EP5-gabarito (2)

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
EP5 – Gabarito – Métodos Determińısticos I
Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado na Aula 6 do Caderno Didático.
Exerćıcio 1 Escreva a expressão decimal associada ao número racional dado pela fração:
a)
12
5
b) −27
18
c)
2
6
d)
1998
6000
Solução:
a) Efetuando, a divisão obtemos 12/5 = 2, 4.
b) Efetuando, a divisão obtemos −27/18 = −1, 5.
c) Efetuando, a divisão obtemos 2/6 = 0, 33333 . . . .
d) Efetuando, a divisão obtemos 1998/6000 = 0, 333.
Exerćıcio 2 Escreva a expressão decimal associada ao número racional dado pela fração:
a)
7
9
b)
4
33
c)
44
3
d)
16
11
e)
20
7
Solução:
a) Efetuando a divisão, obtemos 7/9 = 0, 77777 . . . .
b) Efetuando a divisão, obtemos 4/33 = 0, 121212 . . . .
c) Efetuando a divisão, obtemos 44/3 = 14, 66666 . . . .
d) Efetuando a divisão, obtemos 16/11 = 1, 454545 . . . .
e) Efetuando a divisão, obtemos 20/7 = 2, 857148571485714 . . . .
Exerćıcio 3 Converta cada uma das d́ızimas dadas a seguir num número racional.
a) 14, 66666 . . . b) 1, 454545 . . . c) 2, 857142857142857142 . . .
Solução:
a) Seja x = 14, 66666 . . . , então 10x = 146, 66666 . . . . Assim,
10x− x = 146, 66666 · · · − 14, 66666 . . .
9x = 132
x = 132/9
x = 44/3 .
Métodos Determińısticos I EP5 2
b) Seja x = 1, 454545 . . . então 100x = 145, 454545 . . . . Assim,
100x− x = 145, 454545 · · · − 1, 454545 . . .
99x = 144.
x = 144/99
x = 16/11.
c) Seja x = 2, 857142857142857142 . . . então 1.000.000x = 2.857.142, 857142857142 . . . e
1.000.000x− x = 2.857.142, 857142857142 · · · − 2, 857142857142857142 . . .
999.999x = 2.857.140
x = 2.857.140/999.999 (Simplifique dividindo o numerador e o denominador por 142.857)
x = 20/7.
Exerćıcio 4 (SEFAZ – AM –2005) A fração que representa a d́ızima 3, 0121212 . . . é:
(A)
3012
99
(B)
3012
999
(C)
3012
9999
(D)
2982
990
(E)
2982
999
Solução: Seja x a fração que representa a d́ızima 3, 0121212 . . . . Isto é,
x = 3, 0121212 . . . ,
então
100x = 301, 212121 . . . .
Efetuando a diferença entre 100x e x, temos que
100x− x = 301, 212121 · · · − 3, 012121 . . .
99x = 298, 2
99x = 2982/10
x = 2982/990.
Logo, a alternativa correta é aquela dada pela letra (D).
Exerćıcio 5 (ANTT-2005) Ao fazer uma divisão entre dois números inteiros, numa calculadora,
Josimar obteve, no visor, como resultado, 0,1234123412341234. Assinale o item que pode indicar a
divisão feita por Josimar.
(A) 999/1234
(B) 1000/1234
(C) 12/34
(D) 12341234/9000000
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Métodos Determińısticos I EP5 3
(E) 1234/9999
Solução: Chamando de x o quociente da divisão entre os dois números inteiros, temos que
x = 0, 123412341234 . . . .
Logo,
10000x = 1234, 123412341234 . . . .
Fazendo a diferenca entre 10000x e x, obtemos que
10000x− x = 1234, 123412341234 · · · − 0, 123412341234 . . .
9999x = 1234
x = 1234/9999.
Portanto, x =
1234
9999
. Logo, a alternativa correta é aquela dada pela letra (E).
