x+1)2+(y+1)2 :<'.1 /\ x+ y+22:0 
Qual é o perímetro dessa região? 
(A) ir+ 1 {B) K. + 1 2 (C) iT + 2 
10. Considere, num referencial o.n. xOy, dois pontos distintos, R e S 
(D) K.+2 2 
Seja A o conjunto dos pontos P desse plano que verificam a condição PR.PS= O 
(PR.PS designa o produto escalar de PR por PS). 
10 
Qual das seguintes afirmações é verdadeira? 
(A) O conjunto A é a mediatriz do segmento de reta [RS] 
(B) D conjunto A é o segmento de reta [RS] 
(C) D conjunto A é o triângulo [ROS] 
(D) O conjunto A é a circunferência de diâmetro [ RS] 
Geometria no espaço 
1. Num referencial o.n. Oxyz, considere um ponto A pertencente ao semieixo positivo Ox e um ponto 
B pertencente ao semieixo positivo Oy 
Quais das seguintes podem ser as coordenadas do vetor AB ? 
(A) (-2, 0, 1) (B) (2, O, -1) 
(C) (-2, 1, 0) (D) (2, -1, O) 
2. Seja [AB] um diâmetro de uma esfera de centro C e raio 4 
Qual é o valor do produto escalar CÃ. CE ? 
(A) 16 (B) -16 (C) 4Vz (D) -4Vz 
3. Na figura, está representada, num referencial o.n. Oxyz, uma reta PQ 
• O ponto P pertence ao plano yOz 
• O ponto Q pertence ao plano xOy 
Indique qual das condições seguintes define a reta PQ 
(A) 3x + Sy + 4z = 0 
(B) (x, y, z) = (3, 0, -4) + k(3,5, 0 ) , k E R 
(C) X = 3 /\ y = 5 /\ Z = 4 
(D) (x, y, z) = (3, 5, 0) + k(3, 0, -4) , k E R 
3 
X 
4. Qual das condições seguintes define, num referencial o.n. Oxyz, uma reta paralela ao eixo Oz ? 
(A) (x, y, z) = (7, 0, 0 ) + k(1, 1, 0 ) , k E R 
(B) (x, y, z) = (1, 1, O) + k(O, 0, 7 ) , k E R 
(C) (x, y, z) = (1, 1, 0) + k(7, 0, 0) , k E R 
(D) (x, y, z) = (0,0, 7) + k(1, 1, 0) , k E R 
y 
11 
GEOMETRIA NO ESPAÇO 
5. Num referencialo.n. Oxyz, considere os pontos P(O, O, 4) e Q(O, 4, O) 
Qual dos seguintes pontos pertence ao plano mediador do segmento de reta [PQ]? 
(A) A(l, 0, 0) (B) B(l, 2 , O) 
(C) C(2, 1 , O) (D) D(l, 0, 2) 
6. Na figura, está representado, num referencial o.n. Oxyz, um cubo de 
aresta 2 
Sabe-se que: 
• a face [ ABCD] está contida no plano xOy 
• a aresta [ DC] está contida no eixo Oy 
• o ponto D tem coordenadas (O, 2, O) 
Os pontos de coordenadas (2, 2 , O ) e (O, 4, O) são vértices do cubo. 
z 
E 
o 
X A 
H 
1 
'D ·"--
/ / 
Qual é o plano mediador do segmento de reta cujos extremos são estes dois vértices? 
(A) ABC (B) ACG (C) BDH (D) BCF 
7. Na figura, está representado, num referencial o.n. Oxyz, um cubo. 
• O vértice O é a origem do referencial 
• O vértice A pertence ao eixo Oz 
• O vértice G pertence ao eixo Oy 
• O vértice E pertence ao eixo Ox 
• H é o centro da face [ OGFE] 
• Uma equação do plano que contém os pontos D, B e H 
é x + y = lO 
Qual é a medida da aresta do cubo ? 
X 
(A) 5 (B) 10 !CJ srz (D) lOVz 
z 
G 
F 
e 
y B 
8. Considere, num referencial o.n. Oxyz, a reta r definida por (x , y, z) = (1, 2, 3 ) + k(O, O, 1) , k E R 
12 
Qual das condições seguintes define uma reta paralela à reta r ? 
(A) (x y, z) = (1, 2, 3) + k(0, 1, 0 ) , k E R 
(C) X = 2 /\ y = 1 
(B) (x, y, z) = (0, 0, l) + k(l, 2, 3 ) , k E R 
(D) X = 2 /\ Z = 1 
ITENS DE SELEÇÃO 
9. Indique qual dos pares de equações seguintes define, num referencial o.n. Oxyz, um par de planos 
perpendiculares. 
(A) X + y = 3 e X + y = Ü 
(B) -x + y - z = l e 3x + 2y + 2z = 2 
(C) X = y e Z = Ü 
(D) 2x + 2y + z = 9 e x - 3z = O 
10. Considere, num referencial o .n . Oxyz, um plano a de equação x + 2y - z = 2 
Seja f3 o plano que é paralelo a a e que contém o ponto (O, 1, 2 ) 
Qual das condições seguintes é uma equação do plano f3 ? 
(A) X + 2y - Z = 1 (B) x + z = 2 
(C) -x - 2y + z = 0 (D) X - y + Z = 1 
11. Num referencial o.n. O;ryz, um plano a é perpendicular ao plano xOz 
Qual das seguintes pode ser uma equação do plano a? 
(A) Z = x + 2 
(B) Z = X + y 
(C) z = y 
(D) y = 2 
12. Num referencial o.n. Oxyz, considere a reta r de equação vetorial 
(x, y, z) = (0, 1, 2) + k(3, 0, -1) , k c R. 
A reta r 
(A) é paralela ao plano xOy 
(B) é paralela ao plano xOz 
(C) é paralela ao plano yOz 
(D) não é paralela a nenhum dos planos coordenados. 
13 
GEOMETRIA NO ESPAÇO 
13. Sejam a e f3 dois planos perpendiculares. 
Qual das afirmações seguintes é verdadeira? 
(A) Qualquer reta paralela a a é paralela a f3 
(B) Qualquer reta paralela à intersecção de a e f3 é paralela a f3 
(C) Qualquer reta perpendicular a a é perpendicular a f3 
(D) Qualquer reta perpendicular à intersecção de a e f3 é perpendicular a f3 
14. Num referencial o.n. Oxyz, qual das seguintes retas intersecta os três planos coordenados (xOy, 
xOz e yOz)? 
(A) (x, y, z) = (1, 1, 1) + k(l, O, O), k E R 
(B) (x, y, z) = (1, 1, 1) + k(O, 2, O), k E R 
(C) (x, y, z) = (1, 1, 1) + k(l, 2, O), k E R 
(D) (x, y, z) = (1, 1, 1) + k(l, 2, 3 ), k E R 
15. Num referencial o.n . Oxyz uma esfera tem centro no ponto C(2, 3, 4) e é tangente ao plano xOy 
Uma condição que define a esfera é 
(A) xZ + yZ + zZ :S 42 
(B) (x - 2)2 + (y - 3)2 + (z - 4)2<::22 
(C) (x - 2)2 + (y - 3)2 + (z - 4)2 :S 3 2 
(D) (x - 2)2 + (y - 3)2 + (z - 4)2:S4z 
16. Qual das seguintes equações define, num referencial o.n. Oxyz, uma superfície esférica tangente 
aos planos de equações x = 4 e y = O ? 
(A) (x - 2)2 + (y - 2)2 + z2 = 4 
(C) x2 + y2 + (z - 2f= 4 
17. Num referencia l o.n . Oxyz, a condição (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 25 /\ x =y define 
(A) uma circunferência. (B) um ponto. 
(C) um segmento de reta. (D) o conjunto vazio. 
14 
ITENS DE SELEÇÃO 
18. Considere, num referencial o.n. Oxyz, a superfície esférica centrada na origem do referencial e cuja 
i ntersecção com o plano de equação z = 3 é uma circunferência de perímetro 8 Tr 
Qual das seguintes é uma equação desta superfície esférica? 
(A) x2 + y2 + z2 = 9 (B) x2 + y2 + z2 = 16 
(C) xZ + yZ + zZ = 25 (D) x2 + y2 + z2 = 36 
19. Considere, num referencial o .n . Oxyz, as superfícies esféricas definidas pelas equações 
x2 + (y - 2 )2 + z2 = 2 e x2 + (y - 3 )2 + z2 = 2 
A intersecção destas superfícies esféricas é 
(A) um ponto. 
(C) o conjunto vazio. 
20. Num referencial o .n . Oxyz, considere: 
(B) uma circunferência. 
(D) um segmento de reta. 
• a esfera E definida pela condição x2 + y2 + z2 :S 4 
• a reta r de equação vetorial (x, y, z) = (O, O, 2 ) + k(O, 1, O ) , k E lR. 
A intersecção da esfera E com a reta r é 
(A) o conjunto vazio. (B) um segmento de reta de comprimento 2 
(C) um ponto. (D) um segmento de reta de comprimento 4 
21. Na figura, está representado um sólido que se pode decompor no 
cubo [ ABCDEFGH] e na pirâmide triangular não regular [ Gl]K] 
Sabe-se que: 
• o cubo tem aresta 6 
• o ponto l é o ponto de intersecção do segmento [ BK] com a aresta [ GF] 
• o ponto ] é o ponto de intersecção do segmento [ DK] com a 
aresta [GH] 
• o ponto G é o ponto médio do segmento [ CK] 
Qual é o valor do volume da pirâmide [GI]K] ? 
(A) 36 (B) 27 (C) 18 (D) 9 
H J , , , / 
F E ,<..--+-
,
-/-,''---"<' 
6 
A 
. , ' , 
D (:::�'',,, 
K 
G 
I 
e 
15 
GEOMETRIA NO ESPAÇO 
22. Seja a um número real. 
Considere, num referencial o.n. Oxyz, a reta s e o plano f3 definidos, respetivamente, por 
(x, y, z) = (-1, 0, 3) +k(1, 1, -1) , kE R e 3 x + 3y + az = 1 
Sabe-se que a reta s é paralela ao plano f3 
Qual é o valor de a? 
(A) -3 (B) 1 (C) 3 (D) 6 
23. Num referencial o.n. Oxyz, considere um ponto P que tem ordenada igual a -4 e cota igual a 1. 
Considere também o vetor u de coordenadas (2, 3, 6) 
Sabe-se que os vetores OP e u são perpendiculares. 
Qual é a abcissa do ponto P? 
