Álgebra Linear - Matrizes

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Álgebra Linear 1 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
 
 
UNESC 
UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caderno Pedagógico de: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MSc Elisa Netto Zanette 
Drª Ledina Lentz Pereira 
MSc Sandra Regina da Silva Fabris 
 
 
 
 
 
 
 
Criciúma (SC), 2010 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Álgebra Linear 2 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
INTRODUÇÃO 
A Matemática, desde os seus primórdios, entrelaça-se intimamente com a história da 
civilização e é uma das alvancas principais do progresso humano (BAUMGART1, 1997). Vários 
conceitos básicos dessa ciência, criados para atender a certas necessidades e resolver problemas 
específicos, posteriormente revelaram uma utilidade bem mais ampla do que a inicialmente pensada 
e vieram, com a evolução das idéias e o desenvolvimento das teorias, a adquirir uma posição 
definitiva de grande relevância na Matemática (LIMA2, 2000, p.28). 
Observamos uma mudança contínua que se processa tanto nas condições sócio-político-
econômica das sociedades quanto na própria Matemática. Ë fato que a validez das teorias 
Matemáticas é perene e subsiste através dos séculos. Porém, a posição dessas teorias e técnicas a 
elas associadas, varia bastante em termos de importância, alcance e eficácia em fase dos novos 
desenvolvimentos, das novas descobertas e da ocorrência de áreas recentes de aplicação, dentro e 
fora da Matemática (LIMA3, 2001, p.159). 
Usamos Matemática diariamente, mesmo sem perceber. Isso só, poderia justificar a sua 
importância. É facilmente percebida, nas atividades simples do homem às mais complexas, nos 
esportes, na estatística, nas construções, nas previsões orçamentárias. Sem dúvida, ela confere 
“poder” aos economistas, aos empresários, etc. A Matemática é ferramenta imprescindível para que 
se possa ordenar os pensamentos, porque desafia e desenvolve a mente, ajuda a compreender as 
linguagens que se utiliza no cotidiano. 
As concepções matemáticas desenvolvidas e acumuladas nas diversas gerações podem ser 
divididas em Aritmética (números), Álgebra (letras + números) e Geometria (figuras planas e 
espaciais). A Trigonometria pode ser considerada como um ramo da Geometria e a Geometria 
Analítica como uma fusão da Álgebra com a Geometria. Resolvemos os problemas como o uso da 
aritmética, da geometria, da trigonometria, da álgebra, do cálculo diferencial e integral, etc. Alguns 
problemas podem ser solucionados ao mesmo tempo pela Álgebra, ou Geometria ou Aritmética. 
Coube a Descartes a solução de problemas geométricos através da Álgebra e vice-versa, em 1637. 
Para Baumgart (1999) a origem da palavra “álgebra” é estranha e intrigante. Ela não se sujeita 
a uma etimologia nítida como, por exemplo, a palavra “aritmética”, que se deriva do grego arithmos 
(número). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr), 
usada no título de um livro, Hisab al-jabr w’al-muqabalah (“Ciência das equações”), escrito em 
Bagdá (ano 825) por um matemático árabe. Esse tratado de álgebra é com freqüência citado, 
abrevidamente, como Al-jabr. Ainda que originalmente “álgebra” refira-se a equações, a palavra 
hoje tem um significado muito mais amplo e uma definição satisfatória requer um enfoque, tanto 
cronológico quanto conceitual, em duas fases: (1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das 
equações e métodos de resolvê-las; (2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas 
matemáticas tais como grupos, anéis, corpos, etc. 
A Álgebra Linear (o nome indica sua origem geométrica) ou Álgebra Vetorial é uma parte da 
Álgebra que, por sua vez, é um ramo da Matemática na qual são estudados matrizes, espaços 
vetoriais e transformações lineares que contribuem para um estudo detalhado de sistemas lineares 
de equações. É um fato histórico que a invenção da Álgebra Linear tenha origem nos estudos de 
sistemas lineares de equações. 
Segundo o matemático Elon Lages Lima (LIMA, 2001), a Álgebra Linear é o estudo dos espaços 
vetoriais e das transformações lineares entre eles. Quando os espaços têm dimensões finitas, as 
transformações lineares possuem matrizes. Também têm matrizes as formas bilineares e, mais, 
particularmente, as formas quadráticas. Assim a Álgebra Linear, além de vetores e transformações 
lineares, lida também com matrizes e formas quadráticas. 
 
1
 BAUMGART, John K. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula: Álgebra. Trad. Hygino H Domingues. São Paulo: 
Atual, 1997. 
2
 LIMA, Elon Lages. Meu Profesor de Matemática e outras histórias. (Coleção do Professor de Matemática: SBA Sociedade Brasileira de 
Matemática). Rio de Janeiro: Solgraf Publicações Ltda, 2000. 
3
 LIMA, Elon Lages. Matemática e Ensino. (Coleção do Professor de Matemática: SBA Sociedade Brasileira de Matemática). Rio de 
Janeiro: R&S, 2001. 
 Álgebra Linear 3 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
Tanto a Álgebra Linear como a Geometria Analítica aplicam-se a várias áreas, em especial às 
Engenharias. Possibilitam explicar princípios fundamentais e simplificar os cálculos em Engenharia, 
Ciência da Computação, Física, Biologia, Matemática, Economia e Estatística. É, portanto relevante e 
tem destaque em diversos cursos superiores, na graduação e na pós-graduação. 
Muitos dos temas do âmbito da Álgebra Linear fazem parte integrande de planos de estudos 
desses cursos já citados. Para Lay4 (1999) a Álgebra Linear (e a Geometria Analítica, como sua 
subsidiária) constitui uma das áreas da Matemática com mais vastas e variadas aplicações incluindo 
a sua importância para as diversas áreas da própria Matemática – da Análise à Estatística e à 
Investigação Operacional – em que temas fundamentais como Cálculo Matricial ou o Cálculo Vetorial 
são de utilização constante e cotidiana. É de extrema importância para em seus tópicos mais 
avançados, simplificando sua teoria e em geral, para a maior parte da Matemática. 
Numa análise comparativa com a Geometria, a Álgebra, como estrutura lógica, têm-se 
desenvolvido mais recentemente, principalmente nos últimos 100 anos, com formulação simples, 
onde poucos axiomas são suficientes para organizar toda a estrutura da Álgebra. Por sua vez, a 
Geometria, desenvolvida inicialmente pelos Gregos a mais de 2.000 anos, está sintetizada nos 
“Elementos de Euclides” que formam a base da Geometria Plana e Sólida atual, conservando a 
maneira sistemática de analisar as propriedades de pontos, retas, triângulos, círculos e outras 
configurações. Têm-se introduzido em estudos recentes, conjuntos de axiomas e postulados que 
melhoram sua estrutura lógica, mas o conteúdo da Geometria permanece o mesmo. 
Descobriu-se que, essencialmente, toda Geometria pode ser desenvolvida em linguagem 
algébrica. Na associação de pontos e retas ao invés da geometria usual, realiza-se operações 
algébricas em certos objetos, denominados vetores. Esses vetores obedecem a certas leis algébricas, 
similares aos números. Assim, trabalhamos teoremas da geometria através de teoremas da álgebra 
dos vetores com ênfase nas equações, identidades e desigualdade em lugar de conceitos 
geométricos como, congruência,semelhança e interseção de segmentos. 
Os vetores têm papel relevante, não apenas na Matemática, como na aplicação em outras 
áreas. O estudo desses vetores, normalmente é feito por meio de dois tratamentos que se 
completam: Geométrico e Algébrico. A grande vantagem da abordagem geométrica é de possibilitar 
predominantemente a visualização dos conceitos que são apresentados para estudo, o que favorece 
seu entendimento que sob o ponto de vista algébrico, são mais formais e abstratos. 
Apesar da Álgebra Linear representar um campo abstrato da Matemática, ela tem um grande 
número de aplicações dentro e fora da Matemática. Haetinger (2007) cita algumas e afirma que, 
apesar de não conseguir abordá-las todas, num curso de Álgebra, o objetivo é que o estudante tome 
contato com o que representa o estado da arte desta área. Alguns exemplos5 de aplicações: Jogos de 
Estratégia; Distribuição de Temperatura de Equilíbrio; Genética; Crescimento Populacional por Faixa 
Etária; Criptografia; Tomografia Computadorizada; etc. 
 
Nos temas a serem trabalhados, incluimos a discussão sobre os conceitos teóricos formalmente 
instituidos, acompanhados de exemplos e atividades. Os textos são escritos em linguagem simples, 
mas com rigor matemático. São apresentados em forma de resumo e de modo algum, dispensam a 
pesquisa do acadêmico aos diversos livros didáticos da área. Portanto, para aprofundar seus 
conhecimentos, sugerimos como fontes, os livros e links relacionados na bibliografia.
 