Exerćıcio 6 Calcule o valor de cada uma das expressões numéricas.
a)
4
5
(
3 + 0, 4
)
− 3, 21
b) 4 + 2
[
1− 1
4
(
4
6
− 1
3
)
+ 2
]
− 61
25
(
1
2
− 1
)
÷ (0, 22 + 1)
Solução:
a)
4
5
(
3 + 0, 4
)
− 3, 21 = 0, 8(3, 4)− 3, 21 = 2, 72− 3, 21 = −0, 49 = − 49
100
b) Chamando y de 4 + 2
[
1− 1
4
(
4
6
− 1
3
)
+ 2
]
− 61
25
(
1
2
− 1
)
÷ (0, 22 + 1), temos que
y = 4 + 2
[
1− 1
4
(
4
6
− 1
3
)
+ 2
]
− 61
25
(
1
2
− 1
)
÷ (0, 22 + 1)
= 4 + 2
[
1− 1
4
(
2
3
− 1
3
)
+ 2
]
− 61
25
(
−1
2
)
÷
(
22
100
+ 1
)
= 4 + 2
[
1− 1
4
(
2
3
− 1
3
)
+ 2
]
− 61
25
(
−1
2
)
÷
(
22
100
+ 1
)
= 4 + 2
[
1− 1
4
(
1
3
)
+ 2
]
+
61
50
÷
(
11
50
+ 1
)
= 4 + 2
[
1− 1
12
+ 2
]
+
61
50
÷
(
11
50
+
50
50
)
= 4 + 2
[
12
12
− 1
12
+
24
12
]
+
61
50
÷ 61
50
= 4 + 2
[
35
12
]
+
61
50
· 50
61
= 4 +
35
6
+ 1 =
24
6
+
35
6
+
6
6
=
65
6
Portanto, y =
65
6
.
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Métodos Determińısticos I EP5 4
Exerćıcio 7 Numa situação idealizada de um estabelecimento comercial sabe-se que para a venda
de x unidades de um produto, o lucro L deste estabelecimento é medido por
L = 0, 2 x+ 4
0, 5
− 5.
Sabendo disso, determine a quantidade que deve ser vendida por este estabelecimento, para que ele
obtenha um lucro de 125 reais.
Solução: A fim de determinar a quantidade x vendida pelo estabelecimento, quando L é igual a
125 reais, temos de resolver a equação
125 =
0, 2 x+ 4
0, 5
− 5 ⇐⇒ 125 =
2x
10
+ 4
5
10
− 5
(
pois 0, 2 =
2
10
e 0, 5 =
5
10
)
⇐⇒ 125 + 5 =
x
5
+ 4
1
2
⇐⇒ 130 =
(
x
5
+ 4
)
2
⇐⇒ 130
2
=
(
x
5
+ 4
)
2
2
⇐⇒ 65 = x
5
+ 4
⇐⇒ 65− 4 = x
5
⇐⇒ 61 = x
5
⇐⇒ 61× 5 = x
5
× 5
⇐⇒ 305 = x ⇐⇒ x = 305 .
Portanto, o estabelecimento vende uma quantidade de 305 unidades do produto, quando o
lucro deste estabelecimento é de 125 reais.
Exerćıcio 8 (FCC) Em 2001 a fábrica ABC exportou 44% de sua produção. Em 2002 esse ı́ndice
passou para 55%. Nessas condições, o acréscimo percentual nas exportações da fábrica ABC foi de:
(A) 11% (B) 20% (C) 25% (D) 30% (E) 50%
Solução: Vamos chamar de P a quantidade produzida. Então antes a fábrica exportava 44P/100,
e em 2002 passou a exportar 55P/100. A diferença é de 11P/100, quantos porcento de 44P/100
isso representa? Temos que calcular:
11P
100
÷ 44P
100
=
11P
100
× 100
44P
=
25
100
Portanto, a resposta é 25%.
Uma forma alternativa de resolver este tipo de questão, onde se deseja encontrar um acréscimo/de-
créscimo (aumento/diminuição) percentual seria utilizando a regra de três. Neste caso, temos que
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Métodos Determińısticos I EP5 5
100% corresponde à quantidade que era exportada antes, ou seja,
44P
100
, e queremos descobrir quanto
porcento de
44P
100
o acréscimo
11P
100
representa. Desta forma, montamos a seguinte regra de três.