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 
24. Considere, num referencial o.n. Oxyz, o ponto A, de coordenadas (1, O, 3), e o plano a, definido 
por 3x + Zy - 4 = O 
Seja f3 u m plano perpendicular ao plano a e que passa pelo ponto A 
Qual das condições seguintes pode definir o plano f3? 
(A) 3x + 2y - 3 = 0 (B) 2 x - 3y - z + 1 =Ü 
(C) 2x - 3y + z = 0 (D) 3x + 2y = O 
16 
Cálculo combinatório. Problemas de contagem 
1. Uma sequência de algarismos cuja leitura da d ireita para a esquerda ou da esquerda para a direita dá 
o mesmo número designa-se por capicua. Por exemplo, 103301 é capicua. 
Quantos números com seis algarismos são capicuas ? 
(A) 729 (B) 900 (C} 810 000 (D) 900 000 
2. Quantos números naturais de três algarismos diferentes se podem escrever, não utilizando o 
algarismo 2 nem o algarismo 5 ? 
(A) 256 (B) 278 (C} 286 (D) 294 
3. Considere uma turma de uma escola secundária, com oito rapazes e doze raparigas. 
Pretende-se eleger o delegado e o subdelegado da turma. 
De quantas maneiras se pode fazer essa escolha, de modo que os alunos escolhidos sejam de sexos 
diferentes? 
(A) 96 (B) 190 (C} 192 (D) 380 
4. Na figura está representado um círculo dividido em quatro setores circulares diferentes, numerados 
de 1 a 4 
Estão disponíveis cinco cores para pintar este círculo. 
Pretende-se que sejam respeitadas as seguintes condições: 
• todos os setores devem ser pintados; 
• cada setor é pintado com uma única cor; 
• setores com um raio em comum não podem ficar pintados 
com a mesma cor; 
• o círculo deve ficar pintado com duas ou com quatro cores. 
De quantas maneiras diferentes pode o círculo ficar pintado? 
(A) 140 (B) 230 (C} 310 
2 1 
3 
4 
(D} 390 
17 
CÁLCULO COMBINATÓRIO - Problemas de contagem 
5. A Ana, a Bárbara, a Catarina, o Diogo e o Eduardo vão sentar-se num banco corrido, com cinco lugares. 
De quantas maneiras o podem fazer, ficando uma rapariga no l ugar do meio? 
(A) 27 (B) 72 (C) 120 (D) 144 
6. Dois rapazes e três raparigas vão fazer um passeio num automóvel com cinco lugares, dois à frente e 
três atrás. 
Sabe-se que: 
• apenas os rapazes podem conduzir; 
• a Inês, namoradado Paulo, tem de ficar ao lado dele. 
De acordo com estas restrições, de quantos modos distintos podem ficar dispostos os cinco jovens 
no automóvel? 
(A) 10 (B) 14 (C) 22 (D) 48 
7. Foram oferecidos dez bilhetes para uma peça de teatro a uma turma com doze rapazes e oito raparigas. 
Ficou decidido que o grupo que vai ao teatro é formado por cinco rapazes e cinco raparigas. 
De quantas maneiras diferentes se pode formar este grupo? 
(C) 12 X 8 X 52 (D) 12 ! X 8! 5! 
8. A Joana comprou dez discos, todos diferentes, sendo três deles de música clássica e os restantes de 
jazz. 
Pretende oferecer esses dez discos aos seus dois irmãos, o Ricardo e o Paulo, de modo que: 
• cada irmão fique com o mesmo número de discos; 
• o Ricardo fique com exatamente dois discos de música clássica. 
De quantas maneiras o poderá fazer? 
18 
ITENS DE SELEÇÃO 
9. Admita que tem à sua frente um tabuleiro de xadrez, no qual pretende colocar 
os dois cavalos brancos, de tal modo que fiquem na mesma fila horizontal. 
De quantas maneiras diferentes pode colocar os dois cavalos no tabuleiro, 
respeitando a condição indicada? 
(A) 8 x 8C2 64Cz (C) 8 
10. Num torneio de xadrez, cada jogador jogou uma partida com cada um dos outros jogadores. 
Supondo que participaram no torneio dez jogadores, o número de partidas disputadas foi 
(C) 10! (D) 10 x 9 
11. Numa caixa com 12 compartimentos, pretende-se arrumar 10 copos, com tamanho e forma iguais: 
sete brancos, um verde, um azul e um roxo. Em cada compartimento pode ser arrumado apenas um 
copo. 
De quantas maneiras d iferentes se podem arrumar os 10 copos nessa caixa? 
12. Quatro raparigas e quatro rapazes entram num autocarro, no qual existem seis lugares sentados, 
ainda não ocupados. 
De quantas maneiras diferentes podem ficar ocupados esses seis lugares, supondo que ficam dois 
rapazes em pé? 
(A) 3560 (B) 3840 (C) 4180 (D) 4320 
13. Os códigos dos cofres fabricados por uma certa empresa consistem numa sequência de cinco 
algarismos como, por exemplo, O 7 7 5 7 
Um cliente vai comprar um cofre a esta empresa. Ele pede que o respetivo código satisfaça as 
seguintes condições: 
• tenha exatamente três algarismos 5 
• os restantes dois algarismos sejam diferentes; 
• a soma dos seus cinco algarismos seja igual a dezassete. 
Quantos códigos diferentes existem satisfazendo estas condições? 
(A) 20 (B) 40 (C) 60 (D) 80 
19 
CÁLCULO COMBINATÓRIO - Problemas de contagem 
14. Queremos colocar 6 bolas indistinguíveis em 4 caixas distintas, de forma que cada caixa contenha 
pelo menos uma bola. 
De quantas maneiras diferentes podem as bolas ficar colocadas nas caixas? 
(A) 4 (B) 8 (C) 10 (D) 12 
15. Os três irmãos Andrade e os quatro irmãos M artins vão escolher, de entre eles, dois elementos de 
cada família para um jogo de matraquilhos, de uma família contra a outra. 
De q uantas maneiras pode ser feita a escolha dos jogadores de modo que o Carlos, o mais velho dos 
irmãos da família Andrade, seja um dos escolhidos? 
(A) 8 (B) 12 (C) 16 (D) 20 
16. Considere todos os números que se podem obter alterando a ordem dos algarismos do número 
12 345. Quantos desses números são ímpares e maiores do que 40 000 ? 
(A) 18 (B) 30 (C) 120 (D) 240 
17. Considere todos os números naturais de dez algarismos que se podem escrever com os algarismos de 
1 a 9. Quantos desses números têm exatamente seis algarismos 2 ? 
18. Considere todos os números ímpares com cinco algarismos. 
Quantos desses números têm quatro algarismos pares e são superiores a 20 000 ? 
(A) 54 (B) 55 (C) 3 x 54 (D) 4 X 54 
19. Considere todos os números naturais de cinco algarismos diferentes que se podem formar com os 
algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 
Destes números, quantos têm os algarismos pares um a seguir ao outro? 
(A) 24 (B) 48 (C) 72 (D) 96 
20 
Triângulo de Pascal. Propriedades das combinações 
1. Uma certa l inha do Triângulo de Pascal tem quinze elementos. 
Qual é o sexto elemento dessa l inha? 
2. O penúltimo número de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 10 
Qual é o terceiro número dessa linha? 
(A) 1 1 (B) 19 (C) 45 (D) 144 
3. A soma dos dois últimos elementos de uma certa l inha do Triângulo de Pascal é 31 
Qual é o quinto elemento da l inha anterior? 
(A) 23 751 (B) 28 416 (C) 31 465 (D) 36 534 
4. No Triângulo de Pascal, considere a linha que contém os elementos da forma 2006ck 
Quantos elementos desta l inha são menores do que 2006C4? 
(A) 8 (B) 6 (C) 5 (D) 3 
5. A soma dos dois primeiros elementos de uma certa l inha do Triângulo de Pascal é 13 
Quantos elementos dessa l inha são menores do que 70 ? 
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 
6. De uma l inha do Triângulo de Pascal, sabe-se que a soma dos dois primeiros termos é 21 
Qual é o maior termo dessa l inha? 
(A) 169 247 (B) 175 324 (C) 184 756 (D) 193 628 
21 
TRIÂNGULO DE PASCAL- Propriedades das combinações 
7. A soma dos três primeiros elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 121 
Qual é o terceiro elemento da l inha seguinte? 
(A) 78 (B) 91 (C) 120 (D) 136 
8. A soma de todos os elementos de uma certa l inha do Triângulo de Pascal é igual a 256 
Qual é o terceiro elemento dessa l inha? 
(A) 28 (B) 36 (C) 56 (D) 84 
22 
Binómio de Newton 
1. Quantas são as soluções da equação (x+ 1 )4 = x4 + 4x3 + x + 1 ? 
(A) 1 (B) 2 (C) 3 
2. Um dos termos do desenvolvimento de (ir+ e)" é 120ir7 e3 
Indique o valor de n 
(A) 10 (B) 12 (C) 20 
(D) 4 
(D) 2 1 
3. Um dos termos do desenvolvimento de (x + 2 )5 é um monómio da forma k x3 , sendo k um 
número natural. 
Qual é o valor de k ? 
(A) 20 (B) 30 (C) 40 
4. Do desenvolvimento de (x2 + 2 )6 resulta um polinómio reduzido. 
Qual é o termo de grau 6 desse polinómio? 
(A) 8x6 (B) 20x6 (C) 64x6 
(D) 50 
(D) 160x6 
5. Um dos termos do desenvolvimento de ( ; + x )
1º, com x #O, não depende da variável x 
Qual é esse termo? 
(A) 10 240 (B) 8064 (C) 1024 (D) 252 
23 
Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace 
1. Considere um dado cúbico com as faces numeradas de 1 a 6, e um saco que contém cinco bolas, 
indistinguíveis ao tato, cada uma delas numerada com um número diferente: O, 1, 2, 3 e 4. Lança-se o 
dado uma vez e retira-se, ao acaso, uma bola do saco, registando-se os números que saíram. 
Qual é a probabilidade de o produto desses números ser igual a zero? 
(A} O 1 (B} lS 
1 (C} 30 (D} 1_ 5 
2. Dois cientistas, que vão participar num congresso no estrangeiro, mandam reservar hotel na mesma 
cidade, cada um sem conhecimento da marcação feita pelo outro. 
Sabendo que nessa cidade existem sete hotéis, todos com igual probabilidade de serem escolhidos, 
qual é a probabilidade de os dois cientistas ficarem no mesmo hotel? 