4
 LAY, C David. Álgebra Linear e suas aplicações. 2ed. Trad. Ricardo Camelier e Valéria de M. Iório. Rio de Janeiro: LTC, 1999. 
5
 HAETINGER, Claus. 2007. Disponível em http://ensino.univates.br/~chaet/Algebra_Linear.html . Acesso em Jan 2009. 
Essa introdução - associando a geometria com a álgebra de vetores - é informal e objetiva formar 
uma noção intuitiva da Álgebra. O conteúdo programático de Álgebra Linear foi elaborado, visando 
um conhecimento dos conceitos mínimos e indispensáveis, de modo que se possa perceber a inter-
relação entre os mesmos e a sua aplicação conjunta. 
 Álgebra Linear 4 
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SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO............................................................................................................................................................................ 2 
I MATRIZES ............................................................................................................................................................................... 6 
1 Introdução ...................................................................................................................................................................... 6 
2. Definição......................................................................................................................................................................... 6 
3. Tipos de Matrizes..................................................................................................................................................... 10 
4. Proposições: Igualdade de Matrizes e Matriz Oposta ....................................................................... 12 
5. Matriz Transposta.................................................................................................................................................... 12 
6. Simetria em Matrizes............................................................................................................................................. 13 
Lista 1 de Atividades - Matrizes ...................................................................................................................................... 14 
7. Operações com Matrizes ..................................................................................................................................... 16 
7.1 Adição e Subtração de matrizes ............................................................................................................... 16 
7.2 Multiplicação por um escalar ..................................................................................................................... 17 
7.3 Multiplicação entre matrizes ...................................................................................................................... 18 
8. Potência de uma Matriz ....................................................................................................................................... 22 
9. Propriedades das Operações com Matrizes.............................................................................................. 23 
Lista 2 de Atividades – Operações com Matrizes ............................................................................................................ 24 
10. Equivalência de Matrizes .................................................................................................................................. 28 
Lista 3 de Atividades – Equivalência de Matrizes/escalonamento................................................................................... 30 
II DETERMINANTES E MATRIZES .................................................................................................................................... 32 
1 Classe de uma Permutação ................................................................................................................................. 32 
2 Determinante de uma matriz ............................................................................................................................. 33 
2.1 Determinante de 1ª ordem ......................................................................................................................... 34 
2.2 Determinante de 2ª ordem ......................................................................................................................... 34 
2.3 Determinante de 3ª ordem: Regra de Sarrus ................................................................................... 35 
2.4 Determinante de ordem n > 3: Teorema de LAPLACE ................................................................. 37 
2.5 Processo de triangulação para cálculo de determinante ........................................................... 38 
3 Propriedades dos determinantes..................................................................................................................... 39 
4 Determinante e Matriz Inversa ......................................................................................................................... 40 
Lista 4 de atividades – Determinantes e Matrizes............................................................................................................ 43 
5 Aplicação matemática do conceito de determinantes na geometria .......................................... 46 
Lista 5 de atividades - Determinantes .............................................................................................................................. 47 
III SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E MATRIZES ............................................................................................ 48 
1 Equações Lineares .................................................................................................................................................... 48 
2 Sistema de Equações Lineares .......................................................................................................................... 50 
2.1 Conceito .................................................................................................................................................................50 
2.2 Representação Matricial de um Sistema de Equações Lineares ............................................ 50 
2.3 Classificação dos Sistemas de Equações Lineares......................................................................... 52 
2.4 Equivalência de Sistemas de Equações Lineares............................................................................ 54 
2.5 Resolução de Sistemas de Equações Lineares pelo princípio da equivalência: 
Método de condensação ou de eliminação de Gauss-Jordan ........................................................... 55 
2.6 Solução de um sistema de equações lineares pela Regra de Cramer................................. 58 
3 Sistema Homogêneo de Equações Lineares: Discussão da solução ............................................ 59 
Lista 6 de atividades – Parte I .......................................................................................................................................... 61 
Lista 6 de atividades - Parte II ......................................................................................................................................... 61 
4 Discussão de um Sistema de Equações Lineares homogênio e não-homogênio.................. 65 
Lista 7 de atividades ........................................................................................................................................................ 66 
APÊNDICE A...................................................................................................................................................................... 67 
Matriz de Co-Fatores e Adjunta Clássica......................................................................................................... 67 
Aplicação de Determinante: Adjunta Clássica e Matriz Inversa ........................................................ 67 
1 Encontrando a Matriz de Co-fatores .......................................................................................................... 67 
2 Encontrando a Matriz Adjunta Clássica .................................................................................................... 68 
 Álgebra Linear 5 
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3 Encontrando a Matriz Inversa por Determinante............................................................................... 70 
Lista de atividades – Determinantes, Matriz Inversa e Adjunta Clássica......................................................................... 71 
Bibliografia........................................................................................................................................................................ 72 
 
 Álgebra Linear 6 
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CCCAAAPPPÍÍÍTTTUUULLLOOO III 
 MMAATTRRIIZZEESS,, DDEETTEERRMMIINNAANNTTEESS EE SSIISSTTEEMMAASS 
 
s Matrizes formam um importante conceito em matemática, de especial uso no estudo de 
transformações lineares. Os fundamentos e operações básicas com matrizes, determinantes e 
sistemas de equações lineares são importantes no desenvolvimento de conceitos da Álgebra 
Linear e portanto, pré-requisito para o estudo da mesma. 
 
I MATRIZES 
 
1 Introdução 
 
requentemente nos deparamos com conjuntos de números ou outros objetos matemáticos, que 
podem ser tratados em blocos por serem operados essencialmente da mesma maneira. Para 
isso, usamos matrizes. 
As matrizes são tabelas de números, utilizados como instrumentos de cálculo, surgidas em meados 
do século XVII como um novo instrumento que, de início, servia para resolver sistemas lineares. 
Dentre as matrizes as que mais uso teve e tem, é a matriz quadrada. 
As primeiras concepções sobre matrizes na Matemática, surgiram com o inglês Arthur Cayley (1821-
1895). Sua preocupação vinculava-se na forma e na estrutura em Álgebra. Sob esse aspecto, criou 
um modelo considerado referência mas sem a menor idéia de qualquer possível utilidade prática. 
Hoje a teoria das matrizes é uma das partes da matemática mais férteis em aplicação: na 
Matemática, na Física, na Física Atômica, na Estatística, na Economia, na Engenharia, na 
Computação, etc. Várias operações executadas por cérebros eletrônicos são computações por 
matrizes. As matrizes são tabelas de números, utilizados como instrumentos de cálculo. Dos eventos 
e atividades nos quais somos, direta ou indiretamente, envolvidos no cotidiano, muitos deles podem 
ser dispostos em forma de tabela/matrizes. 
VVVooocccêêê sssaaabbbiiiaaa qqquuueee::: 
A geração dos movimentos e deformações que vemos nos efeitos especiais do cinema, da TV, dos 
games de computadores e nas visualizações das simulações científicas está baseada na multiplicação 
de matrizes 4x4 no caso espacial e 3x3 no caso plano. Nessas aplicações o problema computacional 
não está no tamanho das matrizes mas na quantidade delas e na rapidez de processamento das 
multiplicações (para que se tenha um movimento realístico). 
Em muitas outras aplicações, temos uma situação quase que oposta: uma única matriz é suficiente 
mas seu tamanho pode ir a ordem de centenas e mesmo milhares de linhas e colunas. Isso ocorre 
normalmente em problemas que envolvem o estudo de campos elétricos, magnéticos, de tensões 
elásticas, térmicos, etc, os quais - por um processo de discretização - são reduzidos a um sistema 
de equações lineares, cuja matriz tem grande tamanho. Esse tipo de problema é um dos mais 
comuns em vários campos da Engenharia. Outra situação que nos leva a nos envolvermos com 
matrizes enormes são as associadas a grandes redes de distribuição de energia elétrica, redes de 
comunicações, redes de transporte, etc. (SILVEIRA, 1999). 
 
2. Definição 
 
A 
F 
 Álgebra Linear 7 
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hamamos de matriz de ordem m por n a qualquer quadro ou tabela formada por m x n 
elementos (números, polinômios, frações, etc.) dispostos em m linhas e n colunas. 
Ou, uma matriz é qualquer tabela formada por números ou outro tipo de objeto matemático 
que se pretende operar em bloco, simultaneamente. 
Ou, uma matriz é um conjunto ordenado de números e estão associdados a duas dimensões: a 
dimensão das linhas e a das colunas. Um importante exemplo prático de matriz surge na 
informática: os programas conhecidos como planilhas eletrônicas correspondem a matrizes. Uma 
planilha, tal como uma matriz, está dividida em linhas e colunas e, cada célula da planilha 
representa um elemento da matriz. 
De forma genérica, uma matriz pode ser representada por uma letra maiúscula do alfabeto ou por 
seus elementos representativos. Estes elementos são dispostos normalmente entre parênteses ( ) 
ou entre colchetes [ ] ou duplas barras  . Da mesma forma, cada elementos está associado a 
dois subíndices que indicam sua posição na matriz. 
Assim, podemos dizer que cada elemento de uma mátria A é representado por aij, onde i representa 
a linha e j a coluna, onde o elemento a se encontra localizado. A matriz com m linhas e n colunas 
possui dimensão mxn (lê-se m por n) e indicamos por Amxn. 
 