100% −−− 44P
100
x% −−− 11P
100
Exerćıcio 9 (FCC) Um terreno foi vendido por R$ 27.500,00, com lucro de 10%. Em seguida foi
revendido por R$ 33.000,00. O lucro total das duas transações representa sobre o custo inicial do
terreno um percentual de
(A) 20% (B) 22% (C) 26% (D) 30% (E) 32%
Solução: Primeiro vamos calcular o valor inicial do terreno. Vamos chamar este valor de V . Se ele
foi vendido com lucro de 10%, então foi vendido por V +0, 1V , isto é, 1, 1V = 27500. Então o valor
do terreno seria V = 27500/1, 1. Deste valor para 33000, qual o aumento percentual? Chamando
de x este aumento, temos:
33000 =
27500
1, 1
+
x
100
27500
1, 1
ou, multiplicando tudo por 1, 1,
36300 = 27500 +
x
100
27500.
Ou seja,
36300− 27500 = x
100
27500
8800 =
x
100
27500
8800
27500
=
x
100
Isto é,
x
100
=
8800
27500
=
32
100
Logo o lucro total foi de 32%.
Exerćıcio 10 (CESPE-94) Um trabalhador gastava 30% de seu salário com aluguel. Após certo
peŕıodo seu aluguel havia aumentado 700%, enquanto seu salário foi reajustado em 500%. Então, a
porcentagem do salário que ele passou a gastar com aluguel foi:
(A) 34% (B) 38% (C) 40% (D) 52% (E) 45%
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Métodos Determińısticos I EP5 6
Solução: Vamos chamar de s o salário inicial. Então o trabalhador gastava 0, 3s com aluguel. Se
o aluguel teve um aumento de 700%, então o aluguel passou ao valor de 8× 0, 3s, isto é, 2, 4s. Por
outro lado, o salário foi reajustado em 500%, isto é, o trabalhador passou a receber 6s. Precisamos
ver que porcentagem deste novo salário é gasta com o aluguel. Chamando esta porcentagem de x
temos:
2, 4s =
x
100
6s
x
100
=
2, 4s
6s
x
100
= 0, 4 =
40
100
Portanto, o aluguel representa agora 40% do salário do trabalhador.
Outra solução: Vamos chamar de s o salário inicial, de S o salário final, de a o aluguel inicial e de
A o aluguel final. Então, de acordo com o enunciado,temos
a = 0, 3s
(pois o trabalhador gastava 0, 3s com aluguel). Temos também
A = a+ 7a = 8a
e
S = s+ 5s = 6s
(pois o aluguel aumentou 700% e o salário foi reajustado em 500%).
Queremos saber qual a porcentagem do novo salário que é gasta com o novo aluguel, logo devemos
descobrir quanto vale A/S:
A
S
=
8a
6s
=
8× 0, 3s
6s
=
2, 4
0, 6
= 0, 4
Portanto, o trabalhador passou a gastar com aluguel 40% de seu salário.
Exerćıcio 11 Foi publicada no Globo de 12/08/09 uma not́ıcia sobre a variação das taxas de juros
na qual podemos ler as seguintes frase:
“Cinco das seis principais linhas de crédito do páıs reduziram suas taxas mensais
para pessoas f́ısicas de junho para julho, segundo pesquisa divulgada nesta quarta-feira
pela Associação Nacional dos Executivos de Finanças, Administração e Contabilidade
(Anefac). O cheque especial foi a linha de crédito em que houve a maior redução de
juros no peŕıodo: a taxa mensal caiu 1,33%, passando de 7,54%(139,24% ao ano)
para 7,44% (136,59% ao ano), menor patamar da série histórica iniciada em janeiro
de 1995.” (O Globo, 12/08/09)
Explique como foi calculada a queda percentual de 1,33% relativa à variação da taxa de juros do
cheque especial.
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Métodos Determińısticos I EP5 7
Solução: A not́ıcia diz: “ a taxa mensal caiu 1,33%, passando de 7,54%(139,24% ao ano) para
7,44% (136,59% ao ano)”.
Se passou de 7,54% para 7,44%, recuou em 0,1%. Mas isso significa uma queda de quantos porcento
da taxa anterior? Temos que calcular quantos porcento de 7,54 é 0,1. Por regra de três, diŕıamos
que 7,54 está para 100% assim como 0,1 está para x%. Ficamos com:
x = (0, 1× 100)/7, 54 ≈ 1, 326
Assim foi calculada a queda de 1,33% relativa à variação da taxa de juros do cheque especial.