(A} 1_ 7 (B} 1_ 7 (C} � 7 (D} .§_ 7 
3. A Maria gravou nove CD, sete com música rock e dois com música popular, mas esqueceu-se de 
identificar cada um deles. Qual é a probabilidade de, ao escolher dois CD ao acaso, um ser de música 
rock e o outro ser de música popular? 
7 (A} 36 (B} 1_ 4 (C} 
2 
9 
7 (D} 18 
4. O João tem num bolso do casaco uma moeda de 50 cêntimos, duas moedas de 1 euro e três moedas 
de 2 euros. Retirando duas moedas ao acaso, qual é a probabilidade de, com elas, perfazer a quantia 
exata de 2,5 euros? 
(A} 1_ 2 (B} 1_ 3 (C} 
1 
4 (D} 
1 
5 
5. Um saco contém vinte bolas, numeradas de 1 a 20. Ao acaso, extraem-se simultaneamente três bolas 
do saco e anotam-se os respetivos números. 
Qual é a probabilidade de o maior desses três números ser 10 ? 
24 
ITENS DE SELEÇÃO 
6. Sete amigos vão ao futebol ver um desafio entre o clube Alfa e o clube Beta. Três deles são adeptos 
do clube Alfa e quatro são adeptos do clube Beta. No estádio sentam-se na mesma fila, uns ao lado 
dos outros, distribuídos ao acaso. 
Qual é a probabilidade de os adeptos do clube Alfa ficarem todos juntos e os adeptos do clube Beta 
ficarem também todos juntos ? 
{A) 3 !x4! 7! {B) 
2 X 3! X 4! 
7! 
2 ! {C) 3! X 4! 
1 {D) 3 ! X 4! 
7. Para assistirem a um espetáculo, o João, a Margaridae cinco amigos sentam-se, ao acaso, numa fila 
com sete lugares. 
Qual é a probabilidade de o João e a Margarida não ficarem sentados um ao lado do outro? 
{A) 2x5! 7 ! (B) 
fil 
7! {C) 1-7 {D) � 7 
8. Lança-se quatro vezes consecutivas um dado com as faces numeradas de 1 a 6. No primeiro 
lançamento sai face 1 e no segundo sai face 2 . Qual é a probabilidade de os números saídos nos 
quatro lançamentos serem todos diferentes? 
{A) 6 X 5 X 4 X 3 
64 
{B) 6 X 5 
64 
{C) 6 X 5 
62 
{D) 4 X 3 
62 
9. Uma certa l inha do Triângulo de Pascal é constituída por todos os números da forma 24CP 
Escolhendo ao acaso um número dessa linha, q ual é a probabilidade de ele ser 1 ? 
1 {A) IT 
1 {B) 24 1 {C) 25 2 {D) 25 
10. Considere a l inha do Triângulo de Pascal em que o segundo elemento é 35. Escolhem-se, ao acaso, 
dois elementos dessa linha. Qual é a probabilidade de estes dois elementos serem iguais? 
1 {C) 35C2 
11. Escolhem-se aleatoriamente dois vértices distintos de um cubo. 
Qual é a probabilidade de o centro do cubo ser o ponto médio do segmento por eles definido? 
{A) _L 8C2 
1 {C) 8T 4 {D) 8f 
25 
CÁLCULO DE PROBABILIDADES- Regra de Laplace 
12. Escolhem-se, ao acaso, dois vértices diferentes de um paralelepípedo retângulo. 
Qual é a probabilidade de que esses dois vértices sejam extremos de uma aresta? 
(A) 12 8C2 
(B) 11_ 82 
13. Considere, num referencial o.n. Oxyz, um octaedro regular em que cada um dos seus vértices 
pertence a um dos eixos coordenados (dois vértices em cada eixo). 
Escolhendo, ao acaso, três vértices desse octaedro, qual é a probabilidade de eles definirem um plano 
perpendicular ao eixo Oy ? 
(A) 1_ 3 (B) 
2 
3 (C) 1_ 5 (D) 1_ 5 
14. Na figura, está representado, num referencial o.n. Oxyz, 
um octaedro [ ABCDEF], cujos vértices pertencem aos 
eixos coordenados. 
z 
A 
Escolhem-se, ao acaso, três vértices desse octaedro. 
Qual é a probabilidade de esses três vértices definirem um 
plano paralelo ao plano de equação z = 5 ? 
(A) 1 (B) 4 6C3 6C3 
(C) 8 (D) 12 6C3 6C3 
e 
y 
:F 
15. Uma pessoa lança um dado cúbico, com as faces numeradas de 1 a 6, e regista o número da face que 
ficou voltada para cima. 
26 
Uma outra pessoa lança um dado com a forma de um tetraedro regular, com as faces numeradas de 
1 a 4, e regista o número da face que ficou voltada para baixo. 
Admita que ambos os dados são equil ibrados. 
Qual é a probabilidade de, pelo menos, uma dessas pessoas registar o número 4? 
(A) 3 8 
5 (C) 12 
(B) � 8 
7 (D) 12 
Definição axiomática de probabilidade 
Propriedades das probabilidades 
1. Um saco contém bolas azuis, bolas brancas e bolas pretas. 
Tira-se, ao acaso, uma bola do saco. Sejam os acontecimentos: 
A: «a bola retirada é azul» B : «a bola retirada é branca» 
Qual das afirmações seguintes é verdadeira? 
(A) A e B são contrários. (B) A e B são contrários. 
(C) A e B são incompatíveis. (D) A e B são incompatíveis. 
2. Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? 
(A) A soma das probabilidades de dois acontecimentos incompatíveis é 1 
(B) O produto das probabilidades de dois acontecimentos incompatíveis é 1 
(C) A soma das probabilidades de dois acontecimentos contrários é 1 
(D) O produto das probabilidades de dois acontecimentos contrários é 1 
3. Seja Q o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória, e sejam A e B dois 
acontecimentos (A e Q e B e Q). 
Sabe-se que: P(A) = 30% 
Qual é o valor de P(B) ? 
(A) 21 % 
P(AUB) = 70% 
(B) 40% 
A e B são incompatíveis 
(C) 60% (D) 61% 
4. Seja E o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois 
acontecimentos (A e E e B e E) . Tem-se P(A) = 0,3 e P(B) = 0,5 
Qual dos números seguintes pode ser o valor de P(A U B) ? 
(A) 0,1 (B) 0,4 (C) 0,6 (D) 0,9 
5. Seja Q o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois 
acontecimentos (A e Q e B e Q). Sabe-se que P(A) = 0,3 
Qual dos acontecimentos seguintes pode ter probabilidade inferior a 0,3 ? 
(A) AUB (B) A U B (C) A n B 
27 
DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADES - Propriedades das probabilidades 
6. Abre-se, ao acaso, um livro, ficando à vista duas páginas numeradas. 
A probabil idade de a soma dos números dessas duas páginas ser ímpar é 
(A) O (B) 1_ 3 (C) 1_ 2 
7. Seja Q o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória. 
28 
Sejam A e B dois acontecimentos (A e Q e B e Q). 
Sabe-se que P(A n B) = �. Qual é o valor de P(A u (A n .8)) ? 
(A) 1_ 5 (B) 1_ 5 (C) � 5 
(D) 1 
(D) 4 5 
Probabilidade condicionada 
1. Uma caixa A contém duas bolas verdes e uma bola amarela. 
Outra caixa B contém uma bola verde e três bolas amarelas. 
As bolas colocadas nas caixas A e B são indistinguíveis ao tato. 
Lança-se um dado cúbico perfeito, com as faces numeradas de 1 a 6. Se sair o número 5, tira-se uma 
bola da caixa A; caso contrário, tira-se uma bola da caixa B. 
Qual é a probabilidade de a bola retirada ser verde, sabendo que saiu o número 5 no lançamento do 
dado? 
(A) 1_ 4 
(C) l 7 
(B) 1_ 3 
(D) 1_ 3 
2. Numa caixa há bolas de duas cores: bolas verdes e bolas pretas. O número de bolas verdes é seis. 
De forma aleatória, extraem-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas da caixa. 
A probabilidade de a segunda bola extraída ser preta, sabendo que a primeira bola extraída foi verde, 
é � . Quantas bolas pretas havia inicialmente na caixa? 
(A) 4 (B) 5 
(C) 6 (D) 7 
3. Uma caixa 1 tem uma bola verde e três bolas amarelas. 
Uma caixa 2 tem apenas uma bola verde. 
Considere a experiência que consiste em tirar, simultaneamente e ao acaso, duas bolas da caixa 1, 
colocá-las na caixa 2 e, em seguida, tirar, também ao acaso, uma bola da caixa 2. 
Sejam M e V os acontecimentos: 
M : «as bolas retiradas da caixa 1 têm a mesma cor» 
V: «a bola retirada da caixa 2 é verde» 
Indique o valor da probabilidade condicionada P(VIM ) 
(A) O 
(C) 1_ 3 
(B) 1_ 3 
(D) 1 
llliJ 
Caixa 1 Caixa 2 
29 
PROBABILIDADE CONDICIONADA 
4. Extrai-se, ao acaso, uma bola de uma caixa que contém vinte bolas, numeradas de 1 a 20 
Considere os acontecimentos: 
A : «A bola extraída tem número par» 
B : «A bola extraída tem número múltiplo de 5» 
Qual é o valor da probabilidade condicionada P(BIA) ? 
(A) 0,1 (B) 0,2 (C) 0,3 (D) 0,4 
5. Em cada uma das opções seguintes (A, B, C e D) estão representadas quatro figuras (as figuras são 
círculos ou quadrados e estão pintadas de branco ou de preto). 
Para cada opção, considere: 
• a experiência que consiste na escolha a leatória de uma das quatro figuras 
• os acontecimentos: 
X : «a figura escolhida é um quadrado» 
Y: «a figura escolhida está pintada de preto» 
Em qual das opções se tem P(XI Y) � � ? 
(A) 
(C) 
OD 
•• 
•• 
•D 
(B) 
(D) 
eo 
D li 
00 
li D 
6. Admita que um estudante tem de realizar dois testes no mesmo dia. A probabilidade de ter classificação 
positiva no primeiro teste é 0,7, a de ter classificação positiva no segundo teste é 0,8, e a de ter 
classificação negativa em ambos os testes é 0,1 
30 
Qual é a probabilidade de o estudante ter negativa no segundo teste, sabendo que teve negativa no 
primeiro teste? 