Exemplo 1: 
(a) A2x3 = 





−
−
534
012
 é uma matriz de 2 linhas e 3 colunas onde cada elemento de A ocupa 
um lugar determinado na matriz. O elemento (-5), por exemplo está na segunda linha (i=2) e 
terceira coluna(j=3) que indicamos por a23 = -5. Os demais elementos indicamos por: 
534
012
232221
131211
−===
=−==
aaa
aaa
 
(b) B2x2 = 4
91
i
é uma matriz de ordem 2 x 2 ou B = [bij]2x2 
(c) C1x4 = [ ]9422 − é uma matriz de ordem 1 x 4 ou C = [cij]2x2 
Exemplo 2: Consideremos a situação-problema de 03 pessoas, candidatas a um emprego e 
submetidas a testes. Podemos representar o resultado dos testes num quadro de avaliação: 
 1º teste 2º teste 3º teste 
Teresa 4,0 3,5 1,0 
Paulo 5,0 7,3 8,0 
Marcos 4,8 7,2 3,0 
André 9,0 8,8 6,5 
Os números distribuidos na horizontal representam a pessoa avaliada e formam o que 
denominamos de linha e, os colocados na vertical representam o grau de aprovação no teste e 
são chamados de coluna. A tabela de valores resultante do quadro é denominada matriz e 
cada número é chamado de elemento. 
Neste exemplo, temos uma tabela/matriz de ordem quatro por três (4 x 3) ou seja, é uma a 
matriz com 4 linhas e 3 colunas. Assim, representamos a situação-problema em: 
C 
 Álgebra Linear 8 
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A4x3 = 












5,68,80,9
0,32,78,4
0,83,70,5
0,15,30,4
 
Exemplo 3: Vamos considerar agora, a representação em matriz da seguinte situação: 
Analisando a pontuação (de 0 a 10) obtida por Paulo, André e Luana, no programa de 
formação continuada da empresa em que trabalham, nos últimos anos, temos: Paulo, com 8, 
7, 9 e 8 pontos; André, com 6, 6, 7, 6 e Luana, com 4, 8, 5, 9. 
Esta situação-problema pode ser representando num quadro ou numa matriz com a pontuação 
dos três por ano. Observe: 
Representando num quadro: 
 2004 2005 2006 2007 
Paulo 8 7 9 8 
André 6 6 7 6 
Luana 4 8 5 9 
Representando numa matriz: 
 
 
 
 
 
Para saber a pontuação de André, por exemplo, em 2006, basta procurar o número que fica na 
2ª linha e na 3ª coluna da tabela ou da matriz. Temos nesse caso, uma matriz de ordem 3 x 3 
ou seja, nossa matriz tem 3 linhas e 3 colunas e indicamos por A3,3. Quando uma matriz tem o 
número de linhas igual ao número de colunas, é chamada de matriz quadrada. 
Exemplo 4: Vamos avaliar uma outra situação-problema na comparação entre pessoas com 
seus respectivos pesos, alturas e idade. Podemos representar no quadro abaixo os valores 
encontrados: 
 Altura(m) Massa(kg) Idade(anos) 
Eduardo 1,83 72 18 
Fernando 1,75 54 14 
Este quadro pode ser representada por uma matriz A de ordem 2 x 3 ou seja com 2 linhas e 3 
colunas. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita. 
 A2x3 = 





145475,1
187283,1
 LINHAS 
 
 COLUNAS 
 
1ª linha 
2a linha 
3ª coluna 
2a coluna 
1a coluna 
 
 Álgebra Linear 9 
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 Resumindo: 
1. Algebricamente, usamos letras maiúsculas (A, B, ...) para indicar as matrizes genéricas e 
letras minúsculas ou números para indicar os elementos. 
2. As tabelas com m linhas e n colunas são denominadas matrizes de ordem m x n. Portanto: 
Denomina-se matriz de ordem m x n (lê-se: m por n) com m, n ≥≥≥≥ 1, a uma tabela formada 
por m x n elementos (números, polinômios, funções, etc.), dispostos em m linhas e n 
colunas. 
3. A representação genérica de uma matriz A de ordem m x n é: 
Amxn = 














mnmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
...
...............
...
...
321
2232221
1131211
, com m e n ∈ N* 
Indica-se a matriz acima por: 
Amxn = [ aij ] m x n com i ∈ {1, 2, ..., m} ⊂ N e j ∈ { 1, 2, ..., n} ⊂ N ou 
Amxn = [ aij ] , (1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n). 
Note que cada elemento aij da matriz A, está vinculado a dois índices: i e j. O primeiro 
indica a linha e o segundo a coluna em que o elemento pertence. Exemplo: O elemento a25 
indica que o elemento a está localizado na 2ª linha e 5ª coluna da matriz A. 
4. A representação de uma matriz a partir de uma lei de formação permite calcular o seu número 
de elementos e encontrá-los. 
Exemplo: Encontre a matriz A = (aij)3x2 sabendo que aij = 2i – 3j. 
Resolvendo: A representação abreviada de A = (ai j)3 x 3 indica que A tem ordem 3 x 2 ou seja 3 
linhas e 2 colunas. Então m x n = 3 x 2 = 6. Assim, nossa matriz tem 6 elementos e sua 
representação genérica é A3x2 = 










3231
2221
1211
aa
aa
aa
. Logo, para aij = 2i – 3j temos: 
⇔⇔⇔⇔ a11 = 2.1 - 3.1 = 2 – 3 = -1 
a12 = 2.1 – 3.2 = 2 – 6 = -4 
a21 = 2.2 – 3.1 = 4 – 3 = 1 
a22 = 2.2 – 3.2 = 4 – 6 = -2 
a31 = 3.3 – 3.1 = 9 – 3 = 6 
a32 = 3.3 – 3.2 = 9 – 6 = 3. 
 
 A matriz procurada é A3x2 = 










−
−−
36
21
41
 
 
 
 Álgebra Linear 10 
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3. Tipos de Matrizes 
lgumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais. Vamos 
conhecer! 
 
1. Matriz Retangular: Se m ≠≠≠≠ n então A é dita matriz retangular de ordem m x n. 
Exemplo: A3x4=










34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
 é uma matriz retangular de ordem 3 ×××× 4 ou A = [aij]3x4 
2. Matriz Linha ou vetor linha: É a matriz de ordem 1 x n, ou 
seja, formada por uma única linha. Exemplo: A1x4 = ( )8513 − 
3. Matriz Coluna ou vetor coluna: É a matriz de ordem m x 1, 
ou seja, com uma única coluna. Exemplo: B2x1 = 




−
9
4
. 
 
4. Matriz Nula ou matriz nula: É a matriz em que todos os elementos são nulos. É representada 
por 0m x n. Exemplo: 02x3 = 





000
000
 
 
Exemplo complementar: A tabela a seguir apresenta os preços dos produtos químicos para 
tratamento de água P1, P2, P3, P4 das empresas A, B, e C. 
 P1 P2 P3 P4 
 A 190 182 204 179 
B 191 180 200 177 
C 192 181 205 175 
� Neste exemplo temos uma matriz retangular de ordem 3 x 4, formada por 3 linhas 
e 4 colunas. 
� Os preços da empresa A formam a matriz linha 1x4 indicada por A = 
( )179204182190 . Idem para os preços das empresas B e C. 
� Os preços do produto P1, relacionados as empresas A, B e C formam a matriz coluna 
3x1, indicada por P1=










192
191
190
. Idem para os produtos P2, P3 e P4 . 
5. Matriz Quadrada: Se m = n então a matriz A é denominada matriz quadrada de ordem n 
isto é, A é uma matriz que tem um número igual de linhas e colunas. Exemplos: 
A3x3=










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 e B2x2= 




 −
40
31
. A é uma matriz quadrada de ordem 3 e B tem ordem 2. 
 Os elementos aij da matriz quadrada quando i = j formam a diagonal principal da matriz. 
A outra diagonal é chamada diagonal secundária. 
 