Exerćıcio 12 Um gerente forneceu um desconto de 20% sobre o preço de venda de uma televisão
e, mesmo assim, conseguiu para a loja um lucro de 15% sobre o preço de custo da televisão. Ao ver
um outro cliente muito interessado no mesmo televisor, ele resolveu não dar mais desconto algum.
Após realizar esta venda nestas condições (sem desconto), seu lucro, em porcentagem, foi de quanto?
Solução: Vamos chamar de V o preço de venda da televisão e de P o preço custo da televisão.
Vamos listar as informações que temos:
• na primeira transação comercial, como o gerente forneceu um desconto de 20% sobre o preço
de venda da TV, ela foi vendida por 0.8 V ;
• na segunda transação comercial, como o gerente não forneceu desconto sobre o preço de venda
da TV, ela foi vendida por V .
Para resolver o exerćıcio, temos que encontrar o lucro na segunda transação comercial, ou seja,
precisamos escrever V como o produto entre um número centesimal e P .
Como sabemos que na primeira transação comercial, houve um lucro de 15% sobre o preço custo da
TV, temos a seguinte uma relação entre V e P
0.8 V = 1.15 P .
Desta forma, encontramos que
V = 1.15
0.8
P = 115
80
P = 1, 4375 P = 143, 75
100
P .
Descobrimos portanto que
V = 143, 75% P .
Conclúımos, assim, que houve um lucro de 43, 75% na segunda transação comercial.
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Métodos Determińısticos I EP5 8
Exerćıcio 13 Um comerciante adquire um produto, junto ao fornecedor, por 300 euros. Ao vender
o produto, o comerciante deverá recolher, como impostos, o equivalente a 20% do valor agragado,
isto é, da diferença V − C entre o preço de venda V e o de compra C.
(a) Dê o valor do imposto que deve ser recolhido, caso o preço de venda seja de 500 euros.
(b) Dê a expressão do imposto que deve ser recolhido, caso o preço de venda seja dado, em euros,
por V .
(c) Se o comerciante desejar obter um lucro de 60 euros na venda (considerando apenas o preço de
venda, o de custo e o recolhimento dos impostos), por quanto deverá vender o produto?
Solução:
(a) Com o preço de venda V = 500, o valor agregado será
V − C = 500− 300 = 200 euros,
logo o imposto será de 20-% deste valor, ou seja
20% · 200 = 20
100
· 200 = 40 euros.
(b) Com o preço de venda V , o valor agregado será
V − C = V − 300 euros,
logo o imposto será de 20% deste valor, ou seja, em euros,
20% · (V − 300) = 20
100
· (V − 300) = 1
5
· (V − 300) = V
5
− 60.
(c) O lucro L é dado pelo preço de venda V , descontado o preço de compra C = 300 e o imposto
calculado na questão anterior. Assim,
L = V − 300−
(
V
5
− 60
)
= V − V
5
− 300 + 60 = 4V
5
− 240.
Para que este lucro seja de 60 euros, teremos
L = 60⇔ 4V
5
− 240 = 60⇔ 4V
5
= 300⇔ V = 1500
4
= 375.
Exerćıcio 14 Numa certa localidade foi introduzida uma quantidade inicial de coelhos. No primeiro
ano, a população de coelhos aumentou de 90% em relação a quantidade inicial. No segundo ano
essa população sofreu um decréscimo de 70% em relação ao primeiro ano.
(a) Determine, em termos percentuais, o quanto diminuiu a população de coelhos nos dois primeiros
anos em relação a quantidade inicial.
(b) Considerando que inicialmente havia 100 coelhos. Determine qual a quantidade atual de coelhos.
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Métodos Determińısticos I EP5 9
Solução:
(a) O primeiro passo é identificar a quantidade inicial de coelhos. Como essa quantidade não foi
mencionada, vamos supor que Q é essa quantidade.
