Função Quadrática (Resumo)

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Função Quadrática 
 
Def.: função 𝑓: ℝ → ℝ, tal que,  𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,  com a, b, c ∈ ℝ e a ≠ 0, para todo 𝑥 ∈ ℝ . 
 
Forma canônica: 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ [(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
+
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎2
] 
 
i. Raízes: 𝑓(𝑥) = 0 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−𝑏 ± √𝛥
2𝑎
 
• Δ < 0 ⇒ 𝑓 não tem raiz real. 
• Δ = 0 ⇒ 𝑓 possui uma única raiz real. 
• Δ > 0 ⇒ 𝑓 tem duas raízes reais. 
ii. Soma e produto das raízes: 
𝑥′ + 𝑥′′ = −
𝑏
𝑎
 e 𝑥′ ∙ 𝑥′′ =
𝑐
𝑎
 
iii. Forma fatorada: 
a𝑥2 + bx + c = a ∙ (𝑥 − 𝑥′) ∙ (𝑥 − 𝑥′′) 
Sempre que Δ ≥ 0. 
 
 Gráfico: Parábola de foco 𝐹 (𝑥𝑣 , 𝑦𝑣 +
𝑝
2
) 
(ponto) e diretriz 𝑑: 𝑦𝑣 +
𝑝
2
 (reta que não 
contem 𝐹, sendo 𝑝 é a distância entre 𝐹 e 𝑑) 
é o conjunto dos pontos do plano que distam 
igualmente de 𝐹 e de 𝑑, dada pela equação: 
(𝑥 − 𝑥𝑣)
2 = 2 ∙ 𝑝 ∙ (𝑦 − 𝑦𝑣). 
 
 
 
 
 
 
i. Parâmetro 𝒂: abertura da parábola. 
• 𝒂 < 𝟎 ⇒ concavidade para baixo 
• 𝒂 > 𝟎 ⇒ concavidade para cima 
ii. Parâmetro 𝒃. 
• 𝒃 < 𝟎 ⇒ 𝒇 intersecta 𝑦 decrescendo. 
• 𝒃 = 𝟎 ⇒ 𝒇 intersecta 𝑦 no vértice. 
• 𝒃 > 𝟎 ⇒ 𝒇 intersecta 𝑦 crescendo. 
iii. Parâmetro 𝒄: ponto de 𝑓 que intersecta 𝑦. 
iv. Vértice: ponto mais próximo da diretriz. 
V (−
𝑏
2𝑎
, −
Δ
4𝑎
) = V(𝑥𝑣 , 𝑦𝑣) 
• 𝑎 < 0 ⟺ 𝑦𝑣 é 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑓 ⇔ 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ; 𝑦 ≥ 𝑦𝑣}. 
• 𝑎 > 0 ⟺ 𝑦𝑣 é 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑓 ⇔ 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ; 𝑦 ≤ 𝑦𝑣}. 
v. Estudar o sinal de 𝒇: determinar os valores de 𝑥 para os quais 𝑓(𝑥) < 0, 𝑓(𝑥) = 0 e 𝑓(𝑥) > 0. 
vi. Taxa de variação: inclinação da reta 𝑡, tangente no ponto P(𝑥0, 𝑦0) dada por 𝑓
′ = 2a𝑥0 + b