Exemplo: A3x3=









333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 
A 
Diagonal principal 
Diagonal secundária 
Note que: Matrizes com a 
característica de ser linha ou 
coluna têm papel importante 
na Álgebra e são 
denominadas vetores. E 
estes têm representação 
geométrica no plano e no 
espaço tridimensional. 
 Álgebra Linear 11 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
 
 
Na diagonal principal estão os elementos que têm os dois índices iguais → a11, a22, ... ann 
 
Na diagonal secundária estão os elementos aij tais que i+j = n+1 ou seja, que têm soma dos 
índices igual a n+1 → São: a1n, a2(n-1), ... an1. 
 
As matrizes quadradas se classificam em: 
5.1 Matriz diagonal: É a matriz quadrada em que 
todos os elementos que não estão na diagonal 
principal são iguais a zero ou seja, se A=[ aij ], 
então aij = 0 quando i ≠ j. Indicamos por D = 
diag (a11, a22, ... ann ). 
Exemplo 1: D3x3 = 










−
200
0310
005
 
5.2 Matriz identidade ou matriz unidade: É a 
matriz quadrada em que todos os elementos da 
diagonal principal são iguais a 1 e os demais são 
nulos. É representada por In, sendo n a ordem 
da matriz ou simplesmente I. 
Ou, matriz identidade é uma matriz diagonal 
com os elementos não nulos iguais a 1. 
Exemplo: I3 = 










100
010
001
 
Pode ser representada genericamente por: 
In = [ aij ] com aij = 



≠
=
j i se 0,
j i se ,1
 
Note que: A multiplicação de qualquer matriz 
pela identidade resulta na matriz original. 
5.3 Matriz escalar ou singular: É a matriz 
diagonal cujos elementos da diagonal principal 
são iguais. Note que toda matriz identidade é 
uma matriz escalar. 
Exemplo: A3 = 










500
050
005
 
5.4 Matriz triangular superior: É a matriz 
quadrada cujos elementos abaixo da diagonal 
principal são nulos ou é a matriz A=[aij] cujos 
elementos aij são nulos (aij = 0) para i > j 
Exemplo:A4 = 












−
2000
0100
1220
1865
 
5.5 Matriz triangular inferior: É a matriz 
quadrada cujos elementos acima da diagonal 
principal são nulos ou é a matriz quadrada 
A=[aij] cujos elementos aij são nulos (aij = 0) 
para i < j 
Exemplo:A4 = 












−
2523
0119
0020
0005
 
Note que: Uma Matriz diagonal é simultaneamente triangular superior e triangular inferior. Por 
exemplo: 
Uma agência de automóveis efetuou de vendas, 
durante o quatro trimestre: 106 Gols no 1o mês, 45 
Zafiras no 2o mês, no último mês foram 20 Passats. 
Observe, ao lado, a tabela de vendas e a matriz 
diagonal que é simultaneamente triangular. 
 Gol Zafir
a 
Passat 
M1 10
6 
0 0 
M2 0 45 0 
M3 0 0 20 
ou 
 
 










2000
0450
00106
 Álgebra Linear 12 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
4. Proposições: Igualdade de Matrizes e Matriz Oposta 
 
4.1 Duas matrizes de mesma ordem podem ser iguais. 
Duas matrizes A = [ aij ] e B =[ bij ], de mesma ordem, são iguais se, e somente se, todos seus 
elementos correspondentes são iguais ou seja, se aij = bij. 
 
Exemplo 1: A matriz A = [ 2 -4 1,5 ] é igual a matriz B = [ a -4 1,5 ] se, cada 
um dos seus elementos são iguais. Neste caso, a = 2. 
Exemplo 2: Seja A = 





dc
ba
 e B = 





− 51
61
. A=B se a = 1, b = 6, c = -1 e d = 5. 
Exemplo 3: Seja A = 




 −
22
41
 e B = 





+
−
wy
zx
1
2
 temos que A = B ou B = A se 
 




 −
22
41
 = 





+
−
wy
zx
1
2
⇔ 







=
−=−
=+
=
2
42
21
1
w
z
y
x
⇔







=
−=
=
=
2
2
1
1
w
z
y
x
 
4.2 Toda matriz A tem uma matriz oposta (-A). 
 
Se A = [ aij ] m x n então existe uma matriz oposta de A representada por (-A) de modo que aij 
= - aij. A matriz (-A) oposta de A é obtida trocando-se todos os sinais dos elementos de A ou 
multiplicando A pelo escalar (-1). 
Exemplo 1: Se A= 




 −
40
31
então (-A) = 





−
−
40
31
. 
Exemplo 2: Se A= 




 −
22
41
 então B é oposta de A se B = 





−−
−
22
41
 
 
5. Matriz Transposta 
 
ada uma matriz Am,n, chama-se transposta de A a matriz A
t que se obtem trocando 
ordenadamente as linhas pelas colunas. 
Ou, a matriz transposta de uma matriz A= [aij], de ordem mxn, é a matriz A
t, de ordem nxm, 
que se obtém escrevendo ordenadamente as linhas de A como colunas ou vice-versa. 
Exemplo: Se A = 





−−
−
324
611
então At = 










−
−−
36
21
41
 
 
Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna. 
 
Obs: Algumas propriedades se definem nas transpostas envolvendo soma e produto 
de matrizes. Portanto, serão comentadas após as operações com matrizes. 
 
 
D 
 Álgebra Linear 13 
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6. Simetria em Matrizes 
 
ma matriz qualquer quadrada, pode ser simétrica e anti-simétrica. Observe: 
6.1 Matriz simétrica: É a matriz quadrada de ordem 
n tal que A = At. É a matriz cujos elementos aij = 
aji. Em geral a matriz simétrica é indicada pela 
letra S 
Também podemos dizer que: Se uma matriz 
(quadrada) A e a sua transposta At são iguais, isto 
é, as jiij aa = para todo i e j, então a matriz A é 
simétrica (com relação a sua diagonal principal). 
A = At � Matriz Simétrica 
 
Exemplo: A = 










−
−
712
130
205
 = At = S 
Observe que na Matriz simétrica os 
elementos dispostos simetricamente em 
relação a diagonal principal são iguais. 
Neste exemplo, temos: 
� a12 = a21= 0 
� a13 = a31= 2 
� a23 = a32= -1 
6.2 Matriz anti-simétrica: É a matriz quadrada de 
ordem n tal que At = (-A) ou é a matriz cujos 
elementos aij = (-aji) para i≠j e aij=0 para i=j. Em 
geral a matriz simétrica é indicada pela letra S´ 
A = -At � Matriz anti-simétrica 
Observe nos exemplos que, como A=(-At ) então A 
é simétrica e 
� a12 = - a21, 
� a13 = - a31, 
� a23 = - a32 
� a11 = a22 = a33 = 0 
NNNooottteee qqquuueee::: Se uma matriz A é anti-simétria, seus 
elementos dispostos simétricamente em relação à 
diagonal principal são opostos e os elementos da 
diagonal principal são nulos. 
Exemplo 1: A=










−
−
−
012
105
250
=-At = S´ 
Exemplo 2: B=










−−
−
031
304
140
=-Bt = S´ 
 
Agora, tente você! 
Resolva a lista de atividades 1 
U 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Álgebra Linear 14 
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Lista 1 de Atividades- Matrizes 
1.Uma agência de automóveis efetuou de vendas, durante o quatro trimestre: 106 Gols, 40 Zafiras e 
12 Passats no 1o mês, 100 Gols, 22 Zafiras e 6 Passats no 2o mês, no último mês foram 86 Gols, 
40 Zafiras e 20 Passats. Monte a tabela de vendas e transforme em matriz. 
 