O segundo passo é aplicar os acréscimos e os decréscimos percentuais a quantidade de coelhos
conforme descrito no enunciado da questão. Desta forma, temos:
• acréscimo de 90% em relação a quantidade Q de coelhos. Isto significa que o acréscimo é
calculado por
90% de Q =
90
100
· Q = 9Q
10
= 0.9M
assim, a nova quantidade de coelhos é: Q + 0.9Q = 1.9Q
• descréscimo de 70% em relação a quantidade 1.9Q. Isto significa que o decréscimo é cal-
culado por
70% de 1.9Q =
70
100
· 1.9Q = 7
10
· 1.9Q = 1.33Q
assim, a nova quantidade de coelhos é: 1.9Q - 1.33Q = 0.57Q
Desta forma, para determinar o decréscimo percentual em relação a quantidade inicial de coelhos,
faz-se:
quantidade inicial−quantidade final = Q− 0.57Q = 0.43Q = 43
100
Q = 43%Q
Resposta: A população de coelhos teve uma diminuição de 43% nos dois primeiros anos em
relação a quantidade inicial.
(b) Como a quantidade inicial de coelhos é Q= 100, temos que a quantidade atual de coelhos é
igual a 0.57Q, ou seja, 0.57·(100) = 57 coelhos.
Exerćıcio 15 Se um preço é aumentado em 10% para depois ser reduzido em 10%, qual será a
variação porcentual final deste preço?
Solução: Vamos chamar de P o preço inicial do produto. O primeiro aumento será dado por
10% de P =
10
100
· P = 10P
100
=
P
10
.
logo, o preço se torna
P +
P
10
=
10P + P
10
=
11P
10
.
A redução de 10% sobre este novo preço será dada por
10% de
11P
10
=
10
100
· 11P
10
=
11P
100
,
logo, o novo preço é
11P
10
− 11P
100
=
110P − 11P
100
=
99P
100
.
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Métodos Determińısticos I EP5 10
Repare que a diferença entre este preço e o anterior é de
99P
100
− P = 99P − 100P
100
= − P
100
= −1% · P.
Assim, a variação no preço foi de −1%, isto é, uma redução de 1% no preço.
Outra posśıvel solução: Um aumento de 10% no preço P resulta em um novo preço dado por
(10% + 1)× P =
(
10
100
+ 1
)
× P =
(
10
100
+
100
100
)
× P = 110
100
× P = 11
10
× P.
Uma redução de 10% neste preço resulta no preço dado por
(1− 10%)× 11
10
× P =
(
1− 10
100
)
× 11
10
× P =
(
100
100
− 10
100
)
× 11
10
× P =
=
90
100
× 11
10
× P = 990
1000
× P = 99
100
× P.
O novo preço é então dado por 99
100
× P , ou ainda
99
100
× P =
(
100
100
− 1
100
)
× P = (1− 1%)× P,
ou seja, é o preço original após uma redução de 1%.
Exerćıcio 16 Uma camiseta custava R$200,00 e, após dois aumentos sucessivos de a%, seu preço
foi para R$246,42. Determine a.
Observação: Para ajudar nas contas, segue uma pequena taboada:
1, 012 = 1, 0201 1, 062 = 1, 1236 1, 112 = 1, 2321 1, 162 =1, 3456
1, 022 = 1, 0404 1, 072 = 1, 1449 1, 122 = 1, 2544 1, 172 = 1, 3689
1, 032 = 1, 0609 1, 082 = 1, 1664 1, 132 = 1, 2769 1, 182 = 1, 3924
1, 042 = 1, 0816 1, 092 = 1, 1881 1, 142 = 1, 2996 1, 192 = 1, 4161
1, 052 = 1, 1025 1, 102 = 1, 2100 1, 152 = 1, 3225 1, 202 = 1, 4400
Solução: Após o primeiro aumento de a%, o preço da camisa, antes R$200,00, se tornará
P1 = 200 ·
(
1 +
a
100
)
.
Após novo aumento de a%, teremos o preço
P2 = P1 ·
(
1 +
a
100
)
=
(
200 ·
(
1 +
a
100
))
·
(
1 +
a
100
)
= 200 ·
(
1 +
a
100
)2
.