(A) 1_ 8 (B) 1_ 7 (C) 
1 
3 (D) 1_ 2 
ITENS DE SELEÇÃO 
7. Um saco contém um certo número de cartões. Em cada cartão está escrito um número natural. 
Tira-se, ao acaso, um cartão do saco. 
Considere os acontecimentos: 
A : «o cartão extraído tem número par» 
B: «o cartão extraído tem número múltiplo de 5 » 
C : «o cartão extraído tem número múltiplo de 10 » 
Sabe-se que: P(C) = � e P(BIA) = i� 
Qual é o valor de P(A) ? 
(A) 1_ 5 (B) 1_ 5 (C) 1_ 3 
8. Escolhe-se, ao acaso, um professor de uma certa escola secundária. 
Sejam A e B os acontecimentos: 
A : «o professor escolhido é do sexo masculino» 
B : «O professor escolhido ensina Matemática» 
Sabe-se q ue: 
• P(A ) = 0,44 
• P(A u B) = 0,92 
(D) 2 3 
Qual é a probabilidade de o professor escolhido ensinar Matemática, sabendo que é dosexo feminino? 
(A) 1_ 5 (B) 1_ 6 (C) 1_ 7 (D) 
1 
8 
9. Um saco contém nove bolas indistinguíveis ao tato, numeradas de 1 a 9. As bolas numeradas de 1 a 5 
são pretas e as restantes são brancas. 
Retira-se, ao acaso, uma bola do saco e observa-se a sua cor e o seu número. 
Considere os seguintes acontecimentos, associados a esta experiência aleatória: 
A : «a bola retirada é preta» 
B : «o número da bola retirada é um número par» 
Qual é o valor da probabilidade condicionada P(A IB) ? 
(A) 2 5 (B) 
1 
2 (C) 
3 
5 (D) 
l_ 4 
31 
PROBABILIDADE CONDICIONADA 
10. Seja Q, conjunto finito, o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória. 
Sejam A e B dois acontecimentos (A e Q e B e Q). 
Sabe-se que: 
• P(A)=0,2 
• P(B)=0,3 
• P(AnB)=0,6 
Qual é o valor de P( AIB) ? 
(A) 1_ 3 (B) 
1 
2 (C) 
2 
3 (D) � 6 
11. Uma turma é constituída por rapazes e por raparigas, num total de 20 alunos. 
Sabe-se que: 
• ! dos rapazes tem olhos verdes; 
• escolhido, ao acaso, um aluno da turma, a probabilidade de ele ser rapaz e de ter olhos verdes é 1
1
0 
Quantos rapazes tem a turma? 
(A) 4 (B) 8 (C) 12 (D) 16 
32 
Funções exponenciais e logarítmicas 
1. Seja f a função de domínio [ � , � ] definida por f(x) = 4x 
Qual é o contradomínio de f? 
(A) [1, 4] (B) [1, 8 ] (C) [2, 4] 
2. Para um certo valor de a E R considere a função f definida 
em ]a, +oo[ por f(x) = ln (x - a) Y 
Na figura junta está representada parte do gráfico da função f 
Ta l como a figura sugere, o gráfico de f intersecta o eixo Ox 
no ponto de abcissa 4 
Qual é o valor de a ? 
(A) -3 
3. Sabe-se que log2 a = � 
(B) -2 
Qual é o valor de log2 ( �) ? 
(A) - 1 (B) -2 
(C) 3 
(C) -3 
o 
(D) [2, 8 ] 
4 X 
(O) 4 
(D) -4 
4. Indique qual das expressões seguintes é, para q ualquer número real a superior a 1, igual a a2+ Iog,3 
(A) 3 a2 (B) 2 a3 
5. Considere a função f definida por f(x) = ln (3x) 
( ln designa logaritmo de base e ) 
(C) 3 + a2 
Indique qual dos seguintes pontos pertence ao gráfico da função f 
(A) (e, ln 3 ) (B) (e, 1 + ln 3 ) (C) (e, e + ln 3) 
(D) 2 + a3 
(D) (e, e ln 3 ) 
33 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 
6. Considere a função f definida por /( x) = ex+3 
Indique qua l dos seguintes pontos pertence ao gráfico da função f 
(A) A (-3, 0) (B) B(ln 2, 2 e3 ) (C) C(-1, ln 2 ) (D) D(ln 5, 8) 
7. Considere uma função f, de domínio R, definida por f(x) = ex+ a, onde a designa um certo 
número real. 
O gráfico de f intersecta o eixo Oy no ponto de ordenada 2 
Indique o valor de a 
(A) ln 2 (B) 2 (C) e2 (D) e + ln 2 
8. Na figura estão representadas graficamente duas funções, f e g, definidas em JR+ por /(x) = log3x 
e g(x) = -2 + log3 (x2) 
9. 
34 
y 1 
o 
g 
Os gráficos de f e de g intersectam-se no ponto I 
Qual é a abcissa do ponto I? 
(A) 6 (B) 7 (C) 8 
Seja h a função, de domínio lR, definida por h(x) = ln (W) 2 
(ln designa logaritmo de base e ) 
Qual das seguintes expressões pode também definir h ? 
(A) IX (B) K 2 (C) K 4 
X 
(D) 9 
(D) IX 2 
ITENS DE SELEÇÃO 
10. Indique o número real que é solução da equação ex-Z = Je 
{A) 1_ 2 
(C) � 2 
(B) l 2 
(D) l_ 2 
11. Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação log3 ( 1 - x) :S 1 
(A) [-2, 1 [ (B) [- 1, 2 [ 
(C) ]-ao, -2 ] (O) [-2, +ao[ 
12. De um número real x sabe-se que log5 (x) = 7r: - 1 
Indique o valor de 5x 
(AJ 25ir-1 (B) 5ir-1 
(C) 5 ir (D) 5(71:- 1)5 
13. Seja a um número real maior do que 1 
Indique qual das expressões seguintes é igual a loga3 + 2 loga5 
(C) Ioga 75 
14. Sabe-se que o ponto P(l, 3) pertence ao gráfico da função f definida por 
Qual é o valor de a? 
(A) -2 (B) O 
(C) 1 (D) 2 
35 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 
15. Na figura abaixo estão representadas, em referencial o. n. xOy : 
• parte do gráfico da função f, de domínio R definida por /( x) = ex 
• parte do gráfico da função g, de domínio JR+, definida por g (x) = ln x 
(ln designa logaritmo de base e ) 
O ponto A é o ponto de intersecção do gráfico de f com o eixo Oy e o ponto B é o ponto de 
intersecção do gráfico de g com o eixo Ox 
y f 
E 
g 
o B X 
Na figura está também representado um triângulo [ CDE] 
O ponto C pertence ao eixo Oy, o ponto D pertence ao gráfico de f e o ponto E pertence ao 
gráfico de g 
Sabe-se ainda que: 
• a reta BD é paralela ao eixo Oy e a reta CE é paralela ao eixo Ox 
• AC = OA 
Qual é a área do triângulo [ CDE] ? 
(A) (e - l ) ln 2 2 
(C) e(e - 2) 
2 
(B) (e2 - l) ln 2 
2 
(D) e2 (e - 2 ) 
2 
16. Seja x um número real positivo. 
Qual das expressões seguintes é igual a e4lnx - lo2 Iogx ? 
(ln designa logaritmo de base e; log designa logaritmo de base 10 ) 
(A) ln x4 - log x2 (B) x4 + x2 (C) x4 - x2 
36 
(D) ln x4 
logx2 
ITENS DE SELEÇÃO 
17. Sejam a e b dois números reais superiores a 1 e tais que b = a2 
Qual dos valores seguintes é igual a 1 + logba ? 
{A) 1_ 3 {B) ]_ 4 (C) 
4 
3 
y 
{D) 3 2 
18. Na figura, está parte da representação gráfica da função f, de 
domínio R+, definida por f(x) = log9 (x) 
P é o ponto do gráfico de f que tem ordenada � 
f 
i - - · - � 
Qual é a abcissa do ponto P? 
(A) l 
2 (B) 2 
o 
(C) 3 (D) 9 2 
19. Sejam a, b e e três números reais tais que a E ]1, +oo[, b E R+ e e E R+ 
Sabe-se que logab =e e que Ioga /C = 3 
Qual das expressões seguintes é equivalente a Ioga /bXC? 
{A) e+ 3 (B) e - 3 
20. Para certos valores de a e de b (a > 1 e b > 1), tem-se logab = 2 
Qual é, para esses valores de a e de b, o valor de logba + Ioga lb? 
(A) � + /2 
(C) 1_ 2 
(B) - 2 +12 
(D) l 2 
21. Sejam a e b dois números reais tais que 1 < a < b e logab = 3 
(D) _f_ - 3 2 
Qual é, para esses valores de a e de b, o valor de Ioga (a5 x o/b) + alog"b ? 
(A) 6 + b {B) 8 + b 
(C) 6 + ah (D) 8 + ah 
X 
37 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 
22. Seja a um número real positivo. 
Considere o conjunto S = {x E lR: ln (e-x - a):". O} 
Qual dos conjuntos seguintes é o conjunto S ? 
(A) ]- ln (1 + a ), - ln a[ (B) [- ln (l + a), - ln a[ 
(C) ]-oo, - ln (l + a)] (D) [- ln (l + a), +oo[ 
23. Seja b um número real. 
Sabe-se que log b = 2014 (log designa logaritmo de base 10 ) 
Qual é o valar de log (100b) ? 
(A) 2016 (B) 2024 
(C) 2 114 (D) 4028 
24. Para certos valores de a e de b (a > l e b > l) , tem-se 1ogba = � 
Qual é, para esses valores de a e de b, o valor de Ioga ( a2 b) ? 
(A) l_ 3 
(C) 2 
(B) � 3 
(D) 5 
25. Sejam a e b dois números reais superiores a 1, tais que a = b3 
38 
Qual dos valores seguintes é igual a log0 b + logb a ? 
(A) .±_ 3 
(C) lQ_ 3 
(B) 1 
(D) 3 
ITENS DE SELEÇÃO 
26. Seja f a função, de domínio [-3, 3 ], cujo gráfico 
está representado na figura. 
Tal como a figura sugere, todos os objetos inteiros 
têm imagens inteiras. 
Seja g a função, de domínio R+, definida por 
g(x) = lnx 
Quais são as soluções da equação (!o g) ( x) =O ? 
(o símbolo o designa a composição de funções) 
(A) .1 · e2 e , (B) e ; e2 
(C) 1 ; e (D) .1 ; e e 
27. Seja a um número real superior a 1 
Qual é o valor de 4 +Ioga (5lna) ? 