2.Encontre as matrizes definidas em: 
 
(a) A=(aij)3x2 com aij=i–5j 
 
(b) B=(bij)4x4 com bij =



=
≠−
j i se ,0
j i se 1
 
 
3.Encontre as matrizes definidas em: 
 
(a) A=(aij)3x2 com aij=4i–j 
 
(b) B=(bij)3x3 com bij =i
2+j2 
(c) C=(cij)2x3 com cij =





=+
≠
j i se ,2
j i se 4
ji
j
i
 (d) D = (dij)3x3, matriz identidade 
4.Considere a matriz B = 












5,68,80,9
0,32,78,4
0,83,77,5
0,15,30,4
. Encontre os valores dos seguintes elementos de B: 
a) b11 b) b21 c) b12 d) b32 e) b42 f) b24 
 
5.Uma matriz possui 8 elementos. Quais os tipos possíveis para essa matriz? 1x8, 2x3, 5x7, 4x2, 
2x4, 2x6! 
6. Quantos elementos tem uma matriz de ordem 4 por 7? 
7. Encontre a tabela de carros financiados por uma agência bancária nos meses de junho, julho e 
agosto. Represente em matriz e analise: (a) Qual o modelo de carro mais financiado? (b) Em qual 
mês houve um maior número de carros financiados. (c) Qual o total de carros financiados pela 
agência mensalmente e, ao final dos três meses? 
8. Dê exemplo de: 
(a) Matriz simétrica S e anti-simétrica S´de ordem 3. 
(b) Matriz escalar de ordem 4. 
(c) Matriz Identidade de ordem 5. 
9. Considere as matrizes retangulares A = 
6200
4531 +x
 e B = 
6400
4631
−y
. 
(d) Determine os valores de x e y de forma que as matrizes A e B sejam iguais; 
(b) Encontre At e Bt. 
10. Determine a matriz oposta de A2x3 = 




 −
250
321
 
11. A partir de uma matriz triangular superior de ordem 3, encontre a sua matriz oposta. 
12. A partir de uma matriz diagonal de ordem 4, encontre sua transposta. 
13. Encontre a transposta da matriz A = [aij]3x2 em que aij = 



≠−
=−
jiij
jiji
 se 
 se 
 
14. Para a matriz linha A = [aij]1x3 em que aij =2i-j, prove que (A
t)t = A. 
15. Encontre a matriz diagonal A = [aij] de ordem 3, sabendo que aij = 3i-j. Após, determine a 
soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária. 
 Álgebra Linear 15 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
16. Para A = 










−
215
36
420
y e B = 









 −
z
x
84
13
560
 encontre os valores de x, y e z para B = At. 
17. Verifique se a matriz identidade de ordem 3 é simétrica ou anti-simétrica e justifique. 
18. Determine uma matriz triangular superior A e uma matriz triangular inferior B de ordem 3, 
para aij = i+j e bij = i-j. 
19. Considere a matriz A = 
18
9
431
−z
yx . Para que valores de x, y e z, A é uma matriz simétrica. 
 
Respostas da Lista de Atividades 1 
 
(1) Gol Zafira Passat 
 M1 106 40 12 
M2 100 22 6 
3 86 40 20 
 (2) A= 










−−
−−
−−
72
83
94
 (2) B = 














−−−
−−−
−−−
−−−
0111
1011
1101
1110
(3) A = 










1011
67
23
 (3) B = 










181310
1385
1052
 (3) C = 





3/868
3/423
; 
(3) D = 










100
010
001
 (4) (a) b11=4,0 (b) b12=3,5 (c) b42=8,8 (d) b21=5,7 (e) b31=7,2 (f) b24=não existe; 
(5) 1x8, 4x2 e 2x4 (6) 4x7 = 28 elementos (7) 










2015115
104598
25106
 (a) modelo A; (b) mês 07; (c) mês 06 = 113; mês 07 = 
153 e mês 08 = 150. Ao final de 3 meses financiaram 416 carros. 
 (8)(a) S = 










−
−
2042
4453
23106
; S=










−
−−
042
403
230
 (b) E=












2000
0200
0020
0002
 (c) I = 
















10000
01000
00100
00010
00001
 (9a) x=1 e y = 6 
(9b)At=












64
26
03
01
Bt; (10) (-A)=






−−
−−
250
321 , (11) A=










1800
1380
1052
, (-A) =










−
−−
−−−
1800
1380
1052 (12) D = 












−
7000
0100
0030
0002
 = Dt. 
(13) At






−
−−
101
210 (14) A = ( )101 − , At = 










−1
0
1
, (At)t = ( )101 − = A (provado) (15) D = 










33
22
11
00
00
00
a
a
a
=










600
040
002
→ 
(2+4+6)+(0+4+0) = 16. (16) x= 2 , y=8 e z=2 ou S={( 2 ,8,2)}; (17) É simétrica pois aij = aji para i ≠ j e não é anti-
simétrica pois aij ≠ 0 para i = j; (18) A = 










600
540
432
, B = 










012
001
000
 (19) A é simétrica para x=3, y = 8 e z = 4 
 
 










204086
622100
1240106
 Álgebra Linear 16 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
7. Operações com Matrizes 
 
7.1 Adição e Subtração de matrizes 
 
uas matrizes, A = [aij] e B = [bij], só podem ser adicionadas ou subtraídas se tem a mesma 
ordem. Neste caso, a soma (adição) de A com B é uma matriz C = [cij], indica-se por A + B 
= C, tal que: 
cij = aij + bij 
 
A diferença (subtração) entre duas matrizes A e B, de mesma ordem, é definida pela soma de A 
com (-B), indica-se: A + (-B) = A – B, tal que: 
 
cij = aij - bij 
 
Assim, duas matrizes podem ser somadas (ou subtraídas) se e somente se elas possuem a mesma 
dimensão ijij ba = 
Exemplo 1: Se 





=
2221
1211
aa
aa
A e 





=
2221
1211
bb
bb
B então 





++
++
=+
22222121
12121111
baba
baba
BA 
 
Exemplo 2: A tabela a seguir mostra o número de embalagens em mil, dos modelos C1, C2, 
C3 produzidas numa semana pelas industrias A, B e C integrantes de um mesmo grupo 
empresarial, numa semana: 
 
 C1 C2 C3 
A 18 41 17 
B 17 52 15 
C 25 48 19 
A matriz correspondente a produção das embalagens é indicada por P1 = 










194825
155217
174118
. 
Considerando que a quantidade de embalagens semanais produzidas não se altera, qual o total 
de embalagens produzidas pelo grupo, por indústria e por modelo, ao final de duas semanas? 
1ª semana + 2ª semana = P1 + P2 = 










194825
155217
174118
+ 










194825
155217
174118
 = 










389650
3010434
348236
. 
A matriz P1 + P2 indica a produção por empresa e produto ao final de duas semanas. Temos 
então: 
Indústria A: produziu 36 mil embalagens do modelo C1, 82 mil do C2 e 34 mil de C3. 
Indústria B: produziu 34 mil embalagens do modelo C1, 104 mil do C2 e 30 mil de C3. 
Indústria C: produziu 50 mil embalagens do modelo C1, 96 mil do C2 e 38mil de C3. 
Este é um exemplo de soma de matrizes 
Analisando a matriz resultante, podemos encontrar outros dados, facilmente. Por exemplo: 
� O total de embalagens produzidas do modelo C1 (= 120 000), do modelo C2 (= 282 000), do 
modelo C3 (=102 000). 
� O total de embalagens produzidas, por industria, nos três modelos: A (=152 000), B (=168 
000) e C = (184 000) 
� O total de embalagens produzidas nas três industrias (=504 000) 
 
D 
 Álgebra Linear 17 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
Exemplo 3: Se A = 





02
41
 e B = 





68
35
então A + B = 





02
41
+ 





68
35
 = 





610
76
 
Exemplo 4: Se A = 





02
41
 e B = 





68
35
 então A - B = 





02
41
 - 





68
35
 = 





−−
−
66
14
 
Exemplo 5: Se A=










−−−
753
234
321
 e B=










−
351
484
323
 então, 
A+B=










−−−
753
234
321
+










−
351
484
323
=










+++
−+−+−+−
+++
375513
)4(28344
332231
=










−
10104
650
644
=C 
A–B=










−−−
753
234
321
-










−
351
484
323
=










−−−
−−−−−−−
−−−
375513
)4(28344
332231
=










−−
−
402
2118
002
=D 
 
Exemplo 6: Se A = [ ]12 −b e B = 


 32
3
1
 ⇒ A + B = 



+ 22
3
7 b 
 
Exemplo 7: Se A = [ ]152 − e B = [ ]423 − então A + (-B) = A–B = [ ]571 −− 
 
7.2 Multiplicação por um escalar 
 
eja A = [aij] e k um escalar (número) real ou complexo. O produto da matriz A pelo escalar k, 
é a matriz B = [bij] tal que bij = k aij , ou seja, é a matriz obtida multiplicando-se cada 
elemento de A por k → bij = kaij 
 
Exemplo 1: k A = k 





02
41
= 





02
4
k
kk
 se k=5 temos 5A=5 





02
41
= 





010
205
=B 
 
Exemplo 2: Se A= [ ]423 − então =A.
3
1 [ ]423.
3
1
− = 



− 4.
3
12.
3
13.
3
1
= 



 −
3
4
3
21 . 
 
Exemplo 3: Considermos o mesmo problema anterior do quadro demonstrativo de produção 
de embalagens de indústrias que integram o mesmo grupo empresarial. A tabela a seguir 
mostra o número de embalagens em mil, dos modelos C1, C2, C3 produzidas pelas industrias A, 
B e C, numa semana: 
 
 C1 C2 C3 
A 18 41 17 
B 17 52 15 
C 25 48 19 
S 
 Álgebra Linear 18 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
A matriz correspondente a produção das embalagens é indicada por P1 = 










194825
155217
174118
. Para 
atender as necessidades do mercado, a produção precisa dobrar nas duas últimas semanas do 
mês. Qual deve ser o quadro de produção da empresa num mês de 04 semanas? 
 1ª semana: P1 = 










194825
155217
174118
= P2 → 2ª semana; 
3ª semana: P3 = 2.P1 = 2.