Mas o preço P2 calculado acima, após o segundo aumento, é de R$246,42. Logo,
200 ·
(
1 +
a
100
)2
= 246, 42,
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e então (
1 +
a
100
)2
=
246
200
= 1, 2321.
Com isso, consultando a taboada fornecida, vemos que
1 +
a
100
= 1, 11,
logo
a
100
= 0, 11 ∴ a = 11.
Exerćıcio 17 Para a próxima black friday, as Lojas Tabajaras S.A. estudam a possibilidade de dar
um grande desconto no preço de um certo modelo de televisão. O percentual deste desconto ainda
não foi definido pela equipe de marketing, e é denotado apenas por d%. Porém, para que tal desconto
não pese muito em seu faturamento, as Lojas Tabajaras pretendem aumentar, alguns meses antes, o
preço da mesma televisão, em um percentual a%.
Determine o valor ḿınimo de a para que, após o aumento de a% e o desconto de d% da black friday,
o preço da televisão não seja inferior a 80% do preço inicial.
Atenção!!! Observe que a resposta que você encontrará estará em função de d, isto é, inevitavel-
mente o d aparecerá em sua resposta.
Solução: Vamos chamar de P o preço da televisão antes do aumento e do desconto da black friday
(também conhecida como black fraude!).
Vamos inicialmente interpretar nosso problema, enquanto identificamos o que é dado e o que está
sendo pedido.
Temos um certo modelo de televisão que possui um preço inicial P . Este preço P sofrerá um aumento
de a%, e a televisão terá um preço novo, que chamaremos de Pa. Durante a black friday, este novo
preço Pa, sofrerá um desconto de d%, e a televisão passará aa ter preço final, que chamaremos de
Pf . Deseja-se que o preço final Pf não seja inferior a 80% do preço inicial P . Em outras palavras,
queremos que o preço final Pf seja maior ou igual a 80% do preço inicial P .
Pronto. Já traduzimos nosso problema. Precisamos agora relacionar nossas variáveis. Isto não será
complicado, pois sabemos que nossas variáveis foram sendo alteradas através de aumentos/diminuições
percentuais.
Vamos começar determinando quem é Pa. Observe que Pa resulta de um aumento de a% no preço
inicial P . Desta forma, o preço no Pa é obtido efetuando-se um acréscimo de a% em P . Sendo
assim, após um aumento de a%, novo preço Pa da televisão é dado por
Pa = P + a%P = P +
a
100
P =
(
1 +
a
100
)
P =
100 + a
100
P. (1)
Vamos agora descobrir quem é Pf . Observe que Pf resulta de um desconto de d% no novo preço
Pa. Portanto, o preço final Pf é obtido aplicando-se uma subtração de d% em Pa. Temos então,
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que após um desconto de d%, o preço final Pf da televisão é dado por
Pf = Pa − d%Pa = Pa −
d
100
Pa =
(
1− d
100
)
Pa =
100− d
100
Pa. (2)
Observe que nosso objetivo recai em uma relação entre o preço final Pf e o preço inicial P . Entretanto,
na Equação (2) obtivemos Pf em função Pa. Mas, isto não é problema, pois, em (1), obtivemos que
Pa em função de P . Substituindo, então (1) em (2), temos que
Pf =
100− d
100
Pa =
100− d
100
· 100 + a
100
P =
(100− d)(100 + a)
1002
P.
logo
Pf =
(100− d)(100 + a)
1002
P. (3)
Voltando agora ao nosso objetivo, queremos que Pf não seja inferior a 80% do preço original, isto
é, queremos que o preço final Pf seja maior ou igual a 80% do preço inicial P . Matematicamente,
nossa condição se traduz em
Pf >
80
100
P. (4)
Substituindo-se na inequação (4) o valor obtido para Pf em (3), temos
(100− d)(100 + a)
1002
P >
80
100
P. (5)
Dividindo-se por P (que é positivo) a inequação (5), temos
(100− d)(100 + a)
1002
>
80
100
. (6)
Podemos multiplicar ambos os lados da inequação (6) por 1002, resultando em
(100− d)(100 + a) > 100 · 80. (7)
Observe que a inequação (7), embora apresente uma relação entre a e d, não deixa muito claro qual
deve ser o valor de a para um determinado d dado. Para termos esta relação clara, precisaremos
isolar a. Para isto, temos que dividir por 100− d ambos os lados da inequação. Teremos então que
nos certificar que 100− d > 0. De fato, como d é um desconto percentual, temos que 0 < d < 100.