(A) ln(10e) (B) ln (Se4) (C) ln (Se2) 
y 
2 
X 
,- ---+ 
(D) ln(20e) 
39 
Limites, Assíntotas, Continuidade, Teorema de Bolzano-Cauchy 
1. O valor de lim (i + 1-)
2
" é 
n -+oo n 
(A) 1 (B) +oo 
2. Considere a função g definida por g (x) = Z x -1
5 
X -
Indique qual é o valor de lim g(x) x_,_1 + 
(A) O 
3. lim ln x 
é 
x--o+ X 
(A) -oo 
(B) 2 
(B) O 
4. Indique o valor de lim log2x x_,.o+ ex - 1 
(A) O 
(B) 1 
(C) -00 
(D) +oo 
(CJ re 
(C) -oo 
(C) 1 
5. Na figura está representada parte dos gráficos de duas 
funções f e g, contínuas em lR 
40 
O gráfico de f intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa 3 
Indique o valor de lim g(x) x-3- f(x) 
(A) O 
(B) 1 
(C) -oo 
(D) +oo 
(D) e2 
(D) +oo 
(D) +oo 
y 
o X 
ITENS DE SELEÇÃO 
6. O gráfico da função f, de domínio JR, definida por f(x) = 0,1 + 0,2eº·3x, tem uma única assíntota. 
Qual das condições seguintesé uma equação dessa assíntota? 
(A) y = O (B) y = 0,1 (C) y = 0,2 (D) y = 0,3 
7. Na figura está a representação gráfica de uma função f, da qual a reta t é assíntota. 
y f t 
o 2 X 
O valor de lim [f(x) - (x - 2 )] é 
X-++oo 
(A) -ao (B) O (C) 1 
8. Na figura está representada graficamente uma função f, de domínio JR+ 
y f 
(D) +ao 
A reta s, que contém os pontos (-2, O ) e (O, 1) , é assíntota do gráfico de f 
Indique o valor de lim f( x) 
x_,_+oo X 
(A) -2 (B) O (C) 1 2 (D) 1 
41 
LIM ITES, ASSÍNTOTAS, CONTINU IDADE, TEOREMA DE BOLZANO-CAUCHY 
9. De uma função f, de domínio JR+, sabe-se que a reta de equação y = -2x + 1 é assintota do seu 
gráfico. 
Qual é o valor de lim /( x) ? 
x-+oo 
(A) -oo (B) -2 (C} 1 
10. Na figura está representada parte do gráfico de uma função h, de 
domínio [O, 5 [ U ]5, +oo [ 
As retas de equações x = 5 e y = 3 são as únicas assintotas do 
gráfico de h 
Indique o valor de lim h(x) 
x-+oo 3 +e-x 
(A} O (B} 1 (C} 5 
(D) +oo 
y3·········� 
o 5 X 
(D) +oo 
11. Seja f uma função de domínio R e seja g a função definida por g(x) = f(x + 1) 
A reta de equação y = 2x + 4 é a única assintota do gráfico de f 
Qual das seguintes é uma equação da única assintota do gráfico de g? 
(A} y = 2x + 6 (B} y = 2x + 4 (C} y = 2x - 4 (D) y = 2x - 6 
12. De uma função h, de domínio JR-, sabe-se que a reta de equação y = 2 é assintota do seu gráfico. 
Qual é o valor de lim h (x) ? X---+-oo ex 
(A) +oo (B) -oo (C} o (D) 2 
13. Seja g a função definida em lR por g(x) = x5 - x + 1 
42 
O teorema de Bolzano-Cauchy permite-nos afirmar que a equação g(x) = 8 tem pelo menos uma 
solução no intervalo 
(A) [-1, O] (B) (O, 1] (C} (1, 2] (D) (2, 3] 
ITENS DE SELEÇÃO 
14. Seja f a função de domínio ]-4, +oo[ definida por /(x) = x + log4 (x + 4) 
Em qual dos intervalos seguintes é possível garantir, pelo teorema de Bolzano-Cauchy, a existência de 
pelo menos um zero? 
(A) [-3, -2] (B) [-2, 0] (C) [0, 4] 
15. Seja h uma função contínua, de domínio lR 
Qual dos seguintes conjuntos não pode ser o contradomínio de h ? 
(A) lR (B) lR\{O} (C) JR-
16. Na figura está parte da representação gráfica de uma função g, 
polinomial do terceiro grau. 
A função g admite máximo relativo igual a 3 para x = -1 e 
admite mínimo relativo igual a -2 para x = 1 
Qual é o conjunto dos valores de b para os quais a equação 
g(x) = b tem três soluções distintas? 
(A) ]-oo, 3 [ (B) ]-2, +oo[ 
(C) [-2, 3 ] (D) ]-2, 3 [ 
(D) [4, 12] 
(D) ]O, 1[ 
y 
. .. 3 
1 
- 1 
17. Considere a função f definida em lR+ por /(x) = lnx (ln designa logaritmo de base e ). 
Seja (un) a sucessão de termo geral Un = ( 1 + � r 
Qual é o valor de limf(un) ? 
(A) +oo 
(B) O 
(C) 1 
(D) e 
X 
43 
L IM ITES, ASSÍNTOTAS, CONTINU IDADE, TEOREMA DE BOLZANO-CAUCHY 
18. Na figura está parte da representação gráfica de uma função g de domínio lR e contínua em JR\{O} 
Considere a sucessão de termo geral Un = 1-n 
Indique o valor de lim g(un) n->+oo 
(A) +oo (B) O 
y 
2 
1 
o 
(C) 1 
19. Na figura está desenhada parte da representação gráfica 
de uma função /, cujo domínio é JR\ {2} 
As retas de equações x = 2, y = 1 e y = O são 
assíntotas do gráfico de f 
Seja (xn) a sucessão de termo geral 
Xn = 2 - n2 
Indique o valor de lim/(xn ) 
(A) O (B) 1 
20. De uma função /, contínua em lR, sabe-se que: 
• f é estritamente crescente 
• /(0 ) = 1 
(C) -00 
X 
(D) 2 
o 2 
(D) +oo 
• o eixo Ox e a bissetriz dos quadrantes ímpares são assíntotas do gráfico de f 
Qual é o contradomínio de f? 
{A) [1, +oo[ (B) ]-oo, 1 ] (C) ]O, +oo[ {D) ]-oo, O [ 
44 
X 
ITENS DE SELEÇÃO 
21. Na figura está representada parte do gráfico de uma função g, de domínio JR, contínua em JR\{3} 
As retas de equações x = 3 e y = -4 são as únicas assíntotas do gráfico de g 
y 
o 3 
-4 
Seja ( Xn ) uma sucessão tal que limg( Xn ) = +oo 
Qual das expressões seguintes pode ser o termo geral da sucessão (xn ) ? 
1 (A} 3 --
n 
(B) 3 + l 
n 
(C} -4 -l 
n 
(D} -4 +l 
n 
22. Considere uma função h, , contínua em JR\{-3}, tal que: 
lim h(x) = 5 
x--oo 
lim h(x) = -oo X-+-3 lim h(x) = D x-+oo 
Qual das afirmações seguintes é verdadeira? 
(A) O gráfico da função h não tem assíntotas verticais. 
(B} O gráfico da função h não tem assíntotas horizontais. 
(C} A função h tem mínimo absoluto. 
(D) A equação h (x) = 2 tem pelo menos uma solução. 
X 
45 
L IM ITES, ASSÍNTOTAS, CONTINU IDADE, TEOREMA DE BOLZANO-CAUCHY 
23. Considere uma função /, de domínio lll'\ {5}, contínua em todo o seu domínio. 
Sabe-se que: 
• lim /(x) = -3 x-5 
• lim /(x) = 2 
X-++oo 
• lim (f(x) - x] = O x--oo 
Em cada uma das opções seguintes, estão escritas duas equações, representando cada uma delas 
uma reta. 
Em qual das opções as duas retas assim definidas são as assintotas do gráfico da função /? 
(A) y = X e y = 2 (B) y = 2 e X = 5 (C) y = X e X = 5 (D) y = -3 e X = 2 
24. Considere a função f, de domínio JR\{3}, definida por /(x) = x - z3 X -
Em cada uma das opções seguintes estão escritas duas equações. Em qual das opções as duas 
equações definem as assintotas do gráfico de f ? 
(A) X = 2 e y = 1 (B) X = 2 e y = 2 (C) X = 3 e y = 1 (D) X = 3 e y = 2 
25. De duas funções, f e g, sabe-se que: 
46 
• o gráfico de f é uma reta, cuja ordenada na origem é igual a 2 
• o gráfico de g é uma hipérbole. 
Nas figuras seguintes estão representadas parte dessa reta e parte dessa hipérbole. 
y 
2 
o X 
A reta de equação x = 1 é assintota do gráfico de g 
Indique o valor de 
(A) O 
lim /(x) 
x-1' g (x) 
(B) 2 (C) +oo 
y 
o 
(D) -oo 
ITENS DE SELEÇÃO 
26. Seja ( Xn ) a sucessão de termo geral Xn = ( 1 + � )" 
Seja (Yn) a sucessão de termo geral Yn = 1 + ln ( Xn ) ( ln designa logaritmo de base e ) 
Qual é o valor de limyn ? 
(A) 2 (B) 3 (C) 1 +e 
27. Seja g uma função de domínio JR+ 
Sabe-se que a reta de equação y = 2x + 3 é assintota do gráfico de g 
Indique o valor de lim [g(x) x (g(x)- 2x)] 
X--++oo X 
(A) O (B) 5 (C) 6 
28. Seja f uma função de domínio R contínua no intervalo [-2, 2 ] 
Tem-se f(-2 ) = 1 e f(2 ) = 3 
(D) 2 + e 
(D) +ao 
Indique qual das expressões seguintes define uma função g, de domínio R para a qual o teorema 
de Bolzano-Cauchy garante a existência de pelo menos um zero no intervalo [-2, 2 ] 
(A) g (x) = x + f(x) (B) g(x) = x - f(x) 
(C) g(x) = x2 + f(x) (D) g(x) = x2 - f(x) 
29. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f 
de domínio [O, +ao[ 
A reta r, de equação y = � x + 2, é assíntota do gráfico de f 
Seja h a função definida em [ O, +ao [ por 
h(x) = J(x) 
O gráfico de h tem uma assintota horizontal. 
Qual das equações seguintes define essa assintota? 