194825
155217
174118
 = 










389650
3010434
348236
= P4 → 4ª semana; 
Produção nas 4 semanas: P1+P2+ P3 + P4 = 3. P4 = 










114288150
90312102
102246108
 
 
OU podemos resolver fazendo Pi = 6.P1= 6. 










194825
155217
174118
= 










114288150
90312102
102246108
 
 
7.3 Multiplicação entre matrizes 
 
Vamos introduzir o conceito a partir de exemplos: 
 
Exemplo 1: Em três lojas A, B, C, de uma rede, são vendidos mensalmente, calçados do tipo C1, C2 
e C3 conforme tabela: 
 
Tabela Matriz 
 C1 C2 C3 
A 18 41 17 
B 17 52 15 
C 10 39 16 
V =










163910
155217
174118
 
Se os calçados do tipo C1, C2 e C3 são vendidos respectivamente no valor de 50, 40 e 60 reais cada, 
então os preços das mercadorias podem ser representadas pela matriz P = 










60
40
50
. 
O valor recebido pelas vendas dos calçados na loja A é obtido pela multiplicação de cada elemento 
da 1ª linha da matriz V pelos correspondentes elementos da matriz P. Assim, 
V =










163910
155217
174118
. P = 










60
40
50
= 18.50+41.40+17.60 = 900+1640+1020 = 3560 reais → Loja A 
 Álgebra Linear 19 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
Da mesma forma, obtemos o valor recebido pelas vendas das lojas B e C. 
V =










163910
155217
174118
. P = 










60
40
50
= 17.50+52.40+15.60 = 850+2080+900 = 3830 reais → Loja B 
V =










163910
155217
174118
. P = 










60
40
50
= 10.50+39.40+16.60 = 500+1560+960 = 3020 reais → Loja C 
Portanto, o valor recebido pelas vendas dos três tipos de calçados nas lojas A, B e C é representado 
pela matriz V.P =










163910
155217
174118
. 










60
40
50
= 










3020
3830
3560
. Assim, o valor recebido pelas lojas A, B e C na 
venda mensal dos calçados do tipo C1, C2 e C3 é de R$ 10.410,00 que equivale a R$ 3.560,00 da 
Loja A, R$ 3.830,00 da Loja B e R$ 3.020,00 da Loja C. 
 
Exemplo 2:Uma empresa produz dois tipos de produtos, P1 e P2. São usados três tipos de 
ingredientes na produção: x, y, z nas seguintes proporções: 
Tabela Matriz 
 P1 P2 
x 3 1 
y 4 2 
z 3 7 
Ip =










73
24
13
 
 
Diariamente são fabricados 80 produtos do tipo P1 e 120 do tipo P2. Esta quantidade de 
produtos pode ser representada pela matriz produção P = 





120
80
. 
Para saber a quantidade de ingredientes utilizados diariamente, fazemos: 
Ingrediente x → 3.80+1.120 = 240+120=360 
Ingrediente y → 4.80+2.120 = 320+240=560 
Ingrediente z → 3.80+7.120 = 240+840=1080 
Esta quantidade de produtos pode ser representada pela matriz Pi = 










1080
560
360
. 
Podemos obter esta matriz Pi denominada de matriz produto de Ip por P, da seguinte forma: 










73
24
13
. 





120
80
= 










+
+
+
120.780.2
120.280.4
120.180.3
 = 










1080
560
360
= Pi 
Note que: cada elemento da matriz final é a soma dos produtos ordenados de uma linha da 
primeira matriz pela coluna da segunda matriz ou seja: 
360 = 3.80+1.120560 = 4.80+2.120 
1080= 3.80+7.120 
Este é mais um exemplo de multiplicação de matrizes. 
 
 Álgebra Linear 20 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
Conceituando o produto de matrizes: 
 
Utilizamos na definição de produto de matrizes o conceito de somatório: Vamos rever este conceito? 
 
Saiba Mais: 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: 
Produto entre duas matrizes A e B só é possível se o número de colunas da primeira é igual 
ao número de linhas da segunda matriz. Se existir o produto de A por B, o tipo da matriz 
produto é dado pelo número de linhas de Ae pelo número de colunas de B. Pode existir o 
produto de A por B, mas não existir o produto de B por A. 
 
Dadas as matrizes A = (aik)mxn e B = (bik)mxp, define-se como produto de A por B a matriz C = 
(cij)mxp tal que o elemento cij é a soma dos produtos da i-ésima linha de A pelos elementos 
correspondentes da j-ésima coluna de B. 
C = A ⋅⋅⋅⋅ B ⇒⇒⇒⇒ cij = ).(1 ik
p
k ik
BA∑
=
 
Se considerarmos, por exemplo, as matrizes A = [ aij ]2xn e B = [ bij ]mx1, com m = n, o produto AB, 
nesta ordem, é a matriz C = [ cij ]2x1 tal que, cij é a soma dos produtos, na ordem em que estão 
dispostos, dos elementos da matriz-linha A, pelos elementos da matriz-coluna B. Note que a matriz 
resultante C tem o mesmo número de linhas de A e o número de colunas de B. 
Exemplo 1: Seja A = [ ]423 − , B = 










4
2
1
, C = 





352
624
e D = 










6721
0132
1425
. 
a) A x B = ? 
Resolução: A1x3 x B3x1 = [(3x1) + (-2x2) + (4x4)] = [3-4+16] = [15] = C1 x 1. 
 
b) B x C = ? 
Resolução: B3x1 x C2x2 =? Não existe produto BC pois o nº de colunas de B é diferente do 
nº de linhas de C ou 1 ≠ 2. 
 
c) C x D = ? 
Resolução: C2x3 x D3x4 = 





352
624
x 










6721
0132
1425
= M2x4 = 





24232221
14131211
aaaa
aaaa
 
Para determinar M que é o produto das matrizes C x D, consideramos cada linha da 
matriz A como uma matriz-linha e cada coluna da matriz B como matriz-coluna. 
Calculamos cada elementos aij da matriz M = CD. Como? 
(1) Multiplicamos a 1ª linha de C pela 1ª coluna de D. A seguir, multiplicamos a 1ª linha 
de C pela 2ª coluna de D. E, assim, sucessivamente, multiplicamos a 1ª linha de C 
O 
Na multiplicação de matrizes, utilizamos o símbolo de somatório ∑ (letra 
sigma maiúscula do alfabeto grego) para representar uma soma. Por exemplo, 
a soma a1+ a2+ a3+ a4+ a5 pode ser representada abreviadamente por: 
∑
=
5
1i
ia (lê-se: somatório de ai com i variando de 1 a 5). Assim, ∑
=
5
1i
ia = a1+ a2+ 
a3+ a4+ a5. Generalizando: ∑
=
n
mi
ia = am+ am+1+ am+2+...+ an. Neste caso, i é o 
índice da soma, m é o limite inferior do somatório e n é o limite superior do 
somatório. 
Exemplo: ∑
=
5
1
23
i
i = 3.12+3.22+3.32+3.42+3.52=3.1+3.4+3.9+3.16+3.25=165. 
 Álgebra Linear 21 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
pela 3ª e 4ª colunas de D. Obtemos respectivamente, os elementos a11, a12, a13 e a14 
que formam a primeira linha da matriz M. 
(2) Encontramos a segunda linha de M, multiplicando a 2ª linha de C pela 1ª, 2ª, 3ª e 
4ª coluna de D e assim sucessivamente. Ou seja: 
a11 = (1ª linha de C)x(1ª coluna de D) = 4x5 + 2x2 + 6x1 = 20 + 4 + 6 = 30 
a12 = (1ª linha de C)x(2ª coluna de D) = 4x2 + 2x3 + 6x2 = 8 + 6 + 12 = 26 
a13 = (1ª linha de C)x(3ª coluna de D) = 4x4 + 2x1 + 6x7 = 16 + 2 +42 = 60 
a14 = (1ª linha de C)x(4ª coluna de D) = 4x1 + 2x0 + 6x6 = 4 + 0 + 36 = 40 
a21 = (2ª linha de C)x(1ª coluna de D) = 2x5 + 5x2 + 3x1 = 10 + 10 + 3 = 23 
a22 = (2ª linha de C)x(2ª coluna de D) = 2x2 + 5x3 + 3x2 = 4 + 15 + 6 = 25 
a23 = (2ª linha de C)x(3ª coluna de D) = 2x4 + 5x1 + 3x7 = 8 + 5 + 21= 34 
a24 = (2ª linha de C)x(4ª coluna de D) = 2x1 + 5x0 + 3x6 = 2 + 0 + 18= 20 
 
Portanto, o produto das matrizes C(2,3) e D(3,4) é a matriz M(2,4) = 





20342523
40602630
 
 
Exemplo6 2: Sejam as matrizes A e B defindas por: A = 





43
21
 e B = 




−
24
31
. Determinar a 
matriz C resultante do produto de A por B. 
Resolução: O produto de A com B resulta numa matriz C, quadrada de ordem 2. 
Procedemos multiplicando os elementos equivalentes de cada linhas de A por cada 
colunas de B, adicionando os resultados. Vejamos: 
 A2x2 x B2x2 = C2x2 = 





2221
1211
cc
cc
. Fazendo A.B temos A.B = 





43
21
. 




