Prova 1 - MAT236

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DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA – UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
1​​a​​ Prova de MAT236 – Turma 02 – 15/10/2018 
Professor: Paulo Henrique Ferreira da Silva 
 
 
Questão 1. ​​(3,0) Seja ​X uma variável aleatória contínua com a seguinte função densidade de 
probabilidade: 
 
 
 
a)​​ (0,5) Qual valor deve ter a constante ​c​? 
b)​​ (1,0) Determine a função de distribuição acumulada de ​X​ e esboce o seu gráfico. 
c)​​ (0,5) Se ​b​ for um número que satisfaz -1 < ​b ​< 0, calcule ​P​(​X ​> ​b ​| ​X ​< ​b​/2). 
d)​​ (1,0) Calcule ​E​(​X​) e ​V​(​X​). 
 
 
 
Questão 2. ​​(3,0) A durabilidade de um tipo de pneu da marca ​Rodabem é descrita por uma 
variável aleatória Normal de média 60000 km e desvio-padrão de 8300 km. 
a) (1,5) Se a ​Rodabem garante os pneus pelos primeiros 48000 km, qual a proporção de pneus 
que deverão ser trocados pela garantia? 
b) (1,5) Qual deveria ser a garantia (em km) de tal forma a assegurar que o fabricante trocaria 
sob garantia no máximo 2% dos pneus? 
 
 
 
Questão 3. ​​(2,0) Suponha que uma impressora de alta velocidade cometa erros segundo um 
modelo de Poisson com uma taxa de 2 erros por página. 
a) (0,5) Qual a probabilidade de encontrar pelo menos 1 erro em uma página escolhida ao 
acaso? 
b) (0,5) Se 5 páginas são sorteadas, ao acaso e de forma independente, qual é a probabilidade 
de pelo menos 1 página com pelo menos 1 erro por página? 
c) (1,0) Dentro das condições de (b), considere a variável que conta o número de páginas com 
pelo menos 1 erro. Você identifica o modelo dessa variável? 
 
 
 
Questão 4. ​​(2,0) Em uma fábrica de parafusos, duas máquinas A e B produzem parafusos 
com probabilidade de serem defeituosos iguais a 30% e 60%, respectivamente. Por uma 
distração de um funcionário, misturou-se dois lotes da produção provenientes das máquinas 
A e B. Sabe-se que a proporção de peças (neste lote misturado) produzidas pela máquina A é 
de 40% e que o total de parafusos no lote é de 200. Suponha que dois parafusos sejam 
retirados, ao acaso e sem reposição, deste lote. 
a) (1,0) Qual a probabilidade de se retirar um parafuso proveniente da máquina A na primeira 
retirada? 
b) (1,0) Dado que na primeira seleção foi retirado um parafuso defeituoso, qual a 
probabilidade de que ele tenha sido produzido pela máquina A? 
Formulário 
 
 
 
● Probabilidade condicional: , desde que ​P​(​B​) > 0P (A|B) = P (B)
P (A∩B) 
 
 
● Função de distribuição acumulada: se ​X​ é v.a. discreta F (x) = ∑
 
j: x ≤xj
P X( = xj) 
 
 se ​X​ é v.a. contínuasF (x) = ∫
x
−∞
f (s) d 
 
 
● Esperança: se ​X​ é v.a. discretaPE X[ ] = ∑
∞
i=1
xi (X )= xi 
 
 se ​X​ é v.a. contínuaE f x X[ ] = ∫
∞
−∞
x (x) d 
 
 
● Variância: , em que: V X[ ] = E X[ 2] − (E )X[ ] 2 
 
 se ​X​ é v.a. discreta E P X[ 2] = ∑
∞
i=1
xi
2 (X )= xi 
 
 se ​X​ é v.a. contínuaE f x X[ 2] = ∫
∞
−∞
x2 (x) d 
 
 
● Binomial(​n​, ​p​): , ​x​ = 0,1,2,...,​n(1 ) P (X )= x = ( xn) px − p
n−x 
 
 
● Poisson(​λ​): , ​x​ = 0,1,2,...P (X )= x = x!
e λ−λ x 
 
 
● Padronização: Se , então NX ˜ (μ, )σ2 Z N = σ
X−μ ˜ (0, )1