(B) y = 1_ 2 (C) y = 2 
o X 
(D) y = 3 
47 
L IMITES, ASSÍNTOTAS, CONTINU IDADE, TEOREMA DE BOLZANO-CAUCHY 
30. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f de domínio ]-oo, 2 [ 
y f 
X 
A reta t, de equação y = -x - 1, é assíntota do gráfico de f quando x tende para -oo 
Qual é o valor de x�l11oo (!(x) + x + 1) ? 
{A) +oo {B) 1 (C) o 
31. Na figura está representado o gráfico de uma função f, de domínio JR+ 
y 
o X 
f 
(D) -1 
Tal como a figura sugere, a reta de equação y = 1 é assintota do gráfico de f 
Indique o valor de 
(A) -1 
lim [ ln(x) - /(x )] x_,.+oo X 
(B) O (C) 1 
32. Para um certo valor de a, é contínua em IR a função f definida por 
!x2 - 2x 
f(x) = 
x2 - x + 3 
se x < a 
se x 2: a 
Qual é o valor de a ? 
(A) -3 (B) -2 (C) 2 
48 
(D) +oo 
(D) 3 
ITENS DE SELEÇÃO 
33. Na figura estão representadas parte do gráfico de uma função f, de domínio [-3, +oo[ , e parte da 
reta r, que é a única assíntota do gráfico de f 
Qual é o valor de lim /( x) ? 
(A) -1 
X-++co X 
(B) O 
-3 
y 
f 
o 
-1 
34. Seja g a função, de domínio [O, +oo[, definida por 
/ 
X 
(C) 1 
se OS x < 2 
l
3 x_
fX 
g (x) = 
x -5 + log2 (x -1) se x 2' 2 
(D) 2 
Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano-Cauchypermite garantir a existência de pelo 
menos um zero da função g ? 
(A) [0,1] (B) [1, 3] (C) [3, 5] 
35. Considere a função g, de domínio R, definida por 
{
ex 
g(x) = 
lnx 
Considere a sucessão de termo geral u = 1_ n 
n 
Qual é o valor de lim g (un ) ? n -++oo 
(A) + oo (B) 1 
se x S O 
se x > O 
(C) o 
(D) [5, 9] 
(D) -oo 
49 
LIM ITES, ASSÍNTOTAS, CONTINU IDADE, TEOREMA DE BOLZANO-CAUCHY 
36. Seja a um número real diferente de zero. 
Qual é o valor de Jim eªx - 1 ? 
x-D ax2 + a2x 
(A) 1_ a (B) 
_1_ 
2 a (C) O (D) +oo 
37. Seja f uma função de domínio [O, +oo[ , definida por 
f(x) = 
lzx - 9 
1 - eX 
X 
se O-S x < S 
se x 2: 5 
Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano-Cauchy permite garantir a existência de, pelo 
menos, um zero da função f? 
(A) (0, 1 ] (B) [1, 4] (C) [4, 6] (D) [6, 7] 
38. Na figura, está representada, num referencial o. n. xOy , parte do gráfico de uma função g, de 
domínio ]-3, +ao[ 
so 
y 
g 
o 
A reta de equação y = Zx - 4 é assíntota do gráfico de g 
Qual das afirmações seguintes é verdadeira? 
(A) lím (g(x) - Zx - 4) = 0 X-•+oo 
(B) lim _x_ = 2 
X-•+oo g( X) 
(C) lim (g(x) - 2x + 4) = 0 
x-..+oo 
(D) lim (g(x) - Zx) = O 
x_,.+oo 
X 
ITENS DE SELEÇÃD 
39. Considere a função f, de domínio ]O, +oo[, definida por 
f(x) = 
leX - 1 
_±_ + 1 X 
se O < x :S 2 
se x > 2 
Seja (un ) uma sucessão de números reais, de termos positivos, tal que limf(un ) = 3 
Qual das expressões seguintes pode definir o termo geral da sucessão (un ) ? 
(A) 2 - .1 
n 
(B) 2 + .1 
n 
(D) 3 + .1 
n 
40. Considere uma função f, de domínio R\{3}, contínua em todo o seu domínio. 
Sabe-se que: 
• lim f(x) = l 
x_,.+oo 
• lim f(x) = -2 
x- 3 
• x��00 (!(x) + 2x) = ü 
Em qual das opções seguintes as equações definem duas assíntotas do gráfico de f? 
(A) X = -2 e y = 1 (B) X = 3 e y = -2x 
(C) y = -2x e y = 1 (D) y = 2x e y = -1 
41. Seja f uma função de domínio R, contínua no intervalo [-1, 4] 
Tem-se f(-1 ) = 3 e f( 4) = 9 
Em qual das opções seguintes está definida uma função g, de domínio R, para a qual o teorema de 
Bolzano-Cauchy garante a existência de pelo menos um zero no i ntervalo [-1, 4] ? 
(A) g(x) = 2x + f(x) (B) g (x) = 2x - f(x) 
(C) g(x) = x2 + f(x) (D) g (x) = x2 - f(x) 
51 
LIMITES, ASSÍNTOTAS, CONTINU IDADE, TEOREMA DE BOLZANO-CAUCHY 
42. Relativamente a duas funções, f e g, sabe-se que: 
• têm domínio [2, 3 ] 
• são funções contínuas 
• /(2 ) - g(2) > 0 e /(3 ) - g(3 ) < 0 
Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? 
(A) Os gráficos de f e g intersectam-se em pelo menos um ponto. 
(B) A função f - g é crescente. 
(C) Os gráficos de f e g não se intersectam. 
(D) A função f - g é decrescente. 
43. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do 
gráfico de uma função g, de domínio [a, +oo[, com a < - � 
y 
Para esse valor de a, a função f, contínua em JR, é definida 
por 
---------- ------ 2 
llog3 (-x - � ) 
/(x) = 
g(x) 
Qual é o valor de a? 
(A) _ lª-3 (B) _ li 3 
se x < a 
sex::O:a 
(C) 
44. Sejam f e g funções de domínio ]O, +oo[. Sabe-se que: 
19 
3 
• a reta de equação y = 3 é assíntota horizontal do gráfico de f 
• f não tem zeros 
• g (x) = e-x _ 3 f(x) 
a 
Qual das opções seguintes define uma assíntota horizontal do gráfico de g? 
(A) y = 3 (B) y = e 
(C) y = O (D) y = -1 
52 
(D) _ ll_ 3 
o X 
ITENS DE SELEÇÃO 
45. Seja f uma função de domínio JR+ . Sabe-se que lim lnx; f(x) = 1 
x-+oo X 
Qual das equações seguintes pode definir uma assíntota do gráfico da função f? 
(A) y = 1-x 3 (B) y = 1-x 3 (C) y = X (D) y = 3x 
46. Para um certo número real k, positivo, seja f a função, de domínio ]-oo, 1[ definida por r,_,) se x S O 
/(x) = 
z ex +_l_ se O < x< 1 ln x 
Sabe-se que f é contínua. 
Qual é o valor de k ? 
(A) ln 2 (B) e2 (C) ln 3 
47. Seja f uma função de domínio JR+ 
A reta de equação y = 2x - 5 é assíntota do gráfico da função f 
Qual é o valor de lim 6X - l ? 
x-+oo /(x) · 
(A) O (B) 2 (C) 3 
(D) e3 
(O) +oo 
48. Considere, para um certo número real k, a função f, de domínio R, definida por /(x) = kex + x 
O teorema de Bolzano-Cauchy garante que a função f tem, pelo menos, um zero no intervalo [O, 1 ] 
A qual dos intervalos seguintes pode pertencer k ? 
(A) ] -e, - ! [ 
(B) ]-! , o[ 
(C) ]o . ! [ 
(D) ] ! , 1 [ 
53 
L IMITES, ASSÍNTOTAS, CONTINU IDADE, TEOREMA DE BOLZANO-CAUCHY 
49. Seja f uma função de domínio JR-
Sabe-se que: 
!. f(x) + ex - x 
• IID = 1 
X---+-co X 
• o gráfico de f tem uma assíntota oblíqua. 
Qual é o declive dessa assíntota? 
(A) -2 (B) -1 (C) 1 
50. Considere a função /, de domínio JR+, definida por /( x) = lnx 
Considere a sucessão de termo geral Un = _Tl_ e" 
Qual é o valor de limf(un) ? 
(A) - oo (B) O (C) e 
51. Sejam f e g duas funções de domínio JR+ 
(D) 2 
(D) +oo 
Sabe-se que a reta de equação y = -x é assíntota oblíqua do gráfico de f e do gráfico de g 
54 
Qual é o valor de lím /( x) X g( x) ? 
(A) +oo 
x-+oo X 
(B) 1 (C) -1 (D) -oo 
Derivadas 
1. Na figura estão representados: 
• o gráfico de uma função f y s r 
• a reta r, tangente ao gráfico de f no ponto de 
abcissa 2 e de equação y = � x + � 
• a reta s, tangente ao gráfico de f no ponto de 
abcissa 6 o X 
Sabendo que as retas r e s são perpendiculares, indique o valor de f'( 6 ), derivada da função f 
no ponto 6 
(A) 3 2 (B) 
4 
5 (C) 
_1_ 5 (D) � 3 
2. A reta de equação y = x é tangente ao gráfico de uma certa função f, no ponto de abcissa O 
Qual das seguintes expressões pode definir a função f? 
(A) x2 + X (B) x2 + 2x (C) x2 + 2x + 1 
3. Seja g : Jl:+ � R a função definida por g( x) = lnx 
(D) x2 + X + 1 
No gráfico da função g existe um ponto onde a reta tangente é paralela à bissetriz dos quadrantes 
ímpares. 
Qual é a abcissa desse ponto? 
(A) O (B) 1 (C) e 
4. Seja f a função definida em R por /( x) = 4 + lnx 
(D) ln 2 
( ln designa logaritmo de base e ) 
Sabe-se que a reta tangente ao gráfico de /, num certo ponto P, é paralela à reta de equação 
y = � + 2 3 
Qual é a abcissa de P ? 
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 
55 
DERIVADAS 
5. Na figura está representada, em referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função f, de domínio JR, 
definida por J( x) = eªx + 1 ( a é uma constante real positiva). 
r 
-6 o X 
Na figura está também representada a reta r, que é tangente ao gráfico de f no ponto em que este 
intersecta o eixo Oy 
A reta r intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa -6 
Qual é o valor de a ? 