−
24
31
= 
C11 =resultado do produto e soma da 1ª linha com 1ª coluna 
 
 C12 =resultado do produto e soma da 1ª linha com 2ª coluna 
 
C21 =resultado do produto e soma da 2ª linha com 1ª coluna 
 
 C22 =resultado do produto e soma da 2ª linha com 2ª coluna 
 
 
6
 SOMATEMATICA: Ensino Superior: Teoria, Exercícios. (CD-Room). Virtuous Tecnologia da Informação Ltda. 2008 
 Álgebra Linear 22 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
Portanto, A2x2 x B2x2 = C2x2 = 





2221
1211
cc
cc
= 





1713
77
 
 
Observe que, fazendo B.A, neste caso, obtemos um resultado diferente de A.B. 
B2x2 x A2x2 = 




−
24
31
. 





43
21
= 
 
Portanto, B2x2 x A2x2 = D2x2 = 





2221
1211
dd
dd
= 





1610
108
. 
 
 
 
 
8. Potência de uma Matriz 
 
ma matriz quadrada A pode ser multiplicada n vezes por si mesma. A matriz que resulta 
dessas operações, e que representamos por An é denominada potência n da matriz A . 
 
Exemplo 1: A = 





02
11
→ A2 = A.A = 





02
11
. 





02
11
= 





22
13
. Assim, a matriz 





22
13
 é a 
potência 2 da matriz A e indicamos por A2. 
 
Note que: 
 
� Se An = A para n ≥ 2 então A é uma matriz periódica. Em particular se a matriz é periódica para 
n = 2 ou seja, se A2 = A então A também é chamada de uma matriz idempotente. 
� Se existir um número n, inteiro e positivo, tal que An=0 então A é uma matriz nihilpotente. 
Note que, se A2 = 0, então A3 = A4 = A5 = ... = An = 0 
 
Exemplos: 
Exemplo 1: A matriz A = 










−−
−−
−
344
232
112
 é idempotente porque 
A2 = A ou, A.A = 










−−
−−
−
344
232
112
.










−−
−−
−
344
232
112
 =










−−
−−
−
344
232
112
=A 
U 
Dica: Utilizando o conceito de matriz transposta e produto de matrizes podemos verificar 
de uma matriz é ortogonal (formada por vetores linhas ou vetores colunas cujo ângulo entre si 
equivale a 90º). Se uma matriz A multiplicada pela sua transposta resulta na matriz Identidade 
então os vetores de A são perpendiculares ou ortogonais. 
Assim, se A. At = I então A é uma matriz ortogonal.Álgebra Linear 23 
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Exemplo 2: A matriz7 A = 










−−
−−
−
444
333
111
 é nihilpotente de índice 2 porque A2 = 0, A3 = A4 
= ... =0. Portanto A3 = A2.A = 0.A=0. 
 
Exemplo 3: A matriz B = 










−−− 312
625
311
 é nihilpotente de ordem 3 porque 
A3 = 0 ou A.A =










−−− 311
933
000
 e A2.A = 










000
000
000
 = 0. 
Como A3 = 0 então A4 = A5 = ... = An =0 
Exemplo 4: As matrizes A = 





−− 64
96
 e B = 





− 129
1612
 são nihilpotente de índice 2 porque 
A2 = 0 e B2 = 0. 
 
 
9. Propriedades das Operações com Matrizes 
� Propriedades da adição de matrizes 
Para as matrizes A, B e C, de mesma ordem, valem as seguintes propriedades: 
1) Comutativa 
2) Associativa 
3) Elementro Neutro 
4) Simétrica 
A + B = B + C 
A+ (B + C) = (A + B) + C 
A + 0 = 0 + A, sendo 0 a matriz Nula 
A + (-A) = A - A = 0 
� Propriedades do produto de uma matriz por um escalar 
Para as matrizes A e B, de mesma ordem e k e k’, escalares quaisquer, então: 
k(A + B) = kA + kB e (k m k’) A = kA m k’A. 
E, também, (kk’) A = k(k’ A) e se kA = kB então A = B. 
� Propriedades do produto de matrizes 
Sejam as matrizes A, B e C. Verificadas as condições de existência para a multiplicação de 
matrizes, valem as seguintes propriedades: 
1) Associativa 
2) Distributiva em relação à adição 
3) Elementro Neutro 
A(BC) = (AB)C 
(A+B)C = AC + BC ou C(A+B) = CA + CB 
AIn = InA = A, sendo In a matriz Identidade de ordem n 
Note que: 
 
7
 Steinbruch (1987, p.406) 
 Álgebra Linear 24 
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(i) 
(ii) 
(iii) 
(iv) 
 
 
 
(v) 
Se o produto AB é possível, então (kA)B = A(kB) = k(AB) para qualquer k escalar. 
Se AB= 0, não implica necessariamente que A = 0 ou B = 0 
Se AB=AC, não implica necessariamente que B=C 
Se A e B são matrizes quadradas (igual número de linhas e colunas), ambos os produtos 
AB e BA podem ser calculados. Entretanto, na multiplicação de matrizes, a ordem dos 
fatores não é indiferente. Em geral, AB ≠ BA. 
A2x2 = 





−
−
01
11
, B2x2 = 




−
43
21
 então AB = 





−
−−
21
24
e BA = 





−−
−
31
13
 
Se AB = BA, as matrizes são ditas comutativas. 
� Propriedades da matriz transposta 
Sejam A e B, matrizes, k um escalar qualquer e, se satisfazem as condições de adição e 
multiplicação de matrizes, são válidas as propriedades: 
1) (A + B)t = A t + B t 
2) (kA)t = kA t 
3) (AB)t = B t A t ⇒ (AB) t ≠ A t B t 
4) (At) t = A 
5) (-A)t = -(A t) 
� Propriedades das matrizes simétricas e anti-simétricas 
Sejam A e B, matrizes, k um escalar qualquer e, se satisfazem as condições de adição e 
multiplicação de matrizes, são válidas as propriedades: 
1) O produto de uma matriz quadrada A pela sua transposta At é uma matriz simétrica S Assim, A ⋅⋅⋅⋅ 
At = S 
2) A soma de uma matriz quadrada A com sua transposta At é uma matriz simétrica S 
Assim, S = A + At = St 
3) A diferença entre uma matriz A e sua transposta At, é uma matriz anti-simétrica S’ 
Assim, A - At = S’ 
 
Exemplo 1: Consideremos as matrizes A e sua transposta At para: 
A = 




 −
40
31
 e sua transposta At = 





− 43
01
. 
� Fazendo A ⋅⋅⋅⋅ At = 




 −
40
31
⋅⋅⋅⋅ 





− 43
01
= 





+−+
−+−−+
4.40.0)3.(41.0
4).3(0.1)3).(3(1.1
= 





−
−
1612
1210
 = S. Note 
que a matriz resultante S é uma matriz simétrica pois s12 = s21 
� Fazendo A + At = 




 −
40
31
+ 





− 43
01
= 





−
−
83
32
= S 
Note que a matriz resultante S é uma matriz simétrica pois s12 = s21 
� Fazendo A - At = 




 −
40
31
- 





− 43
01
= 




 −
03
30
= S’ 
Note que a matriz resultante S’ é uma matriz anti-simétrica pois (-s12)= s21 
 
 
AAAgggooorrraaa,,, ttteeennnttteee vvvooocccêêê!!! 
Resolva a Lista de Atividades 
Lista 2 de Atividades – Operações com Matrizes 
1. Encontre os elementos da matriz A = (aij)3x2 em que aij = i + j e da matriz B = (bij)3x2 em que aij 
= i - j . Encontre: 
 Álgebra Linear 25 
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(b) A + B; (c) A + (-B); (d) 5A + 3B. 
2. Considere as matrizes A = 