De fat, se d = 0, não há desconto e se d = 100, a televisão é dada e não vendida. Dividindo-se
então (7) por 100− d (que já sabemos ser positivo), temos
100 + a >
100 · 80
100− d
.
Assim,
a >
100 · 80
100− d
− 100.
Simplificando, temos
a >
100 · 80− 100(100− d)
100− d
∗
=
100(d− 20)
100− d
.
(Observe que em (*), utilizamos que BC − BE = B(C − E), B, C,E ∈ R. No caso, B = 100,
C = 80 e E = 100− d.)
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Percentuais e expressões numéricas
A questão abaixo é um bom exemplo de determinação de um valor em função de um outro, envolvendo
porcentagens.
Exerćıcio 18 Um comerciante adquire, do fabricante, um produto ao preço de R$120,00. Este co-
merciante sabe que, ao vender o produto para o consumidor, há a incidência de um imposto total de
40%, calculado sobre o preço de venda, isto é, aquele que o consumidor paga pelo produto. Apenas
o restante, após descontar o imposto, fica para o comerciante.
Nos itens (a), (b) e (c), despreze qualquer outra despesa que não seja o preço de aquisição
do produto pelo comerciante no fabricante e o recolhimento de impostos. Observe que, no
item (d), aparecerá uma nova despesa que deverá ser levada em conta.
(a) Qual o preço de venda ḿınimo Vm pelo o produto deve ser vendido para que o comerciante não
tenha prejúızo com a venda deste produto? (apresente os cálculos, não apenas o valor final de
Vm)
(b) Dê a expressão do lucro L obtido com a venda do produto. Utilize na expressão apenas o preço
de venda V e as despesas anteriormente mencionadas.
(c) Se o comerciante desejar obter um lucro de 30% sobre o valor de aquisição do produto, qual
deverá ser o preço de venda V ?
(d) Além do valor recolhido na forma de impostos e o custo de aquisição, o comerciante ainda estima
que a venda deste produto demanda uma despesa fixa de R$8.000,00 (loǵıstica, vendedor, espaço
na loja, etc.), independentemente da quantidade de produtos vendidos. Na média, são vendidos
200 produtos como este por mês. Por quanto cada unidade do produto deve ser vendida para
que o vendedor apure um lucro ḿınimo de R$4.000,00.
Solução:
(a) Em uma venda pelo preço Vm, após o desconto dos impostos, para o vendedor sobrarão
Vm − 40% · Vm = Vm −
40
100
Vm =
100Vm − 40Vm
100
=
60Vm
100
.
Para que a venda não resulte prejúızo, é necessário que
60Vm
100
≥ 120,
logo
Vm ≥ 120 ·
100
60
= 200.
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(b) Com a venda por um preço V , descontando os impostos de 40%V = 40V
100
e o custo do produto,
termos um lucro de
L = V − 40V
100
− 120 = 60V
100
− 120.
(c) O preço de aquisição do produto é de 120 reais, logo, 30% deste valor é 30% ·120 = 30
100
·120 =
3600
100
= 36 reais.
Para que o lucro L seja maior que 36 reais, precisamos de um preço de venda V tal que
60V
100
− 120 = 36,
logo
60V
100
= 156.
Com isso,
V = 156 · 100
60
= 260.
(d) Na questão 6, vimos que, considerando apenas o custo do fornecedor e os impostos, em cada
produto vendido a um preço V , há o lucro de
L =
60V
100
− 120.
A venda de 200 produtos resulta então em um lucro de 200 ·
(
60V
100
− 120
)
= 120V − 24000.
Descontando agorao custo fixo de 8000, o vendedor tem um lucro total de
Lt = 120V − 24000− 8000 = 120V − 32000.
Para que o lucro ḿınimo seja de 4000, teremos
120V − 32000 > 4000,
logo
120V > 36000,
portanto
V >
36000
120
= 300.
Assim, o produto deve ser vendido por, no ḿınimo, R$300,00.
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