(A) 1_ 2 (B) 
1 
3 (C) 
2 
3 {D) 
3 
2 
6. Na figura abaixo estão representadas graficamente duas funções: 
56 
• a função f, definida em lR por J( x) = ex 
• a função g, definida em JR+ por g(x) = lnx ( ln designa logaritmo de base e ) 
r 
a X 
A reta r é tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a e é tangente ao gráfico de g no ponto 
de abcissa b 
Qual das igualdades seguintes é verdadeira? 
(A) eª = 1_ b (B) eª = lnb (D) In(ab) = l 
ITENS DE SELEÇÃO 
7. Sendo f a função definida por J( x) = xe, a expressão analítica de J' é 
(A) xe (B) xe-1 (C) exe-1 
8. De duas funções f e g, de domínio [O, l ] , sabe-se que 
f'(x) = g' (x), Vx E [o, 1] 
(D) xelnx 
Em qual das figuras seguintes podem estar representados os gráficos de f e de g ? 
(A) 
y 
X 
(C) 
y 
o 1 X 
9. Seja f uma função de domínio R 
(B) 
y 
(D) 
y 
o 
Sabe-se que a sua derivada, f', é tal que J' ( x) = x - 2 , Vx E R 
Relativamente à função J, qual das afirmações seguintes é verdadeira? 
(A) f é crescente em R 
(B) f é decrescente em R 
(C} f tem um mínimo para x = 2 
(D) f tem um máximo para x = 2 
1 
X 
1 X 
57 
DERIVADAS 
10. Se a representação gráfica de uma função g é 
y 
-2 
então a representação gráfica de g' pode ser 
{A) 
y 
Q 
-2 : o X 
(C} 
X 
58 
{B) 
{D) 
y 
-2 o X 
y 
-2 o X 
ITENS DE SELEÇÃO 
11. Na figura abaixo estão representadas graficamente duas funções d iferenciáveis f e g 
Asduas funções têm extremo para x = -1 
y f 
-2 · -1 : o : 1 X 
O conjunto solução da condição f' ( x) < g'( x) é 
(A) ]-2, -1( 
(C) ]-1, 1( 
g 
(B) ]-2, -1] 
(D) (-1, 1 ( 
12. Seja f uma função de domínio lR, com derivada finita em todos os pontos do seu domínio. 
Na figura encontra-se parte do gráfico de f' , função derivada de f 
Sabe-se ainda que f( O ) = 2 
Qual pode ser o valor de f(3) ? 
(A) 1 
(C) 5 
y 
o 3 
X 
(B) 2 
(D) 7 
59 
DERIVADAS 
13. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f' , derivada de f, ambas de 
domínio R em que o eixo Ox é uma assintota do gráfico de f' 
y 
!' 
X 
Seja a função g, de domínio R, definida por g(x) = f(x) + x 
Qual das figuras seguintes pode representar parte do gráfico da função g', derivada de g ? 
(A) (B) 
y y 
X o X 
(C) (D) 
y y 
2 
o X o X 
60 
ITENS DE SELEÇÃO 
14. Sejam f e g duas funções deriváveis em R 
Sabe-se que: 
• /(1 ) = /'(1) = 1 
• g(x) = (2x - 1) x /(x), para todo o valor rea l de x 
Qual é a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 1? 
(A) y = 3x - 2 
(B) y = 3x + 4 
(C) y = 2x - 1 
(D) y = -3x + 2 
15. Seja g uma função cujo gráfico tem um ponto de i nflexão de abcissa 1 
Qual dos seguintes gráficos poderá ser o da segunda derivada de g ? 
(A) (B) 
y y 
o 1 X 
(C) (D) 
y y 
o 1 X o 1 
X 
61 
DERIVADAS 
16. De uma função f, de domínio R, sabe-se que a sua segunda derivada é dada por 
f"(x) = (x2 - l )(x2 + s)(x + 6)2 
Quantos pontos de inflexão tem o gráfico de f ? 
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 
17. Seja g uma função, de domínio R, tal que a sua segunda derivada é definida por 
g" (X) = 1 -x2 
Em qual das figuras seguintes poderá estar parte da representação gráfica da função g ? 
(A) (B) 
y y 
X 
(C) (D) 
y y 
o X o X 
62 
ITENS DE SELEÇÃO 
18. Seja f uma função de domínio lR e a um ponto do domínio de f tal que f' (a) = O 
Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? 
(A) a é zero de f 
(B) /(a) é extremo relativo de f 
(C) (a, f( a)) é ponto de inflexão do gráfico de f 
(D) A reta de equação y = /(a) é tangente ao gráfico de f 
19. De uma função f, de domínio JR, sabe-se que a sua derivada é dada por 
Em qual dos conjuntos seguintes o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo? 
(A) ]-1, 1 [ (B) ]-ao, -1[ (CJ ]o, 3 [ 
20. Na figura está representada parte do gráfico de uma função polinomial f 
(D) ]-ao, O [ 
Ta l como a figura sugere, o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em ]-ao, O ] e voltada 
para baixo em [O, +ao[ 
y 
r 
-2 o X 
A reta r, tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa O, é paralela à bissetriz dos quadrantes 
ímpares e intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa -2 
Sabendo que f' e f" designam, respetivamente, a primeira e a segunda derivadas de f, indique 
o valor de /(O) + f'(O) + f"(o) 
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 
63 
DERIVADAS 
21. Na figura abaixo está parte do gráfico de uma função h, de domínio lR 
y 
o X 
Sejam h' e h" a primeira e a segunda derivadas de h, respetivamente. 
Admita que estas duas funções também têm domínio lR 
Qual das expressões seguintes designa um número positivo? 
(A) h (O ) + h" (O) (B) h(O) - h'(O) 
(C) h'(O ) - h"(O) (D) h'(o ) x h"(o) 
22. Para um certo número real a, seja a função f, de domínio JR, definida por f( x) = ax2 -1 
64 
Na figura, está representada, num referencial o. n. xOy, parte do gráfico da função f" segunda 
derivada da função f 
y 
o X 
Í" 
Qual dos valores seguintes pode ser o valor de a ? 
(A) O (B) IT 
(C) 3 (D) -3 
ITENS DE SELEÇÃO 
23. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função afim f, de 
domínio lR 
y 
f 
o X 
Seja h a função definida por h( x) = f( x) + ex 
Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função h", segunda 
derivada de h ? 
(A) (B) 
y 
o X o X 
(C) (D) 
y y 
1 o 
X 
o X . . . . . . . . . . . . - 1 
65 
DERIVADAS 
24. Na figura, está o gráfico de uma função f cujo domínio é o intervalo ]1, 3 [ 
y 
o 
r ' ' 
: ' ' ' ' ' ' ' ' 
1 3 X 
A função f tem primeira derivada e segunda derivada finitas em todos os pontos do seu domínio. 
Seja X E ]1, 3 [ 
Qual das afirmações seguintes é verdadeira? 
(A) f'(x) > O /\ f"(x) > O 
(C) f'(x) > O /\ f"(x) < O 
(B) f'(x) < o /\ /"(x) > O 
(D) f'(x) < O /\ /"(x) < O 
25. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função f, de 
domínio lR 
66 
2 
1 
y 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 
-1 f 
-2 
X 
Sejam f' e /", de domínio R a primeira derivada e a segunda derivada de f, respetivamente. 
Qual dos valores seguintes pode ser positivo? 
(A) f' ( 1 ) 
(C) /" (-3) 
(B) f'(-3) 
(D) /"(1) 
ITENS DE SELEÇÃO 
26. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função f, de domínio 
]-6, +oo[ , definida por J( x) = ln(� + 2 ) 
Sabe-se que: 
y 
r 
f 
0 X 
• a reta r é tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa a 
• a inclinação da reta r é, em radianos, � 
Qual é o valor de a ? 
{A) -4 (B) _2_ 2 (C) _
11_ 
2 (D) -5 
27. Seja f a função, de domínio R_+ , definida por f( x) = xª + a2 lnx (a é um número real maior do 
que 1), e seja r a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa a 
Qual é o declive da reta r ? 
(A) aª-l + aZ (B) aª + a2 (C) aª-1 + a (D) aª + a 
28. Seja f uma função de domínio R. e seja f" a segunda derivada da função f 
Sabe-se que f" tem domínio R. e é definida por J" ( x) = e-x x2 ( x - 1 ) 
Qual das afirmações seguintes é verdadeira? 
(A) O gráfico da função f tem exatamente quatro pontos de inflexão. 
(B) O gráfico da função f tem exatamente três pontos de inflexão. 
(C) O gráfico da função f tem exatamente dois pontos de inflexão. 
(D) O gráfico da função f tem exatamente um ponto de i nflexão. 
67 
DERIVADAS 
29. Considere, para um certo número real a superior a 1, as funções f e g, de domínio JR, definidas 
por f(x) = ax e g(x) = a-x 
Considere as afirmações seguintes. 
1) Os gráficos das funções f e g não se intersectam. 
II) As funções f e g são monótonas crescentes. 
III) f' (-l ) _ g' ( 1 ) = 2 ln a a 
Qual das opções seguintes é a correta? 
(A) II e III são verdadeiras. 
(B) 1 é falsa e III é verdadeira. 
(C) 1 é verdadeira e III é falsa. 
(D) II e III são falsas. 
30. Sejam f' e f", de domínio lR, a primeira derivada e a segunda derivada de uma função f, 
respetivamente. 
68 
Sabe-se que: 
• a é um número real 
• P é o ponto do gráfico de f de abcissa a 
• lim f(x) - f(a) 
x - a x - a 
• f"(a) = -2 
o 
Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? 
(A) a é um zero da função f 
(B) f( a) é um máximo relativo da função f 
(C) f( a) é um mínimo relativo da função f 
(D) P é ponto de inflexão do gráfico da função f 
31. Seja f uma função de domínio ]-5, 5 [ 
ITENS DE SELEÇÃO 
Sabe-se que o gráfico da função f tem exatamente dois pontos de i nflexão. 
Em qual das opções seguintes pode estar representado o gráfico da função f", segunda derivada 
da função f? 
(A) 
y 
-5 o 5 
(C) 
y 
5 
32. Seja f uma função de domínio R 
(B) 
X 
(D) 
X 
Sabe-se que /'(2) = 6 (!' designa a derivada de f) 
Qual é o valor de lim /(x) - !(2) ? x- 2 x2 - 2x 
(A) 3 
(C) 5 
(B) 4 
(D) 6 
y 
5 X 
y 
-5 o X 
69 
DERIVADAS 
33. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função polinomial f 
Sabe-se que o único ponto de i nflexão do gráfico de f tem abcissa O 
Seja J" a segunda derivada da função f 
Qual das afirmações seguintes é verdadeira? 