−
−
22
11
, B = 





−
−
20
54
, C = 





−
−
312
119
 e D = 




 −
342
111
. 
(a) Verifique se A ⋅ B = B ⋅ A; 
(b) Determine (A ⋅ C) + (B ⋅ D); 
(c) É possível determinar C ⋅ D? Justifique. 
3. Para as matrizes quadradas de ordem 3 definidas por A=(aij) com aij =i
2 e B=(bij) com bij=-j
2 
encontre: 
(a) A+B (b) A+(-B) (c) A.2B (d) (AB)+(BA) 
4. Se A = 
263
174
952
 calcule: 
(a) A + At = S. Verifique se S é uma matriz simétrica e justifique; 
(b) A - At = P. Verifique se P é uma matriz anti-simétrica e justifique. 
5. Considere as matrizes A = 





− 75
32
, B = 










−
−−
918
721
534
 e C = 










−
−
695
243
172
. Encontre as 
matrizes S e verifique se são simétricas e/ou anti-simétricas. 
(a) S = A.At (b) S = C+Ct (c) S = C - Ct (d) S = B – Bt (e) S = B + Bt 
6. Para atender a um projeto experimental de tratamento de esgoto, foram elaborados dois 
modelos de experimentos E1 e E2. Nos dois modelos serão utilizados os mesmos produtos x, y e 
z para tratamento com dosagens diferentes. No experimento E1 serão utilizados 5 medidas do 
produto x, 8 medidas do produto y e 1 medida do produto z. No experimento E2 a dosagem 
equivale a 4, 6 e 3 medidas de x, y e z, respectivamente. Para controle, serão produzidas 75 
amostras do experimento E1 e 96 amostras do experimento E2. Estruture o problema em tabela 
e matriz e determine: 
(a) quantas dosagens de produtos serão utilizados para a produção das amostras? 
(b) Considerando que, o custo de dosagem dos produtos equivalem a: R$ 1,30 para x, R$ 
2,30 para y e R$ 7,50 para z. Qual o custo por amostra? Qual o custo total para a 
produção das amostras? 
7. Considere as matrizes triangulares superiores A e B e as matrizes trinagulares inferiores C e D, 
definidas por A = 










200
310
112
, B =









 −−
200
130
121
, C = 










111
011
002
 e D =










−− 121
010
002
. 
Determine: 
(a) E = A.B; 
(b) F = C.D 
(c) Classifique E e F por triangular inferior ou superior. 
(d) Verifique se a matriz A é ortogonal. 
8. Prove que, o produto de duas matrizes diagonais resulta numa matriz diagonal. Utilize matrizes 
de ordem 3.Álgebra Linear 26 
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9. Considere as matrizes A = 





αα
αα
sen - cos
 cos -sen 
, B = 





−− 53
106
e C = 





−− 42
105
. 
(a) Mostre que A.At = I sendo I a Matriz Identidade. Logo A é uma matriz ortogonal. 
(b) Verifique se B e C são matrizes idempotentes, periódicas ou nihilpotente. Analise para 
o período 1 ou seja para B2 e C2 somente. 
10. Verifique se as matrizes A e B são nihilpotentes, para A = 





−− 64
96
e B = 





− 129
1612
 
11. Dadas as matrizes diagonais A = 










800
010
001
e B = 










600
040
002
calcular AB e classificar este produto. 
12. Considere a matriz A = 










−
−
−−
344
232
112
. Calcule A2 e classifique A. (STEINBRUCH, 1987, p.413) 
 
Respostas da Lista de Atividades 2 
(1) A = 










54
43
32
 , B = 









 −
12
01
10
(a) A+B=










66
44
22
 (b) A+(-B)= 










42
42
42
 (c) 5A+3B=










2826
2018
1210
 
(2a) A.B = 





−
−
68
34
 ≠ B.A = 





−
−
44
66
 (2b) 





−
−
8414
427
+ 





−−−
−−−
684
19166
= 





−−
−−
14410
23141
. 
(2c) Não é possível determinar o produto C.D pois a dimensão das linhas de C é diferentes da dimensão das colunas de D. 
(3) A = 










999
444
111
, B=










−−−
−−−
−−−
941
941
941
 (3ª) A+B=










−
−−
058
503
830
, (3b) A+(-B)=










181310
1385
1052
 
(3c) 










−−−
−−−
−−−
48621654
2169624
54246
(3d) 










−−−
−−−
−−−
24310827
1084812
27123
+










−−−
−−−
−−−
989898
989898
989898
= 










−−−
−−−
−−−
341206125
206146110
125110101
 (4a) A+At=S = 










4712
7149
1294
S é simétrica pois aij = aji para i ≠ j . (4b) A-At=P=










−
−−
056
501
610
S é anti-simétrica pois aij = (-aji) para i ≠ j e 
aij = 0 par i = j. (5) A matriz S em a,b, e é simétrica porque Aij=Aji. A matriz S em c,d é é anti-simétrica pois aij = (-aji) 
para i ≠ j e aij = 0 par i = j. (5a) S= 





−
−
7411
1113
 (5b) 










−
−−
−
1276
784
644
(5c) 










−
−−
0114
11010
4100
(5d) 










−−
−
083
804
340
 (5e) 










−−
−
18613
642
1328
(6a) x = 759, y = 1176 e z = 363 ou 










363
1176
759
. (6b) O custo por amostra é: E1 = R$ 32,40; E2 = 41,50 ou C 
= ( )50,4140,32 . O custo total para a produção das amostras é de R$ 6.414,00 = ( )50,4140,32 





96
75
. (7a) E = 
 Álgebra Linear 27 
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








−
400
730
172
; (7b) F = 










−131
012
004
; (7c) E é triangular superior e F é inferior. (8) Criar matrizes e provar. (9a) Fazer A.At 
e mostrar que o resultado é a matriz identidade (Dica: lembre-se que sen2x + cos2x = 1). (9b) As matrizes B e C são 
idempotentes de ordem 2 ou de período 1 porque B.B=B2=B e C2=C. 
(10) A e B são nihilpotentes de ordem 2 pois A2=0=A3=A4 =... Idem para a matriz B. (11) AB=










4800
040
002
e AB é diagonal. 
(12) A2 = 










−−
−−
−
344
232
112
. Como A2 ≠ A não é idempotente. 
 
 Álgebra Linear 28 
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10. Equivalência de Matrizes 
 
izemos que duas matrizes A e B, de mesma ordem, são equivalentes quando são obtidas a 
partir de operações elementares efetuadas entre elas ou: 
Dada uma matriz A, diz-se que uma matriz B, de mesma ordem, é equivalente a matriz A 
(indica-se B ∼ A) se for obtida a partir de operações elementares efetuadas em A, onde 
cada linha ( Li ou j ) de B é uma combinação linear das linhas de A. 
 
A matriz B encontrada é equivalente a matriz A e também é denominada, matriz escalonada por 
linhas de A . As operações elementares possíveis são: 
1. Li ⇔⇔⇔⇔ Lj 
2. Li ⇔⇔⇔⇔ k.Lj com k ≠ 0 
3. Li ⇔⇔⇔⇔ k.Lj + Li com k ≠ 0 
1. Troca de linhas entre si; 
2. Multiplicação de linha por escalar; 
3. Substituição de uma linha pela adição de k vezes 
outra linha. 
 
Note que: 
� Se aplicarmos as inversas das operações em B, obtemos A. 
� A matriz B encontrada é dita matriz escalonada por linhas de A . 
Exemplo 1: Se A = 





− 43
21
 então podemos encontar uma matriz B = 





−100
21
 dita 
matriz escalonada por linhas de A . 
 
� Uma matriz B equivalente a uma matriz A é dita matriz escalonada reduzida por linhas 
(ou matriz na forma canônica por linhas) se: 
� os elementos distinguidos8 são únicos não nulos de suas respectivas colunas; 
� os elementos distinguidos são iguais a 1. 
Exemplo 2: B = 





10
01
 
Exemplo 3: B = 










4100
7010
2001
 
A matriz B está representada na forma canônica por linhas pois o 1º elemento de cada 
linha é igual a 1 e é o único não nulo em sua respectiva coluna. 
Exemplo 4: Para a matriz A = 












−−
−−
−
−
13111
11500
11131
11012
 encontre sua matriz B, 
equivalente a A ou seja encontre a matriz escalonada por linhas de A. 
Resolução: Nosso objetivo é encontrar uma matriz B cujos elementos abaixo da diagonal 
formada pelos elementos (2), (3), (-5), (-3) sejam todos iguais a zero. Para isso 
aplicamos as operações elementares de linhas Li: 
 
8
 Elementos distinguidos são os primeiros elementos não nulos das linhas de uma matriz 
D 
 Álgebra Linear 29 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
A = 












−−−
−−
−
−
13141
11500
11131
11072
 
 
 
L4 ⇔ L3 
(troca de linhas entre si) 
∼












−−
−−−−
−
−
11500
13141
11131
11072
∼ 
 
L2 ⇔ L1 + 2L2; 
L3 ⇔ L1 - 2L3. 
∼












−−
−
−
11500
37210
33210
11072
∼