(A) J" ( 1 ) + J" (2 ) < O 
(B) f" (-2 ) + /" (- l ) > O 
(C) f" (-l ) x f" (-2 ) < 0 
(D) J" ( 1 ) X J" (2 ) > O 
y 
f 
o X 
34. De uma função f, de domínio lll'., com derivada finita em todos os pontos do seu domínio, sabe-se 
]. x2 - 2 x 4 que xu:1 /(x) - /(2) = 
Qual é o valor de /'(2 ) ? 
(A) _1_ 2 (B) 
1 
4 
35. Seja f uma função de domínio lR 
(C)1 2 (D) 
1 
4 
A tabela de variação de sinal da função /", segunda derivada de f, é a seguinte. 
+ 
Seja g a função definida por g(x) = -/(x - 5 ) 
Em qual dos intervalos seguintes o gráfico de g tem concavidade voltada para baixo? 
(A) ]-15, -5[ (B) ]O, 10[ (C) ]-5, 5[ (D) ]5, 15[ 
70 
Funções Trigonométricas 
1. Dos quatro ângulos seguintes, um deles tem 1 radiano de amplitude. Indique-o. 
(A) (B) 
(C) (D) 
2. Considere uma circunferência de centro C e raio 1, tangente a uma reta r 
Um ponto P começa a deslocar-se sobre a circunferência, no sentido indicado na figura. Inicialmente, 
o ponto P encontra-se à distância de 2 unidades da reta r 
l d(a) 
a : '·-� 
" e 
r r 
Seja d( a) a distância de P a r, após uma rotação de amplitude a 
Qual das igualdades seguintes é verdadeira para qualquer número real positivo a ? 
(A) d(a) = l + cosa (B) d(a) = 2 + sena 
(C) d(a) = l - cosa (D) d(a) = 2 - sena 
71 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
3. Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy 
• um quarto de círculo, de centro na origem e raio 1 
• uma semirreta paralela ao eixo Oy, com origem no ponto ( 1, O) 
• um ponto A pertencente a esta semirreta 
• um ângulo de amplitude a, cujo lado origem é o semieixo 
positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirreta DA 
Qual das expressões seguintes dá a área da região sombreada, em 
função de a ? 
(A) 
(C) 
rc tg a - + --4 2 
tg a 7C + --2 
(B) II. + _2_ 4 tg a 
(D) 7C + -2-t g a 
y 
A 
o 1 X 
4. Na figura está representado um trapézio retângulo [ ABCD ], cujas bases têm 10 e 30 unidades de 
comprimento e a altura tem 10 unidades de comprimento. 
B 10 C 
Í"� 
A 30 D 
Considere que um ponto P se desloca sobre o lado [ AB] 
Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo PDA 
Pretende-se determinar o valor de x para o qual o segmento [ PD] divide o trapézio em duas figuras 
com a mesma área. 
Qual das equações seguintes traduz este problema? 
(A) 302 senx 100 2 
(C) 30 x 10 senx - l50 4 
(B) 302 tgx 100 2 
(D) 30 X 10 tgx _ 150 4 
5. Um navio encontra-se atracado num porto. 
72 
A distância h, de um dado ponto do casco do navio ao fundo do mar, varia com a maré. 
Admita que h é dada, em função do tempo x, por h( x) = 10 - 3 cos( Zx) 
A distância desse ponto do casco ao fundo do mar, no momento da maré-alta, é 
(A) 4 (B) 10 (C) 13 (D) 16 
6. 
ITENS DE SELEÇÃD 
Seja D o domínio de uma função g tal que g( x) = 1 
1 
- tgx 
Indique qual das afirmações seguintes é necessariamente falsa. 
(A) O E D (B) 3rr E D 4 (C) 7t E D 
7. Uma função f tem domínio R e contradomínio R+ 
Qual das seguintes pode ser a expressão analítica da função f ? 
(A) senx (8) ex (C) 1 + x2 
8. Seja f uma função par, de domínio R, que não admite zeros. 
Qual das seguintes expressões pode definir a função f? 
(A) /(x) = x2 (B) /(x) = ex (C) /(x) = cosx 
(D) S 7t E D 4 
(D) lnx 
(D) /(x) = rr 
9. Indique qual das expressões seguintes define uma função injetiva, de domínio R 
(A) cosx (B) x2 - x (C) l x l + l 
10. Na figura ao lado está parte da representação gráfica 
da função f definida por 
f(x) = cos(rrx) . ln(x - 1 ) 
Os pontos A, B, C e D são pontos de intersecção 
do gráfico da função f com o eixo das abcissas. 
A abcissa do ponto A é: 
(A) 1 
2 
(B) 1 (C) 3 
2 
11. Qual é o limite da sucessão de termo geral Un = tg( � + � ) ? 
(A) -ao (B) +ao (C) O 
(D) x3 
y f 
o A 
(D) 2 
(D) 1 
D X 
73 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
12. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? 
(A) lim senx = O 
X--++co 
(B) lim senx = +oo 
x.-..+oo 
(C) lim senx = 1 (D) Não existe lim senx 
X--++oo 
2 13. lim _X_ x_,_ o senx 
(A) é O (B) é 1 (C) é +oo 
14. Considere a função h definida em lR por h( x) = senx 
x-+co 
(D) não existe 
Qual das seguintes equações pode definir uma reta tangente ao gráfico de h ? 
(A) y = 2x + ir (B) y = -2 (C) y =Vzx - 9 
15. Considere a função f definida por /( x) = sen ( x2 ) 
Indique qual das expressões seguintes define f', função derivada de f 
(A) 2x cos(x2 ) (B) cos(x2 ) (C) 2x cos(2x) 
16. De uma função f sabe-se que f( x) + f"(x) = O, para qualquer x E lR 
Qual das seguintes pode ser a expressão anal ítica da função f? 
(A) senx (B) ex 
17. Considere, em R a equação senx + cosx = 4 
Qual das afirmações seguintes é verdadeira? 
(C) X 
(D) y = X 
(D) -cos(x2 ) 
(D) lnx 
(A) A equação é impossível. 
(C) A equação tem exatamente duas soluções. 
(B) A equação tem exatamente uma solução 
(D) A equação tem uma infinidade de soluções. 
18. Quantas são as soluções da equação 3 senx = 1 que pertencem ao intervalo [O, 10ir] ? 
(A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20 
74 
ITENS DE SELEÇÃO 
19. Na figura está representada parte do gráfico de uma função periódica. 
y 
Qual dos valores seguintes poderá ser período desta função? 
(A) K 9 (B) 
2 7r 9 (C) k 3 
X 
(D) 47r 3 
20. De uma função f sabe-se que f( x + y) = f(x) x f(y ), para quaisquer dois números reais 
positivos x e y 
Qual das seguintes pode ser a expressão analítica da função f? 
(A) senx (B) cosx (C) lnx 
21. Seja g a função definida em lR por g( x) = /x + 5 + cosx 
22. 
Considere a sucessão de termo geral u - n + 1 n - n2 
lndique o valor de lim g(un ) n ->+oo 
(A) 1 (B) 2 (C) 3 
Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, um arco AB, 
que está contido na circunferência de equação x2 + y2 = 1 
O ponto e pertence ao eixo Ox e o segmento de reta [AC] é 
perpendicular a este eixo. 
a é a amplitude, em radianos, do ângulo AOB 
Qual é a expressão que dá o perímetro da região sombreada, em 
função de a ? 
(A) Jr x a + sena + cosa (B) Jr x a + sena + 1 - cosa 
(C) l + a - sena + cosa (D) l + a + sena - cosa 
(D) ex 
(D) 4 
y A 
o e B X 
75 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
23. Na figura está representada a circunferência trigonométrica. 
Tal como a figura sugere, O é a origem do referencial, Q 
pertence à circunferência, P é o ponto de coordenadas 
( 1, O) e R é o ponto de coordenadas (-1, O ) 
A amplitude, em radianos, do ângulo POQ é 5; 
Qual é o valor, arredondado às centésimas, da área do 
triângulo [OQR] ? 
(A) 0,39 (B) 0,42 (C) 0,46 
R 
24. Seja a função /, de domínio [-� , � ] , definida por /(x) = cos(x) 
Qual é o contradomínio de f? 
(A) [-1, O] (B) [O, 1] 
25. Sejam a, b, e e d, as funções reais de variável real definidas por: 
a(x) = 3 + lnx b(x) = ex c(x) = 10 senx d(x) = 2 + tgx 
y 
p X 
(D) 0,49 
(O) [o, ?] 
Considere que o domínio de cada uma das quatro funções é o conjunto dos números reais para os 
quais tem significado a expressão que a define. 
Qual é a função cujo gráfico tem mais do que uma assíntota? 
(A) A função a (B) A função b (C) A função e 
26. Para um certo número real positivo, k, a função g definida em lR por 
j""' se x > O 3x g(x) = é contínua. ln(k - x) se x :S O 
Qual é o valor de k ? 
(A) Ve (B) e3 (C) e 3 
76 
(D) A função d 
(D) 3 e 
ITENS DE SELEÇÃO 
27. Na figura, estão representados, num referencial y 
o.n. xOy, uma circunferência e o triângulo [OAB] 
Sabe-se que: 
• O é a origem do referencial 
• a circunferência tem centro no ponto O e raio 1 A 
• A é o ponto de coordenadas (-1, O ) 
• B pertence à circunferência e tem ordenada 
negativa 
• o ângulo AOB tem amplitude igual a 2 7[ 3 
radia nos 
Qual é a área do triângulo [ OAB] ? 
(A) /3 (B) 1_ (C) 1 (D) /3 4 2 4 
28. Seja g a função, de domínio JR, definida por g( x) = cos2 ( 1� )- sen 2 ( 1� ) 
Qual das expressões seguintes também define a função g ? 
(B) cos ( 2�) (C) sen( � ) 
29. Na figura, está representada a circunferência trigonométrica. 
Sabe-se que: 
• o ponto A pertence ao primeiro quadrante e à circunferência; 
• o ponto B pertence ao eixo Ox 
• o ponto e tem coordenadas ( 1, o) 
• o ponto D pertence à semirreta ÔA 
• os segmentos de reta [AB] e [DC] são paralelos ao eixo Oy 
Seja a a amplitude do ângulo COD (a E ] O, � [) 
(D) cos( � ) 
y 
X 
D 
C X 
Qual das expressões seguintes dá a área do quadrilátero